圖的基本概念

《離散數(shù)學(xué)》——第七章圖論7-1

圖的基本概念7-2路與回路7-3圖的矩陣表示7-4歐拉圖與哈密爾頓圖7-5平面圖7-6對偶圖與著色7-7樹與生成樹7-8根樹及其應(yīng)用緒論圖論的誕生——哥尼斯堡七橋問題

從任意一點出發(fā)，經(jīng)過每座橋恰好一次，再回到原點。1736年，歐拉（Euler）解決了該問題——圖論誕生。

幾個有名的圖論問題四色猜想莫比烏斯（M?bius）于1840年提出：

對地圖上的每個國家著色，使得任意相鄰的兩個國家著不同的顏色，猜想：只需要四種顏。

阿佩爾和哈肯（Appel，Haken）于1976借助計算機花費1200小時證明了該猜想。中國郵遞員問題管梅谷與1960年提出：一個郵遞員，每次送信必須從郵局出發(fā)，走遍他所投遞的區(qū)域內(nèi)的所有街道，最終回到郵局。問：怎樣使他所走的路最短。哥尼斯堡七橋問題：每條邊走恰好一次；中國郵遞員問題：每條邊可以走多次。哈密爾頓圖戲)

求解問題

1859年愛爾蘭數(shù)學(xué)家威廉·哈密爾頓（SirWilliamHamilton）發(fā)明了一個小游戲玩具：一個木刻的正十二面體，每面系正五角形，三面交于一角，共有20個角，每角標(biāo)有世界上一個重要城市。哈密爾頓提出一個問題：要求沿正十二面體的邊尋找一條路通過20個城市，而每個城市只通過一次，最后返回原地。哈密爾頓將此問題稱為周游世界問題。游 抽象為圖論問題

哈密爾頓給出了肯定回答，該問題的解是存在的哈密爾頓回路(圈)哈密爾頓圖運籌學(xué)、計算機科學(xué)和編碼理論中的很多問題都可以化為哈密爾頓圖問題

旅行售貨員問題給出城市之間的距離，一位售貨員從某一城市出發(fā)，經(jīng)過每個城市恰好一次，然后回到出發(fā)的城市，要求他所走的路經(jīng)最短。美國數(shù)學(xué)家威特涅與1934年在普林斯頓的一個討論班上提出。該問題在理論和應(yīng)用上都很有價值，迄今有很多論文研究該問題。圖論及其在計算機科學(xué)中的應(yīng)用例子

圖論在許多領(lǐng)域，諸如，計算機科學(xué)、物理學(xué)、化學(xué)、運籌學(xué)、信息論、控制論、網(wǎng)絡(luò)通訊、社會科學(xué)以及經(jīng)濟(jì)管理、軍事、國防、工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)等方面都得到廣泛的應(yīng)用。在計算機科學(xué)領(lǐng)域，如數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)、語言、算法、數(shù)據(jù)庫、操作系統(tǒng)、人工智能、網(wǎng)絡(luò)理論、開關(guān)理論等方面，圖論扮演著重要的角色。如：數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)中的圖、樹數(shù)據(jù)庫中的網(wǎng)狀模型計算機網(wǎng)絡(luò)中的環(huán)網(wǎng)絡(luò)、星形網(wǎng)絡(luò)等算法設(shè)計與分析、人工智能…并行計算機中的多處理器互連網(wǎng)絡(luò)（MultiprocessorInterconnectionNetwork）無線傳感器網(wǎng)絡(luò)（WirelessSensorNetwork）……多處理器互連網(wǎng)絡(luò)一個多處理器互連網(wǎng)絡(luò)可用一個圖G=（V，E）表示，其中V中的每個頂點v表示一個處理器，E中的每條邊表示處理器之間的鏈路（Hard-link）。應(yīng)用：并行計算機中若干個處理器連接的方式。例：n維超立方體Q_n=(V,E):V中每個頂點表示為一個長度為n的二進(jìn)制串，E中兩個頂點之間有一條邊當(dāng)且僅當(dāng)它們只有一位不同。頂點個數(shù)2n，邊數(shù)：n2n-1。超立方體性并行機：CM-2，nCUBE，IPSC-860，SGIOrigin2000。IBM的藍(lán)色基因/L（Bluegene/L）：65536個處理器，Torus網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)運算速度：2005年IBM的藍(lán)色基因以每秒鐘計算280萬億次浮點運算；2007年每秒鐘計算一千萬億次浮點運算每秒蟬聯(lián)冠軍寶座(Roadrunner)。超級計算機的應(yīng)用：石油勘探、天氣、天文、生物等方面。第七章圖論--緒論圖論起源于智力游戲的難題研究，如哥尼斯堡七橋問題、迷宮問題、匿門博奕問題、四色猜想問題、漢密爾頓（環(huán)游世界）、棋盤上馬的行走線路問題等。圖論的第一篇論文1736年歐拉發(fā)表的，闡述了解決哥尼斯堡七橋問題的思想。歐拉享有“圖論之父”之稱。1847年克?；舴蚶脠D論分析電路網(wǎng)絡(luò)中的電流問題。圖論起源圖論應(yīng)用于工程技術(shù)問題的首篇論文7-1圖的基本概念一、圖的定義二、圖的分類無向圖有向圖混合圖三、幾個基本概念四、結(jié)點度數(shù)的幾個基本定理五、子圖與補圖六、圖的同構(gòu)第七章圖論7-1圖的基本概念--定義圖的定義（定義7-1.1）

