浙江大學(xué)大學(xué)物理第三章題庫(kù)

第三章剛體力學(xué)基礎(chǔ)

3.1半徑R=0.02m的飛輪由靜止開(kāi)始作夕=10rad/s2的勻

角加速轉(zhuǎn)動(dòng)。求t=2s時(shí)飛輪的（1）角速度；（2）飛輪邊緣一點(diǎn)的速

度和加速度；（3）已轉(zhuǎn)過(guò)的圈數(shù)。

解⑴

3=%+例=20rad/s

⑵

v—<t>R—4.0m/s

a?—o7R=80m/s2

2

ar=BR=2.0m/s

（3）

，一%=a）ot+卷第=20rad

N=---=3?2rev

3?2已知地球半徑R=6.37X10，m?求,（1）地球自轉(zhuǎn)的角速

度“2）北緯45。處一點(diǎn)的速度和法向加速度。

解⑴

3=%=7.27X10-srad/s

（2）

v—3RCOS45°=327m/s

a?=jRcos450=2.4X10-2m/s:

33A輪半徑為0.10m、轉(zhuǎn)速為1450rev/min,8輪半徑為

0.29m.兩輪間利用皮帶傳動(dòng)，皮帶與輪間不打滑。（1）求B輪的轉(zhuǎn)

速；（2）若A輪的輸出功率為IkW,求皮帶對(duì)B輪的力矩。

?98?

解⑴

2n九1廠1—2?！?r2

n=——500rev/min

2r2

(2)

因P—Mx(i}}=A/2o>2

3.4一飛輪作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，其角速度與時(shí)間的關(guān)系為⑷=4+

0.3/2(SI).求：(l)t=10s時(shí)飛輪的角加速度；(2)在￡=0到t=10s

這一段時(shí)間內(nèi)，飛輪轉(zhuǎn)過(guò)的角度。

解⑴

"黑=°，酎

￡=10s時(shí)

B=6rad/s2

(2)

43=Jwdz=J(4+0.3戶)山=140rad

3.5如圖所示，質(zhì)量分別為襁、

2m,3m和2m的四個(gè)小球安裝在半徑3m

為R的圓形剛性輕架上。求此系統(tǒng)對(duì)

下述兩軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。(1)通過(guò)圓心并(

垂直紙面的軸；(2)通過(guò)此系統(tǒng)質(zhì)心并2mL—

垂直紙面的軸。k

解，(1)'

m

Jo=8加夫2

(2)設(shè)質(zhì)心C在0正上方九處，題3.5圖

?99?

則

3ntR—mRR

Jc=幾一Smh2—7.5mR2

3.6如圖所示，細(xì)桿長(zhǎng)為

/，質(zhì)量線密度為入=狂，式中左\

為常量。求此桿對(duì)通過(guò)。點(diǎn)并。，一」

與桿垂直的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.

題3.6圖

3.7如圖所示,質(zhì)量為次、半徑為R的圓盤(pán)與質(zhì)量為加、長(zhǎng)

為2R的均勻細(xì)桿一端裝在一起，桿的延長(zhǎng)線通過(guò)圓心。求此組合

剛體對(duì)通過(guò)桿的另一端并與紙面垂直的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。

J桿—--m(2R')2=

0

2

JA=-mR+m(3R)

乙

=9-mR2

w

J=/桿+<7量=10.8機(jī)&z題3.7圖

3.8如圖所示，質(zhì)量為如半徑為R的勻質(zhì)圓盤(pán)，對(duì)稱地挖

去半徑為。的小圓孔。求它對(duì)通過(guò)圓盤(pán)中心并與圓盤(pán)垂直的軸的

轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.

■100?

J*=《mR2

Z

每個(gè)孔質(zhì)量

?4Cy(y)(y)2+(會(huì)爭(zhēng)力

~AmJ22

io

故J=^mR2

io題3.8圖

3?9如圖所示，質(zhì)量為根、長(zhǎng)為/

的均勻細(xì)桿在11y平面內(nèi)，與力軸夾

角為P，其一端在原點(diǎn)。。求此細(xì)桿對(duì)

如軸、0y軸和oz軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。

解

題3.9圖

=~m/2sin2f>

W

dx

J,=卜mdl=0>m

Icosp

~m/2cos2?>

3

Jz-Jx+Jy—1nd2

3.10矩形薄板的質(zhì)量為加、長(zhǎng)為a、寬為人求它對(duì)通過(guò)其中

心并與板面垂直的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和回轉(zhuǎn)半徑。

解

J*=f+^~(~bdxW

JL年12ab

?101?

