模塊五第一章解三角形

模塊五:

第一章解三角形

學(xué)習(xí)目標(biāo)

1、理解正弦定理，應(yīng)用正弦定理解決有關(guān)三角形的問題

2、理解余弦定理，應(yīng)用余弦定理解決有關(guān)三角形的問題

3、應(yīng)用余弦定理和正弦定理解決有關(guān)距離、高度、角度等幾何量的測(cè)量和計(jì)算問題

第一講解三角形

基礎(chǔ)知識(shí)

1、正弦定理：，一=」-=」一=2R(R為△ABC的外接圓半徑)

sinAsinBsinC

2、面積公式:S=—absinC=-bcsinA=—easinB

222

余弦定理:a2=b2+c、2-2bccosA

b2-c2+a2-leacosB

c1=cr+b~-2abeosC

正弦定理可解決：①知兩角及?邊

②知兩邊及一邊的對(duì)角(此類問題可有兩解，一解、無解)

余弦定理可解決：①知二邊求角

②知兩邊及夾角

課前熱身

(1)在A4BC中，若sinA<sin8,則正確的是(A)

A、A<BB、A=BC、A>BD,大小不確定

(2)在A48C中，已知A=45",3=6(r,貝g=也

(3)在A48C中，已知a=3,〃=4,c=6,則最大內(nèi)角的余弦值為：—

(4)在中，4。=2,48=3,8。=々,則448。的面積為：-^―

2

范例分析

例1(1)A48C中，已知a=4V§,b=4,5=30',求A。

(2)A48C中，若4=60f,8=16,三角形的面積5=2206，求邊長a。

4asinB4gsin30"4/八。f一?)

解：(1)vsinA=--------=--------------=——,：a>b，A=60或12(1

b42

(2),/S=—besinA=4V3c=220>/3.,.<?=55

2

/.a2=162+552-2xl6x55xcos60"^2401

/.a=49

點(diǎn)評(píng)：本題是直接應(yīng)用公式解題，意在讓學(xué)生熟記公式及直接應(yīng)用。

例2在A48C中，A=60"/=l,面積為把，求——竺心——的值

2sinA+sinB+sinC

iJ3

解：山5=—hcsinA=——得c=2,

22

/.a2=b1+c2—2/7ccosA=3a=V3

Q+5+Ca個(gè)

?.==2

sinA+sin3+sinCsinA

點(diǎn)評(píng)：本題是綜合應(yīng)用定理解題，注意定理的變式應(yīng)用。

例3在A48c中，若acosA+bcosB=csinC,則A4BC的形狀是什么？

解法?:由已知有:

2bc2ac2ab

222221222

?々斤+c-4z)4-/?(a+c-b)=c(a+6-c)

(a2-b2)2=c4i^a2=b2+c2^b2=a2+c2

??.A48C為直角三角形

解法二：由已知有：sinAcosB+sinBcosB=sinCcosC

—sin2A+-sin2B=-sin(A+8)?cos(A+B)

22

sin(A+B)cos(A-B)=-sin(A+B)cos(A+B)

?:0<A+8<〃...sin(A+8)w0

cos(A-B)+cos(A+B)=0即cosA?cos8=0

jrjr

cosA=0或cosB=0?.?4,5為三角形的內(nèi)角，，A=—或8=—

22

A48c為直角三角形。

點(diǎn)評(píng)：已知三角形中的邊角關(guān)系，判斷三角形的形狀有兩種思路：-是化邊為角，再利

用三角恒等變形，求出三個(gè)角之間的關(guān)系式；二是化角為邊，再進(jìn)行代數(shù)恒等變形求出三條

邊之間的關(guān)系式。

例4已知圓內(nèi)接四邊形ABCD的邊長分別為AB=2,BC=6,CD=DA=4,求四邊

形ABCD的面積。

解：如圖：連接AC

B+D=\80"/.sinB=sincosB

AB2*+BC2-2AB-BCcosB=AD2+DC

即40-24cosB=32-32cosD

56cosB=8cosB=—sinB=

77

S=SBe+SAADC-A5BCsinfi+-A￡>￡)CsinD=14sinB=873

1M22

點(diǎn)評(píng)：本題充分運(yùn)用平面幾何的知識(shí)，將求面積轉(zhuǎn)化為求sin8的大小。

達(dá)標(biāo)練習(xí)

