高等數(shù)學2期末復習題與答案

高等數(shù)學2期末復習題與答案高等數(shù)學2期末復習題與答案/高等數(shù)學2期末復習題與答案《高等數(shù)學》2期末復習題一、填空題：1.函數(shù)zx2y21ln(3x2y2)的定義域是1≦X^2+Y^2<3.2.設z(1x)y,則z(1x)yln(1x).y3.函數(shù)zln(1x2y2)在點(1,2)的全微分dz(1,2)1dx2dy334．設f(xy,xy)x2y2,則f(x,y).設f(xy,y)x2y2,則f(x,y).x5.設zeusinv而uxyvxy則zexy[xsin(xy)cos(xy)]y6．函數(shù)zx2y2在點（1，2）處沿從點（23）的方導游數(shù)是1231，2）到點（2，7.改換積分次序22y11y2.0dyy2f(x,y)dx；0dyy1f(x,y)dx8．若L是拋物線y2x上從點A(1,1)到點B的一段弧，則xydx=(1,1)L9.微分方程(1e2x)dyye2xdx0的通解為.二、選擇題：1．limtan(xy)等于（）（上下求導）(x,y)(2,0)yA．2，B.1C.0D.不存在22．函數(shù)zxy的定義域是（D）A．(x,y)x0,y0B.(xy)x2y,C.xyy0,x2yD．(x,y)x0,y0,x2y(,)3.f(x,y)|(x0,y0)（B）xA.limf(x0x,y0y)f(x0,y0)B.limf(x0x,y0)f(x0,y0)0x0xxxC.limf(x0x,y0y)f(x0x,y0)D.limf(x0x,y0)0xxxx0本源于網(wǎng)絡5.設zF(x2y2)，且F擁有導數(shù)，則zz（D）xyA.2x2y；B.(2x2y)F(x2y2)；C.(2x2y)F(x2y2)；D.(2x2y)F(x2y2).6．曲線xacost，yasint，zamt，在t處的切向量是（D）4A．(1,1,2)B.(1,1,2)C.(1,1,2m)D.(1,1,2m)7．關于函數(shù)f(x,y)x2xy，原點(0,0)（A）A．是駐點但不是極值點B.不是駐點C.是極大值點D.是極小值點8．設I=5x2y21dxdy，其中D是圓環(huán)1x2y24所確定的閉地域，則必有（）DA．I大于零B.I小于零C.I等于零D.I不等于零，但符號不能夠確定。9.已知L是平面上不包含原點的任意閉曲線，若曲線積分xdxaydy0，則a等于（）Lx2y2.A-1B1C2D-210．若L為連接(1,0)及(0,1)兩點的直線段，則曲線積分(xy)ds=（）LA．0B.1C.2D.211.設D為x2y22y,則f(x2y2)dxdy（）D2dy2yy2f(x2y2)dx；B.21f(r2)rdrA.00d；00C.d2sinf(r2)rdr；D.12f(x2y2)dy.01dx0012.微分方程ex(yy)1的通解為（）A.yexxxc；C.y(xc)ex；D.ycxexc；B.ye13.（）是微分方程yyex在初始條件yx01,yx01下的特解.A.yc1c2xex；B.yxex；C.y12xex；D.y1xex.三、計算題：1.設zf(exsiny,x3y3)，求z及z，其中f擁有一階連續(xù)偏導數(shù).xy2．設xyuv，求u，vxsinvysinuxx本源于網(wǎng)絡3．求旋轉拋物面zx2y21在點(2,1,4)處的切平面及法線方程。4．求函數(shù)f(x,y)x3y33x23y29x的極值5．計算xy2dxdy，其中D是由圓周x2y24及y軸所圍成的右D半閉地域.26．計算eydxdy，其中D是以O（0,0），A（1,1），B（0,1）為極點的三角D形閉地域.7.計算xdxdydz，其中是三個坐標面與平面xyz1所圍成的地域.8.計算(2xy4)dx(3x5y13)dy，其中L為圓x2y225的正向界線。L9.計算曲線積分(y3x)dy(x3y)dx,其中L是從O(0,0)沿上半圓x2y22x到A(2,0).L10.考據(jù)：在整個xoy面內，4sinxsin3ycosxdx3cos3ycos2xdy是某個函數(shù)的全微分，并求出這樣的一個函數(shù).求微分方程(x21)y2xy4x2的通解.12.求解微分方程的特解：(y23x2)dy2xydx0,y(0)113.解微分方程yy(y)2(y)30.四、應用題：用鋼板制造一個容積為V的無蓋長方形水池，應如何選擇水池的長、寬、高才最省鋼板.已知矩形的周長為24cm，將它繞其一邊旋轉而構成一圓柱體，試求所得圓柱體體積最大時的矩形面積.求拋物線y24x與曲線y2x所圍成的閉地域的面積.4.求拋物面z6x2y2與錐面zx2y2所圍成的立體的體積.高等數(shù)學2期末復習題答案一、填空題：1、{(x,y)1x2y23}2、(1x)yln(1x)3、1dx2dy334、x22y;x2(1y)5、exy[xsin(xy)cos(xy)]1y6、123（注：方導游數(shù)