3.10題

解1取此看作細(xì)桿，Y歷"，=

同理:=-ma~,貝［I=4+</,=’

y12z”>I2

解2直接求細(xì)桿也對(duì)z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量,

的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量加平行軸定理。

,,1m,,,,tn,,

dJ.=——--hdxb~2+--hdx-x~2

"12abab

:曲+=］加(/+/)

12a七a12

解3按定義求

1

—mu2+r)

12

=肘

同理

Jy=^rna

垂直軸定理

J?=J*+J,=~^m(a2+

JLW

/Z±F

V12

311長(zhǎng)/的剛性桿可繞通過(guò)桿的一端并與桿垂直的光滑冰

平軸在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)，在桿上離軸4處和另一端各連結(jié)一個(gè)質(zhì)

量為m的小球。求桿水平時(shí)的角加速度。

解3.11圖

解

J=+ml2=當(dāng)枕12

0y

M=Mgg+mgl=^-mgl

oJ

轉(zhuǎn)動(dòng)定律

AM6g

”了=或

3.12馬達(dá)帶動(dòng)一個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為20kg.m2的剛體由靜止開(kāi)

始作勻角加速定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，在l,0s內(nèi)轉(zhuǎn)速達(dá)到30rev/min。求馬達(dá)

?102?

作用在剛體上對(duì)軸的力矩。

解

3-%_2m

=----j----rad/s2=7Trad/s2

M=JB=2OnN?m=62.8N?m

3-13一個(gè)定滑輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為<7=0,20kg?n?、半徑為

0.10m,力尸=4"SI）沿切線方向作用在滑輪邊緣上,設(shè)￡=0時(shí)滑

輪靜止，求/-5s時(shí)'滑輪的角速度.

解

夕=了=7

=■X值

0.2

因B=警ds=pdt

fwp

故d<w—2tdt

J0J0

得”=產(chǎn)=25rad/s

3.14如圖所示,質(zhì)量為M=20kg、半徑為R=0.20m的均

?103?

勻圓柱形輪子，可繞光滑的水平軸轉(zhuǎn)動(dòng)，輪子上繞有輕繩.若有恒

力F=9.8N拉繩的一端，使輪子由靜止開(kāi)始轉(zhuǎn)動(dòng)。輪子與軸承同

的摩擦可忽略。求：（D輪子的角加速度；（2）繩子拉下1m時(shí)，輪子

的角速度和動(dòng)能。

解（1）

s=M=FR

J~mie

=4.9rad/s2

(2)轉(zhuǎn)過(guò)角度

兇=專=5rad

因w2=2f46

故3=7rad/s

Ek==FZ-9-8J

題3.15圖解3.15圖

?104?

3-15上題中繩的一端掛一質(zhì)量帆=0.10kg的物體，求輪子

的角加速度、物體的加速度和繩中的張力.

解

mg—T-ma

<TR=

乙

a=BR

解得

B=而存2）&=0-485rad/s2

a=限—0.097m/s2

mMg

T==0?97N

2（力+M/2）

X16如圖所示，輕繩兩端各系質(zhì)量

為如和蜂的物體,2放在光滑的水平桌

面上，繩跨過(guò)一個(gè)半徑為一轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J

的定滑輪,g鉛垂懸掛?；喤c軸承間摩

擦可忽略。繩與滑輪間不打滑。求兩物體

的加速度和繩中張力。

題3.16圖

解

解3.16圖

?105?

ntig-T\=mxa

<Ttr—T2r=Jp=J--

、7'2—?

解得

_fnig

"—物］+也2+J//

丁/加2+J//、

工=ig(K+_+〃/)

T2=m2g(----f“)

叫+叫+J/產(chǎn)

3.17上題中，若如與桌面間的摩擦系數(shù)為滑輪與軸月

間的摩擦力矩為求兩物體的加速度和繩中張力。

解3.17圖

解

m{g—Ti—mxa

Ttr—T2r—Mf=

T2—用Eg二次2a

a—Pr

解得

?106?

_（如一/2）g-Mf"

a啊+F+J//

T_「（F+52+J/r2}g+M/〃1

1\=miL“，工“，」-r"J

力i十十J/r

T_「Oi+々】+U//）g—

2―加2L_+―+J/r2J

X18半徑為扁和七的階梯狀滑輪上（&>&），反向繞兩

條輕繩，分別懸掛質(zhì)量為小和蜂的物體。滑輪對(duì)轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣

量為J?；喤c軸間摩擦可忽略.求兩物體的加速度和繩中的張

力.若最初兩物體靜止，則什么條件下滑輪順鐘向轉(zhuǎn)動(dòng)？什么條件

下滑輪逆鐘向轉(zhuǎn)動(dòng)？什么條件下滑輪和兩物體均靜止？

?107?

