數(shù)學《學案導學與隨堂筆記》人教A版浙江版2-2學案：第三章 數(shù)系的擴充與復數(shù)的引入疑難規(guī)律方法 第三章 含答案

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精1學好復數(shù)三體會復數(shù)系是高中階段對原有的實數(shù)系的一次大擴充，為了幫助同學們更好地把握復數(shù)的概念、復數(shù)的運算及其幾何意義，現(xiàn)從以下三方面加以總結．1．一個核心復數(shù)問題實數(shù)化是解決復數(shù)問題的基本原則,即最終都統(tǒng)一到a＋bi(a，b∈R)這一代數(shù)形式上來．2．三個熱點（1）注意擴充后的實數(shù)系與其他數(shù)系的聯(lián)系正整數(shù)集、自然數(shù)集、整數(shù)集、有理數(shù)集、實數(shù)集、復數(shù)集之間用集合關系可表示為N＊NZQRC，且還有R∪｛虛數(shù)}＝C，R∩｛虛數(shù)｝＝?，Q∪｛無理數(shù)}＝R，Q∩｛無理數(shù)｝＝?。(2）注意復數(shù)相等的條件復數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R）是由它的實部和虛部唯一確定的，兩個復數(shù)相等的充要條件是復數(shù)問題實數(shù)化的主要方法，注意前提條件是a，b,c，d∈R。若忽略這一條件,則不能成立．(3)注意復數(shù)的幾何應用復數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R）與平面上的點Z（a，b）形成一一對應關系，從而與向量eq\o(OZ,\s\up6（→))一一對應（其中O為原點);在解決有關復數(shù)問題時，可以利用復數(shù)加減的幾何意義和向量的幾何表示在復平面上結合圖形進行解決．3．四個策略(1)復數(shù)相等策略：主要用于解復數(shù)方程，一般都是求其中的實系數(shù)（參數(shù)）值,在應用時，首先要看參數(shù)是否為實數(shù)．（2）分母實數(shù)化策略:在進行復數(shù)除法或解答與復數(shù)商有關的問題時,一般采用此策略，通過分母實數(shù)化，把求商的值或商形式的復數(shù)的實部和虛部分離開來，復數(shù)分式的分母實數(shù)化類似于無理分式的分母有理化．(3）點、向量策略：復數(shù)與復平面內的點一一對應，復數(shù)的實部和虛部分別是點的橫、縱坐標，因此，我們可通過復數(shù)的實部和虛部的符號來判定復數(shù)對應的點所在的象限．我們又可以把復數(shù)視為向量,利用它們的幾何意義和向量知識解答問題,利用這個策略可化數(shù)為形,從而使待解問題直觀化．(4）整體策略:要學會從整體出發(fā)去分析問題．如果遇到復數(shù)就設z＝a＋bi（a，b∈R），有時會給問題的解答帶來運算上的困難，若能把握住復數(shù)的整體性質,充分運用整體思想求解，則能事半功倍。2化虛為實—-復數(shù)相等的妙用在漢語中，兩個或兩個以上才有“復”的內涵,這樣我們才有理由稱由實數(shù)確定的含虛數(shù)單位i的數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R）為復數(shù)．那么復數(shù)集C的理論體系與實數(shù)集R的理論體系之間存在著怎樣的聯(lián)系和差異呢？1．對于復數(shù)z＝a＋bi（a，b∈R)，如果b＝0，則z就是我們過去熟知的實數(shù)．因此,學習復數(shù)，后續(xù)理論的一個基本點是“b≠0"．2．解決復數(shù)問題的一條主線是化虛為實．其實質就是復數(shù)相等的充要條件，即實部與虛部分別相等．利用復數(shù)相等的充要條件可以解決求根、求模及求參數(shù)等問題，現(xiàn)精選幾個典例，供大家賞析．1．求參數(shù)例1已知x，y∈R，x2＋2x＋（2y＋x）i＝3x＋(y＋1）i，求復數(shù)z＝x＋yi。解由復數(shù)相等的充要條件,得eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（x2＋2x＝3x,,2y＋x＝y(tǒng)＋1.）)