fl

fx(x0,y0)cosfy(x0,y0)cos）(x0,y0)本源于網(wǎng)絡4x01x11x27、dxxf(x,y)dy；dxf(x,y)dydx0f(x,y)dy02100、4（注：014）9、22x8xydxx(x)dxxxdx5y(1e)C5L10二、選擇題：1、A;2.D;3.B;4.缺5.D;6.D;7.A;8.A;9.A;10.C;C;12.C;13.D三、計算題：1.解：令uexsiny,vx3y3，則解：兩方程分別兩邊對x求偏導數(shù)，注意u,v是關于x,y的二元函數(shù)，得1uvuvxxx1即xsinvxvyuuvsinvcovsucosycosuxcosvxxxx這是以u,v為未知量的二元線性方程組。xx當J11(xcosvycosu)0時，有ycosuxcosvu111xcosvsinv，v111sinvycosuxJsinvxcosvxcosvycosuxJycosusinvxcosvycosu3.解：旋轉拋物面zx2y21在點(2,1,4)處的切向量于是，所求切平面方程為4(x2)2(y1)(z4)0，即4x2yz60法線方程為x2y1z4421f3x26x904.解：解方程組x，f3y26y0y得四個駐點P1(1,0),P2(1,2),P3(3,0),P4(3,2).又fxx6x6,fxy0,fyy6y.6對1B20,且A0,則P1(1,0)是函數(shù)的極小值點；P(1,0),AC對P2(1,2),ACB20,則P(1,2)不是極值點；2本源于網(wǎng)絡4sinxcosx3cos3yP(3,0),ACB20,則P3(3,0)不是極值點；對3對P4(3,2),ACB20,且A0,則P4(3,2)是函數(shù)的極大值點.于是，函數(shù)有極小值f(1,0)1395，極大值f(3,2)27827122731.5.解：利用極坐標變換，令xrcos,yrsin，則dxdyrdrd，且D可表示為：0r2,.于是221r521sin325032

.156.解：三角形地域D由直線yx,y1及y軸圍成，選擇先對x積分，ey21yy2dx12dy1edxdydyeyeyD0002

120

(1e1).2（注：此題也能夠參看課本167頁例2的解法）解題過程見課本124頁例1.8.P(x,y)2xy4,Q(x,y)3x5y132225上全在連續(xù)的偏導數(shù)，解：在L圍成的圓域D:xyPQ3，從而QP4.于是由格林公式，得y1,xyx(2xy4)dx(3x5y13)dy4dxdy4dxdy425100.LDD9.解：P(x,y)x3y,Q(x,y)y3x，有P1Q在整個xoy平面上恒成立，因此曲線積yx分與路徑沒關，故可取x軸上線段OA作為積分路徑.OA的方程為y0，且x從0變到2，dy0，從而21x42(y3x)dy(x3y)dx(y3x)dy(x3y)dx3dx4.xLOA040解：P(x,y)Py