△ABC中若a=正4A=26貝iJcosB=(B)

1、

2

V5V5V55

A、B、C、D、

3T6

22

2、在A48C中，已知a?=b+c-be,則A的大小為(B)

71712%乃TX2%

A、—B、—C>--D、—或——

63333

3、△ABC中，已知a=8,B=60°,C=75°,則匕(C)

32

A、4y/2B、4y/3C、476D、

T

4、△ABC中，若0<tanAtanB<1,則AABC是(B)

A,直角三角形B、鈍角三角形C、銳角三角形D、不確定

b

5、在銳角A48C中，B=24,則一的取值范圍為(B)

a

As(—2,2)B、(V2,V3)C、(72,2)D、(0,2)

6、在AABC中，若（。+。+。）3+b一。）=3。/?,且5①。=2511171858,則2\45。為（A）

A、等邊三角形B、等腰三角形但不是等邊三角形

C、等腰直角三角形D、等腰三角形但不是直角三角形

7、在A46C中，邊凡人的長是方程x2-5x+2=0的兩根，。=120"則邊，=后

8、已知A48C中，sinA:sin8:sinC=JG:后：2、四，則最大角的余弦值為1

2

9、已知AA8C中，c=10,A=45",C=30",求解三角形。

解：???8=180"—45"—30"=105"

10_h_a

&=5(V6+V2),a=10V2

sin30〃-sin105"-sin45〃

10、在AA8C中，角A、B、C的對(duì)邊分別為。、b、c,又tanA=',sin8VTo

2

(1)求tanC的值

(2)若AA8C最短邊的長為逝，求AABC的面積。

51

37101

nlnn-

解：(1)若B為鈍角：則cosB=---------/.tanB=——,x-tanA-=2

10311

-

23-

B)_tanA+tanB+

tan(A+1-

1?tanA-tanB

6-

：.tanC=--C為鈍角舍去

7

8為銳角，tan8=—，同理可求tanC=-1

3

(2)由(1)有tanC=-l0n<C<180pC=135",又tanA>tan8>0

??.b邊為最短邊，而8=正

5

也交

Z？sinC2'FiAM

c=---------=/i/=1,又tanA=—,sinA=-----

cosBV1025

10

?c_1,-_1V5.V5_l

..SA=-besinA4=—x----x1x----=—

AABRCr225510

第二講解三角形應(yīng)用舉例

基礎(chǔ)知識(shí)

1、坡角：坡向與水平向的夾角。

2、仰角和俯角：在視線和水平線所成的角中，視線在水平線上的角叫仰角，在水平線

下方的角叫俯角。

3、方向角：把指北或指南方向線與目標(biāo)方向線所成的小于90度的水平角。如"X偏X

多少度”。

4、方位角：某點(diǎn)開始的指北方向線順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線為止的水平角。

課前熱身

1、海中有A、B、C三個(gè)小島，且三個(gè)小島間的距離均相等，現(xiàn)測(cè)出B島在A島的北

偏東40°的方向，則C島在B島的南偏東型的方向。

2、當(dāng)太陽光線與水平面的傾斜角為60°時(shí)，一根長為2m的竹竿，要使它的影子最長,

則竹竿與地面所成角為：30°,這時(shí)影子的長為工米。

一

3、某人向正東方向走了4千米后向右轉(zhuǎn)了一定的角度，然后沿所方向直走了3千米,

此時(shí)離出發(fā)地怡好為亞千米。則此時(shí)右轉(zhuǎn)的角度為眥。

4、一樹桿被臺(tái)風(fēng)吹斷，折斷的部分與地面成30°,樹干底部與樹尖著地處相距20m,則

樹干原來的高度為：20島。

范例分析

例1如圖A、B兩點(diǎn)都在河的對(duì)岸，設(shè)計(jì)一種測(cè)量A、B兩點(diǎn)間距離的方法。

解：測(cè)量者可以在河岸邊選定C、D兩點(diǎn)，測(cè)得CD=a,并且在C、D分別測(cè)得

NBCA=a,ZACD=/3,ABDA=5,/CDB=r,在4ABC和ABDC中應(yīng)用正弦定理得:

tzsin(r+<y)_asin(r+b)

sin[180°—(夕+r+b)]-sin(2+r+b)

asinr_asinr

sin[18O°-(a+/7+r)Jsin(a+/?+r)

