2020年高考數(shù)學一輪復習專題10.8橢圓雙曲線拋物線的弦長練習

11121112【套路秘籍】

第講橢雙線物的長千里之始于足下1.圓錐曲線的弦長公式設斜率為（≠）直線l與圓曲線C相交，兩，，（，AB2x12(x)2x11

11yy1(y)2yk222.求解弦長的四種方法（）弦的兩端點坐標易求時，可直接利用兩點間的距離公式求解．（）立直線與圓錐曲線方程，解方程組求出兩個交點坐標，代入兩點間的距離公式求解．（）立直線與圓錐曲線方程，消元得到關于x或y的元二次方程，利用根與系數(shù)的關系得到（x－）或（y－），代入點間的距離公式．（）弦過焦點時，可結合焦半徑公式求解弦長．【注意】利用弦長公式求弦長要注意斜率k不存的情形，若k不在，可直接求交點坐標再求弦長．涉及焦點弦長時要注意圓錐曲線定義的應用．【修煉套路】為君聊賦《日詩，力請從今日考一

直與圓弦【例1】（）圖，已知斜率為1的線l過圓：

y2x24

的下焦點，交橢圓C于，兩，求弦的．x（）知點P是直線被圓＋＝截得的線段的中點．369(1)求直線l的方．(2)求直線l被橢截得的弦長．

1212【答案】見解析【解析】（）A，的標分別為A(，(，)由橢圓方程知a

2

，b

2

，以

a22所以橢圓的下焦點F的坐標為(0，－2)，故直線的方程為y＝－將其代入

y2

，化簡整理得3x

2

，以

12

4，x3所以AB＝)222

x)2)22212

2(2)解法一根系數(shù)關系法由題意可設直線l的方為y2＝(－，而橢圓的方程可以化為x＋y－＝0．將直線方程代入橢圓方程(＋x－k(4－＋4(4－－36．8所以x＋＝

4－1＝，得k＝－．4＋21所以直線l的方程為y－＝(x－即＋2－＝．2解法二：點差法＝，設直線l與橢的交點為Ax，)，B(x，)，所以＝0.兩式相減，有(x＋)(－)4(y＋y)·(y)＝．y11又x＋8，＋＝，所以＝，即＝－．所以直線l的方為x＋y－8＝．－22

中中中中【套路總結】一解直線與橢圓的交點問題常常利用設而不求和整體代入的方法，解題步驟為：設點：設直線與橢圓的交點(，，(，)；聯(lián)立：聯(lián)立直線與橢圓的方程，消元得到于或y的元二次方程；韋達：利用根與系數(shù)的關系設而不求；④代入：利用題干中的條件轉(zhuǎn)化為x＋或y＋，而求解二利“點差法”求弦長（一）前提：已知弦長中點求弦長所在直線方程斜-----點法（二）解題思路設點：設直線與橢圓的交點(，，(，)代入：將兩個交點分別代入橢圓方程得到道方程，兩道方程相減化簡：相減后整理成兩點求斜率的形式，焦點在時，

y2yyk1xxa2x21中焦點在y軸【舉一反三】1.橢圓

yy2y12xb22中和點，線經(jīng)過點且與橢圓于兩點（）直的斜率為時求線段的長度；（）點恰好為線的中點時，的方程．【答案】(1);(2).【解析】

直線的程為，為，代入橢圓方程，得，．即有；

由的標，可得，可得P在橢內(nèi)，設，，則，①

，②由中點坐標公式可得，，③由①可得，，④將代入④，可得，則所求直線的方程為，即為．2．已知橢圓

內(nèi)有一條以點

為中點的弦，則直線的方程為.【答案】【解析】設，，，，則，由，在橢圓上可得，,兩式相減可得，

（）直線的方程為

即考二直與曲的長x2【例2】已知雙曲線C：y.（）知直線

x與雙曲線C交不同的兩點A,B，3，求實數(shù)m的值；（）點

l

與雙曲線

交于不同的兩點

，若弦

MN

恰被點

平分，求直線

l

的方程【答案】(1)m=±(2)﹣﹣2=0【解析）別設A，的標為（，，y）由

22

，消y可，

﹣4mx+2（

﹣），

∴+x=4m，xx=2（m﹣∴|x﹣=（x+x）﹣?x=16m﹣（﹣）=8m+1

x4x44＝.x4x44＝.∴|AB|=43，解得±，（Ⅱ）分別設M，的坐為（x，yy得y

﹣

x2=1，﹣x

=1，兩式相減，可得y﹣y+y）由點P（，）MN的中點，可得x+x，+y=4，

（﹣+x∴（﹣）×（﹣xk=4

經(jīng)檢驗

即直線l的程y﹣2=4（﹣為4xy﹣2=0【舉一反三】x1.已知雙曲線－1，求過點，－1)且被點A平的弦所在直線的方.4【答案】3x＋－＝0.【解析】解法一：由題意知直線的斜率存在，故可設直線方程為y＋＝(－3)，即＝kx3k－，－－，由－1，

