數(shù)學(xué)（江蘇專用理科提高版）大一輪復(fù)習(xí)自主學(xué)習(xí)第1課集合的概念與運(yùn)算

第1課集合的概念與運(yùn)算【自主學(xué)習(xí)】第1課集合的概念與運(yùn)算(本課時(shí)對應(yīng)同學(xué)用書第1!2頁)自主學(xué)習(xí)回歸教材1.(必修1P10第5題改編)集合A={m+2，2m2+m}，假設(shè)3∈A，那么實(shí)數(shù)m=.【答案】【解析】由于3∈A，所以m+2=3或2m2+m=3.當(dāng)m+2=3，即m=1時(shí)，2m2+m=3，此時(shí)集合A中有重復(fù)元素3，所以m=1不合題意，舍去；當(dāng)2m2+m=3時(shí)，解得m=或m=1(舍去)，此時(shí)當(dāng)m=時(shí)，m+2=≠3，滿意題意，所以m=.2.(必修1P17第6題改編)集合A=[1，4)，B=(∞，a)，AB，那么實(shí)數(shù)a的取值范圍為.【答案】[4，+∞)【解析】在數(shù)軸上畫出集合A，B，依據(jù)圖象可知a∈[4，+∞).3.(必修1P13習(xí)題5改編)假設(shè)集合A={x|x=2k1，k∈Z}，B={x|x=2k，k∈Z}，那么A∩B=，A∪B=.【答案】Z4.(必修1P14第8題改編)假設(shè)全集U={1，2，3，4，5}，集合A={1，2，3}，B={2，3，4}，那么?U(A∩B)=.【答案】{1，4，5}【解析】A∩B={2，3}，所以?U(A∩B)={1，4，5}.5.(必修1P17習(xí)題8改編)滿意{1，3}∪A={1，3，5}的集合A共有個(gè).【答案】4【解析】集合A必需含有元素5，元素1和3不確定，所以集合A的本質(zhì)是{1，3}的全部子集與元素5組成的集合，共4個(gè).1.集合的概念(1)肯定范圍內(nèi)某些確定的、不同的對象的全體構(gòu)成一個(gè)集合，集合中的每一個(gè)對象稱為該集合的元素.(2)集合中元素的三個(gè)特性：確定性、互異性、無序性.(3)集合的表示方法：列舉法、描述法、Venn圖法等.(4)集合按含有元素的個(gè)數(shù)可分為有限集、無限集、空集.(5)特殊地，自然數(shù)集記作N，正整數(shù)集記作N*或N+，整數(shù)集記作Z，有理數(shù)集記作Q，實(shí)數(shù)集記作R，復(fù)數(shù)集記作C.2.兩類關(guān)系(1)元素與集合的關(guān)系，用∈或表示.(2)集合與集合的關(guān)系，用、?或=表示.3.集合的運(yùn)算(1)全集：假如集合S含有我們所爭論的各個(gè)集合的全部元素，那么這個(gè)集合就可以看作一個(gè)全集，通常用U表示.一切所爭論的集合都是這個(gè)集合的子集.(2)交集：由全部屬于集合A且屬于集合B的元素構(gòu)成的集合，稱為A與B的交集，記作A∩B，即A∩B={x|x∈A且x∈B}.(3)并集：由全部屬于集合A或者屬于集合B的元素構(gòu)成的集合，稱為A與B的并集，記作A∪B，即A∪B={x|x∈A或x∈B}.(4)補(bǔ)集：設(shè)AS，由S中不屬于A的全部元素組成的集合稱為S的子集A的補(bǔ)集，記作?SA，即?SA={x|x∈S且xA}.4.常見結(jié)論(1)A，A∪B=B∪A，AA∪B，A∩BA.(2)A∩B=AAB，A∪B=ABA.(3)?U(A∩B)=(?UA)∪(?UB)，?U(A∪B)=(?UA)∩(?UB).【要點(diǎn)導(dǎo)學(xué)】要點(diǎn)導(dǎo)學(xué)各個(gè)擊破集合間的根本關(guān)系例1集合A={x|2≤x≤5}，B={x|m+1≤x≤2m1}.(1)假設(shè)BA，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；(2)當(dāng)x∈R時(shí)，不存在元素x使得x∈A與x∈B同時(shí)成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.