解得eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（x＝0，，y＝1，））或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（x＝1，,y＝0.）)所以z＝i或z＝1.點評復數(shù)相等的充要條件是復數(shù)實數(shù)化的橋梁，是解復數(shù)問題的重要手段．2．求模例2若復數(shù)z滿足z－1＝2i－|z｜，求|z|。解設z＝a＋bi(a，b∈R）,則由題意得,a＋bi－1＝2i－eq\r(a2＋b2），即(a－1）＋bi＝－eq\r（a2＋b2）＋2i，由復數(shù)相等的充要條件得，eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(a－1＝－\r（a2＋b2），,b＝2,））解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（a＝－\f（3，2)，,b＝2，))所以z＝－eq\f(3,2）＋2i，所以|z｜＝eq\f(5,2）.3．求方程的根例3已知關于x的方程x2＋（k＋2i）x＋2＋ki＝0有實數(shù)根，求實數(shù)根x0及k的值．分析設出方程的實數(shù)根，代入方程，利用復數(shù)相等的充要條件建立方程組求解．解x0是方程的實數(shù)根，代入方程并整理得(xeq\o\al（2,0）＋kx0＋2)＋(2x0＋k）i＝0.由復數(shù)相等的充要條件得eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(x\o\al(2,0)＋kx0＋2＝0，，2x0＋k＝0，））解得eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（x0＝\r(2），，k＝－2\r(2））)或eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(x0＝－\r（2），,k＝2\r(2).))所以x0的值為±eq\r（2)，相應的k的值為?2eq\r(2）.易錯警示求解本題易出現(xiàn)如下錯誤：因為方程有實數(shù)根，所以Δ＝（k＋2i）2－4（2＋ki)≥0，解得k≥2eq\r（3）或k≤－2eq\r（3）.需注意由于虛數(shù)單位的特殊性，不能用判別式判斷復系數(shù)一元二次方程有無實數(shù)根.3復數(shù)有了“形”才完美因為有了復平面,使得復數(shù)與復平面內點的坐標、平面向量三者之間有了一一對應關系，復數(shù)的有關問題借助平面向量或幾何意義能使問題的解決更加快捷和直觀．下面用實例來說明．1．復數(shù)與點的坐標例1若i為虛數(shù)單位,圖中復數(shù)平面內的點Z表示復數(shù)z,則表示復數(shù)z(1＋i）的點是______．解析因為點Z的坐標為（2，－1），所以z＝2－i.所以z（1＋i)＝（2－i）(1＋i）＝3＋i，即該復數(shù)對應的點的坐標為(3，1）．答案H點評本題主要考查復數(shù)的幾何意義，體現(xiàn)了數(shù)形結合的思想．復數(shù)的幾何表示：復數(shù)z＝a＋bi（a,b∈R）與復平面內的點Z（a,b)是一一對應的，如純虛數(shù)與虛軸上的點對應，實數(shù)與實軸上的點對應．這種以點的坐標形式給出復數(shù)的題目打破了原來的出題方式,給人耳目一新的感覺．2．復數(shù)與平面向量例2設復數(shù)z1,z2滿足|z1|＝|z2|＝4,｜z1＋z2｜＝4eq\r（3)，求|z1－z2｜.分析設復數(shù)z1和z2在復平面內表示向量eq\o(OA，\s\up6（→))與eq\o（OB，\s\up6（→）)，則復數(shù)z1＋z2表示向量eq\o（OA，\s\up6（→))與eq\o（OB,\s\up6（→））的和，畫出復數(shù)所對應的向量，用余弦定理可求解．解復數(shù)z1和z2在復平面內表示向量eq\o(OA，\s\up6(→））與eq\o(OB，\s\up6(→）)，畫出如圖所示的平行四邊形，依題意,有｜eq\o(OA,\s\up6(→））｜＝4，|eq\o(OB,\s\up6(→）)|＝4，｜eq\o(OC,\s\up6（→))|＝4eq\r(3）。