解

機(jī)ig—-mxax

T2-m2g=m2az

{7\Ri-T2K2=JB

=RRi

、a2—RIQ

解得

mxRx-m2R2

01西用+m溶+j”"g

=）%4

2）&g

—m.Rl4-m2Rl+J

=（一繳—mJ%

）g

〃'啊超+mzRj+J

小^mRj—mRR+J、

口=（嬴2而+i2&x2+J）"

T_/雨1及：―府出旦+J、

2―(m因+叫用+J加2g

3.19如圖所示，輕繩繞在質(zhì)量為M=0.60kg、半徑為R=

8.0cm的圓柱形定滑輪上，繩的另一端穿過(guò)一個(gè)光滑的小環(huán)后固

定于P點(diǎn)，小環(huán)下面懸掛一個(gè)質(zhì)量為加=0?30kg的物體。設(shè)滑輪

與軸間摩擦可忽略。求物體的加速度。

解

mg—2T—ma

<TR=0

PR=2a

解得

a=1ng

2M十m

?108?

題3.19圖解3.19圖

3.20如圖所示,輕繩跨過(guò)質(zhì)量Mi、半徑&和質(zhì)量“2、半徑

七的兩個(gè)均勻圓柱形定滑輪，兩端各懸掛質(zhì)量為叫和飛的物

體。設(shè)滑輪與軸間光滑無(wú)摩擦,繩與滑輪間不打滑。^>m2,求兩

物體的加速度和繩中張力。

題3.20圖解3.20圖

?109?

解

m^g-T）=mxa

T2—rn2g=m2a

<T瓜一乙0=鼻田消

T島一T2R2=春M4配

.a~BiR\=B2R2

解得

________2（如一2）g_____

2（四+m2）+（Afi+Af2）

T=「4-1-z+MM+Mz）1

*—L2（一+心+（跖+峪）總

T=「4%加2+m2（Ml+峪）1

2LJg

—2（mj+m2）+（A/,+M2）

T=[-4gm2+g%+利2M1

1=L2（一十機(jī)2）+（降+/2）二

3.21如圖所示，質(zhì)量為以、半徑為R的均勻球體可繞通過(guò)

球心的光滑豎直軸轉(zhuǎn)動(dòng)，球體赤道上繞有輕繩，繩的另一端跨過(guò)轉(zhuǎn)

動(dòng)慣量為J、半徑為r的定滑輪，懸掛一個(gè)質(zhì)量為m的物體。物體

由靜止開(kāi)始向下運(yùn)動(dòng)，求向下移動(dòng)h時(shí)物體的速度。

解

mg-T）=ma

<Txr—T2r—JPX=J：

WM.2）?

TZR=（當(dāng)MR?*?=

□DXV

由上述三式解出用又因

V2=2ah

解得

?110?

r,

娟］

嗎

解3.21圖

y=2mg九

m+2M/S+J/r2

3.22豎直懸掛的均勻細(xì)桿可繞通過(guò)上端的光滑水平軸轉(zhuǎn)

動(dòng)，問(wèn):水平力打擊在桿上離轉(zhuǎn)軸多遠(yuǎn)處，桿對(duì)軸的水平作用力為

零？

解

Fl'=^-ml2/3

O

FN產(chǎn)macm。J0N4

Ny-mg=may-rnw2--=0F

CL-C

解得

M—F（等—1）

N,—mg

題3.22圖解3.22圖

?111?

故「=卓時(shí)，桿對(duì)軸的水平作用力為零。

3.23如圖所示，質(zhì)量加=60kg、半徑R=0.25m的均勻圓柱

形飛輪繞通過(guò)中心的水平軸以900rev/min的轉(zhuǎn)速轉(zhuǎn)動(dòng)。若在閘桿

右端施一豎直方向的制動(dòng)力F=100N,閘瓦與飛輪間的摩擦系數(shù)

為戶=0.40,何飛輪經(jīng)多長(zhǎng)時(shí)間停止轉(zhuǎn)動(dòng)？在這段時(shí)間內(nèi)，飛輪已

轉(zhuǎn)了幾圈？

解得

、—-+勾）-

因0=」+魚(yú)

f=一3=7.07s

故巳轉(zhuǎn)過(guò)圈數(shù)

?112?