【思維引導(dǎo)】(1)對于BA，肯定要分B=和B≠兩類狀況進(jìn)行爭論.(2)“不存在元素x使得x∈A與x∈B同時(shí)成立〞表示A∩B=.【解答】(1)①當(dāng)m+1>2m1，即m<2時(shí)，B=，滿意BA；②當(dāng)m+1≤2m1，即m≥2時(shí)，要使BA成立，那么得2≤m≤3.綜上，實(shí)數(shù)m的取值范圍為{m|m≤3}.(2)由于x∈R，且A={x|2≤x≤5}，B={x|m+1≤x≤2m1}，不存在元素x使得x∈A與x∈B同時(shí)成立，即A∩B=.①假設(shè)B=，即m+1>2m1，得m<2時(shí)滿意條件；②假設(shè)B≠，那么需滿意的條件有或解得m>4.綜上，m<2或m>4.故實(shí)數(shù)m的取值范圍為{m|m<2或m>4}.【精要點(diǎn)評(píng)】(1)空集是任何集合的子集，因此，當(dāng)BA時(shí)需考慮B=的情形；(2)當(dāng)A∩B=時(shí)也需考慮B=的情形，當(dāng)集合B不是空集時(shí)，要保證BA，可以利用數(shù)軸，這樣既直觀又簡潔；(3)雖然此題的難度不大，但都需要分兩種狀況進(jìn)行爭論，在(1)中解不等式組時(shí)需求交集，而最終結(jié)果又都要求兩種爭論結(jié)果的并集，因此此題綜合性還是很強(qiáng)的.變式1集合A=，B={x|mx1=0}，假設(shè)A∩B=B，那么全部實(shí)數(shù)m組成的集合是.【答案】{1，0，2}【解析】由A∩B=B，知BA.假設(shè)B=，那么m=0；假設(shè)B={1}，那么m1=0，解得m=1；假設(shè)B=，那么m1=0，解得m=2.綜上，實(shí)數(shù)m的取值集合是{1，0，2}.變式2集合A={x|x2ax+a219=0}，B={x|x25x+6=0}，C={x|x2+2x8=0}.(1)假設(shè)A∩B=A∪B，求實(shí)數(shù)a的值；(2)假設(shè)A∩B，A∩C=，求實(shí)數(shù)a的值.【解答】由得B={2，3}，C={2，4}.(1)由于A∩B=A∪B，所以A=B，所以2，3是一元二次方程x2ax+a219=0的兩個(gè)根，那么有解得a=5.(2)由A∩B得A∩B≠，又由于A∩C=，所以3∈A，2A，4A，由3∈A，得323a+a219=0，解得a=5或a=2.當(dāng)a=5時(shí)，A={x|x25x+6=0}={2，3}，與2A沖突，不符合題意；當(dāng)a=2時(shí)，A={x|x2+2x15=0}={3，5}，符合題意.所以實(shí)數(shù)a的值為2.集合間的運(yùn)算例2全集U={x|x≤20的質(zhì)數(shù)}，M∩?UN={3，5}，N∩?UM={7，19}，(?UM)∩(?UN)={2，17}，求集合M與N.【思維引導(dǎo)】對于離散型數(shù)集的交、并、補(bǔ)運(yùn)算，常利用Venn圖法，化抽象為詳細(xì)，其解題的關(guān)鍵是認(rèn)清M，N，將全集U分成的四個(gè)區(qū)域表示為集合的形式.【解答】由(?UM)∩(?UN)={2，17}，可知M，N中都沒有元素2，17.由N∩?UM={7，19}，可知N中有元素7，19，M中沒有元素7，19.由M∩?UN={3，5}，可知M中有元素3，5，N中沒有元素3，5.(例2)如圖，可知剩下的元素11，13不在M∩?UN，N∩?UM，(?UM)∩(?UN)三局部中，只能11∈(M∩N)，13∈(M∩N)，所以M={3，5，11，13}，N={7，11，13，19}.【精要點(diǎn)評(píng)】集合問題大都比擬抽象，對連續(xù)數(shù)集間的運(yùn)算，要借助數(shù)軸的直觀性，進(jìn)行合理轉(zhuǎn)化；對離散數(shù)集間的運(yùn)算，要借助Venn圖，這是數(shù)形結(jié)合思想的詳細(xì)表達(dá).運(yùn)算結(jié)果要留意端點(diǎn)能否取得.當(dāng)然此題還要留意的就是1既不是質(zhì)數(shù)也不是合數(shù).