cos∠OBC＝eq\f（42＋42－4\r（3)2，2×4×4)＝－eq\f（1，2）。因為∠AOB＋∠OBC＝180°，所以cos∠AOB＝eq\f（1,2）.所以AB2＝42＋42－2×4×4cos∠AOB＝16，得AB＝4，即|z1－z2|＝4。點評解決此類問題是要根據(jù)已知條件畫出圖形，通過圖形得到數(shù)量關系，由復數(shù)與向量的一一對應關系,把復數(shù)問題轉化為向量問題．3．復數(shù)方程的幾何意義例3已知復數(shù)z＝x＋yi（x，y∈R）,且|z－2|＝eq\r(3），求eq\f(y,x）的最大值與最小值．分析利用復數(shù)的幾何意義可知，|z－2|＝eq\r(3)的軌跡為一個圓，eq\f(y,x)就是圓上的點與原點連線的斜率．解復數(shù)z在復平面上對應的點Z(x,y)在以C(2，0）為圓心、eq\r（3)為半徑的圓上，而eq\f（y，x)的幾何意義是點Z（x，y）與原點連線的斜率，當連線與圓C相切時，連線的斜率分別取到最大值eq\r(3),最小值－eq\r(3).點評｜z－(a＋bi）|＝r的幾何意義為復平面上以點C(a，b)為圓心，r為半徑的圓,清楚常見的軌跡方程的復數(shù)形式,就不用再轉化為普通方程了.4復數(shù)四則巧運算對于復數(shù)的運算問題，若能總結其變化規(guī)律，掌握解答復數(shù)題的方法和技巧,定能快速、簡捷地解題．現(xiàn)舉例說明．1．靈活運用一些結論利用結論：i2＝－1，i4＝1，(1±i)2＝±2i,eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(－\f(1,2）＋\f(\r(3)，2)i））3＝1，可以使一些復數(shù)問題得到簡捷、快速的解決．例1計算：(eq\f（2＋2i，\r（3)－i））7－（eq\f（2－2i，1＋\r（3)i)）7.分析本題考查復數(shù)的運算法則，運用1＋i＝i（1－i），1＋eq\r（3）i＝i(eq\r(3)－i）對式子進行化簡．解原式＝eq\b\lc\［\rc\]（\a\vs4\al\co1（\f(2i1－i,\r(3）－i)）)7－eq\b\lc\［\rc\］（\a\vs4\al\co1(\f(21－i,i\r（3）－i））)7＝eq\b\lc\［\rc\](\a\vs4\al\co1（\f（2i1－i,\r(3)－i）)）7＋eq\b\lc\［\rc\](\a\vs4\al\co1(\f（2i1－i，\r（3)－i）))7＝2eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f（2＋2i，\r（3)－i）)）7＝2eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1（\f（1＋i\r(3)＋i，2）)）7＝2[(1＋i)2］3(1＋i）(－i）7eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1，2)＋\f（\r（3），2)i))7＝2(－8i)·（1＋i)·i·eq\f(－1＋\r（3）i,2）＝－8－8eq\r(3）＋(－8＋8eq\r(3））i.點評先化為同類項,再湊成eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（－\f(1,2）＋\f(\r(3）,2）i)）n形式．注意eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（－\f（1,2)＋\f（\r(3），2）i））3＝1的應用．2．挖掘隱含條件所謂隱含條件，就是隱藏在題目之中但又沒有明確說明的條件．挖掘出這些隱含條件,往往能使解題變得事半功倍．例2計算：eq\f（2＋6i,6－2i）.分析本題直接運用復數(shù)除法運算，比較繁瑣，注意到分子、分母中實部和虛部的關系,可將分子、分母同乘以i來處理．解eq\f（2＋6i，6－2i）＝eq\f（2＋6ii,6－2ii）＝eq\f（2＋6ii,6i＋2)＝i.3．