第4章自由曲線與曲面

第四章自由曲線與曲面（二）蘇小紅計算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院哈爾濱工業(yè)大學(xué)2本章內(nèi)容概述參數(shù)曲線基礎(chǔ)參數(shù)多項式曲線三次Hermite曲線Bezier曲線B樣條曲線非均勻有理B樣條曲線Bézier曲面和B樣條曲面3外形設(shè)計的要求與特點(diǎn)初始給定的型值點(diǎn)不精確，不必點(diǎn)點(diǎn)通過性能、美觀、自由度大想想畫家是如何畫汽車的？4Bézier曲線（1/20）1962年，法國雷諾汽車公司，P.E.Bézier工程師以“逼近”為基礎(chǔ)UNISURF1972年雷諾汽車公司正式使用稍早于Bézier，法國雪鐵龍汽車公司，deCasteljauFlash的繪圖工具北大方正，字型的輪廓線5Bézier曲線（2/20）Bézier基函數(shù)--Bernstein多項式的定義6Bézier曲線（3/20）Bézier曲線的定義n次多項式曲線P(t)稱為n次Bezier曲線控制頂點(diǎn)控制多邊形7Bézier曲線（4/20）Bézier曲線的性質(zhì)端點(diǎn)位置8Bézier曲線（5/20）端點(diǎn)切矢量導(dǎo)數(shù)曲線9Bézier曲線（6/20）對稱性不是形狀對稱保持貝塞爾曲線全部控制點(diǎn)Pi的坐標(biāo)位置不變，只是將控制點(diǎn)Pi的排序顛倒，曲線形狀保持不變說明起點(diǎn)和終點(diǎn)具有相同的性質(zhì)10Bézier曲線（7/20）凸包性凸集凹集點(diǎn)集的凸包包含這些點(diǎn)的最小凸集Bézier曲線位于其控制頂點(diǎn)的凸包之內(nèi)11哈工大計算機(jī)學(xué)院蘇小紅Bézier曲線（8/20）幾何不變性多值性平面曲線的變差縮減性12哈工大計算機(jī)學(xué)院蘇小紅Bézier曲線（9/20）擬局部性形狀的易控性（演示）13Bézier曲線（10/20）二次Bézier曲線n=2拋物線基函數(shù)P0P2P1MP(0.5)P(1)P(0)14Bézier曲線（11/20）三次Bézier曲線n=3基函數(shù)P0P1P2P3P(0)P(1)15Bézier曲線（12/20）高次（n>3）Bézier曲線計算比較復(fù)雜deCasteljau算法能有效避開復(fù)雜的高次多項式求解過程，曲線生成效率較高DeCasteljau遞推算法基于分割遞推的任意階次Bézier曲線的離散生成算法tP(t)基本問題：給定參數(shù)，計算16Bézier曲線（13/20）幾何作圖過程給定t,按t:(1?t)找到一組分點(diǎn)組成n?1邊形重復(fù)上述操作，得到另一組分點(diǎn)連續(xù)作n次，直到只剩下一個點(diǎn)為止曲線上參數(shù)取值為t的型值點(diǎn)17Bézier曲線（14/20）離散生成算法線性插值遞推過程將原來的一個特征多邊形分劃成了兩個特征多邊形，將一個曲線段分割為兩個較小的曲線段18Bézier曲線（15/20）只要令t在[0，1]間按一定步長依次取值即可求得n次Bézier曲線上對應(yīng)不同t值的型值點(diǎn)19Bézier曲線（16/20）高次（n>3）Bézier曲線為簡化計算通常由低階次的Bézier曲線段拼接而成曲線的拼接銜接點(diǎn)處，要達(dá)到一定的連續(xù)性要求20Bezier曲線（17/20）

條件——首尾簡單銜接

三點(diǎn)共線，且Q1,Pm-1在連接點(diǎn)的異側(cè)

