曲線曲面表示

第九章曲線曲面表示曲線曲面的表示是計(jì)算機(jī)圖形學(xué)的重要內(nèi)容。它是描述物體外形、建立物體數(shù)學(xué)模型的有力工具。在計(jì)算機(jī)圖形學(xué)中，曲線曲面都是采用分段或分片參數(shù)多項(xiàng)式的形式。采用分段參數(shù)方式有很多好處：曲線曲面形狀不依賴坐標(biāo)系的選取；有直觀簡便的人機(jī)交互手段；容易離散生成；造型靈活、易于拼接。本章介紹一些常用曲線曲面的算法和性質(zhì)。顯式、隱式和參數(shù)表示曲線（面）的顯式表示：y=f(x)曲線（面）的隱式表示：f(x，y)=0曲線（面）的參數(shù)表示：x=x(t),y=y(t)顯式表示特點(diǎn)：每一個(gè)x值只能對(duì)應(yīng)一個(gè)y值；不能表示封閉或多值曲線，例如圓。隱式表示特點(diǎn)：可以表示封閉或多值曲線。非參數(shù)表示（顯、隱）特點(diǎn)：與坐標(biāo)軸相關(guān)；會(huì)出現(xiàn)斜率無窮大情況；非平面曲線（面）難以常系數(shù)函數(shù)表示；不便于計(jì)算和編程。參數(shù)表示點(diǎn)的每一個(gè)坐標(biāo)都表示成參數(shù)變量的函數(shù)參數(shù)整個(gè)變化范圍對(duì)應(yīng)整條曲線，但往往只對(duì)某一部分感興趣，通過規(guī)格化使參數(shù)的變化范圍限制在[0，1]中。參數(shù)方程的優(yōu)越性有更大的自由度來控制曲線（面）的形狀。如一條二維三次曲線顯性表示：y=ax3+bx2+cx+d，只有四個(gè)系數(shù)可用來控制曲線（面）形狀，非參數(shù)方程表示的曲線（面）變換時(shí)必須對(duì)每個(gè)型值點(diǎn)進(jìn)行變換；參數(shù)方程表示的曲線（面）變換時(shí)可直接對(duì)參數(shù)方程進(jìn)行幾何變換，節(jié)省計(jì)算量便于處理斜率為無窮大的問題，不會(huì)因此中斷計(jì)算規(guī)格化參數(shù)變量變化范圍為[0，1]，不必為參數(shù)定義邊界易于用矢量和矩陣表達(dá)，簡化了計(jì)算參數(shù)曲線定義一條三維曲線的參數(shù)形式：x=x(t),y=y(t),z=z(t),0≤t≤1曲線上任意一點(diǎn)可用矢量p(t)=[x(t),y(t),z(t)]表示。起始點(diǎn)在t=0處，即p(0)，終點(diǎn)p(1)在t=1處曲線上任意一點(diǎn)切矢量表示了曲線上該點(diǎn)的切線方向，可以表示曲線在該點(diǎn)處的走向。切矢量表示為：p’(t)=[x’(t),y’(t),z’(t)]。起始點(diǎn)t=0處切矢量，為p’(0)，p’(1)表示在終點(diǎn)t=1處切矢量。Bezier曲線在空間給定n+1個(gè)點(diǎn)P0,P1,…,Pn，稱下列參數(shù)曲線為n次Bezier曲線：其中，Ji,n(t)是Bernstein基函數(shù)：稱折線為P0P1…Pn為P(t)的控制多邊形；稱點(diǎn)P0,P1,…,Pn為P(t)的控制頂點(diǎn)?？刂贫噙呅蜳0P1…Pn為P(t)的大致形狀的勾畫，P(t)是對(duì)P0P1…Pn的逼近。（9-1）（9-2）Bezier曲線的性質(zhì)(1)端點(diǎn)的位置 P0和Pn是曲線P(t)的兩個(gè)端點(diǎn)。 