計(jì)算出AC和BC后，再在AABC中，應(yīng)用余弦定理計(jì)算出AB兩點(diǎn)之間的距離

AB=\lAC2+BC2-2ACxBCcosa

點(diǎn)評(píng)：構(gòu)造三角形解決問題

例2地面向上樹一旗桿OP,為了測(cè)量它的高度h,在地面上選??基線AB,AB=20m,在

A處測(cè)得P點(diǎn)仰角NOAP=30°,在B處測(cè)得P點(diǎn)的仰角NOBP=45°,又測(cè)得

44。8=60°,求旗桿的高度h。

解：在R/4AOP中，04=""=同

tan30°

np

在RfABOP中，0B=-------=h

tan45°

1SAA0B中，AB2=OA2+OB2-2OAOBsin60°

而202=（75/7）2+片—243hh-

2

/.h?13(加)

答：旗桿高度為約為13米。

點(diǎn)評(píng)：由正弦定理(余弦定理)構(gòu)造方程，是解此類問題的關(guān)鍵。

例3某漁船在航行中不幸遇險(xiǎn)，發(fā)出求救信號(hào)，我海軍艦艇在A處獲悉后，立即測(cè)出

該漁船在方位角為45°,距離A為10海里的C處，并測(cè)得漁船正沿方位角為105°的方向，

以9海里/小時(shí)的速度向某小島B靠攏，我海軍艦艇立即以21海里/小時(shí)的速度前去營救，

試問艦艇應(yīng)按照怎樣的航向前進(jìn)？并求出靠近漁船所用的時(shí)間。

解：設(shè)艦艇從A處靠近漁船所用的時(shí)間為x刀，則A8=21x海里，8c=9x海里，

AC=10海里，ZACB=Zl+Z2=45o+(18Oo-lO5o)=12O°,根據(jù)余弦定理，可得

AB2=AC2+BC2-2AC-BCcos\20°,

即（2lx）?=1。2+（"A_2X10-9X-COS1200,

25

即36x2—9x—10=0,解得工=一或一一（舍去），所以

312

AB=2lx=14,BC=9x=6,再由余弦定理可得

4爐+/1。2—142+102-62

cosZBAC==0.9286,

2-AB-AC2x14x10

所以ABAC=21°47',45°+21°47'=66°47'。

所以艦艇追及的方位角為66°47',時(shí)間為40分鐘。

答：艦艇應(yīng)以66°47'的方位角方向航行，靠近漁船則需要40分鐘。

點(diǎn)評(píng)：解好本題需明確“方位角”這一概念，方位角是指由正北方向順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到目標(biāo)

方向線的水平角，其范圍是(0°,180°)。在利用余弦定理建立方程求出x后，所求艦艇方位

角就轉(zhuǎn)化為一個(gè)已知三邊求角的問題，故仍然利用余弦定理。

達(dá)標(biāo)練習(xí)