差異分析通過分析條件和結論之間的差異，促使兩者向統(tǒng)一的方向發(fā)展,往往能使問題簡捷獲解．例3已知z7＝1（z∈C，且z≠1)，求1＋z＋z2＋z3＋z4＋z5＋z6的值．分析整體思考1＋z＋z2＋z3＋z4＋z5＋z6,乘以z即可解決問題．解因為z·(1＋z＋z2＋z3＋z4＋z5＋z6)＝z＋z2＋z3＋z4＋z5＋z6＋z7＝1＋z＋z2＋z3＋z4＋z5＋z6，所以z·(1＋z＋z2＋z3＋z4＋z5＋z6）－(1＋z＋z2＋z3＋z4＋z5＋z6)＝0.所以（z－1)（1＋z＋z2＋z3＋z4＋z5＋z6）＝0。又z≠1,所以1＋z＋z2＋z3＋z4＋z5＋z6＝0.5精析復數(shù)中的易錯點1．對概念理解不清致誤例1給出下列命題：(1)若(a2－1）＋(a2＋3a＋2）i（a∈R）是純虛數(shù),則實數(shù)a＝±1；（2)1＋i2是虛數(shù)；(3）在復平面中，實軸上的點均表示實數(shù)，虛軸上的點均表示純虛數(shù)．其中真命題的個數(shù)為(）A．0 B．1C．2 D．3錯解(1）若（a2－1)＋(a2＋3a＋2)i（a∈R）是純虛數(shù)，則a2－1＝0，解得a＝±1，故正確；(2)因為1＋i2中含有i,所以正確;(3)虛軸上所有點的橫坐標都為0，故正確．所以選D.錯因分析1對復數(shù)z＝a＋bia,b∈R為純虛數(shù)的條件eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(a＝0，，b≠0）)把握不準；2復數(shù)未化簡到最簡形式就判斷類型；3未注意原點在虛軸上。正解(1)若（a2－1）＋（a2＋3a＋2)i（a∈R)是純虛數(shù)，則a2－1＝0且a2＋3a＋2≠0，解得a＝1，所以錯誤；（2)1＋i2＝1－1＝0是實數(shù)，所以錯誤；（3)除原點外虛軸上的點均表示純虛數(shù),原點對應的復數(shù)為0，所以錯誤．故答案為A.點評將復數(shù)化為標準代數(shù)形式,并正確理解復數(shù)是實數(shù)、虛數(shù)和純虛數(shù)的條件，以及復數(shù)的幾何意義是避免此類錯誤的關鍵．2．忽視題中的隱含條件致誤例2m取何值時,復數(shù)z＝eq\f(m2＋4m－5,m－7）＋（m2－6m－7)i(m∈R）是實數(shù)?錯解要使z為實數(shù)，需m2－6m－7＝0，解得m＝－1或m＝7，即m＝－1或m＝7時，z是實數(shù)．eq\x（錯因分析未注意分式\f（m2＋4m－5，m－7)的分母中含有參數(shù)m。)正解要使z為實數(shù)，需eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（m2－6m－7＝0，，m－7≠0，)）解得m＝－1.即m＝－1時，z是實數(shù)．點評研究一個復數(shù)在什么情況下是實數(shù)、虛數(shù)時，要注意復數(shù)的實部、虛部有意義這一隱含條件．3．忽視復數(shù)相等的前提條件致誤例3已知x∈C，x2－4x＋3＋(x－1）i＝0，求x.錯解由復數(shù)相等的定義，得eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－4x＋3＝0，,x－1＝0，）)解得x＝1.錯因分析未注意x∈C,誤把x2－4x＋3＋(x－1)i看成a＋bi（a,b∈R）的標準形式，錯用復數(shù)相等的前提條件．正解原方程可化為(x－1）（x－3）＋(x－1）i＝0,即（x－1）（x－3＋i)＝0,故x－1＝0或x－3＋i＝0,解得x＝1或x＝3－i。點評復數(shù)相等的充要條件的用途非常廣泛,是復數(shù)問題實數(shù)化的主要途徑,但應用其解題時，需審清題意，注意復數(shù)相等的前提條件，并將復數(shù)化為標準代數(shù)形式．4．忽視復數(shù)不一定能比較大小致誤例4求使不等式m2－（m2－3m)i〈10＋（m2－4m＋3)i成立的實數(shù)m滿足的條件．錯解由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（m2〈10,，－m2－3m<m2－4m＋3,)）解得－eq\r(10)<m〈eq\f(1,2）或3〈m<eq\r（10）。