一個圖是一個三元組<V(G),E(G),φG>，其中V(G)是一個非空的結(jié)點集合，E(G)是邊集合,φG是從邊集合E到結(jié)點無序偶（或有序偶）集合上的函數(shù)。例1無向圖例2有向圖例3混合圖若把圖中的邊ei看作總是與兩個結(jié)點關(guān)聯(lián)，那么一個圖亦可記為G=<V，E>，其中V是非空結(jié)點集，E是連接結(jié)點的邊集。7-1圖的基本概念目錄若邊ei與結(jié)點無序偶(vj,vk)相關(guān)聯(lián)，則稱該邊為無向邊。若邊ei與結(jié)點有序偶<vj,vk>相關(guān)聯(lián)，則稱該邊為有向邊，其中yj為起點，yk為終點。e2e3abcde1e4e5e6例1G=<V(G),E(G),φG>，其中V(G)={a,b,c,d},E(G)={e1,e2,e3,e4,e5,e6},φG(e1)=(a,b),φG(e2)=(a,c),φG(e3)=(b,d),φG(e4)=(b,c),φG(e5)=(d,c),G(e6)=(a,d)。返回?zé)o向圖----圖中每一條邊為無向邊。7-1圖的基本概念--定義例2G=<V(G),E(G),φG>，其中V(G)={a,b,c,d},E(G)={e1,e2,e3,e4,e5,e6},φG(e1)=<a,b>,φG(e2)=<a,c>,φG(e3)=<b,d>,φG(e4)=<b,c>,φG(e5)=<d,c>,φG(e6)=<a,d>。e2e3abcde1e4e5e6返回有向圖----圖中每一條邊為有向邊。(一般地：<a,b>≠<b,a>)7-1圖的基本概念--定義返回e2e3abcde1e4e5e6混合帝圖--血--圖中騰一些來邊為塵有向曉邊，曉一些閉邊為野無向微邊。例37-危1哭圖的轎基本化概念巨--漁定義7-休1捕圖噸的基杜本概感念-拒--厚幾個傭基本噴概念邊與兩噴個結(jié)路點關(guān)聯(lián)圖的分類無向圖有向圖混合圖鄰接題點無向趟邊有向芬邊平行灰邊鄰接忙邊環(huán)（原或自錦回路）簡單妙圖多重掩圖完全害圖孤立元結(jié)點店零圖臺平湯凡圖結(jié)點儲的度夸數(shù)7-領(lǐng)1圖的遣基本占概念若φG條(e)=睛(a,筋b),或φG睡(e)墳=<a,脂b>,則稱粒邊e與兩埋個結(jié)饑點a,例b關(guān)聯(lián)體。例如仰，e1關(guān)聯(lián)匠于結(jié)談點a，b，e2關(guān)聯(lián)師于結(jié)加點v1，v2。鄰接岡點--由一瘦條有弓向（晚或無邁向）衣邊關(guān)玻聯(lián)的于結(jié)點霞稱為嶺鄰接鈔點。煎如圖訂，a，b互為辜鄰接場點，v1與v2鄰接恰。abe1v1v2e2環(huán)或自回交路--紙-關(guān)聯(lián)溉于同神一結(jié)薪點的型一條絮邊。孤立盡結(jié)點--在一薪個圖栽中不各與任夫何結(jié)卸點相承鄰接恭的結(jié)婚點。零圖—僅由犬孤立管結(jié)點鑄組成種的圖客稱為逝零圖遵。平凡隸圖—僅由一御個孤陜立結(jié)般點構(gòu)皮成的穿圖稱綁為平培凡圖殊。幾個早基本悅概念7-蛾1萬圖蛋的基達(dá)本概膊念-離--雹幾個駐基本利概念鄰接象邊--關(guān)聯(lián)蠟于同刺一結(jié)累點的多條邊。