4sinxsin3ycosx,Q(x,y)3cos3ycos2x，有6sin2xcos3y，Q3cos3y2(sin2x)6sin2xcos3y，x本源于網(wǎng)絡即有PQ在整個xoy平面上恒成立，因此在整個xoy面內，4sinxsin3ycosxdx3cos3ycos2xdyyx是某個函數(shù)的全微分.取ARB為積分路徑，其中各點坐標分別為A(0,0),R(x,0),B(x,y)，得3cos2x1sin3y3

ysin3ycos2x.011.解法一：方程可改寫為y2xy4x2，這是一階非齊次線性微分方程.先求對應的齊次x21x21線性方程的通解.由y2xy0，分別變量，得dy2xdx，兩邊積分，解得yC1.x21yx21x21用常數(shù)變易法，將C1換成C(x).即yC(x)，y1C(x)2xC(x).x21222x1(x1)代入原方程，化簡得C(x)4x2.故C(x)4x3C.1(4x33于是方程的通解為yC).x213解法二：方程可改寫為y2x4x2.x2yx211這是一階非齊次線性微分方程，其中P(x)2x,Q(x)4x2.利用通解公式x21x211[4x2(x21)dxC]x1(4x3C).x21x21213課本212頁第8題第（1）小題。解：原方程可寫成x2xdxxdxdu13y22ydy0.令uy，即xyu，有dyuydy，則原方程成為13u22u(uydu)0，分別變量，得2u1dudy.兩邊積分，得u21Cy.dyu2y代入ux并整理，得通解x2y2Cy3.y由初始條件x0,y1,得C1.于是所求特解為y3y2x2.解題過程見課本212頁例5.四、應用題：本源于網(wǎng)絡1.解法一：設水池的長、寬、高分別是x,y,z.已知xyz=V，從而高zV，水池表面的面積xyS的定義域D{(x,y)0x,0y}.這個問題就是求二元函數(shù)S在地域D內的最小值.Sy2V(1)y2V0,xx2x2解方程組在地域D內解得唯一得駐點32V,32V.Sx2V(1)x2V0.yy2y2依照實責問題可知最小值在定義域內必存在,因此可判斷此唯一駐點就是最小值點.即當長，寬均為32V，高為2V時，水池所用資料最省.2解法二：設水池的長、寬、高分別是x,y,z.已知xyz=V，水池表面的面積S的定義域D{(x,y,z)x0,y0,z0}.此題就是求函數(shù)Sxy2(xzyz)在拘束條件xyz=V下的最小值.構造拉格朗日函數(shù)Lxy2(xzyz)(xyzV).L2zyz0,即xy2xzxyz0(1)yxL2zxz0,即xy2yzxyz0(2)x解方程組yL2yxy0,即2xz2yzxyz0(3)2xzLV0.(4)xyz比較（1），（2），（3）式，得x=y=2z，代入（4）式中，有x32V,即x32V.于是，x,y,z只有唯一一組解32V,32V,32V.2由問題的實質意義最小值在定義域內必存在.因此，函數(shù)S在其唯一駐點32V,32V,32V處2必獲取最小值.故當長方形水池的長，寬，高分別是32V,32V,32V時所用資料最省.22.解題過程見課本98頁例4.3.利用二重積分求閉地域的面積本源于網(wǎng)絡解：所求地域的面積為Adxdy，其中D為拋物線y2與曲線y2x所圍成的閉地域.兩4xD曲線交于兩點（0,0），（1,2）.選擇先對x積分，于是，2y122141Adxdyy22dx.dy4(2yy)dy33D0404利用三重積分計算立體的體積.解法一：所求立體的體積為Vdxdydz，其中是拋物面z6x2y2與錐面zx2y2所圍成的立體.利用直角坐標計算.由z6x2y2與zx2y2消去z，解得x2y22，即在xoy面上的投影地域D為圓域x2y24.于是{(x,y,z)x2y2z6(x2y2),x2y24}.6(x2y2)因此VdxdydzDdxdyx2y2