1、有一長為1公里的斜坡，它的傾角為20°,現(xiàn)不改變坡頂，要使傾斜角變?yōu)?0°,

則坡底要伸長（A）

A、1公里B、sinl0°公里C、cosl0°公里D、cos20°公里

2、已知兩地相距為10攵M，8,C兩地的距離為20&加，經(jīng)測(cè)量NABC=120°,

則4c兩地的距離為（D）

A、10kmB、y/3kmC^14布kmD、logkm

3、如圖所示，要測(cè)量A,8之間的距離，選取相距

揚(yáng)加的C,0兩點(diǎn)，并測(cè)得NAC8=75°,N8CO=45°,,

ZADC=3Q°,ZADB=45°,則A8=&Km。

4、一船以每小時(shí)15攵加的速度向東航行，船在A處看到燈塔B在北偏東60°方向，行

駛4力后，船到達(dá)C處，看到這個(gè)燈塔在北偏東15°方向，這時(shí)船與燈塔的距離為30a

5、我船在敵島A南偏西50°相距12海里的B處，發(fā)現(xiàn)敵艦正由島的北偏西10°的方向

以10海里/小時(shí)的速度航行，我艦要用2小時(shí)追上敵艦，則需要速度的大小為14海里/小時(shí)。

6、如圖在地面C處觀察同??鉛垂面為迎面飛來的一

架飛機(jī)，當(dāng)飛機(jī)在A處測(cè)得其仰角為30°,過1min后，型弋________D_

飛機(jī)到達(dá)B處又測(cè)得飛機(jī)的仰角為75°o如果該飛機(jī)以\

48（加〃//，的速度沿水平方向飛行，試求飛機(jī)的高度。：

解：如圖，由已知有NC48=30°,NAC6=45°,----------c

AB=480x―8

273+2

答：飛機(jī)的高度為（26+2火機(jī)

7、海中小島A周圍38海里內(nèi)有暗礁，船正向南航行,

在B處測(cè)得小島A在船的南偏東30°,航行30海里到達(dá)C

處，在C處測(cè)得小島A在船的南偏東45°,如果此船不改

變航向繼續(xù)向南航行，有無觸礁的危險(xiǎn)。

解：在AA8C中，8c=30°,6=30°,ZAC8=135°,.?.A=15°

-30sin30°/y，「后

/.AC=-----------=15v6+15V2

sin15°

則A到BC所在直線的距離為ACsin45°=15(6+1)?41>38

不改變航向，無觸礁危險(xiǎn)。

7T

8、在AA5C中，內(nèi)角A,5,C對(duì)邊的邊長分別為已知C=2C=-

3

(1)若A48c的面積為百，求a,。；

(2)若sin8=2sinA,求AA8C的面積。

a2+b2-ab=4

解：(1)由已知有，i廠=i<a=2

—absinc=h=2

12

(2),.?sinB=2sinA=>/?=2。

2G

22

a-^-b-ah=4八亍.〈「

由v=br---S/>ABC=L-^S?inC=—2—6

b=2a,4V323

b=-----

3

第二章數(shù)列

學(xué)習(xí)目標(biāo)

1、識(shí)別數(shù)列的概念與簡單表示法；

2、識(shí)記等差數(shù)列公差，等差中項(xiàng)的概念，理解等差數(shù)列的通項(xiàng)公式；

3、理解等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，關(guān)注數(shù)列方法的應(yīng)用；

4、了解等比數(shù)列，公比，等比中項(xiàng)的概念，理解等比數(shù)列的通項(xiàng)公式；

5、理解等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，關(guān)注數(shù)列方法的應(yīng)用。

第三講數(shù)列的基本概念

基礎(chǔ)知識(shí)

1、數(shù)列的概念

（1）數(shù)列是按一定順序排列的一列數(shù)，記作坊,。2，/，…，％，…，簡記｛勺｝。

（2）數(shù)列｛4｝的第〃項(xiàng)與與項(xiàng)數(shù)〃的關(guān)系，若能用一個(gè)公式&“=/（〃）給出，則這個(gè)

公式叫做這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式。

2、數(shù)列的表示方法

數(shù)列的表示方法有：列舉法、圖示法、解析法（通項(xiàng)公式）和遞推法（遞推關(guān)系）

3、數(shù)列的通項(xiàng)a“與前〃項(xiàng)和S”的關(guān)系

（1）S“=%+出++…+?！?/p>

5（n=l）

（2）a-5

1（?>2）

課前熱身

1、數(shù)列1,3,6,10,…的一個(gè)通項(xiàng)公式為（C）

22

A、an=n—（H-1）B、an=n-1

n（n+l）n（n-l）

C、=———-D、a=———-

“22

2、數(shù)列1,1,2,3,5,8,x,21,34,55,…中，x的值為（D）

A、10B、11C、12D、13

3、數(shù)列｛《,｝的通項(xiàng)公式為an=3/-28〃，則數(shù)列各項(xiàng)中最小項(xiàng)是（B）

A、第4項(xiàng)B、第5項(xiàng)C、第6項(xiàng)D、第7項(xiàng)

4、數(shù)列｛《,｝的前n項(xiàng)和S,,=/-4n+1,則通項(xiàng)公式為。

—2n=l

a..=<

〃[2/1-5n>2

范例分析

例1根據(jù)下列數(shù)列的前幾項(xiàng)，分別寫出它們的?個(gè)通項(xiàng)公式：

(1)1,11,111,1111,???

