2014年河南宏力學(xué)校速度偏向角和最小面積的問題

12014年河南宏力學(xué)校速度偏向角和最小面積的問題22002年理綜第27題〔20分〕電視機的顯像管中，電子束的偏轉(zhuǎn)是用磁偏轉(zhuǎn)技術(shù)實現(xiàn)的。電子束經(jīng)過電壓為U的加速電場后，進入一個圓形勻強磁場區(qū)，如下圖。磁場方向垂直于圓面。磁場區(qū)的中心為O，半徑為r。當不加磁場時，電子束將通過O點而打到屏幕的中心M點。為了讓電子束射到屏幕邊緣P，需要加磁場，使電子束偏轉(zhuǎn)一角度θ，此時磁場的磁感應(yīng)強度B應(yīng)為多少？UOMθ＋－P電子束3UOMθ＋－P電子束O1θ45【例5】、在真空中，半徑r=3×10-2m的圓形區(qū)域內(nèi)有勻強磁場，方向如下圖，磁感強度，一個帶正電的粒子，以初速度v0=106m/s從磁場邊界上直徑ab的一端a射入磁場，該粒子的比荷108C/kg，不計粒子重力，求：〔1〕粒子在磁場中作勻速圓周運動的半徑是多少？〔2〕假設(shè)要使粒子飛離磁場時有最大偏轉(zhuǎn)角，求入射時v0方向與ab的夾角及粒子的最大偏轉(zhuǎn)角?！?〕=5×10-2m。θθ=37o

而最大偏轉(zhuǎn)角R,v一定在磁場中偏轉(zhuǎn)越大，圓心角越大;運動時間越長的;其軌跡越長(弦長越長〕。6例：一帶電質(zhì)點，質(zhì)量為m、電量為q，以平行于Ox軸的速度v從y軸上的a點射入圖中第一象限所示的區(qū)域，為了使該質(zhì)點能從x軸上的b點以垂直于Ox軸的速度v射出，可在適當?shù)牡胤郊右粋€垂直于Oxy平面、磁感應(yīng)強度為B的勻強磁場，假設(shè)此磁場僅分布在一個圓形區(qū)域內(nèi)，試求這個圓形磁場區(qū)域的最小半徑〔重力忽略不計〕。R=mv/qBR2r磁場最小半徑：7例、一質(zhì)量為m、帶電量為+q的粒子以速度v0從O點沿y軸正方向射入磁感應(yīng)強度為B的圓形勻強磁場區(qū)域，磁場方向垂直紙面向外，粒子飛出磁場區(qū)域后，從b處穿過x軸，速度方向與x軸正方向成300角。如下圖，(粒子的重力不計)，試求：〔1〕圓形勻強磁場區(qū)域的最小面積；〔2〕求粒子從O點進入磁場區(qū)域到達b點所需的時間〔3〕b點的坐標。Ob300rrR(1)Smin=πR2=3m2v02/4q2B2(2)tob=tB+tabatob=T/3+Sab/v0r=mv0/qBR/r=sin600(3)Sob=3r=3mv0/qB300600300600600Sab/r=tan60081、如下圖，在xOy平面內(nèi)，一質(zhì)量為m、電荷量為＋q的粒子(重力不計)以速度v0從坐標原點O沿與＋x方向成θ角射入第一象限區(qū)，并從x軸上x1＝a的A點離開第一象限區(qū)，速度方向與＋x方向也成θ角．(1)假設(shè)只存在一垂直于xOy平面的圓形勻強磁場區(qū)，磁場的磁感應(yīng)強度B是可以調(diào)節(jié)的，且滿足0≤B≤Bm，θ＝30°，求圓形磁場區(qū)的最小半徑r0；課堂延伸9課堂延伸【解析】帶電粒子在圓形勻強磁場區(qū)中做圓周運動，且在磁場中的圓弧軌跡應(yīng)與入射速度及出射速度相切，如下圖10課堂延伸【解析】帶電粒子在圓形勻強磁場區(qū)中做圓周運動，且在磁場中的圓弧軌跡應(yīng)與入射速度及出射速度相切，如下圖PQ即圓弧PQ。

由于只要圓弧PQ處于磁場中，所以圓形磁場的最小區(qū)域由以直線PQ為直徑的圓，11課堂延伸【解析】帶電粒子在圓形勻強磁場區(qū)中做圓周運動，且在磁場中的圓弧軌跡應(yīng)與入射速度及出射速度相切，如下圖PQ即圓弧PQ。