由式(9-1),(9-2)可得：p(0)=P0,p(1)=Pn端點(diǎn)的切線 P(t)在起點(diǎn)處與P0P1相切，在終點(diǎn)處與Pn-1Pn相切P0PnP1Pn-1由式(9-1),(9-2)可得：P’(0)=n(P1-P0),p’(1)=n(Pn-Pn-1)Bezier曲線的性質(zhì)(2)凸包性 P(t)位于控制頂點(diǎn) P0,P1,…,Pn的凸包內(nèi)幾何不變性 曲線的形狀僅由控制點(diǎn)的位置決定，與所選用的坐標(biāo)系無關(guān)。交互能力 控制點(diǎn)的位置決定了曲線的形狀，變換控制點(diǎn)位置，就可以改變曲線的形狀。為人機(jī)交互確定曲線形狀提供了手段。P0PnP1Pn-1Bezier曲線的拼接（1）一段Bezier曲線常常不足以表現(xiàn)復(fù)雜的曲線。為了構(gòu)造復(fù)雜的曲線，常用曲線拼接的方法，即用一段段的曲線首尾相連起來。不同的問題在連接點(diǎn)對(duì)曲線連續(xù)性有不同的要求：零階幾何連續(xù)：首位連在一起即可。不光滑。一階幾何連續(xù)：在連接點(diǎn)處曲線方向相同。光滑，但變化趨勢不同二階幾何連續(xù)：兩段曲線在連接處，不僅光滑連接，曲率也相同。零階幾何連續(xù)一階幾何連續(xù)二階幾何連續(xù)Bezier曲線的拼接（2）設(shè)兩段Bezier曲線P(t),Q(t)首尾相接零階幾何連續(xù)就是要求：P(1)=Q(0)。 由Bezier曲線的Q(0)=Q0,P(1)=Pn,所以要使兩段兩段Bezier實(shí)現(xiàn)零階幾何連續(xù)拼接，就要求Pn=Q0,即前一段曲線的最后一個(gè)控制點(diǎn)和后一段曲線的第一個(gè)控制點(diǎn)重合。Bezier曲線的拼接（3）一階幾何連續(xù)就是要求：P’(1)=Q’(0)。 由式(9-1),(9-2)可得： P’(1)=n(Pn-Pn-1),Q’(0)=m(Q1-Q0)Pn-1Pn(Q0)

Q1Pn-Pn-1Q1-Qn幾何意義就是要求：Pn-1,Pn(Q0),Q1點(diǎn)在同一條直線上，且Pn-1,Q1分別在Pn(Q0)兩邊Bezier曲線的拼接（4）二階幾何連續(xù)就是要求：P”(1)=Q”(0)。 由式(9-1),(9-2)可得：

P”(1)=n(n-1)(Pn-2Pn-1+Pn-2)=n(n-1)(Pn-Pn-1+Pn-2-Pn-1)

Q”(0)=m(m-1)(Q2-2Q1+Q0)=m(m-1)(Q2-Q1+Q0-Q1)Pn-Pn-1Pn-2-Pn-1Q0-Q1Q2-Q1幾何意義：除了對(duì)Pn-1,Pn(Q0),Q1控制點(diǎn)的位置有要求外，還對(duì)Pn-2,Q2控制點(diǎn)的位置有要求。它們的位置必須使兩個(gè)紅色的矢量相等Bezier曲線的生成(1)在實(shí)際應(yīng)用Bezier曲線段繪制曲線時(shí)，常運(yùn)用3次曲線，即n=3。這是因?yàn)椋阂淮吻€是直線，二次曲線是拋物線，它們表現(xiàn)復(fù)雜曲線的變化能力稍差；而三次曲線在一個(gè)小的局部，足夠了。次數(shù)太大，數(shù)學(xué)計(jì)算量大，且容易產(chǎn)生累積誤差，影響精度。次數(shù)太大，一段曲線的控制點(diǎn)太多，不利于人機(jī)交互調(diào)整曲線形狀。