品例如殼，e1,e2,e6互為傅鄰接紙邊。e1e2e6abcd平行吳邊--連接于以同一箱對結(jié)懲點間騰的多會條邊蘇稱為日平行團(tuán)邊。陵如果森是有急向邊王要求閱方向受一致掙。多重國圖--含有平雜行邊旗的圖渡稱為襪多重度圖。簡單督圖—不含平吳行邊泳和環(huán)憤的圖帝。abc幾個娛基本木概念7-傅1晨圖腰的基庭本概庫念-貝--希幾個遲基本息概念完全浮圖(無向準(zhǔn)圖)--在簡漁單圖肆中，吹若每是一對撇不同醫(yī)結(jié)點潑間都村有邊逮相連惱，則結(jié)稱該強圖為族完全那圖。心有n個結(jié)刮點的剩無向蔑完全返圖記流作Kn。如帥果在Kn中，屈給每速條邊半任意撤確定激一個純方向銅，就腿稱該載圖為n個結(jié)叉點的有向椒完全尚圖。7-會1餅圖外的基穩(wěn)本概慣念-圖--鴨幾個款基本私概念幾個史基概敬念完全佩圖的攤性質(zhì)（定理7-澡1.吸4）n個結(jié)俘點的姜無向圖完全察圖Kn的邊咬數(shù)為號：n(汪n-嬌1)/2。定理7-蔬1.逢4證明荒：結(jié)點某的度數(shù)（定用義7-漸1.晉2）在圖G=炸<V，E>，與結(jié)喉點v關(guān)聯(lián)遲的邊編數(shù)，挺稱作斃是該結(jié)點拼的度碎數(shù)，戀記作de虎g(叼v)。圖G=紐奉<V，E>的最科大度Δ(姥G)存=m騾ax畢{d僵eg覆(v旦)|坡v∈塘V(鑒G)愛},圖G=符<V，E>的最葬小度δ(肝G)悉=m源in新{d斃eg招(v詞)|推v∈黑V(中G)揉}。有向披圖中盒結(jié)點算的度襪數(shù)（胳定義7-剃1.探3）在有色向圖亮中，呆射入加一個摩結(jié)點子的邊迷數(shù)稱乖為該俯結(jié)點遲的入度，由詞一個誘結(jié)點生射出勤的邊在數(shù)稱獲為該窯結(jié)點視的出度。結(jié)孕點的豪出度些與入遺度之劇和就兄是該結(jié)點宅的度數(shù)。7-材1階圖牢的基析本概倦念-已--認(rèn)幾個單基本個概念定理7-商1.東1（握里手定寇理）點每防個圖島中，趣所有魔結(jié)點盛度數(shù)悄的總狂和等過于邊兵數(shù)的纏兩倍替，即∑de葉g(v)揭=林2|E|v∈V證明：因為括每條冰邊必男關(guān)聯(lián)杜兩個蒙結(jié)點發(fā)，而婆一條質(zhì)邊給行于關(guān)聯(lián)弄的每呆個結(jié)請點的供度數(shù)刃為1。因名此在箭一個漫圖中詢，結(jié)點度鏈數(shù)的穿度數(shù)吵的總嗚和等沾于邊鉆數(shù)的握兩倍夫。返回位幾個角定理7-塔1昆圖似的基凈本概望念-心--沿幾個倚定理定理7-冬1.侍2在任陰何圖角中，駛度數(shù)桑為奇訓(xùn)數(shù)的景結(jié)點釣必定氏為偶借數(shù)個期。證明：設(shè)V1和V2分別排是G中奇憲數(shù)和東偶數(shù)昌度數(shù)慶的結(jié)緣瑞點集予，則慨由定理7-甜1.填1，有∑de醉g(v)法+∑de毒g(v)孫=∑de膝g(v)磚=璃2|E|v∈舅V1v∈套V2v∈星V由于∑de燃g(姥v)是偶殖數(shù)之高和，肆必為徐偶數(shù)舒，而2|E|是偶賺數(shù)，v∈顯V2故得∑de近g(v)是偶移數(shù)，星即|V1|是偶腿數(shù)。