龍馭球《結(jié)構(gòu)力學(xué)Ⅰ》（第4版）筆記和課后習(xí)題（含考研真題）詳解（中冊(cè)）

目錄

內(nèi)容簡介

目錄

第5章靜定結(jié)構(gòu)位移計(jì)算的虛力法

5.1復(fù)習(xí)筆記

5.2課后習(xí)題詳解

5.3名?？佳姓骖}詳解

第6章力法

6.1復(fù)習(xí)筆記

6.2課后習(xí)題詳解

6.3名校考研真題詳解

第7章位移法

7.1復(fù)習(xí)筆記

7.2課后習(xí)題詳解

73名?？佳姓骖}詳解

第5章靜定結(jié)構(gòu)位移計(jì)算的虛力法

5.1復(fù)習(xí)筆記

本章重點(diǎn)介紹了虛力法的原理以及如何運(yùn)用虛力法對(duì)不同結(jié)構(gòu)在各種荷載作用下的指定位

移進(jìn)行求解。遵循“化整為零、積零為整”的思想，對(duì)結(jié)構(gòu)的局部位移公式進(jìn)行了分項(xiàng)討論

,在虛力法的指導(dǎo)下疊加組成了結(jié)構(gòu)的整體變形公式，隨后將虛力法升華到了對(duì)廣義單位

荷載的設(shè)定以及對(duì)廣義位移的求解；通過引入圖乘法，結(jié)構(gòu)的彎矩變形公式的求解變得更

加快捷且精確；最后介紹了溫度影響下結(jié)構(gòu)的位移求解并歸納了線性變形體系的四個(gè)互等

定理。

一、虛力法求剛體體系的位移（見表5-1-1）

表5-1-1虛力法求剛體體系的位移

要點(diǎn)主要內(nèi)容

化整為零、?4零為整：先將整體變形拆解為局部變形，再將局部

基本思路

變形公式彘力口得出整體變形公式

計(jì)算結(jié)構(gòu)位①驗(yàn)算結(jié)構(gòu)的剛度，進(jìn)而蛤算結(jié)構(gòu)的撓度；

移的目的②為分析超靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力做準(zhǔn)備

結(jié)構(gòu)位移計(jì)算①荷載作用；

產(chǎn)生位移的

②溫度變化和材料脹縮；

原因

③支座沉降或制造誤差

用有支座移動(dòng)的結(jié)構(gòu)來闡述單位荷載法。設(shè)支座4

已知條件

向上移動(dòng)ci,求B點(diǎn)豎向位移△

①沿?cái)M求位移A方向虛設(shè)一單位荷載；

②根據(jù)受力平衡求解支座反力：FRI=fa;

單位荷載法

③列虛功方程：AXl+c后尸0,解得

（見圖5-1-1）

計(jì)算步驟

=b

△A=-=

a

④判斷符號(hào)方向：求出位移為正值，說明虛設(shè)單位

荷載與實(shí)際位移方向一致

(a)

(b)

圖5-1-1

二、虛力法求靜定結(jié)構(gòu)的位移（見表5-1-2）

要點(diǎn)主要內(nèi)容

基于化整為零、積零為整的原則，結(jié)構(gòu)位移的計(jì)算從局部變形入手，通

過已經(jīng)介紹過的單位荷載法推導(dǎo)其拉伸、翦切、彎曲變形公式，再對(duì)這

基本思路

些局部變形公式進(jìn)行彝加，得到整體變形公式，最后將結(jié)構(gòu)位移廣義化，

可以求解兩點(diǎn)之間的廣義位移

微段軸向位移出.二￡出

微段分項(xiàng)位移微段剪切位移助二加出

局部變形微段轉(zhuǎn)角位移d0=dsR=xds

局部位移公式

dA—Md^+FNdz+FQdi/—(MX+FN￡+FQ]O)ds

推導(dǎo)依據(jù)外力虛功獷=內(nèi)力虛功密

無支座位移

整體變形A=￡((X1X+FN￡+FQN)ds

有支座位移CK

△=Zf(MK+FNE+FQ7O)ds—XFRATX

擬求位移△可以引申理解為廣義位移，但需要根據(jù)廣

定義義位移的性質(zhì)虛設(shè)廣義單位荷載。廣義位移、廣義單

廣義位移

位荷載和外力虛功三者之間滿足：彳=1?A

廣義位移分類見表5-1-3

注：￡為微段軸線伸長應(yīng)變；7為微段平均切應(yīng)變；K為微段軸線曲率，而、樂、

FQ分別為虛設(shè)單位荷載在截面引起的彎矩、軸力、剪力。

表5-1-2虛力法求靜定結(jié)構(gòu)的位移

表5-1-3廣義位移分類

三、兩個(gè)對(duì)偶解法——虛力法求位移、虛位移法求內(nèi)力（見表5-1-4）

主要內(nèi)容

要點(diǎn)

