2018屆高考數(shù)學(理)熱點題型：概率與統(tǒng)計(含答案)

21世紀教育網(wǎng)精品試卷·第2頁（共12頁）概率與統(tǒng)計熱點一常見概率模型的概率幾何概型、古典概型、相互獨立事件與互斥事件的概率、條件概率是高考的熱點，幾何概型主要以客觀題考查，求解的關鍵在于找準測度(面積，體積或長度)；相互獨立事件，互斥事件常作為解答題的一問考查，也是進一步求分布列，期望與方差的基礎，求解該類問題要正確理解題意，準確判定概率模型，恰當選擇概率公式.【例1】現(xiàn)有4個人去參加某娛樂活動，該活動有甲、乙兩個游戲可供參加者選擇.為增加趣味性，約定：每個人通過擲一枚質地均勻的骰子決定自己去參加哪個游戲，擲出點數(shù)為1或2的人去參加甲游戲，擲出點數(shù)大于2的人去參加乙游戲.(1)求這4個人中恰有2人去參加甲游戲的概率；(2)求這4個人中去參加甲游戲的人數(shù)大于去參加乙游戲的人數(shù)的概率；(3)用X，Y分別表示這4個人中去參加甲、乙游戲的人數(shù)，記ξ＝|X－Y|，求隨機變量ξ的分布列.解依題意，這4個人中，每個人去參加甲游戲的概率為eq\f(1,3)，去參加乙游戲的概率為eq\f(2,3).設“這4個人中恰有i人去參加甲游戲”為事件Ai(i＝0，1，2，3，4).則P(Ai)＝Ceq\o\al(i,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(i)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(4－i).(1)這4個人中恰有2人去參加甲游戲的概率P(A2)＝Ceq\o\al(2,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(2)＝eq\f(8,27).(2)設“這4個人中去參加甲游戲的人數(shù)大于去參加乙游戲的人數(shù)”為事件B，則B＝A3＋A4，且A3與A4互斥，∴P(B)＝P(A3＋A4)＝P(A3)＋P(A4)＝Ceq\o\al(3,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(3)×eq\f(2,3)＋Ceq\o\al(4,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(4)＝eq\f(1,9).(3)依題設，ξ的所有可能取值為0，2，4.且A1與A3互斥，A0與A4互斥.則P(ξ＝0)＝P(A2)＝eq\f(8,27)，P(ξ＝2)＝P(A1＋A3)＝P(A1)＋P(A3)＝Ceq\o\al(1,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(1)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(3)＋Ceq\o\al(3,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(3)×eq\f(2,3)＝eq\f(40,81)，P(ξ＝4)＝P(A0＋A4)＝P(A0)＋P(A4)＝Ceq\o\al(0,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(4)＋Ceq\o\al(4,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(4)＝eq\f(17,81).所以ξ的分布列是ξ024Peq\f(8,27)eq\f(40,81)eq\f(17,81)【類題通法】(1)本題4個人中參加甲游戲的人數(shù)服從二項分布，由獨立重復試驗，4人中恰有i人參加甲游戲的概率P＝Ceq\o\al(i,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(i)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(4－i)，這是本題求解的關鍵.(2)解題中常見的錯誤是不能分清事件間的關系，選錯概率模型，特別是在第(3)問中，不能把ξ＝0，2，4的事件轉化為相應的互斥事件Ai的概率和.