第七章數(shù)值積分與數(shù)值微分

（優(yōu)選）第七章數(shù)值積分與數(shù)值微分目前一頁\總數(shù)五十四頁\編于四點2數(shù)值積分微積分基本公式：(3)

f(x)

表達式未知，只有通過測量或?qū)嶒灥脕淼臄?shù)據(jù)表但是在許多實際計算問題中(2)

F(x)

難求！甚至有時不能用初等函數(shù)表示。如(1)

F(x)

表達式較復(fù)雜時，計算較困難。如目前二頁\總數(shù)五十四頁\編于四點3幾個簡單公式矩形公式梯形公式基本思想：目前三頁\總數(shù)五十四頁\編于四點4一般形式數(shù)值積分公式的一般形式求積節(jié)點求積系數(shù)求積公式將定積分計算轉(zhuǎn)化成被積函數(shù)的函數(shù)值的計算無需求原函數(shù)易于計算機實現(xiàn)一般地，用f(x)在[a,b]上的一些離散點

a

x0

<x1

<···

<xn

b

上的函數(shù)值的加權(quán)平均作為f()的近似值，可得目前四頁\總數(shù)五十四頁\編于四點5代數(shù)精度定義：如果對于所有次數(shù)不超過m的多項式f(x)，公式精確成立，但對某個次數(shù)為m+1

的多項式不精確成立，則稱該求積公式具有

m次代數(shù)精度將f(x)=1,x,x2,…,xm依次代入，公式精確成立;但對f(x)=xm+1不精確成立。即：(k=0,1,…,m)代數(shù)精度的驗證方法目前五頁\總數(shù)五十四頁\編于四點6舉例例：試確定Ai，使得下面的求積公式具有盡可能高的代數(shù)精度解：將f(x)＝1,x,x2,…,xn

代入求積公式，使其精確成立，得……存在唯一解：所以求積公式為：具有至少n

階代數(shù)精度目前六頁\總數(shù)五十四頁\編于四點7舉例例：試確定系數(shù)Ai，使得下面的求積公式具有盡可能高的代數(shù)精度，并求出此求積公式的代數(shù)精度。解：將f(x)＝1,x,x2代入求積公式，使其精確成立，可得解得A0=1/3,A1=4/3,A2=1/3。所以求積公式為易驗證該公式對f(x)＝x3也精確成立，但對f(x)＝x4不精確成立，所以此求積公式具有3次代數(shù)精度。目前七頁\總數(shù)五十四頁\編于四點8舉例例：試確定下面求積公式中的系數(shù)，使其具有盡可能高的代數(shù)精度。將f(x)＝x3代入，等號不成立，故公式具有2次代數(shù)精度。解：將f(x)＝1,x,x2代入求積公式，使其精確成立，可得解得A0=2/3,A1=1/3,B0=1/6。所以求積公式為目前八頁\總數(shù)五十四頁\編于四點9代數(shù)精度容易驗證：

左矩形公式和右矩形公式具有零次代數(shù)精度

中矩形公式和梯形公式具有一次代數(shù)精度特別地，任意具有m(0)

次代數(shù)精度的求積公式一定滿足：目前九頁\總數(shù)五十四頁\編于四點10插值型求積公式設(shè)求積節(jié)點為：a

x0

<x1

<···

<xn

b

若f(xi)

已知，則可做n

次多項式插值：其中插值型求積公式目前十頁\總數(shù)五十四頁\編于四點n

n=1:梯形公式代數(shù)精度=1目前十一頁\總數(shù)五十四頁\編于四點n=2:Simpon公式Simpon公式的代數(shù)精度為3目前十二頁\總數(shù)五十四頁\編于四點13誤差：其中插值型求積公式當f(x)＝1,x,x2,…,xn

時，有即公式精確成立目前十三頁\總數(shù)五十四頁\編于四點14插值型求積公式性質(zhì)：插值型求積公式具有至少n

次代數(shù)精度定理：下面的求積公式具有至少n

次代數(shù)精度的充要條件是該公式是插值型的目前十四頁\總數(shù)五十四頁\編于四點15求積公式余項性質(zhì)：若求積公式的代數(shù)精度為m，則余項為其中K