原理手段作用

虛力法借功求未知力虛設(shè)單位位移用于力系的平衡分析

用于位移、變形的幾

虛位移法借功求未知位移虛設(shè)單位荷載

何分析

表5-1-4兩個(gè)對(duì)偶解法——虛力法求位移、虛位移法求內(nèi)力

四、荷載作用時(shí)靜定結(jié)構(gòu)的彈性位移計(jì)算（見表5-1-5）

表5-1-5荷載作用時(shí)靜定結(jié)構(gòu)的彈性位移計(jì)算

要點(diǎn)主要內(nèi)容

監(jiān)

彎曲應(yīng)變K=―-代入

EI

荷載引A=Xf（疏+齊N￡+FQYO）ds

起位移

軸向應(yīng)變￡=T得

的計(jì)算EA

公式A=2j3由+2隹殳由+2/匪殳由

3EI乙JE4乙JG4

翦切應(yīng)變y°=k—

GA

△=2]—心

梁和剛架:位移主要由彎矩引起

乙JEI

A=y|區(qū)&"ds

桁架:位移主要由桿件軸力引起

各類結(jié)乙JEA

構(gòu)的位

yfWpy^Ap!

移公式桁架組合結(jié)構(gòu):位移主要由桿件A=ds+

彎矩和軸力引起乙JEI乙EA

A=，|?陛+國

拱:位移主要由彎矩和軸力引起

乙JEIEA

1rSy,

平均切應(yīng)變7。公式/=--dA

/o0/Lb

截面平

均應(yīng)變a

系數(shù)2

五、圖乘法（見表5-1-6）

表5-1-6圖乘法

要點(diǎn)主要內(nèi)容

一直桿段有兩個(gè)彎矩圖，其中有一個(gè)直線圖則

產(chǎn)MM,11,

―:~-dr=—MiMrdx

LEIEIiA

1例

=—Jxtan（XMKdr

1a

二屈tan工隊(duì)也

公式推導(dǎo)

1,

=—tanaAxQ

=—Ay

EI0o

式中，M為直線彎矩圖；/為越段內(nèi)此圖的面積；a為M圖

直線的傾角；X?是Mr圖形心到y(tǒng)軸的距離；州是與Mk圖形心

對(duì)應(yīng)的酩圖縱坐標(biāo)

①桿段為等截面直桿；

前提條件②結(jié)構(gòu)滿足小變形條件；

③至少有一個(gè)直線彎矩圖用以選取豎距州

正負(fù)號(hào)規(guī)定面積且與豎標(biāo)a在桿的同一側(cè)時(shí)A、vo取正,否則取負(fù)號(hào)

①若兩個(gè)彎矩圖中有一個(gè)圖形是由幾段直線組成的折線（包括標(biāo)