條件——銜接點(diǎn)處切向連續(xù)21Bezier曲線（18/20）

條件——銜接點(diǎn)處曲率相等三點(diǎn)共線，且Q1,Pm-1在連接點(diǎn)的異側(cè)(3)Q2P1

與Q1P2平行，且前者的長度為后者的2倍

22反求控制頂點(diǎn)Pi給定n+1個型值點(diǎn)Qi要求構(gòu)造一條通過這些型值點(diǎn)的Bézier曲線Bezier曲線（19/20）P0P1PnQ0Q1Qn方程聯(lián)立求解23優(yōu)點(diǎn)：形狀控制直觀，設(shè)計靈活，應(yīng)用較為廣泛TrueType字型就使用了Bézier曲線Bezier曲線（20/20）缺點(diǎn)：所生成的曲線與特征多邊形的外形相距較遠(yuǎn)控制頂點(diǎn)數(shù)較多時，多邊形對曲線的控制能力減弱控制頂點(diǎn)數(shù)增多時，生成曲線的階數(shù)也增高曲線拼接需要附加條件，不太靈活局部控制能力弱因為Bernstein基函數(shù)的值在(0,1)開區(qū)間內(nèi)均不為零，曲線上任意一點(diǎn)都是所有給定頂點(diǎn)的加權(quán)平均24本章內(nèi)容概述參數(shù)曲線基礎(chǔ)參數(shù)多項式曲線三次Hermite曲線Bézier曲線B樣條曲線非均勻有理B樣條曲線Bézier曲面和B樣條曲面25B樣條曲線（1/21）產(chǎn)生：1946年，Schoenberg發(fā)表關(guān)于B樣條函數(shù)的第1篇論文1973年前后，Gordon,Riesenfield,Forrest等人受到Bézier方法的啟發(fā)，將B樣條函數(shù)拓廣成參數(shù)形式的B樣條曲線優(yōu)于Bézier曲線之處：階次低，與型值點(diǎn)數(shù)無關(guān)，計算簡便局部修改能力強(qiáng)任意形狀，包括尖點(diǎn)、直線的曲線易于拼接與控制多邊形的外形更接近26B樣條曲線（2/21）定義：給定m+n+1個空間向量Pi+k，(k=0,1,…,m+n)稱n次參數(shù)曲線

為n次B樣條曲線的第i段曲線（i=0,1,…,m）它的全體稱為n次B樣條曲線，它具有Cn-1連續(xù)性基函數(shù)為B樣條函數(shù)規(guī)定0/0=027B樣條曲線（3/21）m+n+1個頂點(diǎn)可生成m+1段n次曲線第0段：P0,P1,P2,…,Pn第1段：P1,P2,P3,…,Pn,Pn+1第2段：P2,P3,…,Pn,Pn+1,Pn+2第m段：Pm,…,Pn+m-1,Pn+m為簡化記號，取i=0來代表樣條中的任意一段