⑵—，…

3153563

(3)1,3,3,5,5,7,7,99…

1211

解析：(1)將數(shù)列變形為,X(10-1),§X(1—1),§X(103—1)…故%=§X(10"-1)

(2)正負(fù)相間，用(―1)向確定，分子為2〃，分母為

Ix3,3x5,5x7,---(2o-l)x(2n+l),故《=—^―5--------

(2/?-l)(2n+l)

(3)將已知數(shù)列變?yōu)?+0,2+1,3+0,4+1,5+0,6+1,7+0,8+1,9+0,…可知

,1+(-1)"

a="+-----------

n2

點(diǎn)評(píng)：分析、比較、聯(lián)想、歸納、轉(zhuǎn)換，獲得項(xiàng)與項(xiàng)序號(hào)的一般規(guī)律，從而求得通項(xiàng)。

例2已知數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為S“，分別求其通項(xiàng)公式：

(1)StJ—2〃~—8M+C；

1

(2)5“=三3〃+2)92(%〉0)。

O

解：(1)當(dāng)〃=1時(shí)，q=。-6當(dāng)"22時(shí)，an=Sn=Sn_｛=4n-10

,[C-6n=\

故=v

〃[410n>2

1,

(2)當(dāng)〃=1時(shí)，q=S[=—(q+2)~=2當(dāng)〃N2時(shí)，

8

4=s“-S“-1=J&+2)2-l(%T+2)2&-2)2-(％+2)2=0

oo

???(4+*)@-4-i-4)=0又a.>°所以%一%_|=4

可知｛4｝為等差數(shù)列，公差為4。.?.4=4〃-2

S,n=1

點(diǎn)評(píng)：本例的關(guān)鍵是應(yīng)用勺=?求數(shù)列的通項(xiàng)，要特別驗(yàn)證力的值是否

U，-S?_n>2

滿足“〃N2”的通項(xiàng)公式。

O

例3已知數(shù)列｛氏｝中，%=（〃+2）?（歷）"，試問〃取何值忖，為取最大值？并求此

最大值。

9

“+]（〃+3）,（行嚴(yán)95+3）a

解：因?yàn)?------"一二八",，當(dāng)且僅當(dāng)〃=7時(shí)，&包=1,即4=%。

%（〃+2）.（%1。（〃+2）冊(cè)

當(dāng)〃<7時(shí)，>1,即4+]>%,即%>。6>“5>%>“3>出>41。

a.

當(dāng)“28時(shí)，^^<1,即%>。9>60>，"

_98

故當(dāng)〃=7或8時(shí)，a“最大，最大值為%=。8=而"。

點(diǎn)評(píng)：數(shù)列的最大項(xiàng)與最小項(xiàng)，可以用比較法研究數(shù)列的單調(diào)性。

達(dá)標(biāo)練習(xí)

1、數(shù)列3,—5,7,-9,11,…的一個(gè)通項(xiàng)公式為（）D

A、a?=(-ir.(2n+l)B、a

D、??=(-l)n+,-(2?+l)

C、an=(-1)"-(2n-l)

2、已知數(shù)列｛4｝,a“=2〃2_14〃=3,它的最小項(xiàng)是（D）

A、第5項(xiàng)B、第6項(xiàng)C、第7項(xiàng)D、第3項(xiàng)或第4項(xiàng)

2%0<<—

"2

3、若數(shù)列｛4｝滿足%M，，則40的值為（）B

1,

2??-l—<<1

2

\_536

A、B、C、一D、

7777

1n=1

4、已知數(shù)列｛a,｝的前〃項(xiàng)和為S“=3"—2,則a?=

2-3n-'n>2

5、已知數(shù)列｛〃〃｝,%=%〃一7,并且。9=20,貝ij4o=21

6、定義一種運(yùn)算十，對(duì)正整數(shù)〃滿足以下運(yùn)算：①|(zhì)十|=1；②5+1）十1=2+〃十1,

則〃十1用含”的代數(shù)式可表示為2〃-1。

7、設(shè)a“=—〃2+io〃+ii,則數(shù)列｛q,｝從首項(xiàng)到第幾項(xiàng)的和最大？(c)