v∈男V1返回粘幾個敘定理7-臘1凡圖繞的基陽本概骨念-訓(xùn)--潮幾個抵定理定理7-郵1.泉3在任澤何有救向圖女中，眾所有利結(jié)點伯的入硬度之立和等游于所有結(jié)浮點的罪出度考之和動。證明：因為蕉每一芒條有揪向邊頁必對坑應(yīng)一籠個入筋度和憂一個熱出度績，若一個拔結(jié)點長具有泰一個茫入度型或出毛度，驗則必御關(guān)聯(lián)毫一條縱有向萍邊。所以宣，有芽向圖什中各伯結(jié)點偏入度驕之和考等于津邊數(shù)站，各點結(jié)點災(zāi)出度之和即也等偵于邊氧數(shù)，先因此叛，任稼何有蒜向圖渾中，姻入度守之和登等于出度泊之和比。返回間幾個汽定理7-仇1施圖胖的基證本概艇念-跨--樹幾個論定理定理7-絡(luò)1.薯4n個結(jié)興點的那無向鋼完全舉圖Kn的邊貸數(shù)為n(n-1鉗)/2。證明：在Kn中，源任意識兩個命結(jié)點舊間都懲有邊咳相連普，n個結(jié)訓(xùn)點中任取災(zāi)兩點圖的組犬合數(shù)恒為：Cn2=n(n-1鄭)/2故Kn的邊數(shù)關(guān)為：|E瞎|=n(n-1員)/2。返回7-凱1技圖餓的基奏本概浴念-勤--鞋幾個席定理子圖（定義7-畝1.立7）設(shè)圖G=只<V，E>，若椒有一播個圖G’箭=<蔽V’友,E膀’>滿足V’V且E’E,則稱G’為G的子蘆圖。例如:下圖銷中(b冠)，(c漂)都是(a披)的子理圖。(a)(b)(c)7-瓦1去圖凱的基卡本概歸念-效--倘子圖返回圖G相對首于完棗全圖喂的補桌圖（定義7-液1.貫6）給定勒一個寸圖G，由G中所押有結(jié)宜點和潮所有慨能使G成為參完全圖的醬添加自邊組流成的準(zhǔn)圖，儀稱為G的相禾對于校完全啊圖的賊補圖但，或簡稱如為G的補陡圖，燒記作G。例如茂：子圖G’的相仁對于恨圖G的補傘圖（定義7-神1.隔8）設(shè)G’魔=<快V’柜,E途’>是G=狡<V院,E銀>的一律個子晶圖，張若給挪定另醒外一千個圖G”餡=<始V”慚,E羅”>使得E”灘=E穩(wěn)-E廢’，且V”中僅包緊含E”的邊畢所關(guān)竄聯(lián)的腿結(jié)點黃，則樣稱G”是子圖G’的相對靜于圖G的補帥圖。例如能：7-朋1遠(yuǎn)圖芬的基密本概仇念-拉--行補圖返回7-年1圖G相對偏于完陣全圖燃的補膜圖(定義7-錯1.齒6)給定暈一個桿圖G，由G中所豬有結(jié)儀點和雞所有旅能使G稱為棚完全圖的閃添加格邊組甘成的陪圖，殊稱為G的相晨對于茅完全窯圖的深補圖段，或簡稱解為G的補核圖，料記作G。例如晝：(a)(b)(c)7-腥1洗圖殃的基女本概芹念-嘆--詠補圖返回子圖G’的相鎖對于頓圖G的補脅圖（定義7-涉1.臺8）設(shè)G’遙=<期V’姻,E破’>是圖G=娛<G蛇,E樂>的子圖，縮慧若給剖定另漏外一好個圖G”概=<毯V”們,E蜘”>使得E”稻=E賽-E娛’，且V”中僅包賴含E”的邊惹所關(guān)擁聯(lián)的友結(jié)點徹，則巨稱G”是子源圖G’的相對核于圖G的補揀圖。例如他：圖(c躲)是圖(b褲)相對教于圖(a吐)的補警圖。鋸圖(b壺)不是圖(c幣)相對足于圖(a帳)的補駐圖。7-丹1榨圖羅的基杏本概豪念-挑--愉補圖返回圖的意同構(gòu)奧（定朋義7-唇1.輝9）設(shè)圖G=刃<V敞,E耐>及圖G’趨=<評G’戰(zhàn),E棵