距為零的線段），則應(yīng)分段圖乘，然后進(jìn)行囊加；

具體問題②若其中一個(gè)彎矩圖比較復(fù)雜，則可以將其切割成多個(gè)規(guī)則圖形

（如一個(gè)梯形切分成兩個(gè)三角形），分開圖乘，然后進(jìn)行會(huì)加；

③使用圖乘法時(shí)，幾種常見圖形的面積和形心位置見圖5-1-2

圖5-1-2

六、溫度改變時(shí)靜定結(jié)構(gòu)位移計(jì)算（見表5-1-7）

要點(diǎn)主要內(nèi)容

4=2叫&^+工筌［血

計(jì)算公式

式中，a為材料睇戔即賬系數(shù)，“為桿件軸線溫度1加為桿

件上、下邊緣的溫差1%為桿件敲面高度

?的為以拉伸為正，S以溫度升高為正；

正負(fù)號(hào)規(guī)則

②當(dāng)專矩*和溫差&使桿件的同一邊產(chǎn)生拉伸時(shí)，&-M

取正值，否則取負(fù)值

表5-1-7溫度改變時(shí)靜定結(jié)構(gòu)位移計(jì)算

七、互等定理（見表5-1-8）

定理公式公式含義

對(duì)于任意線性變形體系，狀態(tài)I的外力在狀態(tài)n的位移上作的功

功的互等定理卯12=g1

隊(duì):與狀態(tài)口的外力在狀態(tài)I的位移上作的功取】相等

對(duì)于任意名戔性變形體系，荷載FT.引起的對(duì)應(yīng)于荷載尸m的位移影

位移互等定理021=012

響系數(shù)Ri等于趣Ec引起的對(duì)應(yīng)于荷載尸m的位移影響系數(shù)6n

（僅適用于超靜定結(jié)構(gòu)）對(duì)于任意線性變形體系，位移G引起的

反力互等定理對(duì)應(yīng)于位移C：的反力影響系數(shù)E等于位移6引起的對(duì)應(yīng)于位移

G的反力影響系數(shù)F

對(duì)于任意線性變形體系，位移J引起的對(duì)應(yīng)于荷載尸四的位移影

位移反力互等

on--n/響系數(shù)6匕在大小上等于荷載尸餐引起的對(duì)應(yīng)于位移C：的反力影

定理

響系數(shù)nf,但符號(hào)相反

表5-1-8互等定理

5.2課后習(xí)題詳解

5-1試用剛體體系虛力原理求圖5-2/所示結(jié)構(gòu)D點(diǎn)的水平位移:

(a)設(shè)支座A向左移動(dòng)1cm。

(b)設(shè)支座A下沉1cm。

(c)設(shè)支座B下沉1cm。

圖5-2-1

解：靜定結(jié)構(gòu)在外部荷載作用下不產(chǎn)生位移和變形、僅產(chǎn)生內(nèi)力，在外部位移作用下不產(chǎn)

生內(nèi)力和變形、僅產(chǎn)生位移。圖5-2-

1所示結(jié)構(gòu)為靜定結(jié)構(gòu)，支座移動(dòng)下不產(chǎn)生內(nèi)力，虛功方程中沒有內(nèi)力所做虛功。

(a)畫出求解的內(nèi)力圖，如圖5-2-2所示。

虛設(shè)力狀態(tài)圖1

圖5-2-2

虛設(shè)力的方向同位移方向相同，運(yùn)用剛體虛功方程得

=

ADHX1-1x1=0,ADH1cm(<—)

(b)畫出求解的內(nèi)力圖,如圖5?2?3所示。

虛設(shè)力狀態(tài)圖2

圖5-2-3

根據(jù)比例關(guān)系，算出D的水平位移，列出剛體虛功方程

ADHXI—lx(1/4)=0,AnH=l/4cm(<—)

(c)畫出求解的內(nèi)力圖，如圖5-2-4所示。

虛設(shè)力狀態(tài)圖3

圖5-2-4

列虛功方程ADHXI—[lx(—1/4)]=0,ADH=—l/4cm(―*)

5-2設(shè)圖5-2-

5所示支座A有給定位移A、&、A,o試求K點(diǎn)的豎向位移A、，、水平位移和轉(zhuǎn)角0。

解：給定位移，結(jié)構(gòu)狀態(tài)如圖5-2-6所示。

圖526

(I)求豎向位移Av

圖5-2-7

施加一個(gè)豎向力，虛設(shè)力狀態(tài)如圖5-2-7所示，對(duì)應(yīng)開始時(shí)的位移狀態(tài)，列虛功方程

Avx1—[Ayx(—1)]—Awx3a—0

Av=—Av+3aA,p(1)

(2)求水平位移AH

施加一個(gè)水平力，虛設(shè)力狀態(tài)如圖5-2-8所示，列虛功方程

AHX1—Axx1—△⑴xa=()

△ii=Ax+a△⑴(<—)

I

K

M-a

圖5-2-8

K

A

A7=-I

（3）求轉(zhuǎn)角0

圖5-2-9

虛設(shè)力狀態(tài)如圖5-2-9所示，列虛力方程

X

01—[A9X（—1）]=0

e=—4（逆時(shí)針）

5-3設(shè)圖5-2-

10所示三校拱支座B向右位移單位距離。試求C點(diǎn)的豎向位移A、水平位移&和兩個(gè)半拱

的相對(duì)轉(zhuǎn)角&。

c

解：圖5-2-11所示拱為靜定結(jié)構(gòu)，支座移動(dòng)下不產(chǎn)生內(nèi)力，虛功方程中沒有內(nèi)力所做虛功。

圖5211

(1)求豎向位移A

在C點(diǎn)施加一個(gè)豎向虛力，結(jié)構(gòu)虛設(shè)力狀態(tài)如圖5-2-

11所示，支座位移和力的方向相反，則列虛功方程

Aixl-lxl/(4f)=0=>&=1/(4f)(|)