【高頻考點(diǎn)·題組強(qiáng)化】1.(2016·蘇州期中)假設(shè)集合A={x|1≤x≤2}，B={x|0≤x≤4}，那么A∩B=.【答案】{x|0≤x≤2}【解析】由題意知，A∩B={x|0≤x≤2}.2.(2014·淮安、宿遷摸底)全集U={1，2，3，4}，集合A={2，3}，B={3，4}，那么?U(A∪B)=.【答案】{1}【解析】由題意可得A∪B={2，3，4}，故?U(A∪B)={1}.3.(2015·黃山模擬)假設(shè)集合M=，P={y|y=}，那么M∩P=.【答案】(0，+∞)【解析】由于集合M=={y|y>0}，P={y|y=}={y|y≥0}，所以M∩P=(0，+∞).4.集合A={4，2a1，a2}，B={a5，1a，9}，分別求適合以下條件的a的值.(1)9∈(A∩B)；(2){9}=A∩B.【解答】(1)由于9∈(A∩B)，所以9∈B且9∈A，所以2a1=9或a2=9，所以a=5或a=±3.依據(jù)集合中元素的互異性檢驗(yàn)知a=5或a=3.(2)由于{9}=A∩B，所以9∈(A∩B)，所以a=5或a=3.當(dāng)a=5時(shí)，A={4，9，25}，B={0，4，9}，此時(shí)A∩B={4，9}，與A∩B={9}沖突，故舍去；當(dāng)a=3時(shí)，A={4，7，9}，B={8，4，9}，此時(shí)A∩B={9}，滿意題意.綜上，a的值為3.5.集合A={x|x22x3≤0}，B={x|x22mx+m24≤0，x∈R，m∈R}.(1)假設(shè)A∩B=[0，3]，求實(shí)數(shù)m的值；(2)假設(shè)A?RB，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.【解答】由得A={x|1≤x≤3}，B={x|m2≤x≤m+2}.(1)由于A∩B=[0，3]，所以所以m=2.(2)?RB={x|x<m2或x>m+2}，由于A?RB，所以m2>3或m+2<1，即m>5或m<3，故實(shí)數(shù)m的取值范圍是(∞，3)∪(5，+∞).集合中元素的性質(zhì)例3不等式(kxk24)(x4)>0，其中k∈R.(1)當(dāng)k變化時(shí)，試求不等式的解集A.(2)對于不等式的解集A，假設(shè)滿意A∩Z=B.摸索究集合B能否為有限集，假設(shè)能，求出訪得集合B中元素個(gè)數(shù)最少的k的全部取值，并用列舉法表示集合B；假設(shè)不能，請說明理由.【思維引導(dǎo)】(1)由二次項(xiàng)的系數(shù)k的符號(hào)對解集的影響→對應(yīng)方程的根的大小→確定爭論標(biāo)準(zhǔn)→求得解集.(2)由不等式的解集→當(dāng)k<0時(shí)，集合B中的元素的個(gè)數(shù)有限→由k+≤4，知當(dāng)k=2時(shí)，集合B的元素個(gè)數(shù)最少→用列舉法表示集合.【解答】(1)當(dāng)k=0時(shí)，A=(∞，4)；當(dāng)k>0且k≠2時(shí)，A=(∞，4)∪；當(dāng)k=2時(shí)，A=(∞，4)∪(4，+∞)；當(dāng)k<0時(shí)，A=.(2)由(1)知，當(dāng)k≥0時(shí)，集合B中的元素的個(gè)數(shù)無限；當(dāng)k<0時(shí)，集合B中的元素的個(gè)數(shù)有限，此時(shí)集合B為有限集.由于k+≤4，當(dāng)且僅當(dāng)k=2時(shí)取等號(hào)，所以當(dāng)k=2時(shí)，集合B中的元素個(gè)數(shù)最少，此時(shí)A=(4，4)，故集合B={3，2，1，0，1，2，3}.【精要點(diǎn)評(píng)】(1)描述法表示集合時(shí)要留意集合中的代表元素是什么，代表元素滿意的條件是什么.(2)分類爭論是一種重要的數(shù)學(xué)思想，它是思維是否嚴(yán)謹(jǐn)?shù)闹匾磉_(dá).在分類爭論的過程中，要從簡潔的爭論著手，并留意爭論的完整性，最終更不要遺忘總結(jié)結(jié)論.變式集合M中的元素為自然數(shù)，且滿意：假如x∈M，那么8x∈M.