N~—~+《附)=53.1rev

3.24如圖所示,質(zhì)量為由、長(zhǎng)為，的均勻細(xì)桿可繞通過(guò)下端

的光滑水平軸在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)，若從豎直位置開(kāi)始由靜止釋放,

因受微擾而往下轉(zhuǎn)動(dòng)。求桿轉(zhuǎn)到與鉛垂線成夕角時(shí)的角加速度和

角速度。

題3.24圖解3.24圖

轉(zhuǎn)動(dòng)定律

mgJsinG=

Lo

故

Ado)dsdOds3g.q

因8=石=麗幣="麗==言皿8

出

a>dco=尊sinJd。

oJoZl

得

3.25如圖所示，均勻細(xì)桿質(zhì)量為加、長(zhǎng)為/,上端連結(jié)一個(gè)質(zhì)

量為次的小球，可繞通過(guò)下端并與桿垂直的水平軸轉(zhuǎn)動(dòng)。設(shè)桿最

初靜止于豎直位置，受微小干擾而往下轉(zhuǎn)動(dòng)。求轉(zhuǎn)到水平位置時(shí),

（D桿的角速度；（2）桿的角加速度；（3）軸對(duì)桿的作用力。

解（1）機(jī)械能守恒

?113?

=mgy+mgl

式中

J=-mZ2+^nl2

故

N

0

題3.25圖解3.25圖

(2)轉(zhuǎn)動(dòng)定律

mg-+mgl=JR

乙

p=等

故P81

(3)質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定律

Ncos8-2帆

2mg—Nsin8=2mprc

式中

m-ml

_￡--------=_1/

2m4

解得

N=3.39mg

9=tgf77=5?29°

54

?114?

3.26如圖所示，質(zhì)量為巾、長(zhǎng)為I的均勻細(xì)桿的上端。靜

止,其桿以角速度3沿圓錐面轉(zhuǎn)動(dòng)，求穩(wěn)定轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)桿與豎直軸之

間的夾角我

題3.26圖解3.26圖

解在相對(duì)桿靜止的參照系中

—fpSdraj^rsinffrcosd

監(jiān)TpSdrgrsin，

因桿靜止

M+M2—0

解得

6—cos-1rA：

3.27沖床飛輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為4.0X103kg?m，，當(dāng)它以

30rev/min作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，其動(dòng)能多大？若每沖一次，轉(zhuǎn)速降為

10rev/min,向每沖一次飛輪對(duì)外作功多少？

解

E*o=齒=L96X10*J

24

A=Ek-Ei0=yjw----就=-1.7X10J

L乙

?115?

飛輪對(duì)外作功L7X10V

3-28質(zhì)量為M、半徑為R的均勻圓盤(pán)可繞通過(guò)盤(pán)心、垂]

盤(pán)面的光滑水平軸轉(zhuǎn)動(dòng)，若質(zhì)量為m的小膠塊粘在與軸等高的Q

盤(pán)邊緣上，由靜止釋放。求a到達(dá)最低點(diǎn)時(shí)圓盤(pán)的角速度。

解機(jī)械能守恒

（Af+m）gR=MgRH—Jew2

J=[Mid+機(jī)必

解得

2mg

Gn+M/*R

3.29如圖所示，勁度系數(shù)為6的輕彈簧下端固定在地面上

上端與輕繩相連,輕繩跨過(guò)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為人半徑為r的定滑輪，月

一端系一質(zhì)量為帆的物體，物體放在

傾角為a的光滑斜面上?；喤c軸間

無(wú)摩擦。設(shè)最初彈簧為原長(zhǎng)，機(jī)由靜止

釋放。求：（D物體能滑下的最大距離

/;（2）物體滑下工時(shí)的速度；（3）物體

離釋放處多遠(yuǎn)時(shí)速度最大？題3.29圖

解（1）機(jī)械能守恒

-kl2—mglsina=0

._2加gsina

故I.

(2)

2

■^■kx—mgjTsina++=0

乙L

?116?

（3）缶=。時(shí)V最大，解得

7ngsma

k

3.30質(zhì)量為楨、長(zhǎng)為/的均勻細(xì)桿可繞通過(guò)細(xì)桿一端并與

桿垂直的光滑水平軸轉(zhuǎn)動(dòng),將桿由水平靜止釋放，求轉(zhuǎn)到豎直位置

時(shí)細(xì)桿的（1）角速度也（2）動(dòng)能后；（3）質(zhì)心速度牝。

解（1）機(jī)械能守恒

J=W加I2

=/理

彳=5\/3g/

3.31質(zhì)量為稗、長(zhǎng)為I的均勻細(xì)桿可繞通過(guò)一端并與桿垂

直的光滑水平軸轉(zhuǎn)動(dòng)，要使鉛垂靜止的桿恰好能轉(zhuǎn)到水平位置，必

須給桿多大的初角速度？

解機(jī)械能守恒

?117?