28B樣條曲線（4/21）二次B樣條n=2，拋物線哈工大計算機(jī)學(xué)院蘇小紅B樣條曲線（5/21）三次B樣條——n=330B樣條曲線（6/21）三次B樣條的C2連續(xù)性每增加一個頂點(diǎn)，就相應(yīng)地增加一段B樣條曲線，而前面的B樣條曲線不受影響P(t)P4下一段的起點(diǎn)信息和前一段的終點(diǎn)信息都只與P1P2P3有關(guān)P(t),P’(t),P”(t)均相等31B樣條曲線（7/21）程序演示B樣條與控制多邊形的外形更接近32B樣條曲線（8/21）特殊外形設(shè)計三頂點(diǎn)共線位于控制多邊形邊上的一個點(diǎn)P0P2P1MP(0)P’(0)P0P2MP1P(0)33B樣條曲線（9/21）特殊外形設(shè)計四頂點(diǎn)共線含有直線段的曲線P0P3P1P2P(0)M1P(1)M234B樣條曲線（10/21）特殊外形設(shè)計兩頂點(diǎn)重合P0P2P1MP’(0)P0P2MP1P(0)P(0)35B樣條曲線（11/21）特殊外形設(shè)計兩頂點(diǎn)重合相切于控制多邊形邊的曲線P2P5P1P0P4P336B樣條曲線（12/21）特殊外形設(shè)計三頂點(diǎn)重合含有尖點(diǎn)的曲線P2P6P1P0P4P3P537B樣條曲線（13/21）特殊外形設(shè)計如何構(gòu)造通過控制多邊形某一頂點(diǎn)的B樣條曲線？方法：將控制多邊形的首尾兩條邊各延長1/6，將新的頂點(diǎn)置為二重頂點(diǎn)將控制多邊形的首尾兩條邊各延長1/2，利用三點(diǎn)共線38B樣條曲線（14/21）在數(shù)據(jù)擬合中的應(yīng)用給定一組離散的型值點(diǎn)列，如何構(gòu)造一條通過該組型值點(diǎn)的B樣條曲線？原問題給定控制頂點(diǎn)，計算曲線上的點(diǎn)反算擬合問題已知型值點(diǎn)列，計算控制頂點(diǎn)39B樣條曲線（15/21）目標(biāo)：構(gòu)造三次B樣條曲線通過型值點(diǎn)Qi，i=0,1,…,n-3反求控制頂點(diǎn)Pm，m=0,1,…,n-1根據(jù)三次B樣條曲線端點(diǎn)性質(zhì)補(bǔ)充兩個邊界條件——首末兩個端點(diǎn)的切矢量追趕法求解40B樣條曲線（16/21）幾種常見的邊界條件首末兩端加上切矢（導(dǎo)數(shù)）條件首末端導(dǎo)數(shù)難以給出在控制多邊形首末兩邊的延長線上分別外延一點(diǎn)三點(diǎn)共線導(dǎo)致端點(diǎn)曲率為0設(shè)P1=P0,Pn=Pn-1，重頂點(diǎn)是方法2中外延距離為0的特例設(shè)P0=Pn-2,Pn-1=P1，循環(huán)端生成封閉周期的B樣條41B樣條曲線（17/21）SuXiaohong,LiDong,ZhangTianwen,AnewmethodtobuildboundaryconditionsfornonuniformB-splinesinterpolation.JournalofHarbinInstituteofTechnology（InEnglish）.2000,7(4):59-62蘇曉紅，李東，王宇穎．基于曲率參數(shù)的NURBS曲線插值．哈爾濱工業(yè)大學(xué)學(xué)報，2001,1,33(1):108-111提出一種新的邊界條件構(gòu)造方法，通過兩端點(diǎn)內(nèi)曲線的曲率來構(gòu)造端點(diǎn)曲率，從而獲得邊界條件，亦可稱為“構(gòu)造曲率法”，可以有效避免端點(diǎn)的“零曲率”現(xiàn)象42B樣條曲線（18/21）依節(jié)點(diǎn)向量的不同取值，可將B樣條曲線分為均勻B樣條曲線均勻周期性節(jié)點(diǎn)（等距節(jié)點(diǎn)）準(zhǔn)均勻B樣條曲線均勻非周期節(jié)點(diǎn)非均勻B樣條曲線不等距節(jié)點(diǎn)43B樣條曲線（19/21）均勻B樣條曲線均勻周期性節(jié)點(diǎn)（等距節(jié)點(diǎn)）一般地，節(jié)點(diǎn)向量取值范圍為[0,1]例如，{0,0.2,0.4,0.6,0.8,1}方便起見，常取初始值為0、間距為1的均勻整數(shù)節(jié)點(diǎn)向量{0,1,2,…,n+k}使得均勻B樣條基函數(shù)具有周期性的特點(diǎn)，后面的基函數(shù)僅僅是對前一個基函數(shù)的水平移位44B樣條曲線（20/21）k階（k-1次）準(zhǔn)均勻（Quasi-uniform）B樣條曲線均勻非周期節(jié)點(diǎn)（準(zhǔn)均勻節(jié)點(diǎn)分布）所有內(nèi)節(jié)點(diǎn)都是等距分布，僅在首末兩端具有k重復(fù)度當(dāng)k