【對點訓練】甲、乙兩班進行消防安全知識競賽，每班出3人組成甲乙兩支代表隊，首輪比賽每人一道必答題，答對則為本隊得1分，答錯或不答都得0分，已知甲隊3人每人答對的概率分別為eq\f(3,4)，eq\f(2,3)，eq\f(1,2)，乙隊每人答對的概率都是eq\f(2,3)，設每人回答正確與否相互之間沒有影響，用ξ表示甲隊總得分.(1)求ξ＝2的概率；(2)求在甲隊和乙隊得分之和為4的條件下，甲隊比乙隊得分高的概率.解(1)ξ＝2，則甲隊有兩人答對，一人答錯，故P(ξ＝2)＝eq\f(3,4)×eq\f(2,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))＋eq\f(3,4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))×eq\f(1,2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3,4)))×eq\f(2,3)×eq\f(1,2)＝eq\f(11,24)；(2)設甲隊和乙隊得分之和為4為事件A，甲隊比乙隊得分高為事件B.設乙隊得分為η，則η～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(2,3))).球上所標的面值之和為該顧客所獲的獎勵額.(1)若袋中所裝的4個球中有1個所標的面值為50元，其余3個均為10元.求：①顧客所獲的獎勵額為60元的概率；②顧客所獲的獎勵額的分布列及數(shù)學期望；(2)商場對獎勵總額的預算是60000元，并規(guī)定袋中的4個球只能由標有面值10元和50元的兩種球組成，或標有面值20元和40元的兩種球組成.為了使顧客得到的獎勵總額盡可能符合商場的預算且每位顧客所獲的獎勵額相對均衡，請對袋中的4個球的面值給出一個合適的設計，并說明理由.解(1)設顧客所獲的獎勵額為X.①依題意，得P(X＝60)＝eq\f(Ceq\o\al(1,1)Ceq\o\al(1,3),Ceq\o\al(2,4))＝eq\f(1,2)，即顧客所獲的獎勵額為60元的概率為eq\f(1,2).②依題意，得X的所有可能取值為20，60.P(X＝60)＝eq\f(1,2)，P(X＝20)＝eq\f(Ceq\o\al(2,3),Ceq\o\al(2,4))＝eq\f(1,2)，即X的分布列為X2060Peq\f(1,2)eq\f(1,2)所以顧客所獲的獎勵額的數(shù)學期望為E(X)＝20×eq\f(1,2)＋60×eq\f(1,2)＝40(元).(2)根據(jù)商場的預算，每個顧客的平均獎勵額為60元.所以，先尋找期望為60元的可能方案.對于面值由10元和50元組成的情況，如果選擇(10，10，10，50)的方案，因為60元是面值之和的最大值，所以期望不可能為60元；如果選擇(50，50，50，10)的方案，因為60元是面值之和的最小值，所以期望也不可能為60元，因此可能的方案是(10，10，50，50)，記為方案1.對于面值由20元和40元組成的情況，同理，可排除(20，20，20，40)和(40，40，40，20)的方案，所以可能的方案是(20，20，40，40)，記為方案2.以下是對兩個方案的分析：對于方案1，即方案(10，10，50，50)，設顧客所獲的獎勵額為X1，則X1的分布列為X12060100Peq\f(1,6)eq\f(2,3)eq\f(1,6)X1的數(shù)學期望為E(X1)＝20×eq\f(1,6)＋60×eq\f(2,3)＋100×eq\f(1,6)＝60(元)，X1的方差為D(X1)＝(20－60)2×eq\f(1,6)＋(60－60)2×eq\f(2,3)＋(100－60)2×eq\f(1,6)＝eq\f(1600,3).對于方案2，即方案(20，20，40，40)，設顧客所獲的獎勵額為X2，則X2的分布列為X2406080Peq\f(1,6)eq\f(2,3)eq\f(1,6)X2的數(shù)學期望為E(X2)＝40×eq\f(1,6)＋60×eq\f(2,3)＋80×eq\f(1,6)＝60(元)，X2的方差為D(X2)＝(40－60)2×eq\f(1,6)＋(60－60)2×eq\f(2,3)＋(80－60)2×eq\f(1,6)＝eq\f(400,3).由于兩種方案的獎勵額的數(shù)學期望都符合要求，但方案2獎勵額的方差比方案1的小，所以應該選擇方案2.