J=~ml2

0

故

3.32光滑的水平面上，質(zhì)量為

M、長(zhǎng)為I的均勻細(xì)桿可繞通過(guò)桿質(zhì)

心的豎直光滑軸轉(zhuǎn)動(dòng)。最初桿靜止，質(zhì)

量為次的小球以垂直于桿的水平速

度為與桿的一端發(fā)生完全彈性碰撞。

求碰后球的速度和桿的角速度。

解碰撞前后小球、桿組成的系統(tǒng)角動(dòng)量守恒，動(dòng)能守恒:

—mv-y—mv0g

2

J(3M/2)》+4"機(jī)"=

乙，乙乙乙

解得

—3機(jī)、

,12mvQ

不；加’7

3.33質(zhì)量M、半徑R的圓盤(pán)形轉(zhuǎn)臺(tái)可繞豎直的中心軸轉(zhuǎn)

動(dòng)，摩擦不計(jì)，起初，質(zhì)量為m的人在臺(tái)上距軸年處與臺(tái)一起以角

速度也轉(zhuǎn)動(dòng)，求當(dāng)人走到臺(tái)的邊緣后人與臺(tái)一起轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度。

解轉(zhuǎn)臺(tái)和人組成的系統(tǒng)角動(dòng)量守恒

+皿為2強(qiáng)。=

乙4乙

解得

2.M+帆、

3=(z0J.工”)「Q

2M+4m

?118?

3.34上題中的轉(zhuǎn)臺(tái).起初質(zhì)量m的人在臺(tái)的中心與臺(tái)一起

以角速度g轉(zhuǎn)動(dòng)。若此人相對(duì)轉(zhuǎn)臺(tái)以恒定速度"沿半徑向外走,

求:走了時(shí)間z后，臺(tái)已轉(zhuǎn)過(guò)的角度。

解轉(zhuǎn)臺(tái)和人組成的系統(tǒng)角動(dòng)量守恒

C--MR2+

解得

___________3。

1+（尋

臺(tái)轉(zhuǎn)過(guò)角度為

f小T：福

”2

3.35質(zhì)量為10kg、半徑為0.50m的均勻球體繞通過(guò)球

心的豎直光滑軸以角速度2.0rad/s轉(zhuǎn)動(dòng),質(zhì)量為0.50kg的小

膠塊以0.40m/s的水平速度飛來(lái),順球轉(zhuǎn)動(dòng)的切線方向與球的

赤道邊緣相碰并粘住，求：（1）碰撞后球的角速度；（2）碰撞前后球

和膠塊所組成的系統(tǒng)機(jī)械能的變化。

解（1）球、膠系統(tǒng)角動(dòng)量守恒

r

Jo）=J】/+mv0R

<Jx=看M/F

J=^MR2+mR2

5

解得

?119?

+5mv

0=rad/s

（2M+5m）R

(2)動(dòng)能變化

△&=5J/一（4"4就H""^-mvo）

==~T2.■otrj

一。,。7j

題3.35圖題3.36圖

3.36如圖所示,48兩輪同軸心,5輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為/=

10kg?m2,8輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為4=20kg?n?。起初A輪轉(zhuǎn)速為

600rev/min,8輪靜止。求：(1)兩輪通過(guò)摩擦嚙合器C嚙合后的轉(zhuǎn)

速卬;(2)嚙合過(guò)程中兩輪各自所受的沖量矩5(3)嚙合過(guò)程中損失

的機(jī)械能。

解(1)嚙合過(guò)程中A、B兩輪系統(tǒng)角動(dòng)量守恒

(J1+J2)^~Jl5

J1?.

故3~y—：—7"=20.9rad/s

1?J2

（2）'按角動(dòng)量定理,4受沖量矩

[%點(diǎn)=J]S—=—419N?m?s

B受的沖量矩為

W

=J2—419N?m?s

(3)損失機(jī)械能

?120?