(2)求水平位移4

施加水平方向的單位力，虛設(shè)力狀態(tài)如圖5-2-12所示，列虛功方程

A2xl-lx(1/2)=0=>A2=l/2(一)

1

c

AB

FR2=T

@5-2-12

（3）求相對(duì)轉(zhuǎn)角4

兩端施加單位力偶，虛設(shè)力狀態(tài)如圖5-2-13所示，列虛功方程

7

A^xl-lx(1/f)=O=A=l/f(/、)

圖5-2-13

5-4設(shè)圖52

14所示三錢拱中的拉桿AB在D點(diǎn)裝有花籃螺栓。如果擰緊螺栓，使截面Di與D?彼此靠近

的距離為3試求C點(diǎn)的豎向位移"

c

圖5214

解：兩截面相互靠近，可知AB上有相對(duì)的位移，可用虛功方程求解。

在C點(diǎn)施加一個(gè)豎向的虛設(shè)力，AB桿的軸力如圖5-2-15所示，列虛功方程

1

"N=(拉)

Ax1+^x1/(4f)=()=△=—彳.1/(4f)⑴

圖5-2-15

5-5設(shè)圖5-2-16所示柱AB由于材料收縮，產(chǎn)生應(yīng)變一試求B點(diǎn)的水平位移A。

圖5-2-16

解：虛設(shè)力狀態(tài)如圖5-2-17所示。

1B

圖5-2-17

則運(yùn)用虛功原理，歹IJ方程Axl—&x2ax2=0=>A=4a&(<—)

5-6設(shè)由于溫度升高，圖5-2-

18所示桿AC伸長膜c=1mm,桿CB伸長&B=1.2mm。試求C點(diǎn)的豎向位移A。

D

圖5-2-18

解：溫度變化對(duì)結(jié)構(gòu)有兩種影響方式，一種是通過改變桿件的軸向變形來產(chǎn)生軸力，一種

是通過改變桿件的內(nèi)外側(cè)溫差來產(chǎn)生彎矩。本題結(jié)構(gòu)為靜定三角桁架，溫度變化下不產(chǎn)生

變形，僅考慮由桿件軸向變形產(chǎn)生的位移影響。在C點(diǎn)施加豎向虛設(shè)力，虛設(shè)力狀態(tài)如圖

5-2-19所示。

圖5219

運(yùn)用虛功原理列方程：Axl-X,xl/2-X2xl/2=0,則C點(diǎn)的豎向位移公為公=[1乂(1/2)+1.

2x(1/2)]mm=1.1mm(J)

5-7試用積分法求圖5-2-

q

ACEI

⑶

I

8

/

2

20所示懸臂梁A端和跨中C點(diǎn)的豎向位移和轉(zhuǎn)角(忽略剪切變形的影響)。

圖5220

解：(a)①A端的豎向位移

在A端施加一個(gè)豎向虛設(shè)力，則梁上產(chǎn)生的彎矩為：M(_)=x；外力均布荷載產(chǎn)生的彎矩

為：Mp=qx?/2<)

所以位移為

q工

②A端的轉(zhuǎn)角

在A端施加一個(gè)虛設(shè)彎矩，則梁上產(chǎn)生的彎矩為：M(_)=l;外力均布荷載產(chǎn)生的彎矩為

：Mp=qx2/2。

7

竺X1;

-.......dr=(逆時(shí)針)

=10EI6EI

則位移為

③c點(diǎn)的豎向位移

在C點(diǎn)施加一個(gè)豎向虛設(shè)力，則在梁上產(chǎn)生的彎矩：M(_)=x(坐標(biāo)原點(diǎn)放到C點(diǎn))；均

布荷載產(chǎn)生的彎矩為：MP=ql78+qxV2+qlx/2o

4+Q+如

17”

_22一曲=(,)

。EI384EZ

則位移為

④c點(diǎn)的轉(zhuǎn)角

在C點(diǎn)施加一個(gè)虛設(shè)彎矩，則在梁上的產(chǎn)生的彎矩為：M(_)=l(坐標(biāo)原點(diǎn)放到C點(diǎn))；

均布荷載產(chǎn)生的彎矩為：MP=ql78+qx72+qlx/2o

=汕(逆時(shí)針)