消去y，整理(－k)＋(3＋1)－36

－k－＝8設(，(，)，∴＋x＝

3＋4－

.x8k3＋3∵(3－1)為的中點，∴＝，＝，得＝－.224－43當＝－，滿足Δ>0，符合題意，∴所求直線MN的方程為y＝－x＋，即3＋－＝4解法二：設(，)，(x，)，∵，均雙曲線上，∴

－y＝，

x－兩式相減，得＝－，∴

y＋x4＋y－＋x∵點平弦MN，∴x＝6，＋＝2.∴＝＝＝－MN－y＋43經(jīng)驗證，該直線存在．∴所求直線的方程為y＋1＝(－3)，即x＋－5＝42.過雙曲線【答案】

的左焦點傾斜角為的線中分別為直線與雙曲線的交點的為_______．

【解析】因為雙曲線方程為，以左焦點

（，因為直線的傾斜角為，以直線斜率為，線方程為

，代入

可得所以3．已知雙曲線，以

，故答案為3.為中點的雙曲線的弦所在的直線方程______.【答案】【解析】設以A（，）中點的弦兩端點為P（y，x+x＝，yy．又22，①22，①﹣②得：（+﹣）（+又由對稱性知x≠，A（，）為中點的弦所在直線的斜率

（）

，所以中點弦所在直線方程為﹣＝（x﹣．答案為：．考三物與線弦【例3率為

的直線經(jīng)過拋物線

x

2

的焦點與物線相交于點

AB

_______；（）拋物線

y

的焦點F的直交拋物線于點

2512

，

AFBF

AF

____．【答案】（）；（2）【解析】（）A（x,y）,y),則對于拋物線x

=8y,焦弦長

y)因為拋物線的焦點坐標為0,2，

AB

11，所以直線AB的程為y即22將

xy

代入拋物線方程，得

從而y所=4+610（）

(,)，(,)，x1122

，顯然直線AB斜率存在，設為

()(k

213213將直線方程與拋物線方程聯(lián)立，消去y得

222

14

2

①，則x2

kk因為ABx)2

k

k2

，所以

2

24，方程①即12

2

解得

1

，，故AF326【舉一反三】1已知拋物線y＝x過P(41)一條弦使它恰好被點平這條弦所在的直線方程及|PP|.【答案】3x－－＝0

22303【解析】設直線上任意一點坐標(，，弦兩端點P(x，，，)∵，在拋物線上，y＝，y＝.兩式相減，(＋)(－)＝6(x－x)．y6∵＋＝，∴＝＝＝，－y＋∴直線的方程為－＝3(－，即－－11＝0.由得y－2y－22，∴＋＝，y·＝22.∴P|＝

122301＋·2－×（－22）＝.932．已知直線l經(jīng)過拋物線y＝的點，且與拋物線相交于A、兩．(1)若直線的斜角為60°，||的值；(2)若AB|＝，求線段的點M到線的距．9【答案）8（）2【解析】(1)因為直線l的傾斜為°，所以其斜率k＝°＝3.又

.

y2y2所以直線l方程為＝3

32

.6，聯(lián)立＝3，

9消去y，得－5＋＝0.4若設A(x，)，(，)則＋5，p而AB＝AF|＋|＝＋＋.∴AB＝5＋＝2(2)設Ax，)(，)由拋物線定義知，p||＝|＋|BF＝＋＋＋＝＋＋＝＋＋＝，223所以＝，于是線段的點的坐標是3又準線方程是＝－，39所以到線的距離等于3＋＝.22【運用路】1.若橢圓【答案】