A,10B、11C、10或11D、12

2

8、數(shù)列｛”"｝中，q=3,a,“I=a；(〃eN*),則數(shù)列的通項(xiàng)an=3",1,

9、已知數(shù)列｛叫中，弓=1,前〃項(xiàng)和為，，對(duì)任意的“22,3S“—4,%,2——產(chǎn)總

成等差數(shù)列。

(1)求々，仆，密的值；

(2)求通項(xiàng)公式凡。

解：(1)?.FN2時(shí)，3s“一4,4,2-江■成等差數(shù)列，.?.2a“=3S“-4+2一±M

22

=3S〃-4(〃>2)/.出==——=可

[3s=%+4

⑵...當(dāng)〃N2時(shí)，a“=3S”-4.?.3磯=%+]-4

[35?+1=4+1+4

.?.也=，4，…成等比數(shù)列...%=4,/"=—(—'嚴(yán)

2'2

1n=1

1、，1?>

—()〃之，9

I2

4

10、已知數(shù)列｛g｝的前〃項(xiàng)和$〃=§(%,-1),數(shù)列低｝的前〃項(xiàng)和

T2,13

T=—n4—n〃eN*

"22

(1)求數(shù)列｛a.｝、低｝的通項(xiàng)公式；

(2)若對(duì)于任意的〃wN*,有Ma,Nb”成立,求實(shí)數(shù)M的取值范圍。

444

解析：(1)V5?=-(??~1),S“+i=](a“+i-1)?,?S,,+i-S“=§(6+]-?！?

4

a4

?+i=??又a“=S|=§(%-1)=4.?.｛4｝為G、P，a"=4"

又當(dāng)〃=1時(shí)，仇=1=10,當(dāng)“22時(shí)，bn=Tn-Tn_i=7n+3,對(duì)〃=1也應(yīng)用

故a=7〃+3o

（2）由（1）知，對(duì)V〃EN*,有22成立等價(jià)于團(tuán)2------對(duì)?V”eN*成x,

4M

7(〃+1)+3

//人「、/7〃+3、金4，，+17〃+10

等價(jià)于機(jī)之（下一）max，而

7"+34(7〃+3)

4"

由于(7〃+10)-4(7"+3)=-21〃一2<0

7/,+10<1對(duì)V〃wN*均成立：」四工]是單調(diào)遞減數(shù)列

4(7〃+3)(4"J

/7〃+3、7x1+35....〃3以-升用“5、

???((^)max=1]—=5,故〃的取值氾圍為-,+°0h

第四講等差數(shù)列

基礎(chǔ)知識(shí)

1、定義：若。"一4_1="522,〃6乂*,4為常數(shù))，則數(shù)列｛4｝是等差數(shù)列。

2、通項(xiàng)公式：%=%+("-1)4

=dn+(%-d)

3、等差中項(xiàng)：若a,x,b成等差數(shù)列，則x是的等差中項(xiàng)，且x=

2

4、前〃項(xiàng)和公式：S“="(4+"")=〃q+，〃(〃-l)d

22

=g〃2+(q一曰)〃

5、性質(zhì):

(1)機(jī)+"=p+q｛tn,n,q,qGN*)則am+a.=ap+aq

(2)S2n_]=(2n-l)a?

(3)Sn,s2?-sn,s3?-s2n--仍然成等差數(shù)列。

(4)若｛6,｝為等差數(shù)列，貝心,｝仍為等差數(shù)列，且其公差為｛6,｝的公差的一半。

課前熱身

1、在2與6之間的插入三個(gè)數(shù)，使它們成等差數(shù)列，則中間這個(gè)數(shù)為(B)

A、3B、4C、5D、12

2、等差數(shù)列｛4“｝中，6+%+3+4+%=20，則4=4。

3、等差數(shù)列｛4｝中，%=3,4=33,則公差d=3

4、若一個(gè)等差數(shù)列的前3項(xiàng)的和為34,最后3項(xiàng)的和為146,所有項(xiàng)的和為390,則這個(gè)

數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為13?