Bezier曲線的生成(2)下面來推導(dǎo)3次Bezier曲線的計(jì)算公式n=3由式（9-1），（9-2）可得：用矩陣表示如下：（9-3）（9-4）Bezier曲線的生成(3)P(t)是空間點(diǎn)，用坐標(biāo)形式表示為[x(t),y(t),z(t)]由式（9-3）可知，實(shí)際坐標(biāo)值可用下式分別計(jì)算：只要在[0,1]計(jì)算若干個(gè)t值，如t=0,0.1,0.2,…,1,求出相應(yīng)的坐標(biāo)，用直線將這些點(diǎn)連接起來，就構(gòu)成了曲線。若要畫二維曲線，只要計(jì)算[x(t),y(t)]。（9-5）P(t)的三個(gè)分量Be秒zi押er曲線遞的手刻工生企成(1隸)Be阻zi槍er曲線盤上的搞點(diǎn)可彈以根泰據(jù)控購制點(diǎn)純精確蝕得到P0P1P2P3P0’P1’P2’P0“P1“P0“’P0P1P2P3P0’P1’P2’P0“P1“P0“’Be降z(mì)i灘er曲線濃的手測工生舊成(2罰)P0”’是曲育線上業(yè)的點(diǎn)P(科1/們2)如果燦每次沖取得利不是愛中點(diǎn)活，而率是1/及3點(diǎn)，號(hào)最終陣得到鋸的點(diǎn)當(dāng)是P(旅1/所3)如果符每次哨取得斷不是臥中點(diǎn)銹，而期是1/折n點(diǎn)，盒最終矮得到坦的點(diǎn)必是P(設(shè)1/博n)P0”’將一寨段曲蜂線分依成兩躁段，芽每一毀段成歡為一挖段新寸的Be示zi焰er曲線六，其擁新的足控制欠點(diǎn)如粘圖所濫示在新獵的Be焦zi艙er曲線淡上可區(qū)以繼瘋續(xù)精喝確取豎點(diǎn)P0P1P2P3P0’P1’P2’P0“P1“P0“’反算Be立zi噴er曲線膨控制右點(diǎn)給定n+秧1個(gè)型雪值點(diǎn)Qi(i=0什,1適,…法,n恥)，要發(fā)求構(gòu)妹成的Be妄zi肯er曲線捉通過描這些衰點(diǎn)。取參丸數(shù)ti=i/嘩n與Qi相對(duì)朵應(yīng)根據(jù)董式9-狗1，Be延zi會(huì)er曲線六方程外為解n+序1個(gè)方蔽程，仍得到P0退,P1…土…Pn曲線餡控制街點(diǎn)Be地zi礦er曲線拼升階增加斑控制杠點(diǎn)，格提高鍋對(duì)曲光線的墨靈活膠控制累。升階炕前后勒，曲紹線形兔狀不教發(fā)生想變化毒。通過顧公式黃變換顯，找棉出升膠階前贈(zèng)后控拿制點(diǎn)較之間唐的關(guān)技系。升階響前：升階拆后：兩者聚曲線報(bào)相同茅：左式違乘以(t侮+(扮1-哄t)算)：Be崖zi殘er曲線攤升階比較醬兩邊芳同類噸項(xiàng)的透系數(shù)局得：化簡洗得：例：蒙一段3次曲已線，鳥控制抖點(diǎn)為P0,P1,P2,P3，升盼階為4次曲尿線控糠制點(diǎn)源為Q0,Q1,Q2,Q3,Q4，兩羅者關(guān)毅系為Q0=P0，Q1=1訊/4辰P0+3敢/4遵P1，Q2=2昌/4抬P1+2施/4貫P2Q3=3費(fèi)/4纖P2+1器/4淹P3，Q4=P3。Be棟zi溝er曲線茶升階新的吉控制惠點(diǎn)是趁對(duì)老從的控燙制多牧邊形黃在參堆數(shù)i/傻(n努+1恐)處進(jìn)以行線林性插買值的諒結(jié)果升階漁后的雕新控笨制多削邊形欺在老蠻控制材多邊罵形凸論包中升階羅后的引新控莖制多菠邊形奸比老井控制恐多邊綢形更屠接近Be稀zi丑er曲線B樣條刻曲線B樣條酷曲線蒙定義止：設(shè)P1,P2,…渾,Pn(n>=跌k)為給走定空淺間的n個(gè)點(diǎn)倆，稱很下列鈴參數(shù)蘆曲線為k階或k-箱1次的糊樣條鈔曲線類。折搭線P1,P2,…腔,Pn為P(榴t)的控限制多禾邊形絮，這n個(gè)點(diǎn)士為P(掃t)的控授制頂樂點(diǎn)。B樣條納曲線戶定義壘式與Be語zi喪er曲線灘形式我類似貍，不菜同之幫處在慮于，嚼其基針函數(shù)鑄由Be梨rn范st站ei扶n基函孟數(shù)變感成了B樣條欣基函謊數(shù)Bi,握k(t亮)（9-題6）B樣條選基函煤數(shù)B樣條夕基函侍數(shù)是汽由參疾數(shù)k的遞掉推關(guān)怠系所并定義索的其中吩，T=傷{ti},羅i蘇=0報(bào),嘗±1攔,竟±2搜,…示…是對(duì)椅參數(shù)抬軸t的一怠個(gè)劃冤分。如果寶劃分移是等數(shù)距離躁的，植即對(duì)慕于任拆意i,轉(zhuǎn)ti+胞1-ti=(交i+側(cè)1)柜-i搬=1，形成級(jí)的是栽均勻B樣條取曲線涌。我刮們只倚討論駐均勻B樣條震曲線0，其它ti-1titi+1B樣條河基函潛數(shù)分虛析B樣條是基函鍛數(shù)是抽遞推痰定義塊：B樣條維基函繼數(shù)的啞次數(shù)興：k=假1時(shí)，Bi,槽k(t悶)為常應(yīng)數(shù)1,呢0次；k=字2時(shí)，Bi,沈k(t影)為1次；k=樣3時(shí)，Bi,杯k(t慚)為二解次函零數(shù)；k=州4時(shí)，Bi,多k(t需)為三依次函舟數(shù)。B樣條扁基函回?cái)?shù)分巴析局部文性Bi,默1(t并)的定頃義域城為[ti,ti+物1)Bi,軌2(t陰)由兩緣瑞段Bi,歡1(t樂)，Bi+媽1,搭1(t文)組成怖，定念義域慈為[ti,ti+恐1)悶∪軌[ti+喘1,ti+垃2)算=鄭[ti,ti+劫2)Bi,基3(t呆)的定闖義域見為[ti,ti+怠3)Bi,且4(t校)的定撲義域錦為[ti,ti+回4)這意腫味著閥一個(gè)嚇控制先點(diǎn)Pi對(duì)整由個(gè)曲青線的短影響濁只局炕限在k個(gè)分摟割區(qū)惑域[ti,ti+量k)中B樣條在基函招數(shù)分童析反之撥，一榜段定婚義在江區(qū)間[ti,ti+華1)上的B樣條次曲線Pi(t匠)只由k個(gè)控號(hào)制點(diǎn)義決定Pi-姓k,…伸,Pi-拉1,Pi,。整個(gè)B樣條慎曲線股就是焦這樣悼一段翼一段己繪制瓦完成維的只要傳能解璃決一且段定離義在揀區(qū)間[ti,ti+稍1)上的B樣條障曲線Pi(t鋼)的繪神制就杠能繪羞制整應(yīng)段曲殲線。Piti-1titi+1Pi-1Pi-2B樣條雄曲線屯段的赤繪制以最記簡單農(nóng)的k=呢2情況界為例肥，說潔明如鉤何由戒定義證式推直出曲失線段縱的計(jì)遵算公雨式：k=瞇2，一段柔曲線Pi,警2(t陰)只有馬兩個(gè)辰控制矩點(diǎn)。談?dòng)墒匠?-乓6）可淹得：其中因?yàn)锽樣條轉(zhuǎn)曲線笨段的榆繪制所以同理在t2≦t<乖t3中因?yàn)槎危簍i=i令t俗’=悶t-歷t20≦獲t’殊<1在定曉義域薦范圍張內(nèi)B樣條拌曲線口段的福繪制參數(shù)醉仍用t表示躬，可決得k=客2時(shí)：同樣喇，k=丸3、4時(shí)可逆以得茶到第i段曲咬線的逗矩陣捷表示野：（9-頑7）（9-宴8）（9-杰9）B樣條丑曲線饅段的殲繪制對(duì)于n個(gè)控解制點(diǎn)矛的構(gòu)彎成的貨整個(gè)k階曲植線，填整個(gè)希曲線荒表示惡如下倒：整個(gè)損曲線楚共由n-柿k+擔(dān)1個(gè)曲意線段噸組成林；第一姥個(gè)曲扶線段燥為疲，覆最后濃一個(gè)全曲線剃段為曲線膏段妙其形魂?duì)钣蒶個(gè)控笨制點(diǎn)Pi-免k+象1,Pi-莊k+嫁2,…怖,Pi的位雁置確飾定。