為待定系數(shù)，但與f(x)無關(guān)如何確定K

的值？將f(x)=xm+1

代入可得目前十五頁\總數(shù)五十四頁\編于四點16舉例例：試確定梯形公式的余項表達式解：梯形公式代數(shù)精度為1，故所以梯形公式的余項為目前十六頁\總數(shù)五十四頁\編于四點17舉例例：試確定下面的求積公式的余項表達式解：由前面的計算可知，該公式的代數(shù)精度為2，故所以該公式的余項為目前十七頁\總數(shù)五十四頁\編于四點18收斂性定義：如果求積公式滿足則稱該求積公式是收斂的。設(shè)求積節(jié)點為：a

x0

<x1

<···

<xn

b

，令xi=xi–xi-1目前十八頁\總數(shù)五十四頁\編于四點19穩(wěn)定性定義：對

>0，若存在>0，使得當(i=0,1,…,n)

時，有則稱該求積公式是穩(wěn)定的。定理：若Ai>0,i=0,1,…,n，則下面的求積公式是穩(wěn)定的目前十九頁\總數(shù)五十四頁\編于四點20第七章

數(shù)值積分與數(shù)值微分數(shù)值分析——Newton-Cotes公式復(fù)合求積公式目前二十頁\總數(shù)五十四頁\編于四點21本講內(nèi)容公式介紹代數(shù)精度余項表達式

Newton-Cotes公式復(fù)合求積公式復(fù)合梯形公式復(fù)合Simpson公式目前二十一頁\總數(shù)五十四頁\編于四點22Newton-Cotes公式基于等分點的插值型求積公式積分區(qū)間：[a,b]求積節(jié)點：

xi=a

+

ih

求積公式：Cotes系數(shù)Newton-Cotes求積公式目前二十二頁\總數(shù)五十四頁\編于四點23Newton-Cotes公式n=1:代數(shù)精度=1梯形公式n=2:代數(shù)精度=3拋物線公式Simpson公式n=4:科特斯(Cotes)公式代數(shù)精度=5目前二十三頁\總數(shù)五十四頁\編于四點24Cotes系數(shù)表Cotes系數(shù)與被積函數(shù)f(x)及積分區(qū)間[a,b]無關(guān)可通過查表獲得目前二十四頁\總數(shù)五十四頁\編于四點25N-C公式

Cotes系數(shù)具有以下特點：(1)(2)(3)當n8時，出現(xiàn)負數(shù)，穩(wěn)定性得不到保證。而且當n較大時，由于Runge現(xiàn)象，收斂性也無法保證。當n7時，Newton-Cotes公式是穩(wěn)定的一般不采用高階的牛頓-科特斯求積公式目前二十五頁\總數(shù)五十四頁\編于四點26N-C公式代數(shù)精度定理：當n

為偶數(shù)時，Newton-Cotes公式至少有n+1階代數(shù)精度定理：n

階Newton-Cotes公式至少有n

階代數(shù)精度證：只要證明當n為偶數(shù)時，公式對f(x)＝xn+1精確成立。x

=a

+tht

=n

-s即目前二十六頁\總數(shù)五十四頁\編于四點27N-C公式余項梯形公式(n=1)

的余項

Simpson公式(n=2)

的余項

Cotes公式(n=4)

的余項目前二十七頁\總數(shù)五十四頁\編于四點28復(fù)合求積公式提高積分計算精度的常用兩種方法用復(fù)合公式

用非等距節(jié)點將積分區(qū)間分割成多個小區(qū)間在每個小區(qū)間上使用低次牛頓－科特斯求積公式復(fù)合求積公式目前二十八頁\總數(shù)五十四頁\編于四點29復(fù)合梯形公式將[a,b]分成n等分[xi,xi+1]

，其中(i=0,1,…,n)復(fù)合梯形公式余項目前二十九頁\總數(shù)五十四頁\編于四點30復(fù)合Simpson公式余項性質(zhì)：復(fù)合梯形公式和復(fù)合Simpson公式都是收斂的，也都是穩(wěn)定的。44444目前三十頁\總數(shù)五十四頁\編于四點31舉例解：例：設(shè)，利用下表中的數(shù)據(jù)分別用復(fù)合梯形公式和復(fù)合simpson公式計算定積分，并估計誤差。

xi01/82/83/84/85/86/87/81.0f(xi)10.9970.9900.9770.9540.9360.9090.8770.841目前三十一頁\總數(shù)五十四頁\編于四點32舉例誤差估計目前三十二頁\總數(shù)五十四頁\編于四點

