函數(shù)的極值與函數(shù)圖像

3.3.2函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)aby=f(x)xoyy=f(x)xoyabf'(x)>0f'(x)<0復(fù)習(xí):函數(shù)單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)關(guān)系如果在某個區(qū)間內(nèi)恒有,則為常數(shù).設(shè)函數(shù)y=f(x)在某個區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，f(x)增函數(shù)f(x)減函數(shù)鞏固：定義域R,f′(x)=x2-x=x(x-1)令x(x-1)>0,得x<0或x>1，則f(x)單增區(qū)間（－∞，0）,（1，+∞）令x(x-1)<0,得0<x<1,f(x)單減區(qū)(0,1).注意:求單調(diào)區(qū)間:1:首先注意定義域,

2:其次區(qū)間不能用(U)連接（第一步）解：（第二步）（第三步）f

(x)<0yxOx1aby=f(x)極大值點兩側(cè)極小值點兩側(cè)f

(x)<0f

(x)>0f

(x)>0極值x2

xX<x2

x2X>x2

f(x)

f(x)

xX<x1

x1X>x1

f(x)

f(x)增f(x)>0f(x)=0f(x)<0極大值減f(x)<0f(x)=0增減極小值f(x)>0注意:(1)

f(x0)=0，x0不一定是極值點(2)只有f(x0)=0且x0兩側(cè)單調(diào)性不同

，x0才是極值點.(3)求極值點，可以先求f(x0)=0的點，再列表判斷單調(diào)性結(jié)論：極值點處，f(x)=0求解函數(shù)極值的一般步驟：（1）確定函數(shù)的定義域（2）求方程f’(x)=0的根（3）用方程f’(x)=0的根，順次將函數(shù)的定義域分成若干個開區(qū)間，并列成表格（4）由f’(x)在方程f’(x)=0的根左右的符號，來判斷f(x)在這個根處取極值的情況小結(jié)因為所以例1求函數(shù)的極值.解:令解得或當(dāng),即,或;當(dāng),即.當(dāng)x變化時,f(x)的變化情況如下表:x(–∞,

–2)–2(–2,2)2(2,+∞)00f(x)–++單調(diào)遞增單調(diào)遞減單調(diào)遞增所以,當(dāng)x=–2時,f(x)有極大值28/3;當(dāng)x=2時,f(x)有極小值–4/3.變式求下列函數(shù)的極值:解:

令解得列表:x0f(x)+單調(diào)遞增單調(diào)遞減–所以,當(dāng)時,f(x)有極小值求下列函數(shù)的極值:解:

解得列表:x(–∞,

–3)–3(–3,3)3(3,+∞)00f(x)–++單調(diào)遞增單調(diào)遞減單調(diào)遞增所以,當(dāng)x=–3時,f(x)有極大值54;當(dāng)x=3時,f(x)有極小值–54.求下列函數(shù)的極值:解:

解得所以,當(dāng)x=–2時,f(x)有極小值–10;當(dāng)x=2時,f(x)有極大值22

.解得所以,當(dāng)x=–1時,f(x)有極小值–2;當(dāng)x=1時,f(x)有極大值2

.例3已知f(x)＝ax3＋bx2＋cx(a≠0)在x＝±1時取得極值，且f(1)＝－1，(1)試求常數(shù)a、b、c的值；(2)試判斷x＝±1時函數(shù)取得極小值還是極大值，并說明理由．[解析]

(1)由f′(－1)＝f′(1)＝0，得3a＋2b＋c＝0,3a－2b＋c＝0.又f(1)＝－1，∴a＋b＋c＝－1.[點評]若函數(shù)f(x)在x0處取得極值，則一定有f′(x0)＝0，因此我們可根據(jù)極值得到一個方程，來解決參數(shù)．而x1<x2，∴x1＋x2＝0.∴b＝0.代入①式，得a(x2－1)＝0.∵a>0，∴x＝±1.再代入f(x1)或f(x2)，得a＝2.∴a＝2，b＝0.注意：函淺數(shù)極掌值是霧在某昂一點由附近頌的小按區(qū)間漲內(nèi)定搜義的適，是局部貼性質(zhì)。因厘此一剛個函齡數(shù)在廣其整宵個定滔義區(qū)拋間上掏可能習(xí)有多個肅極大奮值或命極小淋值，并俊對同域一個靜函數(shù)息來說劍，在左某一點息的極縱大值博也可療能小繭于另課一點序的極伏小值。思考1.判斷贏下面4個命很題，柔其中陰是真壞命題奪序號片為。①f(x0)=0鴨,則f(x0)必為極值央；②f(x)=在x=0處取極大側(cè)值0，③函數(shù)痰的極程小值一定補小于極大顆值④函憲數(shù)的恐極小謎值（嫩或極把大值車）不辱會多剃于一茄個。⑤函數(shù)徹的極惱值即工為最憂值有極跌大值池和極怨小值,求a范圍?思考2解析:f(賢x)有極大荷值和尤極小筒值f’顆(x)=殲0有2實根,已知旗函數(shù)解得a>蔬6或a<列3練習(xí)1：求在佩時疏極值始。練習(xí)2:若f(嘗x)=凡ax3+b逼x2-x在x=瞎1與x=賀-1處有料極值.(1逝)求a、b的值(2怠)求f(董x)的極革值.練習(xí)3：已知貞函數(shù)f(承x)績=x2-2掛(m爪-1茶)x恩+4在區(qū)晚間[1狂,5芽]內(nèi)的掠最小扁值為2，求m的值練習(xí)4：設(shè)f(膝x)董=a答x3+x恰有鍛三個燙單調(diào)像區(qū)間償，試諒確定涼實數(shù)a的取健值范援圍，晌并求棉出這畏三個巨單調(diào)等區(qū)間.小結(jié)燈：1個定諷義:極值撒定義2個關(guān)寫鍵：①可導(dǎo)玻函數(shù)y=f(粥x)在極腸值點薪處的f’扯(x)=所0。②極值蹦點左弄右兩視邊的盞導(dǎo)數(shù)謠必須異號。3個步羅驟：①確定班定義肥域②求f’掏(x)=域0的根③并列脖成