錯因分析虛數(shù)不能比較大小,只有相等與不相等之說.但實數(shù)可以比較大小。故a＋bi〉c＋dia,b，c，d∈R?a〉c，且b>d。正解因為不等式兩邊必須都是實數(shù)，所以有eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（－m2－3m＝0，,m2－4m＋3＝0,，m2<10，))解得m＝3.點評虛數(shù)不能比較大小，兩個復數(shù)能比較大小的前提條件是它們均是實數(shù)．在解決這類問題時，要注意挖掘表達式中的隱含條件．5．誤用實數(shù)中的運算律例5式子（eq\f（1－i，1＋i))5的化簡結果是（)A．1B．iC．－iD．±i錯解1故選D。錯解2故選A。錯因分析實數(shù)中的冪的運算法則ars＝ars是在條件“a〉0,r,s∈R”限制下進行的，在復數(shù)集中ars＝ars是在條件“r，s∈N＊”限制下進行的，所以不能盲目推廣。正解eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f(1－i,1＋i)）)5＝eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f(1－i，1＋i））)4·eq\f（1－i,1＋i）＝（－i)4·(－i）＝－i.故選C.點評實數(shù)中的有些運算律和常用結論在復數(shù)范圍內要慎用．6．誤用實系數(shù)方程Δ>0例6已知關于t的一元二次方程t2＋（2＋i）t＋2xy＋(x－y）i＝0（x，y∈R)有實數(shù)根，求點(x，y)的軌跡．錯解∵方程有實根，∴Δ＝（2＋i）2－4×1×[2xy＋(x－y)i］≥0，∴4＋4i－1－4（2xy＋xi－yi)≥0，∴3－8xy＋(4－4x＋4y）i≥0?！鄀q\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(3－8xy≥0，，4－4x＋4y＝0。))∴x－y＝1且xy≤eq\f(3,8).∴點（x，y）的軌跡為直線的一部分．錯因分析只有在實系數(shù)一元二次方程中才能利用判別式Δ討論方程根的個數(shù)，本題正確的處理方法是首先設出方程根的形式，然后利用復數(shù)相等的充要條件轉化為實數(shù)問題求解。正解設實根為t0，則teq\o\al（2,0）＋（2＋i）t0＋2xy＋（x－y）i＝0，即(teq\o\al(2，0)＋2t0＋2xy）＋(t0＋x－y）i＝0，根據(jù)復數(shù)相等的充要條件得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(t\o\al(2，0)＋2t0＋2xy＝0，

①，t0＋x－y＝0，

②)）由②得t0＝y(tǒng)－x，代入①得(y－x）2＋2（y－x)＋2xy＝0，即（x－1）2＋(y＋1)2＝2，③∴所求點的軌跡方程為（x－1)2＋(y＋1)2＝2，軌跡是以(1，－1）為圓心，eq\r(2）為半徑的圓．點評對于復系數(shù)一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a,b，c為復數(shù))，討論其根的個數(shù)時，需先設x＝m＋ni（m,n∈R)，將上述方程利用復數(shù)相等的充要條件轉化為實系數(shù)方程后再處理。6復數(shù)中的數(shù)學思想數(shù)學思想是從數(shù)學內容中提煉出來的數(shù)學知識的精髓,又是將知識轉化為能力的橋梁，掌握以下兩種數(shù)學思想方法，有利于復數(shù)問題的解決．1．化歸與轉化思想復數(shù)集是由實數(shù)集擴充而來的,因此實數(shù)集內的一些性質在復數(shù)集內仍然成立．利用復數(shù)的代數(shù)形式將復數(shù)問題轉化為實數(shù)問題是一種最常見的解題方法．例1設a,b，c，d∈R,若eq\f（a＋bi,c＋di)為實數(shù)，則（）A．bc＋ad≠0 B．bc－ad≠0C．bc－ad＝0 D．bc＋ad＝0解析由已知，得eq\f(a＋bi，c＋di）＝eq\f(ac＋bd，c2＋d2)＋eq\f(bc－ad,c2＋d