%=

48￡7

則位移為

(b)因?yàn)橥饬泻奢d在C左邊不產(chǎn)生作用，因此為了方便起見，把坐標(biāo)原點(diǎn)放到C點(diǎn)。

①A點(diǎn)的豎向位移

/(5+工)"工5K/3

=..-------dx=----(J)

J。EI48￡Z

則位移為

M(_)=l/2+x,MP=FPx,

②A點(diǎn)的轉(zhuǎn)角

e-:^±=里(逆時(shí)針)

J。EI8EI

則位移為

M(_)=l,MP=FPx,

③C點(diǎn)的豎向位移

則位移為

Mp=FPx,M(_)=x,

④C點(diǎn)的轉(zhuǎn)角

2

FXXIFl

1Pdv=——(逆時(shí)針)

EI8￡7

Mp=FpX,M(_)=l,則位移為

5-8試用積分法求圖5-2-21所示梁的跨中撓度(忽略剪切變形的影響)。

q

卜

圖5-2-21

解：(a)在跨中施加一個(gè)豎向虛設(shè)力，梁彎矩為：M(_)=x/2(左半邊彎矩)；外力荷

0.竺I1

77X—X,

oEI384￡/

載作用下彎矩為：MP=qlx/2—qx2/2,結(jié)構(gòu)左右對(duì)稱，因此求位移

(b)在跨中施加一個(gè)豎向虛設(shè)力，梁彎矩為：M(_)=x/2(只考慮左半邊)；外力荷載

作用下彎矩為：MP=FPX/2,結(jié)構(gòu)左右對(duì)稱，因此位移為

1

XX—x

------dr=(J)

EI48EZ

5-9試求圖5-2-

22所示簡支梁中點(diǎn)C的豎向位移△,并將剪力和彎矩對(duì)位移的影響加以比較。設(shè)截面為矩

q

CA

、、、\「J7

L一￡、---十-----2——)

r2T2

形，h為截面高度,G=3E/8,k=1.2,形=1/10。

圖5-2-22

解：(1)求位移(積分法)

在C點(diǎn)施加一個(gè)豎向虛設(shè)力，則產(chǎn)生彎矩M(_)=x/2,軸力F(_)N=O,剪力F(_)Q=1/2(

只考慮左半邊)；外力荷載在結(jié)構(gòu)上，產(chǎn)生彎矩Mp=qlx/2—qx2/2,軸力FM>=0,剪力RP

=ql/2-qx,且結(jié)構(gòu)左右對(duì)稱。

2X

qx1

X—X

5q產(chǎn)

―dr=N)

~ET384￡/

①彎矩對(duì)位移的影響

②剪力對(duì)位移的影響

1

X一,)

△中Q=2k2

0GA8G4GA

故總位移為A中=5qP/(384EI)+0.15ql-/(GA)(J)。

(2)比較剪力和彎矩對(duì)位移的影響

4。_0.15/2/5q/4_11.52EZ

XT-GA/384EZ-GA12

求二者比值

將題中所給的G=3E/8,h/l=l/10代入上式，則比值為2.56%。

可以看出剪力對(duì)位移的影響僅僅是彎矩的2.56%,因此在某些情況下可以不用考慮剪力的

影響。

5-10試求圖5-2-23所示結(jié)點(diǎn)C的豎向位移Ac,設(shè)各桿的EA相等。

圖5-2-23

解：在C點(diǎn)施加一個(gè)豎向的虛設(shè)力，則結(jié)構(gòu)各桿內(nèi)力反應(yīng)如圖5-2-

11

△c=一[Fx-x2dx2+)x(--)xx2+(~F)x(-1)x2d]

EA?22P

6.8285日(])

EA

24所示；外力作用下，各桿的內(nèi)力反應(yīng)也如圖5-2-24所示。則C點(diǎn)豎向位移為

圖5-2-24

5-11試求圖5-2-25所示結(jié)構(gòu)結(jié)點(diǎn)C的水平位移&,設(shè)各桿的EA相等。

圖5-2-25

解：在C點(diǎn)施加一個(gè)水平虛設(shè)力。

結(jié)構(gòu)的虛設(shè)力狀態(tài)圖和荷載軸力圖，如圖5-2-26所示。

圖5-2-26

△C江卷心&

=—[y/2F?xy/2xy[2a+(-Fp)x(-l)xa]