試答復(fù)以下問題：(1)寫出只含有一個(gè)元素的集合M；(2)寫出元素個(gè)數(shù)為2的全部集合M；(3)滿意題設(shè)條件的集合M共有多少個(gè)?【解答】(1)M中只含有一個(gè)元素，依據(jù)題意知必需滿意x=8x，所以x=4.故只含有一個(gè)元素的集合M={4}.(2)當(dāng)M中只含有兩個(gè)元素時(shí)，其元素只能是x和8x，從而只含有兩個(gè)元素的集合M為{0，8}，{1，7}，{2，6}，{3，5}.(3)滿意條件的M是由集合{4}，{0，8}，{1，7}，{2，6}，{3，5}中的元素組成，它包括以下五種狀況：①由1個(gè)集合組成的有{4}，{0，8}，{1，7}，{2，6}，{3，5}，共5個(gè).②由2個(gè)集合組成的有{4，0，8}，{4，1，7}，{4，2，6}，{4，3，5}，{0，8，1，7}，{0，8，2，6}，{0，8，3，5}，{1，7，2，6}，{1，7，3，5}，{2，6，3，5}，共10個(gè).③由3個(gè)集合組成的有{4，0，8，1，7}，{4，0，8，2，6}，{4，0，8，3，5}，{4，1，7，2，6}，{4，1，7，3，5}，{4，2，6，3，5}，{0，8，1，7，2，6}，{0，8，1，7，3，5}，{1，7，2，6，3，5}，{0，8，2，6，3，5}，共10個(gè).④由4個(gè)集合組成的有{4，0，8，1，7，2，6}，{4，0，8，1，7，3，5}，{4，0，8，2，6，3，5}，{4，1，7，2，6，3，5}，{0，8，1，7，2，6，3，5}，共5個(gè).⑤由5個(gè)集合組成的有{4，0，8，1，7，2，6，3，5}，共1個(gè).綜上可知，滿意題設(shè)條件的集合M共有31個(gè).1.(2015·鄭州質(zhì)量猜測)集合M={x|1<x<2}，N={x|x<a}，假設(shè)MN，那么實(shí)數(shù)a的取值范圍是.【答案】[2，+∞)【解析】由于MN，所以a≥2.2.(2015·南通期末)假設(shè)全集U={1，2，3，4，5，6}，集合M={1，2，4}，N={2，3，6}，那么?U(M∪N)=.【答案】{5}【解析】由并集定義可得M∪N={1，2，3，4，6}，由補(bǔ)集定義可得?U(M∪N)={5}.3.全集U=R，集合A={x|0<x<9，x∈R}和B={x|4<x<4，x∈Z}關(guān)系的Venn圖如下圖，那么圖中陰影局部所表示的集合包含的元素共有個(gè).(第3題)【答案】4【解析】?RA={x|x≥9或x≤0}，所以陰影局部表示的集合為B∩(?RA)={x|4<x≤0，x∈Z}={3，2，1，0}，所以共有4個(gè)元素.4.(2015·啟東中學(xué)模擬)設(shè)實(shí)數(shù)集M同時(shí)滿意條件：(1)M中不含元素1，0，1；(2)假設(shè)a∈M，那么∈M.有以下結(jié)論：①集合M中至多有2個(gè)元素；②集合M中至多有3個(gè)元素；③集合M中有且僅有4個(gè)元素；④集合M中有無窮多個(gè)元素，且個(gè)數(shù)為4的倍數(shù).那么其中正確的結(jié)論是.(填序號(hào))【答案】④【解析】由題意，假設(shè)a∈M，那么∈M，那么=∈M，=∈M，那么==a∈M，假設(shè)a=，那么a2=1，無解，同理可證明這四個(gè)元素中，任意兩個(gè)元素不相等，故集合M中每四個(gè)元素一組成隊(duì)消失，故正確的選項(xiàng)是④.5.(2015·文登一模)對于任意兩個(gè)正整數(shù)m，n，定義某種運(yùn)算“※〞如下：當(dāng)m，n都為正偶數(shù)或正奇數(shù)時(shí)，m※n=m+n；當(dāng)m，n中一個(gè)為正偶數(shù)，另一個(gè)為正奇數(shù)時(shí)，m※n=mn.在此定義下，集合M={(a，b)|a※b=16}中的元素個(gè)數(shù)是.