高中數(shù)學(xué)人教A版圓與方程直線與圓的位置關(guān)系-數(shù)學(xué)-高中-李侍川-通川區(qū)蒲家中學(xué)校 獲獎作品

(1)直線方程一般式：Ax+By+C=0(A,B不同時為零)；(2)圓的標準方程(x-a)2+(y-b)2=r2,圓心為(a,b),半徑為r；(3)圓的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0(其中D2+E2-4F＞0)，圓心為(-,-),半徑為

；(4)點P(x0,y0)到直線Ax+By+C=0（A2+B2≠0）的距離是

。問題：一艘輪船在沿直線返回港口途中,接到氣象臺的臺風(fēng)預(yù)報:臺風(fēng)中心位于輪船正西70km處,受影響的范圍是半徑長為30km的圓形區(qū)域.已知港口位于臺風(fēng)中心正北40km處,如果這艘輪船不改變航線,那么它是否會受到臺風(fēng)的影響?

以臺風(fēng)中心為原點O,東西方向為x軸,建立直角坐標系,取10km為單位長度.港口輪船圓O的方程為:輪船航線所直線的方程為問題歸結(jié)為圓心為O的圓與直線有無公共點.我們一起來回憶直線與圓的位置關(guān)系:直線與圓的位置關(guān)系公共點個數(shù)圓心到直線的距離d與半徑r的關(guān)系圖形相交兩個d＜r相切只有一個d=r相離沒有d>r例1已知直線和圓心為C的圓

,判斷直線l與圓的位置關(guān)系;如果相交,求它們交點的坐標.分析:1、看由它們的方程組成的方程組有無實數(shù)解;2、依據(jù)圓心到直線的距離與半徑長的關(guān)系,判斷直線與圓的位置關(guān)系.解法一:由直線與圓的方程,得①②消去y,得因為所以,直線l與圓相交,有兩個公共點.解法二:將圓化成標準方程,得圓心坐標為(0,1),半徑長為圓心到直線l的距離是所以,直線l與圓相交,有兩個公共點.由,解得把代入方程①,得;把代入方程①,得;所以,直線l與圓有兩個交點,它們的坐標分別是M(-3,-3)例2已知過點M(-3,-3)的直線l被圓所截得的弦長為,求直線l的方程.解:將圓的方程寫成標準形式,得所以,圓心的坐標是(0,-2),半徑長r=5.M(-3,-3)

直線l被圓所截得的弦長是,所以弦心距為即圓心到所求直線l

的距離為.

因為直線l過點M(-3,-3),所以可設(shè)所求直線l的方程為即

根據(jù)點到直線的距離公式,得到圓心到直線l的距離即兩邊平方,并整理得到解得所以,所求直線l有兩條,它們的方程分別為或即判斷直線l與圓C的位置關(guān)系有兩種方法.方法一:判斷直線l與圓C的方程組成的方程是否有解.(代數(shù)方法)兩組實數(shù)解相交一組實數(shù)解相切無實數(shù)解相離把直線方程與圓的方程聯(lián)立成方程組求出其Δ的值比較Δ與0的大小:

當(dāng)Δ<0時,直線與圓相離；當(dāng)Δ=0時,直線與圓相切;當(dāng)Δ>0時,直線與圓相交。主要步驟：利用消元法，得到關(guān)于另一個元的一元二次方程

方法二:判斷圓C的圓心到直線l的距離d與圓的半徑r的關(guān)系.(幾何方法)d＜r直線l與圓C相交;d=

r直線l與圓C相切;d＞

r直線l與圓C相離;主要步驟：利用點到直線的距離公式求圓心到直線的距離作判斷:當(dāng)d>r時，直線與圓相離；當(dāng)d=r時，直線與圓相切;當(dāng)d<r時，直線與圓相交把直線方程化為一般式,利用圓的方程求出圓心和半徑課堂練習(xí)1．直線x＋2y－3＝0被圓截得的弦為AB，則AB的弦心距是________，弦長|AB|＝

．答案:,.課堂練習(xí)2.已知直線l：y＝k(x－5)及圓．(1)若直線l與圓相切，求k值；(2)若直線l與圓交于A、B兩點，求當(dāng)k變動時，弦AB的中點的軌跡．答案:(1)k＝±；(2)圓的一段弧(0≤x≤).課堂小結(jié)

解直線與圓的位置關(guān)系問題一般可