EA

二W(2V5+i)(f)

EA

求位移得

5-12試求圖5?2-27所示結(jié)構(gòu)結(jié)點(diǎn)C的水平位移設(shè)各桿的EA相等。

圖5-2-27

解：首先在C點(diǎn)施加一個(gè)水平虛設(shè)力，注意到桁架C點(diǎn)以上都為零桿，因此只考慮C點(diǎn)以

下結(jié)構(gòu)受力。虛設(shè)力狀態(tài)圖、荷載的軸力圖如圖5-2-28所示。

圖5-2-28

JEA

=J-(4+4+10+272+272)^

EA

=23.657色(->)

EA

則結(jié)點(diǎn)c的水平位移為

5-13試求圖5-2-

29所示等截面圓弧曲桿A點(diǎn)的豎向位移Av和水平位移AH。設(shè)圓弧AB為1/4個(gè)圓周，半徑為

R,EI為常數(shù)。

FP

圖5-2-29

解：（1）A點(diǎn)的豎向位移Av

在A點(diǎn)施加一個(gè)豎向的虛設(shè)力，虛設(shè)力狀態(tài)和外荷載作用下的應(yīng)力狀態(tài)，如圖5-2-30所示。

虛設(shè)力狀態(tài)圖實(shí)際狀態(tài)圖

圖5-2-30

2（一為Ksin<9）（-Asin（9）

EI

求解得到M(__)K=-RsinO,MPK=-FPRsin9,則A點(diǎn)的豎向位移為

(2)A點(diǎn)的水平位移以

虛設(shè)力狀態(tài)如圖5-2-31所示:

虛設(shè)力狀態(tài)圖

圖5-2-31

二f3Wsin0[-(^-^cos0]x口皿二罵.)

J。EI2EI

圖中M(—)K=—(R-RCOS0),外力荷載同上，則A點(diǎn)的水平位移為

5-14試求圖5-2-32所示曲梁B點(diǎn)的水平位移以，已知曲梁軸線為拋物線，方程為

y=4fx(1—x)/I2

EI為常數(shù)，承受均布荷載q。計(jì)算時(shí)可只考慮彎曲變形。設(shè)拱比較平，可取ds=dx。

q

圖5-2-32

解：在B點(diǎn)施加水平虛設(shè)力，則任意點(diǎn)的彎矩為

M(_)=lxy=y

外力荷載作用下，梁任意點(diǎn)的彎矩為

Mp=qlx/2—qx:/2

q/qx

A—X---）xV

=---------=-------QX

0EI

生-當(dāng)[孝心切

=[-.........=-----------------dx

J。EI

=紀(jì)（一）

15EI

則B點(diǎn)的水平位移為

5-15試用圖乘法解習(xí)題5-7。

解：(a)外力荷載下的彎矩圖如圖5-2-33所示。

圖5233

①A點(diǎn)的豎向位移

A點(diǎn)施加豎向虛設(shè)力，則彎矩圖如圖5-2-34所示。

圖5-2-34

與MP圖乘：A,=l/3xlxqp/2=qP/6,對(duì)應(yīng)的形心y°=31/4,所以位移為

△AV=(1/EI)x(ql'/6)x(31/4)=qlV(8EI)(；)

②A點(diǎn)的轉(zhuǎn)角

A點(diǎn)施加虛設(shè)單位彎矩，則彎矩圖如圖5-2-35所示。

M圖

圖5-2-35

與Mp圖乘：Al相同，對(duì)應(yīng)的形心y0=l,所以位移為

0A=1/(EI)xqp/6xl=qp/(6EI)(逆時(shí)針)

③C點(diǎn)的豎向位移

/

-

2

M圖

虛設(shè)力的彎矩圖如圖5-2-36所示。

圖5-2-36

2

〃

2

圖

對(duì)應(yīng)外力荷載的彎矩圖為如圖5-2-37所示。

圖5237

圖乘時(shí)，把Mp圖看成一個(gè)梯形A3面積和Az面積的合成，其中

A2=2/3xl/2x[q(1/2)-]/8=qlV96

2

A3=(qP/8+ql/2)xl/2xl/2=5qlV32

C點(diǎn)豎直位移為

Acv=(1/2)/(6EI)x(2xqp/8xO+2xqF/2xl/2xqp/8xl/2+qP/2xO)-1/(EI)xqlV96xl/4

=17qW(384EI)(p

注：用到了兩個(gè)梯形圖乘的公式，如圖5-2-38所示。

圖5-2-38

上圖中兩個(gè)圖形的圖乘結(jié)果為△=1(2ac+2bd+ad+bc)/(6EI)