熱點三概率與統(tǒng)計的綜合應用概率與統(tǒng)計作為考查考生應用意識的重要載體，已成為近幾年高考的一大亮點和熱點.主要依托點是統(tǒng)計圖表，正確認識和使用這些圖表是解決問題的關鍵.復習時要在這些圖表上下工夫，把這些統(tǒng)計圖表的含義弄清楚，在此基礎上掌握好樣本特征數(shù)的計數(shù)方法、各類概率的計算方法及數(shù)學均值與方差的運算.【例3】2018年6月14日至7月15日，第21屆世界杯足球賽將于俄羅斯舉行，某大學為世界杯組委會招收志愿者，被招收的志愿者需參加筆試和面試，把參加筆試的40名大學生的成績分組：第1組[75，80)，第2組[80，85)，第3組[85，90)，第4組[90，95)，第5組[95，100]，得到的頻率分布直方圖如圖所示：(1)分別求出成績在第3，4，5組的人數(shù)；(2)現(xiàn)決定在筆試成績較高的第3，4，5組中用分層抽樣抽取6人進行面試.①已知甲和乙的成績均在第3組，求甲或乙進入面試的概率；②若從這6名學生中隨機抽取2名學生接受考官D的面試，設第4組中有X名學生被考官D面試，求X的分布列和數(shù)學期望.解(1)由頻率分布直方圖知：第3組的人數(shù)為5×0.06×40＝12.第4組的人數(shù)為5×0.04×40＝8.第5組的人數(shù)為5×0.02×40＝4.(2)利用分層抽樣，在第3組，第4組，第5組中分別抽取3人，2人，1人.①設“甲或乙進入第二輪面試”為事件A，則P(A)＝1－eq\f(Ceq\o\al(3,10),Ceq\o\al(3,12))＝eq\f(5,11)，所以甲或乙進入第二輪面試的概率為eq\f(5,11).②X的所有可能取值為0，1，2，P(X＝0)＝eq\f(Ceq\o\al(2,4),Ceq\o\al(2,6))＝eq\f(2,5)，P(X＝1)＝eq\f(Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,4),Ceq\o\al(2,6))＝eq\f(8,15)，P(X＝2)＝eq\f(Ceq\o\al(2,2),Ceq\o\al(2,6))＝eq\f(1,15).所以X的分布列為X012Peq\f(2,5)eq\f(8,15)eq\f(1,15)E(X)＝0×eq\f(2,5)＋1×eq\f(8,15)＋2×eq\f(1,15)＝eq\f(10,15)＝eq\f(2,3).【類題通法】本題將傳統(tǒng)的頻率分布直方圖與分布列、數(shù)學期望相結合，立意新穎、構思巧妙.求解離散型隨機變量的期望與頻率分布直方圖交匯題的“兩步曲”：一是看圖說話，即看懂頻率分布直方圖中每一個小矩形面積表示這一組的頻率；二是活用公式，本題中X服從超幾何分布.【對點訓練】某公司為了解用戶對某產(chǎn)品的滿意度，從A，B兩地區(qū)分別隨機調查了20個用戶，得到用戶對產(chǎn)品的滿意度評分如下：A地區(qū)：6273819295857464537678869566977888827689B地區(qū)：7383625191465373648293486581745654766579(1)根據(jù)兩組數(shù)據(jù)完成兩地區(qū)用戶滿意度評分的莖葉圖，并通過莖葉圖比較兩地區(qū)滿意度評分的平均值及分散程度(不要求計算出具體值，給出結論即可)；(2)根據(jù)用戶滿意度評分，將用戶的滿意度從低到高分為三個等級：滿意度評分低于70分70分到89分不低于90分滿意度等級不滿意滿意非常滿意記事件C：“A地區(qū)用戶的滿意度等級高于B地區(qū)用戶的滿意度等級”.假設兩地區(qū)用戶的評價結果相互獨立.根據(jù)所給數(shù)據(jù)，以事件發(fā)生的頻率作為相應事件發(fā)生的概率，求C的概率.解(1)兩地區(qū)用戶滿意度評分的莖葉圖如下通過莖葉圖可以看出，A地區(qū)用戶滿意度評分的平均值高于B地區(qū)用戶滿意度評分的平均值；A地區(qū)用戶滿意度評分比較集中，B地區(qū)用戶滿意度評分比較分散.(2)記CA1表示事件：“A地區(qū)用戶的滿意度等級為滿意或非常滿意”；CA2表示事件：“A地區(qū)用戶的滿意度等級為非常滿意”；CB1表示事件：“B地區(qū)用戶的滿意度等級為不滿意”；CB2表示事件：“B地區(qū)用戶的滿意度等級為滿意”，則CA1與CB1獨立，CA2與CB2獨立，CB1與CB2互斥，C＝CB1CA1∪CB2CA2.P(C)＝P(CB1CA1∪CB2CA2)＝P(CB1CA1)＋P(CB2CA2)＝P(CB1)P(CA1)＋P(CB2)P(CA2).