2022高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)121離散型隨機(jī)變量的分布列夯實(shí)基礎(chǔ)大綱人教版

離散型隨機(jī)變量的散布列穩(wěn)固·夯實(shí)基礎(chǔ)一、自主梳理1隨機(jī)變量的觀點(diǎn)如果隨機(jī)試驗的結(jié)果能夠用一個變量表示,那么這樣的變量叫做隨機(jī)變量,它常用希臘字母ξ、η等表示1離散型隨機(jī)變量如果關(guān)于隨機(jī)變量可能取的值,能夠按一定序次一一列出,那么這樣的隨機(jī)變量叫做離散型隨機(jī)變量若ξ是隨機(jī)變量,η=aξb,其中a、b是常數(shù),則η也是隨機(jī)變量離散型隨機(jī)變量的散布列1概率散布散布列設(shè)離散型隨機(jī)變量ξ可能取的值為1,2,,i,,ξ取每一個值ii=1,2,的概率Pξ=i=i,則稱表ξ12iP12i為隨機(jī)變量ξ的概率散布,簡稱ξ的散布列2,那么在n次獨(dú)立重復(fù)試驗中這個事件恰巧發(fā)生次的概率是Pξ==Cnqn-其中=0,1,,n,q=1-,于是獲得隨機(jī)變量ξ的概率散布如下:ξ01nP00n11n-1Cnqn-nn0CnqCnqCnq我們稱這樣的隨機(jī)變量ξ聽從二項散布,記作ξ—Bn,,其中n、為參數(shù),并記Cnqn-=b;n,二、點(diǎn)擊雙基1投擲兩顆骰子，所得點(diǎn)數(shù)之和為ξ，那么ξ=4表示的隨機(jī)試驗結(jié)果是（）A一顆是3點(diǎn)，一顆是1點(diǎn)B兩顆都是2點(diǎn)C兩顆都是4點(diǎn)D一顆是3點(diǎn)，一顆是1點(diǎn)或兩顆都是2點(diǎn)解析:對A、B中表示的隨機(jī)試驗的結(jié)果，隨機(jī)變量均取值4，而D是ξ=4代表的所有試驗結(jié)果掌握隨機(jī)變量的取值與它刻畫的隨機(jī)試驗的結(jié)果的對應(yīng)關(guān)系是理解隨機(jī)變量觀點(diǎn)的關(guān)鍵答案:D2設(shè)ξ是一個離散型隨機(jī)變量,其散布列為:ξ-101P1-2qq2則q等于±222222解析：∵1-2qq2=1,∴q=1±22當(dāng)q=12時,1-2q<0,與散布列的性質(zhì)矛盾,2q=1-22答案：D==1k,=1,2,,則P2<ξ≤4等于231C1D1AB16516413解析:P2<ξ≤4=Pξ=3Pξ=4=1=232416答案:A4某批數(shù)量較大的商品的次品率為10%,從中隨意地連續(xù)取出5件,其中次品數(shù)ξ的散布列為__________________________解析:此題中商品數(shù)量較大,故從中隨意抽取5件不放回能夠看作是獨(dú)立重復(fù)試驗n=5,因而次品數(shù)ξ聽從二項散布,即ξ—B5,ξ的散布列如下:ξ012345P××××5某射手有5發(fā)子彈,射擊一次命中目標(biāo)的概率為,如果命中就停止射擊,否則一直到子彈用盡,則耗用子彈數(shù)ξ的散布列為___________________________解析：ξ能夠取1,2,3,4,5,Pξ=1=,Pξ=2=×=,Pξ=3=×=,Pξ=4=×=9,Pξ=5==1∴散布列為ξ12345P91誘思·實(shí)例點(diǎn)撥【例1】一袋中裝有5只球，編號為1，2，3，4，5，在袋中同時取3只，以ξ表示取出的三只球中的最小號碼，寫出隨機(jī)變量ξ的散布列解析:因為在編號為1,2,3,4,5的球中,同時取3只,所以小號碼可能是1或2或3,即ξ能夠取1,2,3解:隨機(jī)變量ξ的可能取值為1，2，3當(dāng)ξ=1時，即取出的三只球中最小號碼為1，則其他兩只球只能在編號為2，3，4，52的四只球中任取兩只，故有P（ξ=1）=C4=6=3;3C5105當(dāng)ξ=2時，即取出的三只球中最小號碼為2，則其他兩只球只能在編號為3，4，5的三2只球中任取兩只，故有P（ξ=2）=C3=3;C5310當(dāng)ξ=3時，即取出的三只球中最小號碼為3，則其他兩只球只能在編號為4，5的兩只2球中任取兩只，故有P（ξ=3）=C2=1C5310因此，ξ的散布列如下表所示：ξ123P33151010講評:求隨機(jī)變量的散布列,重要的基礎(chǔ)是概率的計算,如古典概率、互斥事件的概率、相互獨(dú)立事件同時發(fā)生的概率、n次獨(dú)立重復(fù)試驗有次發(fā)生的概率等此題中基本事件總數(shù),即3取每一個球的概率都屬古典概率等可能性事件的概率n=C5,【例2】北京高考,理甲、乙兩人各進(jìn)行3次射擊,甲每次擊中目標(biāo)的概率為1,乙每次擊中2目標(biāo)的概率為231記甲擊中目標(biāo)的次數(shù)為ξ,求ξ的概率散布及數(shù)學(xué)希望Eξ;2求乙至多擊中目標(biāo)2次的概率;3求甲恰巧比乙多擊中目標(biāo)2次的概率解析:1甲射擊有擊中目標(biāo)與擊不中目標(biāo)兩個結(jié)果,且3次射擊是3次獨(dú)立重復(fù)試驗∴ξ—B3,12“乙至多擊中目標(biāo)2次”的對立事件是“乙擊中目標(biāo)3次”3“甲恰巧比乙多擊中目2標(biāo)2次”即“甲擊中2次乙沒擊中目標(biāo)或甲擊中目標(biāo)3次乙擊中1次”0131;解:1Pξ=0=C32=8P1133;ξ=1=C32=8Pξ=2=C2313=3;28P3131ξ=3=C32=8ξ的概率散布如下表:ξ0123P133188881,∵ξ—B3,2Eξ=3×1=22乙至多擊中目標(biāo)2次的概率為1-C3323=193273設(shè)甲恰巧比乙多擊中目標(biāo)2次為事件A,甲恰巧擊中目標(biāo)2次且乙恰巧擊中目標(biāo)0次為事件B,甲恰巧擊中目標(biāo)3次且乙恰巧擊中目標(biāo)1次為事件B,則A=BB,B、B為互斥事件,121212∴PA=PB1PB2=3×11×2=18278924∴甲恰巧比乙多擊中目標(biāo)12次的概率為24講評:求離散型隨機(jī)變量的概率散布的步驟為:1找出隨機(jī)變量ξ的所有可能的值ii=1,2,;2求出各值的概率Pξ=i=i;3列成表格【例3】廣東高考箱中裝有大小相同的黃、白兩種顏色的乒乓球,黃、白乒乓球的數(shù)量比為∶t現(xiàn)從箱中每次隨意取出一個球,若取出的是黃球則結(jié)束,若取出的是白球,則將其放回箱中并持續(xù)從箱中隨意取出一個球,但取球的次數(shù)最多不超過n次以ξ表示取球結(jié)束時已取到白球的次數(shù)1求ξ的散布列;2求ξ的數(shù)學(xué)希望

,解:1ξ的可能取值為0,1,2,,nξ的散布列為ξ012n-1nPsst2st2stn1tnst(st)(st)3(st)n(st)n2ξ的數(shù)學(xué)希望為Eξ=0×s1×st2×st2n-1×stn1n×tn①st(st)2(st)3(st)n(st)ntst2st2(n2)stn1(n1