由于只要圓弧PQ處于磁場中，所以圓形磁場的最小區(qū)域由以直線PQ為直徑的圓，PQ

如圖中實線圓所示．12【解析】如下圖，設(shè)圓周運動的最小半徑為r2，那么解得【解析】課堂延伸r2PQ由幾何關(guān)系得出：13根據(jù)軌跡確定磁場區(qū)域，把握住“直徑是圓中最大的弦〞。xyOv0例、在xoy平面內(nèi)有很多質(zhì)量為m，電量為e的電子，從坐標原點O不斷以相同速率沿不同方向射入第一象限，如下圖．現(xiàn)加一垂直于xOy平面向里、磁感強度為B的勻強磁場，要求這些入射電子穿過磁場都能平行于x軸且沿x軸正向運動，試問符合該條件的磁場的最小面積為多大？〔不考慮電子間的相互作用〕所有電子的軌跡圓半徑相等，且均過O點。這些軌跡圓的圓心都在以O(shè)為圓心，半徑為r的且位于第Ⅳ象限的四分之一圓周上，如下圖。

電子由O點射入第Ⅰ象限做勻速圓周運動解1:xyOv0O1O2O3O4O5On即所有出射點均在以坐標(0，r)為圓心的圓弧abO上，顯然，磁場分布的最小面積應(yīng)是實線1和圓弧abO所圍的面積，由幾何關(guān)系得由圖可知，a、b、c、d等點就是各電子離開磁場的出射點，均應(yīng)滿足方程x2+(r－y)2=r2。解2:設(shè)P(x，y)為磁場下邊界上的一點，經(jīng)過該點的電子初速度與x軸夾角為，那么由圖可知：x=rsin，

y=r－rcos，得:x2+(y－r)2=r2。所以磁場區(qū)域的下邊界也是半徑為r，圓心為(0，r)的圓弧應(yīng)是磁場區(qū)域的下邊界。磁場上邊界如圖線1所示。xyOv01θP(x,y)Orr兩邊界之間圖形的面積即為所求。圖中的陰影區(qū)域面積，即為磁場區(qū)域面積：例、〔2019·海南·T16〕如圖，ABCD是邊長為a的正方形。質(zhì)量為m電荷量為e的電子以大小為v0的初速度沿紙面垂直于BC邊射入正方形區(qū)域。在正方形內(nèi)適當區(qū)域中有勻強磁場，電子從BC邊上的任意點入射，都只能從A點射出磁場。不計重力，求：〔1〕此勻強磁場區(qū)域中磁感應(yīng)強度的大小和方向；〔2〕此勻強磁場區(qū)域的最小面積。ABCDxyOv0解：〔1〕設(shè)勻強磁場的磁感應(yīng)強度的大小為B。令圓弧AEC是自C點垂直于BC入射的電子在磁場中的運行軌道。依題意，圓心在A、C連線的中垂線上，故B點即為圓心，圓半徑為a，按照牛頓定律有ev0B=mv02/a，得B=mv0/ea。ABCDEFpqOθ〔2〕自BC邊上其他點入射的電子運動軌道只能在BAEC區(qū)域中。因而，圓弧AEC是所求的最小磁場區(qū)域的一個邊界?！?〕設(shè)某射中A點的電子速度方向與BA的延長線夾角為θ的情形。該電子的運動軌跡qpA如下圖。圖中圓弧Ap的圓心為O，pq垂直于BC邊，圓弧Ap的半徑仍為a，在D為原點、DC為x軸、DA為y軸的坐標系中，p點的坐標為(x，y)，那么x=asinθ，y=-acosθ。因此，所求的最小勻強磁場區(qū)域，是分別以B和D為圓心、a為半徑的兩個四分之一圓周AEC和AFC所圍成的區(qū)域，其面積為S=2(πa2/4-a2/2)=(π-2)a2/2由④⑤式可得：x2+y2=a2，這意味著在范圍0≤θ≤π/2內(nèi)，p點處在以D為圓心、a為半徑的四分之一圓周AFC上，它是電子做直線運動和圓周運動的分界線，構(gòu)成所求磁場區(qū)域的另一邊界。磁聚焦概括：平行會聚于一點一點發(fā)散成平行RRrr區(qū)域半徑R與運動半徑r相等遷移與逆向、對稱的物理思想！例、如圖，在xOy平面內(nèi)，有以O(shè)′(R，0)為圓心，R為半徑的圓形磁場區(qū)域，磁感應(yīng)強度大小為B，方向垂直xOy平面向外，在y=R上方有范圍足夠大的勻強電場，方向水平向右，電場強度大小為E。在坐標原點O處有一放射源，可以在xOy平面內(nèi)向y軸右側(cè)〔x>0〕