隱函數及參數方程求導

關于隱函數及參數方程求導第1頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月2定義1.隱函數的定義所確定的函數一、隱函數的導數稱為隱函數(implicitfunction).的形式稱為顯函數.隱函數的可顯化為函數例開普勒方程開普勒(J.Kepler)1571-1630德國數學家,天文學家.的隱函數客觀存在,但無法將表達成的顯式表達式.顯化.第2頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月32.隱函數求導法隱函數求導法則

用復合函數求導法則,并注意到其中將方程兩邊對x求導.變量y是x的函數.隱函數不易顯化或不能顯化？如何求導第3頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月4隱函數求導方法:

兩邊對

x

求導(含導數的方程)解第4頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月5

雖然隱函數沒解出來,但它的導數求出來了,當然結果中仍含有變量y.允許在的表達式中含有變量y.一般來說,隱函數求導,

求隱函數的導數時,只要記住x是自變量,將方程兩邊同時對x求導,就得到一個含有導數從中解出即可.于是y的函數便是x的復合函數,的方程.y是x的函數,第5頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月6解解得23)4(xy-)112(2-￠×yy第6頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月7例2.解第7頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月8例3.求橢圓在點處的切線方程.解:

橢圓方程兩邊對

x

求導故切線方程為即第8頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月練習解在題設方程兩邊同時對自變量求導,得解得求由方程所確定的函數在點處的切線方程.在點處于是,在點處的切線方程為即第9頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月10對數求導法1.方法:2.適用范圍:先在兩邊取對數,然后利用隱函數的求導方法求出y的導數.適用于冪指函數及某些用連乘,連除表示的函數.例如冪指函數：兩端對x求導：第10頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月11例.解等式兩邊取對數得也可這樣求:第11頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月12例.解等式兩邊取對數得第12頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月13另例兩邊取對數兩邊對

x求導第13頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月二、由參數方程所確定的函數的導數例如消去參數問題:消參困難或無法消參如何求導?第14頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月由復合函數及反函數的求導法則得第15頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月?由于思考與討論:則第16頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月17若上述參數方程中二階可導,且則由它確定的函數可求二階導數.利用新的參數方程,可得第17頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月例.解

所求切線方程為第18頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月例求由擺線的參數方程所表示的函數的二階導數.t一個圓沿一直線緩慢地滾動，則圓上一固定點所經過的軌跡稱為擺線．第19頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月解第20頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月練習：解第21頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月22例.拋射體運動軌跡的參數方程為求拋射體在時刻t的運動速度的大小和方向.解:

先求速度大小:速度的水平分量為垂直分量為故拋射體速度大小再求速度方向(即軌跡的切線方向):設

為切線傾角,則第22頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月23拋射體軌跡的參數方程速度的水平分量垂直分量達到最高點的時刻高度落地時刻拋射最遠距離速度的方向第23頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月三、相關變化率相關變化率問題:已知其中一個變化率時如何求出另一個變化率?第24頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月25為兩可導函數之間有聯系之間也有聯系稱為相關變化率相關變化率問題解法:找出相關變量的關系式對

t求導得相關變化率之間的關系式求出未知的相關變化率第25頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月26例.一氣球從離開觀察員500m處離地面鉛直上升,其速率為當氣球高度為500m時,觀察員視線的仰角增加率是多少?解:設氣球上升

t

分后其高度為h

,仰角為

,則兩邊對

t求導已知

h=500m時,第26頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月27思考題:當氣球升至500m

時停住,有一觀測者以100m／min的速率向氣球出發(fā)點走來,當距離為500m時,仰角的增加率是多少?提示:

對

t求導已知求第27頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月28試求當容器內水例.有一底半徑為Rcm,高為hcm的圓錐容器,今以自頂部向容器內注水,位等于錐高的一半時