截面的幾何性質(zhì)

（優(yōu)選）截面的幾何性質(zhì)ppt講解目前一頁\總數(shù)三十頁\編于六點(diǎn)附錄截面的幾何性質(zhì)§-1

截面的靜矩和形心位置

設(shè)任意形狀截面如圖所示。1.靜矩（或面積的一次矩）(常用單位：m3

或mm3

。值：可為正、負(fù)或0。）

2.形心坐標(biāo)公式（可由均質(zhì)等厚薄板的重心坐標(biāo)而得）O

x

d

A

yy

xC

目前二頁\總數(shù)三十頁\編于六點(diǎn)3.靜矩與形心坐標(biāo)的關(guān)系結(jié)論：截面對形心軸的靜矩恒為0，反之，亦然。4.組合截面的靜矩整個(gè)截面對某軸的靜矩應(yīng)等于它的各組成部分對同一軸的靜矩的代數(shù)和:目前三頁\總數(shù)三十頁\編于六點(diǎn)5.組合截面的形心坐標(biāo)公式將代入解得組合截面的形心坐標(biāo)公式為：（注：被“減去”部分圖形的面積應(yīng)代入負(fù)值）目前四頁\總數(shù)三十頁\編于六點(diǎn)例1

試計(jì)算圖示三角形截面對于與其底邊重合的x軸的靜矩。解：取平行于x軸的狹長條，所以對x軸的靜矩為O

x

y

b

(

y

)

y

d

y

h

b

目前五頁\總數(shù)三十頁\編于六點(diǎn)

例2求圖示半徑為r的半圓形對其直徑軸x的靜矩及其形心坐標(biāo)yC。

OCrxydAyCydy解：過圓心O作與x軸垂直的y軸，在距x任意高度y處取一個(gè)與x軸平行的窄條，

方法1：直接積分法簡單圖形目前六頁\總數(shù)三十頁\編于六點(diǎn)

解：將此圖形分成I、II、III三部分，以圖形的鉛垂對稱軸為y軸，過II、III的形心且與y軸垂直的軸線取為x軸，則例3

求圖示圖形的形心。150yCxOx1y120010yC300IIIIII10由于對稱知：xC=0矩形I矩形II、III目前七頁\總數(shù)三十頁\編于六點(diǎn)例4

試計(jì)算圖示截面形心C的位置。解：將截面分為I、II兩個(gè)矩形。建立坐標(biāo)系如圖示。各矩形的面積和形心坐標(biāo)如下：O

x

y

y1

120

10

x

x

80

10

y

C

(

y

,

x

)

Ⅰ

Ⅱ

Ⅱ

Ⅰ

Ⅱ

矩形I矩形II目前八頁\總數(shù)三十頁\編于六點(diǎn)代入組合截面的形心坐標(biāo)公式解得：

方法2：分組疊加法ⅠⅡO

x

y

y1

120

10

x

x

80

10

y

C

(

y

,

x

)

Ⅱ

Ⅰ

Ⅱ

矩形I

A1=70110=7700mm2x1=45mm,y1=65mm矩形II

A2=80120=9600mm2x1=40mm,y1=60mm

方法3：負(fù)面積法組合圖形目前九頁\總數(shù)三十頁\編于六點(diǎn)§I－2

極慣性矩·

慣性矩·

慣性積

設(shè)任意形狀截面如圖所示。1.極慣性矩（或截面二次極矩）2.慣性矩（或截面二次軸矩）（為正值，單位m4或mm4)所以（即截面對一點(diǎn)的極慣性矩，等于截面對以該點(diǎn)為原點(diǎn)的任意兩正交坐標(biāo)軸的慣性矩之和。）O

x

y

y

x

r

d

A

目前十頁\總數(shù)三十頁\編于六點(diǎn)3.慣性積（其值可為正、負(fù)或0，單位:m4或mm4)（3）慣性半徑（單位m

或mm）O

x

y

y

x

r

d

A

（1）若圖形有一個(gè)對稱軸，則圖形對包含此對稱軸的一對正交軸的慣性積為零；（2）慣性矩、慣性積和極慣性矩均為面積的二次矩

特點(diǎn)目前十一頁\總數(shù)三十頁\編于六點(diǎn)例5

試計(jì)算圖a所示矩形截面對于其對稱軸（即形心軸）x和y的慣性矩和慣性積。

解：取平行于x軸的狹長條，則dA=bdy同理y

h

C

x

d

y

y

b

(a)

因?yàn)閤、y軸皆為對稱軸，故Ixy=0目前十二頁\總數(shù)三十頁\編于六點(diǎn)例6

試計(jì)算圖示圓截面對于其形心軸（即直徑軸）的慣性矩。

xdy

yx解：由于圓截面有極對稱性，所以所以dyy目前十三頁\總數(shù)三十頁\編于六點(diǎn)§-3慣性矩和慣性積的平行移軸公式組合截面的慣性矩和慣性積1.慣性矩和慣性積的平行移軸公式1.公式推導(dǎo)OxyCdAxCyCabyxxCyCy=yc+ax=xc+b目前十四頁\總數(shù)三十頁\編于六點(diǎn)