范例分析

例1在等差數(shù)列｛《,｝中，已知的=10，%=31.求出0，%

解：＜%=10,%2=一2

4+4d=10q=—2

a】+lld=31d=3

a

/.an-ai+(〃-l)d=3〃-5,4()~\+19d=55

或由二&=3有

12-5

。2()=a5+15d=55

an=%+(〃-5)d=3n-5

點(diǎn)評(píng)：熟悉公式，正確計(jì)算是解決本題的關(guān)鍵。

例2在等差數(shù)列｛%｝中，*0=100,5|00=10,求與0

10x9」

100=10。］+------a

解：山題意：,2

100x99

10=100q+---------aJ

2

1099,11

------,d=-----

10050

S=110^+

110“。；%=_110

或由仍然成等差，設(shè)其公差為d則

n

--10

1011

100-1090100

=^-+(110-10)6/=10+(-11)=-1

11010

??.Suo=-UO

點(diǎn)評(píng)：直接應(yīng)用求和公式，或利用等差數(shù)列的性質(zhì)來求解，顯然利用性質(zhì)求解，簡捷明

快。

例3已知數(shù)列｛““｝是等差數(shù)列，其中%=25,%=16

(1)數(shù)列｛《,｝從哪一項(xiàng)開始小于0?

(2)求。］+。3+%+…+。］9的值。

(3)求kJ++…+〔。191的7?。

解析：(1)因?yàn)椤?=%+3d,/.d=-3,.二?！ǘ?8-3〃

由28-3〃<0有〃>9^

3

.,?數(shù)列｛6｝從第10項(xiàng)開始小于0

(2)由(1)易知％,%，%，…，％9是首項(xiàng)為25,公差為-6的等差數(shù)列，且共有10項(xiàng)。

]0x9

—?q+%+%…+%9=10x25H———x(—6)=-20

(3)因?yàn)閿?shù)列｛《,｝前9項(xiàng)為正，從第10項(xiàng)起為負(fù)。

++…Iq/

=(4+。2------,-<39)-(C!IO+6]------^須)

Sg-09-$9)=2、9=S]9=272

點(diǎn)評(píng)：注意公式正確應(yīng)用，及去絕對(duì)值時(shí)，當(dāng)?！?lt;0時(shí)要添負(fù)號(hào)。

例設(shè)等差數(shù)列｛凡｝的前項(xiàng)和為已知

4nSn,q=12,Sl2>0,5,3<0,

(1)求公差d的取值范圍；

(2)S1,S2，S3,…,，2中哪一個(gè)值最大?并說明理由。

12

S12=萬("|+43)=6(。6+。7)>。

解：(1)因?yàn)?lt;

13

S|3=](%+%3)=13%<。

6+。7〉0

四<0

2a.+11J>0

24

:.\a.+6d<0解得：——<(1<-3

17

%+12d=12

a,+a-,>0

(2)由有“6>°，％<0

%<0

24

又一早<d<—3.?.｛4｝是遞減數(shù)列

1

S1,S2,S3,"-,Sl24S6最大

點(diǎn)評(píng)：求有關(guān)等差數(shù)列的最值問題方法較多，常有利用數(shù)列的特性，及函數(shù)的有關(guān)思想

等。

達(dá)標(biāo)練習(xí)

1、等差數(shù)列8,5,2……的通項(xiàng)公式為4=ll-3no

2、等差數(shù)列8,5,2……的前〃項(xiàng)和S“=」(19—3〃)〃o

2

3、若等差數(shù)列｛%｝中S8=10°，S]6=392,則$24=曬。

4、等差數(shù)列?10,?6,?2的前〃項(xiàng)和為54,則〃=(c)

A、7B、8C、9D、10

5、在等差數(shù)列｛%｝中，已知出+。8=12,則、9=(B)

A、48B、54C、60D、36

5S

9

則-A

一

一-

6、在等差數(shù)列｛凡｝中,已知包一9-S

a35

A、1B、-1C、2D、

2

=1,-^—=—+-(neA^*),貝I」為。

7、在數(shù)列｛氏｝中，已知《(C)

a,』a?3

355352

A、B、一C、—D、

55352T

8、已知關(guān)于x的方程(/-2》+機(jī))(犬-2x+/j)=0的四個(gè)根組成一個(gè)首項(xiàng)為工的等差

4

數(shù)列，那么m―〃|=(C)