④C點(diǎn)的轉(zhuǎn)角

虛設(shè)力的彎矩圖如圖5-2-39所示。

圖5-2-39

圖乘結(jié)果為Oc=l/(EI)x5qP/32xl-l/(EI)xqp/96xl=7ql3/(48EI)(逆時(shí)針)

(b)彎矩圖如圖5-2-40所示。

圖5-2-40

分別與MP圖圖乘可得

AA=1/(EI)xl/2xl/2xFPl/2x(1/3X1/2+21/3)=5FP1V48EI⑴

0A=1/(EI)xl/2xl/2xFPl/2xl=FPP/(8EI)(逆時(shí)針)

Ac=l/(EI)xl/2xl/2xl/2x(2/3xFPl/2)=FP1V(24EI)(；)

Oc=l/(EI)X1/2X]/2XFP1/2X1=FPP/(8EI)(逆時(shí)針)

5-16試用圖乘法解習(xí)題5-8。

解：（a）作虛設(shè)力彎矩圖和外荷載彎矩圖，如圖5-2-41所示。

Mp圖

圖5241

MP圖分解為Ai+A?兩個(gè)圖形，其中

A1=qP/8xV2xl/2=qP/32

A2=2/3xl/2x[qx(1/2)=]/8=qlV96

圖乘求其跨中撓度為Av=l/(EI)(qP/32x2/3xl/4+qlV96xl/8)x2=5qP/(384EI)(；)

(b)作虛設(shè)力彎矩圖和外荷載彎矩圖，如圖5-2-42所示。

圖5-2-42

左右兩半分段圖乘，得出跨中撓度

Av=l/(EI)(FP1/4X1/2X1/2X2/3X]/4)X2=FP1V(48EI)(1)

5-17試用圖乘法求圖5-2-43所示梁的最大撓度fm

圖5243

/圖

圖

解：作出虛設(shè)力和外荷載的彎矩圖，如圖5-2-44所示。

圖5-2-44

對(duì)兩個(gè)圖進(jìn)行圖乘即可求出梁的最大撓度（以兩個(gè)B作用點(diǎn)劃分為三段分別圖乘:左右兩

：2

23FpP

(J)

648E7

段為兩個(gè)三角彎矩圖圖乘，中間段為單位彎矩圖的面積與MP圖的y。圖乘）

5-18試求圖5-2-

45所示梁在截面C和E的撓度。已知E=2.OxlO5MPa,L=6560cm",L=12430cm%

圖5245

解：（1）C點(diǎn)的撓度

60kN?m

M,圖

虛設(shè)力和外荷載的彎矩圖如圖5-2-46所示。

圖5246

則可以求得C點(diǎn)的撓度為4=1/(EL)[(1.5x2)72x2/3x60+(0.5x2/2)x2/3x60]+l/(EI

2)[(1.5+0.5)x4x1/2x60]=80/(EL)+240/(Eh)=1.58cm(j)

(2)E點(diǎn)的撓度

虛設(shè)力彎矩圖如圖5-2-47所示，外荷載MP圖與(1)中圖5-2-46的MP圖相同。

而圖

圖5-2-47

則E點(diǎn)的撓度為

△E=1/(Ell)f(1X2)/2x2/3x60]x2+1/(EL)[(1+2)x2xl/2x60]x2=80/(EL)+360/

(EL)=2.06cm(j)

5-19試求圖5-2-

48所示梁C點(diǎn)撓度，已知FP=9000N,q=15000N/m,梁為18號(hào)工字鋼，1=1660cm”,h=l

q

DC

0.9m

5

8cm,E=2.1xl0MPao

圖5-2-48

解：將單位分別換作標(biāo)準(zhǔn)單位：Fp=9kN、q=15kN/m、1=1.66x10-

E=2.1xlOMPa、h=().18m。分別作虛設(shè)力和外荷載下的彎矩圖，如圖5-2-49所示。

圖5-2-49

將MP分解為只有均布荷載作用下的彎矩圖和只有FP作用下的彎矩圖，然后分別與虛設(shè)力

彎矩圖做圖乘，得C點(diǎn)撓度為

△c=io(2x2/3x1.5x16.875x0.75x5/8-1/2x0.75x1.5x8.1)/(EI)=(11.264x1(?)/(166

0x2.1x109=0.323cm(1)