②b和a是圖形的形心C在Oxy坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，所以它們是有正負(fù)的。3.注意：①xC、yC軸是形心軸，在所有的平行軸中，圖形對形心軸的慣性矩最?。?.平行移軸公式二、組合圖形的慣性矩：組合截面對于某軸的慣性矩（或慣性積）等于其各組成部分對于同一軸的慣性矩（或慣性積）之和目前十五頁\總數(shù)三十頁\編于六點(diǎn)例7

求圖示直徑為d的半圓對其自身形心軸xc的慣性矩解：（1）求形心坐標(biāo)xyb(y)yc

Cdxc

目前十六頁\總數(shù)三十頁\編于六點(diǎn)（2）求對形心軸xc的慣性矩由平行移軸公式得：xyb(y)yc

Cdxc

目前十七頁\總數(shù)三十頁\編于六點(diǎn)例8

試求圖a

所示截面對于對稱軸x的慣性矩。解：將截面看作一個(gè)矩形和兩個(gè)半圓組成。（1）矩形對x的慣性矩：（2）一個(gè)半圓對其自身形心軸xc的慣性矩（見上例）x

y

C

(a)

d

=80

40

100

a

=100

40

a

+

2d

3

p

目前十八頁\總數(shù)三十頁\編于六點(diǎn)（3）一個(gè)半圓對x的慣性矩：由平行移軸公式得：（4）整個(gè)截面對于對稱軸x的慣性矩：

目前十九頁\總數(shù)三十頁\編于六點(diǎn)問題？x

y

C

(a)

d

=80

40

100

a

=100

40

a

+

2d

3

p

x1每個(gè)組合圖形的形心慣性矩對新坐標(biāo)的慣性矩的代數(shù)和！注意：目前二十頁\總數(shù)三十頁\編于六點(diǎn)思考

2.已知矩形截面對x1軸的慣性矩Ix1=bh3/3，x2與x1軸平行，二者之間的距離為a，求矩形截面對軸x2的慣性矩。y

h

C

x2

b

x1

a解法一：直接用Ixc計(jì)算對x2軸的慣性矩xca2解法二：用平行移軸定理作業(yè)：I-1dI-3a目前二十一頁\總數(shù)三十頁\編于六點(diǎn)yy1y0C0Caz0x目前二十二頁\總數(shù)三十頁\編于六點(diǎn)§-4慣性矩和慣性積的轉(zhuǎn)軸公式截面的主慣性軸和主慣性矩1.慣性矩和慣性積的轉(zhuǎn)軸公式

任意面元dA

在舊坐標(biāo)系oxy和新坐標(biāo)系ox1y1的關(guān)系為：代入慣性矩的定義式：dAy1x1y1x1ayxaDEBACOxy目前二十三頁\總數(shù)三十頁\編于六點(diǎn)

利用二倍角函數(shù)代入上式，得轉(zhuǎn)軸公式：目前二十四頁\總數(shù)三十頁\編于六點(diǎn)注：上式中的

的符號為：從舊軸x至新軸x1逆時(shí)針為正，順時(shí)針為負(fù)。（上式表明，截面對于通過同一點(diǎn)的任意一對相互垂直的坐標(biāo)軸的兩慣性矩之和為一常數(shù)，并等于截面對該坐標(biāo)原點(diǎn)的極慣性矩）將前兩式相加得目前二十五頁\總數(shù)三十頁\編于六點(diǎn)

由慣性積的轉(zhuǎn)軸公式可知，當(dāng)坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)時(shí)，慣性積將隨著角作周期性變化，且有正有負(fù)。因此，必有一特定的角度0，使截面對于新坐標(biāo)軸x0、y0的慣性積等于零。2.截面的主慣性軸和主慣性矩(1)

主慣性軸:截面對其慣性積等于0的一對坐標(biāo)軸。(2)

主慣性矩:截面對于主慣性軸的慣性矩。(3)形心主慣性軸：當(dāng)一對主慣性軸的交點(diǎn)與截面的形心重合時(shí)。(4)形心主慣性矩:截面對于形心主慣性軸的慣性矩。目前二十六頁\總數(shù)三十頁\編于六點(diǎn)(5)確定主慣性軸的位置

設(shè)0是舊軸x逆時(shí)針轉(zhuǎn)向主慣性軸x0的角度，則由慣性積的轉(zhuǎn)軸公式及主慣性軸的定義，得可改寫為（注：將負(fù)號置于分子上有利于確定20角的象限）目前二十七頁\總數(shù)三十頁\編于六點(diǎn)(6)幾個(gè)結(jié)論若截面有一根對稱軸，則此軸即為形心主慣性軸之一，另一形心主慣性軸為通過形心并與對稱軸垂直的軸。若截面有二根對稱軸，則此二軸即為形心主慣性軸。

若截面有三根對稱軸，則通過形心的任一軸均為形心主慣性軸，且主慣性矩相等。

目前二十八頁\總數(shù)三十頁\編于六點(diǎn)12010101070例I-7計(jì)算圖示截面的形心主軸和形心主慣性矩IIIIIIICxyy0x0a0圖形的對稱中心C為形心，在C點(diǎn)建立坐標(biāo)系xCy如圖將整個(gè)圖形分成I、II、III三個(gè)矩形，如圖整個(gè)圖形對x、y軸的慣性矩和慣性積分別為形心主慣性矩大小目前二十九頁