題—

=1.32X10*J

3.37質(zhì)量為M、半徑為火0

的均勻圓柱形飛輪繞通過(guò)輪心垂|

直輪子的水平軸以角速度4轉(zhuǎn)

動(dòng),某瞬時(shí)質(zhì)量為m的小碎片從

飛輪邊緣飛出，碎片脫離飛輪時(shí)

的速度恰好喔直向上,求“1）碎

片上升的高度；（2）飛輪余下部分

的角速度、角動(dòng)量和轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能。

題3.37圖

解（1）碎片初速為

V0=3QR

豎直上拋

2

0—VQ—2（-g）h

故上升高度為

h=~—

2g

（2）飛出前后，系統(tǒng)角動(dòng)量守恒

一抗用池+mvR=--MJR2O>

乙0乙0

VQ=SQR

解得剩余部分角速度

3=卬0

角動(dòng)量和動(dòng)能為

L——切足）與

Ek=-mN）就

?121?

3.38質(zhì)量M=l.0kg、長(zhǎng)Z=0.40m的均勻細(xì)桿可繞通過(guò)桿

一端的光滑水平軸在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)。起初桿自然下垂，質(zhì)量

8.0g的子彈以v=200m/s的水平速度射入離轉(zhuǎn)軸搭/處的桿中,

求：（D桿開(kāi)始轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的角速度式2）桿的最大偏轉(zhuǎn)角。

解（D子彈射入過(guò)程中，子彈和桿組成的系統(tǒng)角動(dòng)量守恒

4

式中

J-―-Ml2+m（-T-Z）2=0.054kg?mz

34

故

3—3=8,87rad/s

…一（2）上擺過(guò)程機(jī)械能守恒

I31

UMg不（1—cosG）+—cos。）—向

（Z4/

解得最大偏轉(zhuǎn)角為

8=cos_1[l-7萬(wàn)7gq~~7—7]=94.r

（2M+3加）g/

3.39質(zhì)量為M、長(zhǎng)為Z的均勻細(xì)桿可繞垂直于桿一端的水

平軸無(wú)摩擦地轉(zhuǎn)動(dòng)。桿原來(lái)靜止于平衡位置，現(xiàn)有質(zhì)量為加的小

球水平飛來(lái)，與桿的下端發(fā)生完全彈性碰撞。碰攔后，桿的最大偏

轉(zhuǎn)角為。.求：（1）小球的初速度；（2）碰撞過(guò)程中，桿所受的沖量

矩。

解（D桿、球所構(gòu)成的系統(tǒng)角動(dòng)量守恒、動(dòng)能守恒

J（D+mvl=mv（）l

■yjw2+--mv2=遙

44乙

?122?

上擺過(guò)程機(jī)械能守恒

Mg~(1—cos8)5Jo?

Lt

式中

J=

解得

Ci)=

小球初速為

必=N+辭)M3gz(1—cos。)

（2）按角動(dòng)量定理，桿所受沖量矩為

\^Adt=Jco

—學(xué)M3g/(I-cos'

o

3.40質(zhì)量為町、長(zhǎng)為I的均勻細(xì)桿可繞通過(guò)桿一端的光滑

aV

「％—I

題3.40圖解3.41圖

水平軸在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng),使桿從水平位置由靜止釋放，桿擺到豎

?123?

直位置時(shí)桿的下端恰好與光滑水平面上質(zhì)量為W的小物發(fā)生完全

彈性碰撞。求碰撞后小物的速度。

解擺下過(guò)程，機(jī)械能守恒

一極g4=0

4JL

碰撞過(guò)程角動(dòng)量、動(dòng)能守恒

?加2)卬2+^-Vl~(-ymZ2)^

v3J

)(孑源2)必+產(chǎn))研

C0乙JUV

解得碰后桿角速度為

叱=0

小物速度為

v—Vl>gi

3.41質(zhì)量為次的人站在質(zhì)量為長(zhǎng)為/的竹筏一端，起

初，人和筏均處于靜上狀態(tài)。若人以速度u(相對(duì)于河岸)向垂直于

竹筏的方向跳出，求竹筏獲得的角速度。假設(shè)竹筏的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量可按

均勻細(xì)桿公式計(jì)算,水的阻力可忽略。

解人跳出時(shí),設(shè)竹筏繞相對(duì)河岸靜止的。軸轉(zhuǎn)動(dòng)，人和筏組

成的系統(tǒng)角動(dòng)量守恒，動(dòng)量守恒。

J°3—mv{l—r)=0

式中

J.=和〃+M(y-IT

4)

MVC—mv=0

式中

V—a?(----x)

c乙

?124?