20kN/m40kN20kN/m40kN

c

h(--2-m---I-------4-m--------?----4-m-------)--2--m-H)

5-20試求圖5-2-50所示梁C點(diǎn)撓度。已知EI=2xI0%N-cm%

圖5-2-50

解：將EI換作標(biāo)準(zhǔn)單位：EI=2xl0^kNm^o作虛設(shè)力和外荷載的彎矩圖，如圖5-2-51所示。

圖5-2-51

兩個(gè)圖進(jìn)行圖乘，得到C點(diǎn)的撓度

A..=4(2x40x0-2x8()x1+80x0+40x1)/(6EI)+(-2/3x4x40x1/2)/(EI)+4(-2

x80xl+2x120x2-80x2+120x1)/(6EI)+(120x2x1/2x2/3x2)/(EI)+(-2/3x2xl

()x1)/(EI)=l.(X)cm(p

%

8

5-21試求圖5-2-52所示梁B端的撓度。

圖5-2-52

解：為了計(jì)算簡便，本題采用“修補(bǔ)法

先將AB整體看做一個(gè)剛度為EL的桿件，求出其端部位移

ABI=1/(EL)X1/2X1X1X2/3XFP1=FP1V(3EL)

再對(duì)端部的長度為a的一部分就行修補(bǔ)，把這一段看成一個(gè)剛度為(EL—EL)的桿件，求

端部位移

AB2=[1/(EL)-1/(EL)]xl/2xaxax2/3xFpa=[l/(EL)-1/(EL)]xFPaV3

將兩個(gè)位移相加，得到B點(diǎn)的撓度

AB=ABI+AB2=FP(P-aO/(3EL)+FPaV(3EL)(J)

5-22試求圖52

53所示剛架A點(diǎn)和D點(diǎn)的豎向位移。已知梁的慣性矩為21,柱的慣性矩為I。

圖5-2-53

解：注意梁和柱的剛度不同，因此圖乘的時(shí)候要分開計(jì)算。

(1)A點(diǎn)的豎向位移

作虛設(shè)力和外荷載的彎矩圖，如圖5-2-54所示。

M圖

圖5-2-54

兩個(gè)圖進(jìn)行圖乘，得到A點(diǎn)的豎向位移

△A=1/(2EI)(l/2x8qx4x2/3x4-2/3x2qx4x4/2)+1/EI(8qx3x4)=112q/(EI)(j)

(2)D點(diǎn)的豎向位移

作虛設(shè)力的彎矩圖如下圖5-2-55所示，MP圖與（1）相同。

圖5255

兩個(gè)圖進(jìn)行圖乘，得到D點(diǎn)的豎向位移

AD=1/(2EI)xl/2x2x2x(l/3x2q+2/3x8q)+1/(EI)x3x8qx2—1/(2EI)x2/3x2xq/8x2

2Xl/2x2=161q/(3EI)=53.67q/(EI)(J)

5-23試求圖5-2-56所示三較剛架E點(diǎn)的水平位移和截面B的轉(zhuǎn)角。設(shè)各桿EI為常數(shù)。

圖5-2-56

解：（1）E點(diǎn)的水平位移

作虛設(shè)力和外荷載的彎矩圖，如圖5-2-57所示。

圖5257

對(duì)兩個(gè)圖進(jìn)行圖乘，得到E點(diǎn)的水平位移

AE=(9qx6xl/2x2/3x3)/(EI)x4+(2/3x6x4.5qxl.5)/(EI)=243q/(EI)(一)

（2）B點(diǎn)的轉(zhuǎn)角

虛設(shè)力如圖5-2-58所示，外荷載的彎矩圖MP圖與（1）中相同。

圖5258

對(duì)兩個(gè)圖進(jìn)行圖乘，得到B點(diǎn)的轉(zhuǎn)角

OB=1/(EI)x[l/2x6x9qx2/3xl/2+2/3x6x9q/2xl/2xl/2+2xl/2x9qx2/3xl/2+l/2x6x9qx(1

73x1+2/3x1/2)]=49.5q/(EI)(/)

5-24試求圖5-2-59所示結(jié)構(gòu)B點(diǎn)的水平位移。

13