收斂速度與誤差估計：定義若一個積分公式的誤差滿足且C0，則稱該公式是p

階收斂的。~~~例：計算解：其中=3.138988494其中=3.141592502目前三十三頁\總數(shù)五十四頁\編于四點34舉例解：例：計算定積分用復(fù)合梯形公式和復(fù)合simpson公式時，n

分別取多大時才能使得誤差不超過0.510-5要使誤差不超過0.510-5，需要故取n=213213等分復(fù)合梯形公式目前三十四頁\總數(shù)五十四頁\編于四點35舉例復(fù)合simpson公式要使誤差不超過0.510-5，需要故取n=48等分目前三十五頁\總數(shù)五十四頁\編于四點第七章

數(shù)值積分

與數(shù)值微分第四節(jié)變步長算法目前三十六頁\總數(shù)五十四頁\編于四點太大利用復(fù)合梯形公式、復(fù)合simpson公式、復(fù)合Cotes公式等計算定積分時，如何選取步長h？計算精度難以保證太小增加額外的計算量解決辦法：采用變步長算法變步長算法通常采取將區(qū)間不斷對分的方法，即取n=2k

，反復(fù)使用復(fù)合求積公式，直到相鄰兩次計算結(jié)果之差的絕對值小于指定的精度為止。目前三十七頁\總數(shù)五十四頁\編于四點變步長梯形法步長折半：[xi,xi+1/2]

，[xi+1/2,xi+1]將[a,b]分成n等分[xi,xi+1]

，n=20,21,22,…xixi+1xi+1/2目前三十八頁\總數(shù)五十四頁\編于四點舉例（一）解：例：用變步長梯形公式計算積分，要求計算精度滿足kTn

(

n=2k)00.92073549210.93979328520.94451352230.94569086440.94598503050.94605856160.94607694370.94608153980.94608268790.946082975100.946083046目前三十九頁\總數(shù)五十四頁\編于四點梯形法的加速變步長梯形法算法簡單，編程方便梯形法的加速－－龍貝格(Romberg)算法變步長梯形法中止依據(jù)但收斂速度較慢。目前四十頁\總數(shù)五十四頁\編于四點梯形法的加速（續(xù)）由來計算

效果是否會更好些？=(4*0.945690864-0.944513522)/3=

0.94608331精確值：0.946083070367…事實上目前四十一頁\總數(shù)五十四頁\編于四點龍貝格公式同理可得一般地，有龍貝格公式注：(1)上述加速技巧稱為龍貝格求積算法；(2)每加速一次，計算精度提高二階；(3)該技巧可以不斷繼續(xù)下去，但通常最多用到龍貝格公式。目前四十二頁\總數(shù)五十四頁\編于四點Romberg算法<

?①

T1=T0(0)②

T2=T0(1)③

S1=T1(0)④

T4=T0(2)⑤

S2=T1(1)⑥

C1=T2(0)<

?⑦

T8=T0(3)⑧

S4=T1(2)⑨

C2=T2(1)<

?⑩

R1=T3(0)記:目前四十三頁\總數(shù)五十四頁\編于四點舉例（二）例：用龍貝格算法計算，要求精度k00.9207354910.939793280.9461458820.944513520.946086930.9460830030.945690860.946083310.946083070.94608307解：逐步計算(k)T02k(S)(k)T1(k)T2(k)T32k(R)2k(T)2k(C)目前四十四頁\總數(shù)五十四頁\編于四點45第七章

數(shù)值積分與數(shù)值微分數(shù)值分析——Gauss求積公式目前四十五頁\總數(shù)五十四頁\編于四點46Gauss型求積公式考慮求積公式含2n+2個參數(shù)(節(jié)點與系數(shù)),為了使該公式具有盡可能高的代數(shù)精度,可將f(x)=1,x,x2,…,x2n+1代入公式,使其精確成立,則可構(gòu)造出代數(shù)精度至少為2n+1

的求積公式!目前四十六頁\總數(shù)五十四頁\編于四點47舉例例：試確定節(jié)點xi和系數(shù)Ai，使得下面的求積公式具有盡可能高的代數(shù)精度，并求出此求積公式的代數(shù)精度。解：將f(x)＝1,x,x2,x3代入求積公式，使其精確成立，可得易驗證該公式對f(x)＝x4不精確成立，所以此求積公式具有3次代數(shù)精度。非線性方程組求解較困難目前四十七頁\總數(shù)五十四頁\編于四點48第七章

數(shù)值積分與數(shù)值微分數(shù)值分析——數(shù)值