解得竹筏獲得的角速度

_6次幻

=~Ml

3.42在光滑的水平面上，有一平均

半徑為R的光滑圓形溝槽,在槽內(nèi)質(zhì)量分

別為人和叫的兩個(gè)小球?qū)哦认禂?shù)為k

的輕彈簧壓縮■球與彈簧并不連結(jié))，然

后由靜止釋放.問(wèn)(1)如轉(zhuǎn)過(guò)多大角度后

與F相碰？(2)釋放后多長(zhǎng)時(shí)間兩球相碰？

解。)釋放前后兩球彈簧系統(tǒng)角動(dòng)

量守恒。設(shè)釋放后經(jīng)過(guò)t時(shí)間,飛轉(zhuǎn)過(guò)仇、

曲轉(zhuǎn)過(guò)為后兩球相碰，則

加田2卬1—慌2區(qū)2s2=0①

￡="=紅二A②

叼Of?

解得

6=2小

1

mx+m2

(2)釋放前后系統(tǒng)機(jī)械能守恒

+ymR2a^=春融2③

乙乙z乙

由①、②、③式解得

imm

t=TCRx2

(mt+m2ykX

3.43質(zhì)量為M、長(zhǎng)為1的均勻細(xì)桿放在摩擦系數(shù)為〃的水

平桌面上，可繞通過(guò)細(xì)桿一端的豎直光滑軸轉(zhuǎn)動(dòng)。最初細(xì)桿處于靜

止?fàn)顟B(tài)，質(zhì)量為m由小滑塊以垂直于桿的水平速度小與桿的另一

端碰撞，碰后以速度v反向彈回。設(shè)碰撞時(shí)間很短,問(wèn)碰撞后經(jīng)過(guò)

多少時(shí)間細(xì)桿停止轉(zhuǎn)動(dòng)？

?125?

解碰撞過(guò)程中，系統(tǒng)角動(dòng)量守恒

-mvl—mvl

<Jfo

轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中，桿受摩擦力矩為

r=-yfiMgl

"/=（一.號(hào)drgJ

由角動(dòng)量定理

^Mfdt-J---0-----------

解得

2—(5+u)

RMg

3.44質(zhì)量6=1.OX10'kg、半徑R=0.50m的均勻圓柱形

壓路滾子，其軸上受到F=L5X1O4N的水平牽引力，使它在水平

地面上作純滾動(dòng)。求：（1）滾子的角加速度和質(zhì)心加速度M2）地面

對(duì)滾子的摩擦力。

解平面運(yùn)動(dòng)

F-/—mac

fR=JcB=4'fnR2)B

ac=BR

解得

B—2.0ras/s2

ac=BR'=140m/s2解3.44圖

/=4=5.OX1OSN

3.45繞線輪的質(zhì)量為4.0kg,繞對(duì)稱軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為」二

9.OXlOTkg，!!？,大圓半徑為R=0.20m,小圓半徑為r=0,10m1,

用戶=25N的水平力拉線的一端，使繞線輪在水平地面上作純滾

?126?

題3.45圖解3.45圖

動(dòng)。求；（1）繞線輪的角加速度和質(zhì)心加速度；（2）地面對(duì)繞線輪的

摩擦力,（3）摩擦系數(shù)至少多大才無(wú)相對(duì)滑動(dòng)？

解

fF-f=mac

<fR-Fr^J/3

Iac—RR

解得

R=-昌=10rad/s2

J+mR1

2

ac=RR—2.0m/s

f_F(J+mRr}

J=J+介17N

無(wú)滑動(dòng)條件:

F(J+mRr)

J+加及2<RN=pmg

解得

、F(J+mRr)

">(J+mR2)稗且=0.43

故〃至少0.43才不滑動(dòng)。

3-46質(zhì)量為％半徑為A的均勻圓柱體上繞有輕線，線的

?127?

一端固定于天花板上,求圓柱體的角加速度、質(zhì)心加速度和繩中引

力.

解

mg-T=mac

ac-PR

解得

2g

牝=至

T1

I=ywg

3.47上題中線的一端不是固定在天花板上,而是用手提著

以加速度3g豎直向上運(yùn)動(dòng)，求圓柱體的角加速度、質(zhì)心加速度用

繩中張力。

解平面運(yùn)動(dòng)

?128?