【答案】17【解析】由于1+15=16，2+14=16，3+13=16，4+12=16，5+11=16，6+10=16，7+9=16，8+8=16，1×16=16，集合M中的元素是有序數(shù)對(a，b)，所以集合M中的元素共有8×2+1=17個(gè).趁熱打鐵，事半功倍.請老師布置同學(xué)們完成?配套檢測與評(píng)估?中的練習(xí)第1~2頁.【檢測與評(píng)估】第一章集合與常用規(guī)律用語第1課集合的概念與運(yùn)算一、填空題1．(2014·深圳一調(diào))全集U={2，0，1，5}，集合A={0，2}，那么?UA=.2．(2015·福州聯(lián)考)假設(shè)集合A={2a，3，a26}，且a∈A，那么實(shí)數(shù)a的值為.3．(2015·陜西卷)假設(shè)集合M={x|x2=x}，N={x|lgx≤0}，那么M∪N=.4．集合M={0，1，2，3，4}，N={1，3，5}，P=M∩N，那么P的子集共有個(gè).5．對于集合M，N，定義MN={x|x∈M且xN}，M?N=(MN)∪(NM).假設(shè)A={y|y=3x，x∈R}，B={y|y=(x1)2+2，x∈R}，那么A?B=.6．集合A={1，2，3，4}，集合B={x|x(4x)<0}，那么A∩(?RB)=.7．設(shè)A，B是兩個(gè)非空集合，定義運(yùn)算A×B={x|x∈A∪B，且xA∩B}.A={x|y=}，B={y|y=2x，x>0}，那么A×B=.8．(2015·鹽城月考)假設(shè)對任意的x∈A，且∈A，就稱集合A是“和諧〞集合，那么在集合M=的全部非空子集中，“和諧〞集合的個(gè)數(shù)是.二、解答題9．集合M={0，1}，A={(x，y)|x∈M，y∈M}，B={(x，y)|y=x+1}.(1)請用列舉法表示集合A；(2)求A∩B，并寫出集合A∩B的全部子集.10．集合A={x|x24x+3<0}，B={x|x26x+8<0}，C={x|2x29x+m<0}.假設(shè)對任意的x∈A∩B都有x∈C，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.11．U為全集，集合A={x|x2+px+q=0}，B={x|qx2+px+1=0}，同時(shí)滿意：①A∩B≠，②A∩(?UB)={2}，其中p，q均為不等于零的實(shí)數(shù)，求p，q的值.三、選做題12．(2015·三輪專題體系通關(guān)訓(xùn)練)假設(shè)自然數(shù)n使得作加法n+(n+1)+(n+2)的運(yùn)算均不產(chǎn)生進(jìn)位現(xiàn)象，那么稱n為“給力數(shù)〞.例如：32是“給力數(shù)〞，由于32+33+34不產(chǎn)生進(jìn)位現(xiàn)象；23不是“給力數(shù)〞，由于23+24+25產(chǎn)生進(jìn)位現(xiàn)象.設(shè)小于1000的全部“給力數(shù)〞的各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字組成集合A，那么集合A中的數(shù)字和為.【檢測與評(píng)估答案】配套檢測與評(píng)估詳解詳析第一章集合與常用規(guī)律用語第1課集合的概念與運(yùn)算1．{1，5}【解析】由U={2，0，1，5}，A={0，2}，得?UA={1，5}.2．0或2【解析】當(dāng)a=2a時(shí)，a=0，經(jīng)檢驗(yàn)符合條件；當(dāng)a=3時(shí)，a26=3，不符合元素的互異性；當(dāng)a=a26時(shí)，解得a=3或2，經(jīng)檢驗(yàn)，a=2時(shí)符合元素的互異性.綜上，a的值為0或2.3．[0，1]【解析】由題設(shè)知M={0，1}，N=(0，1]，所以M∪N=[0，1].4．4【解析】P=M∩N={1，3}，子集有22=4個(gè).5．(∞，0]∪(2，+∞)【解析】由題可知集合A={y|y>0}，B={y|y≤2}，所以AB={y|y>2}，BA={y|y≤0}，所以A⊕B=(∞，0]∪(2，+∞).6．{1，2，3，4}【解析】由于B={x|x(4x)<0}={x|x<0或x>