紙上得終覺淺絕知此要躬行的弦被點（，）分，則此弦在直線方程為?！窘馕觥吭O

為中點的橢圓的弦與橢圓交于，因為把得

為中點所以，分別代入橢圓，，兩式相減得：

，所以，以，所以以

為中點橢圓的弦所在的直線方程為：，理得，2.已知雙曲線

E

x22

，直線

l

交雙曲線于

,B

兩點，若

,B

的中點坐標為

，則l的程為?！敬鸢浮?/p>

2【解析】設

yy12

，則

l2ll111222l2ll111222xyx2x22y2x122142

212k44

1所以l:,xy2

.3.已知雙曲線中心在原點且一個焦點為（2標為，則此雙曲線的方程是。3

0線

與其相交于MN兩，MN中點的橫坐【答案】

x2【解析】由題意設該雙曲線方程為

x22ab0)且22，2b2

M11

，

的中點為

2211且22，ab2a2ab2

，410即ab2

2a

，聯(lián)立a22，得

2

b

2

x2，即該雙曲線方程為

；4過點

M交曲線

x

2

y

于A,B兩為AB的點線l的程為。【答案】

4【解析】設

Ayy12

，可得

x21

yy21，2

，兩式相減可得：

x1

x1

y1

y

2

y1

y

2

，為AB

的中點，即有

41

，

12

，可得直y22線的率為k1xy21

，即有直線

的方程為

為

y

代入雙曲線的方程

x2

y

，可得

14x

251有

280

存在直線AB

方程為

4y

，5．過拋物線【答案】

焦點的直線于，若線段中的縱坐標為，則。

【解析】拋物線C：＝，直線l過物線焦點（1，線l的程為x＝+1則

可得

﹣my﹣＝，與有個交點（（段AB的點的縱坐標為1，可得4＝2解得

，所以y﹣y﹣＝的根滿足，，弦長公式可得（）

=5，6物線y＝的點作直線l交物線于A點段AB的中點的橫坐標為3AB|等?！敬鸢浮?0【解析】由題拋物線y＝8x的點F(2,0)p=4，設A、兩點坐標AB的中點的橫坐標為3，即7．已知不過原點的直線與拋線C

拋物線的焦點弦：交于A，兩點若，且∠，則直線l的斜為．【答案】【解析】如圖所示，設C的準為′設，則由∠，則過點A作′于點，，點B作′于點，過點B作在

于點H，則，中，，以∠，即直線l的率2，又由拋物的對稱性可知，當直線斜率為故選：．

時，亦符合題意，8．過拋物線為。

的焦點作直線交拋物線于點

兩點，若，中點到拋線準線的距離

122122【答案】【解析】由拋物線的方程y=4x可p=2，故它的焦點1，線方程為x=-1．由中點坐標式可得PQ的中點M（,于x+x=6則到準的距離為+1=4.9.斜率為1的線與橢圓

x2

y

2

相交于

A,B

兩點，則

的最大值為_________.【答案】

3【解析】斜率是1的直線Lyx+b代

x

y

,化簡得

32b

，設

Ay122

,則

x1

442,x3

，且

，解得

2

.16b216b2244AB(x)x3

，∴=0時,|的最大值為

3，故答案為3

.10．過雙曲線________．【答案】

的左焦點，傾斜角為的線其中分別直線與雙曲線的交點，則的為【解析】因為雙曲線方程為，以左焦點因為直線的傾斜角為，以直線斜率為，

（，直線的方程為

，代入

可得所以11．已知雙曲線，以點

，故答案為3.為中點的雙曲線的弦所在的直線方程______.【答案】【解析】設以A（，）中點的弦兩端點為P（y，則x＝，y+＝．又2，22，

①﹣②得：（+﹣）（+由稱性知x≠，∴（，3為中點的弦所在直線的斜率k

（）

，所以中點弦所在直線方程為﹣＝（x﹣．答案為：．12．直線【答案】【解析】

與拋物線

交于兩點，若，弦的中到準線的距離_____．試題分析：由題意得，拋物線

的焦點坐標為，且準線方程為，線

恰好經(jīng)過點，直線

與拋物線

的點的橫坐標為

，根據(jù)拋物線的定義可知的點的橫坐標為13．已知橢圓：

，所以弦的中點到準線的距離為，的焦距為，半軸的長為2過點－2,1)且斜率為的直線l與橢圓C交于A，兩．(1)求橢圓C的方；(2)求弦的．【答案））.【解析】(1)已知橢圓焦距為，半軸的長為，即2c=4，，結合a=b+c，得a=，b=2，c=2

故：.(2)已知直線l過點(－2,1)斜率為，故直線方程為，理得y=x+3直線方程與橢圓方程聯(lián)立得.設，．∴∴14．已知離心率(1)求橢圓的程

的橢圓

的一個焦點為(-1,0).(2)若斜率為的直l交圓于A,B兩點且

,求直線的方.【答案））

或

【解析】(1)由題意知,c=1,

,∴

,b=1,∴橢圓C的程為.(2)設直線的程為y=x+m,點由已知得

聯(lián)立方程組,

化簡,得3x+4mx+2m-2=0.即m<3,∴,且∴===,解得m=±1,符合題意∴直線的程為y=x+1或y=x-1.15．平面直角坐標系中，橢圓C中心是坐標原點，對稱軸為坐標軸，一個右焦點F，離心率為

,若直線l經(jīng)過點F，其傾斜角為且交橢圓C于、兩點線段AB的為【答案】,

,求橢圓C的標方.【解析】由橢圓的離心率為

，所以，.則.所以可設橢圓的方程為：，

.直線l經(jīng)過點F，其傾斜角為，可設為：.由，得

或.即.由，得.以橢圓的方程為：.16．已知直線

與雙曲線．（）

時，