T-mg=mac

TR=~mR213

.ac=3g-BR

解得

月=粵

P3R

1

acjg

T4

丁=1mg解3.47圖

X48如圖所示,半徑為八質(zhì)量可以不計(jì)的圓柱形細(xì)長(zhǎng)桿的

中間裝一個(gè)質(zhì)量為由,半徑為R的均勻短圓柱體，兩條細(xì)繩繞在

細(xì)長(zhǎng)桿上，繩的另一端掛在天花板上。這一裝置稱為浪擺.求釋放

后,此滾擺的質(zhì)心加速度和繩中張力。

?129?

mg-2T==mac

-2Tr=-^-mR2p

,ac-Pr

解得

2r2

念=（升下/g

1R2

丁=萬(wàn)（才下不加g

3.49半徑n=0.04m和r2=0.10m的兩個(gè)短圓柱同心地裝

在一起，總質(zhì)量為M=8.0kg,繞對(duì)稱軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J=0.03

kg?m2.小圓柱上繞有輕繩，繩的上端固定在天花板上。大圓柱上

也繞有輕繩,繩的下端掛一質(zhì)量為m=6.0kg的物體。求圓柱體的

角加速度、質(zhì)心加速度、物體的加速度和繩中張力。

題3.49圖解3.49圖

?130?

解圓柱平面運(yùn)動(dòng)，物體平動(dòng)

T1一丁2—"g—Mac

7V2—=JB

<ac=^rl

mg-Tz-ma

.a=B6-勺)

解得

B=號(hào)二色枳二6.09rad/s；

2

w(r2—rj)+Mr1+J°

2

ac—即\—0.244m/s

a=B5-?=0.365m/s2

T2=m（g—a）=56.6N

T[=M{g+a。+A=137N

3.50質(zhì)量為加長(zhǎng)為/的均勻細(xì)

桿靜止于光滑水平桌面上，垂直于桿的

恒定水平力F作用在離質(zhì)心工的桿上，

作用時(shí)間&很短?？烧J(rèn)為在&內(nèi)桿的F

%

位置不變。求：（1）尸作用時(shí)桿的角加速

度和質(zhì)心加速度M2）5作用結(jié)束后桿的

角速度和質(zhì)心速度；（比時(shí)刻（￡》桿

34）解3.50圖

已轉(zhuǎn)過(guò)的角度和質(zhì)心已移動(dòng)的距離。

解⑴

F-mac

FH=磊根2s

解得

F

牝=-m

?131?

12方2

ml2

(2)質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量定理

F&=mvc

質(zhì)點(diǎn)系角動(dòng)量定理

=白機(jī)/2ft>

解得

12尸工拉

Q)=--------------

ml2

尸&

%'=年

(3)質(zhì)心移動(dòng)

人/尸&、

Zljr=Vrt=(----)t

m

桿轉(zhuǎn)過(guò)角度

=必=(/1--2-F；-/4)f、

mr

3.51均勻圓柱體放在傾角為a的斜面上.圓柱上部邊緣受

平行于斜面向上的切向力尸作用。要使圓柱體靜止不動(dòng)，圓柱體

與斜面間的摩擦系數(shù)必須滿足什么條件？

解靜止時(shí)

(tngsina-F—f=0

<N-rngcosa—0

IFr—fr—0

解得

靜摩擦力應(yīng)滿足

?132?

=4-w^sina&RN—ftmgcosa

故I12

352質(zhì)量為加、長(zhǎng)徑為r的均勻小球從高h(yuǎn)的斜坡上向下

作純滾動(dòng)，問(wèn)h必須滿足什么條件，小球才能翻過(guò)如圖所示半徑為

R的圓形軌道頂部而不脫軌？（設(shè)廠《農(nóng)）

解機(jī)械能守恒

mgQR+---mv24*-yja?=mgh

乙乙

式中

牛頓第二定律

mg+N=m不

純滾動(dòng)

v

N>0

?133?

解得

3.53質(zhì)量為優(yōu)的均勻細(xì)

桿的一端用細(xì)繩掛起，另一端從水1T.

平位置由靜止釋放。求釋放瞬時(shí)，繩tc

中的張力。

解外

'mg—T—mac

Ty=B解3.53圖

解得

T=1

3.54如圖所示，輕繩一端繞在質(zhì)量為血】、半徑為△的均勻

圓柱體上，另一端繞在質(zhì)量為加2、半徑為々的勻質(zhì)圓柱形定滑輪

上。求：（1）定滑輪的角加速度；（2）圓柱體的角加速度和質(zhì)心加速

度；（3）繩中張力。

解定滑輪定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，圓柱體平面運(yùn)動(dòng)。

加建

Tr2=3202

道］

mxg-T—〃2

TV】=/加/涵

口］=01廠I+B2T2

解得

?134?