31

A、1B、一C、一D、2

42

9、首項(xiàng)為-2的等差數(shù)列從第II項(xiàng)起開始為正數(shù)則公差d的取值范圍為()D

121212

A、d〉一B、d<—C^—<d<—D、一<d4一

595959

10、已知數(shù)列｛%｝的前幾項(xiàng)和S“=12〃—〃2,求數(shù)列｛同｝的前〃項(xiàng)和7；。

解：當(dāng)〃=1時(shí).，q=S]=11,當(dāng)〃N2時(shí)

因?yàn)椤?1時(shí)適合上式

r.an=13-2n(neN*)

13

由=13—2〃N0有〃2—

2

即當(dāng)W〃46(〃GN*)時(shí)，

1an>0

當(dāng)〃時(shí)，

27an<0

(1)當(dāng)1W〃46(〃wN*)時(shí)

Tn=同+同+…同

=q+%+…+。〃=\2n-n2

(2)當(dāng)幾27(〃EN*)時(shí)

T?=同+同+…同

二(%+。2+…+〃6)一(%+。8+…+%)

=296-5“二〃2-12〃+72

[\2n-n1(1</I<6,?eN^)

T—<

n2-12n+72(n>7,HGN*)

第五講等比數(shù)列

基礎(chǔ)知識(shí)

1、定義：若/匚=q(〃22,〃eN*,q為常數(shù))，則數(shù)列｛(｝是等比數(shù)列。

2,通項(xiàng)公式：an=。

3、等比中項(xiàng)：若a,x力成等比數(shù)列，則x是。與A的等比中項(xiàng)且x=±J茄。

4、前n項(xiàng)和：當(dāng)qHl時(shí)，5,=2二9=幺二也

1-<7\-q

當(dāng)q=1時(shí)，sn=na]

5、性質(zhì)：

(1)在等比數(shù)列｛q｝中，a“H0,qH0

q,…同號(hào)；。2,44，。6，,一同號(hào)

(2)若〃2+〃=p+q(m,n,p,qeN*),則=a°q。

(3)當(dāng)s“wO時(shí)，S”,S2”一S”,S3“一S2",…仍然成等比。

(4)注意：a,b,c成等比數(shù)列=/=ac,但反之不成立。

課前熱身

1、在等比數(shù)列｛。“｝中q=1,%=4,則。,=±2。

2、在等比數(shù)列｛《,｝中％=1，4=4,則為=蚤

3、等比數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)之和為5?=3"+a,則a=二口

4、在等比數(shù)列｛氏｝中，已知％=1,%=243國=3,貝”“=獨(dú)。

5、在等比數(shù)列｛《,｝中S3=g，S6=g，則q=2"一2。

范例分析

例1在243和3中間插入3個(gè)數(shù)，使這5個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，求這三個(gè)數(shù)。

解：由題可設(shè)三個(gè)數(shù)依次為4c,顯然b>0

由題意：62=ac=243x3:.b=21

又。2=243也/=63,且q,c同號(hào)

.?.三個(gè)數(shù)為81,27,9或一81,27,-9

點(diǎn)評(píng)：等比中項(xiàng)若存在，必須兩項(xiàng)同號(hào)，且必有兩項(xiàng)，此題中多次運(yùn)用此性質(zhì)。

例2在等比數(shù)列｛《,｝中，已知4%=—512,4+4=124,且公比q為整數(shù)，求

解：由44a7=-512有%q=-512

a,-a--512

3s且g為整數(shù)

｛%+%=124

生=128

3（舍去）

??=一4

q——2

。］0—a、q=512

點(diǎn)評(píng)：充分利用等比數(shù)列性質(zhì)，靈活運(yùn)用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，能使解題的過程簡捷明

快。

例3已知等比數(shù)列｛6,｝的各項(xiàng)均為正數(shù)，S“=80,S2“=6560,且在前〃項(xiàng)中最大項(xiàng)

為54,求數(shù)列｛q｝的公比q和項(xiàng)數(shù)〃。

解：由S2?豐2S"知qH1

%（1T