由所給數(shù)據(jù)得CA1，CA2，CB1，CB2發(fā)生的頻率分別為eq\f(16,20)，eq\f(4,20)，eq\f(10,20)，eq\f(8,20)，即P(CA1)＝eq\f(16,20)，P(CA2)＝eq\f(4,20)，P(CB1)＝eq\f(10,20)，P(CB2)＝eq\f(8,20)，故P(C)＝eq\f(10,20)×eq\f(16,20)＋eq\f(8,20)×eq\f(4,20)＝0.48.熱點四統(tǒng)計與統(tǒng)計案例能根據(jù)給出的線性回歸方程系數(shù)公式求線性回歸方程，了解獨立性檢驗的基本思想、方法，在選擇或填空題中常涉及頻率分布直方圖、莖葉圖及樣本的數(shù)字特征(如平均數(shù)、方差)的考查，解答題中也有所考查.【例4】從某居民區(qū)隨機抽取10個家庭，獲得第i個家庭的月收入xi(單位：千元)與月儲蓄yi(單位：千元)的數(shù)據(jù)資料，算得eq\o(∑,\s\up6(10),\s\do4(i＝1))xi＝80，eq\o(∑,\s\up6(10),\s\do4(i＝1))yi＝20，eq\o(∑,\s\up6(10),\s\do4(i＝1))xiyi＝184，eq\o(∑,\s\up6(10),\s\do4(i＝1))xeq\o\al(2,i)＝720.(1)求家庭的月儲蓄y對月收入x的線性回歸方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))；(2)判斷變量x與y之間是正相關還是負相關；(3)若該居民區(qū)某家庭月收入為7千元，預測該家庭的月儲蓄.附：線性回歸方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))中，eq\o(b,\s\up6(^))＝，eq\o(a,\s\up6(^))＝y(tǒng)－eq\o(b,\s\up6(^))，其中，為樣本平均值.解(1)由題意知n＝10，＝eq\f(1,n)eq\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))xi＝eq\f(80,10)＝8，＝eq\f(1,n)eq\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))yi＝eq\f(20,10)＝2，又lxx＝eq\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))xeq\o\al(2,i)－n2＝720－10×82＝80，lxy＝eq\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))xiyi－n＝184－10×8×2＝24，由此得eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(lxy,lxx)＝eq\f(24,80)＝0.3，eq\o(a,\s\up6(^))＝y(tǒng)－eq\o(b,\s\up6(^))＝2－0.3×8＝－0.4，故所求線性回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝0.3x－0.4.(2)由于變量y的值隨x值的增加而增加(eq\o(b,\s\up6(^))＝0.3>0)，故x與y之間是正相關.(3)將x＝7代入回歸方程可以預測該家庭的月儲蓄為eq\o(y,\s\up6(^))＝0.3×7－0.4＝1.7(千元).【類題通法】(1)分析兩個變量的線性相關性，可通過計算相關系數(shù)r來確定，r的絕對值越接近于1，表明兩個變量的線性相關性越強，r的絕對值越接近于0，表明兩變量線性相關性越弱.(2)求線性回歸方程的關鍵是正確運用eq\o(b,\s\up6(^))，eq\o(a,\s\up6(^))的公式進行準確的計算.【對點訓練】4月23日是“世界讀書日”，某中學在此期間開展了一系列的讀書教育活動.為了解本校學生課外閱讀情況，學校隨機抽取了100名學生對其課外閱讀時間進行調查