=

n+1時轉(zhuǎn)化為Bézier曲線形狀控制具有更大的靈活性45B樣條曲線（21/21）優(yōu)點(diǎn)：階次低，與型值點(diǎn)數(shù)無關(guān)，不隨控制頂點(diǎn)數(shù)的增加而增加計算簡便，易于拼接與控制多邊形的外形更接近任意形狀，包括尖點(diǎn)、直線的曲線節(jié)點(diǎn)向量取值不同，曲線形狀也不同，控制更靈活基函數(shù)僅在某個局部區(qū)間不為0，局部修改能力強(qiáng)缺點(diǎn)：不能精確表示除拋物面外的二次曲面，只能給出近似表示46本章內(nèi)容概述參數(shù)曲線基礎(chǔ)參數(shù)多項式曲線三次Hermite曲線Bézier曲線B樣條曲線非均勻有理B樣條曲線Bézier曲面和B樣條曲面有理樣條（RationalSpline）1983年，Tiller利用齊次坐標(biāo)技術(shù)，將B樣條曲線的定義推廣到用四維齊次坐標(biāo)表示得到四維齊次坐標(biāo)系下的有理B樣條曲線定義為對應(yīng)于三維空間中的有理B樣條曲線定義為有理-分子分母分別是參數(shù)多項式與多項式函數(shù)的分式表示4748非均勻有理B樣條曲線（NURBS）若有理B樣條的節(jié)點(diǎn)分布是均勻的，則稱均勻有理B樣條曲線若節(jié)點(diǎn)分布是非均勻的，則稱非均勻有理B樣條曲線（NonuniformRationalB-splines，NURBS）NURBS方法的提出B樣條方法不能精確表示除拋物面外的二次曲面，只能給出近似表示在飛機(jī)外形設(shè)計和絕大多數(shù)機(jī)械零件中，常遇到許多由二次曲線弧和二次曲面表示的形狀如機(jī)身框截面外形曲線，葉輪既包含自由型曲面，也包含二次曲面主要理由為了找到既能與描述自由型曲線曲面的B樣條方法相統(tǒng)一，又能精確表示二次曲線弧和二次曲面的數(shù)學(xué)方法49非均勻有理B樣條曲線（NURBS）1991年，國際標(biāo)準(zhǔn)化組織（ISO）正式頒布了工業(yè)產(chǎn)品幾何定義的STEP標(biāo)準(zhǔn)作為產(chǎn)品數(shù)據(jù)交換的國際標(biāo)準(zhǔn)將NURBS作為定義工業(yè)產(chǎn)品形狀的唯一數(shù)學(xué)方法NURBS是CAD幾何造型和建模的重要方法目前很多CAD商品軟件都具有NURBS功能建立在非有理Bézier和非有理B樣條基礎(chǔ)上用NURBS曲線表示二次曲線的方法3個控制頂點(diǎn)，二次B樣條均勻節(jié)點(diǎn)向量{0,0,0,1,1,1}權(quán)因子w1＞1w1=1w1<1w1=050非均勻有理B樣條曲線（NURBS）優(yōu)點(diǎn)：對標(biāo)準(zhǔn)曲面(如圓錐曲線、二次曲面、回轉(zhuǎn)面等)和自由曲線曲面提供了統(tǒng)一的數(shù)學(xué)表示，便于用一個統(tǒng)一的數(shù)據(jù)庫來存取這兩類形狀信息非有理B樣條、有理及非有理Bézier曲線曲面是NURBS的特例具有更多的形狀控制自由度（控制點(diǎn)，節(jié)點(diǎn)向量，權(quán)因子）缺點(diǎn)：比一般的曲線、曲面定義方法更費(fèi)存儲空間和處理時間