只要政繪制梨出每獲一個(gè)妥曲線團(tuán)段，頭就能蠟繪制謎出整禾個(gè)階若曲線您。B樣條皂曲線揉的性腸質(zhì)以一含段3次曲厭線(k烏=4宣)為例你，說私明B樣條汽曲線題的性箏質(zhì)。P(傅t)的控賠制點(diǎn)魂為P1,P2,P3,P4。1、端點(diǎn)評(píng)：P(葡t)的起剪點(diǎn)為P(賣0)，終點(diǎn)選為P(聞1)。由式主（9-啊9）P(同0)輕=辦1/沿6(兄P1+4鏈P2+P3)鼻,P蠅(1綢)賄=1揮/6件(P2+4兄P3+P4)先看竄起點(diǎn)隔，P(陶0)穿=遣P2+1體/3充(彩1/摩2(液P1+P3)敞-P2)一個(gè)教空間油點(diǎn)可喚以看高成是絲式一個(gè)渡空間傻矢量輪。以惑平面擇上的票點(diǎn)和疾平面癢矢量煌為例漲，回圈顧矢逝量加轟減法B樣條王曲線牽的性慢質(zhì)OP3P1P2P2P2P3=P1+P2P1=P3-P2P4=1/2(P1+P2)P4P1P2P3P4點(diǎn)：?(P1+P3)紅色矢量：?(P1+P3)-P2藍(lán)色矢量：1/3(?(P1+P3)-P2)點(diǎn)：P2+1/3(?(P1+P3)-P2)P(0)P(1)B樣條姜曲線詳?shù)男远假|(zhì)2、端北點(diǎn)的姻切線:P工’(搏0)，P’糠(1礙)我們途討論書切線屯，只蝕是想壟了解吵曲線稠的方門向。甜由式請(qǐng)（9-擇9）P’賊(0數(shù))=盒1/掉2(禽P3-P1),僵P削’(隆1)誤=1吵/2組(P4-P2),P(0)P(1)P1P2P3P4B樣條豎曲線話的性午質(zhì)3、凸兆包性拆：曲喊線段裁在控桂制點(diǎn)卻所圍澆成的氣凸包顏內(nèi)p1p2p3p44、連息續(xù)性蘋：第胡一個(gè)嶼曲線倡段的身控制撓點(diǎn)為P1納,P典2,捏P3且,P事4,第二江個(gè)曲照線段瘋的控竄制點(diǎn)斥為P2帽,P裝3,聾P4肢,P看5,相鄰榴的兩招個(gè)曲蜓線段濤有三涌個(gè)共倘同的研控制題點(diǎn)。B樣條杜曲線施的性所質(zhì)決定劣第一歉段終播點(diǎn)的耽控制羨點(diǎn)與溝決定兩第二獲段起牢點(diǎn)的佳控制碑點(diǎn)完弓全一聾樣。熟那么差，第顫一段戶終點(diǎn)怨的位艇置和稅方向師與第談二段禮起點(diǎn)按的位訂置和軍方向圈完全謎一致備，因評(píng)此相形鄰的屬曲線潮段自飯動(dòng)連突接。陽可以能證明然，曲秤線在脹連接瓣處具慢有k-術(shù)1階連驚續(xù)。這是B樣條題曲線糟優(yōu)于Be鍛zi鼻er曲線但的地杜方，腰即不店必為鞋了在肥連接庭處保猜持一蘭定的衣平滑與度，西而處委心積裕慮地倆安排桶、調(diào)量整控半制點(diǎn)乒位置潑。它等能自宜動(dòng)地陪平滑鍋連接梅。三次He葛rm效it都e曲線一條脹三次義參數(shù)姜曲線雖的代炎數(shù)形犬式是總：P(心t)杏=a3t3+a2t2+a1t+年a0,抖t[0漠,1稠]四個(gè)滅系數(shù)a3、a2、a1、a0唯一總地確陰定了未曲線揚(yáng)的形巴狀和處位置嫂。四個(gè)別系數(shù)蒙需要來四個(gè)篇已知滑條件花來確蘇定，印這種起根據(jù)矛四個(gè)垂已知菜條件坐來確妻定的樹一條屈三次王參數(shù)券曲線雜稱為覽三次He默rm寄it廳e曲線原。（9-肥10）三次He眾rm失it勝e曲線在實(shí)駐際應(yīng)鉗用中瞧，常每用的夕條件淹是：補(bǔ)兩個(gè)而端點(diǎn)P(脾0)、P(憐1)和對(duì)幻玉應(yīng)的毀切矢擾量P’嫩(0火)、P’卵(1姑)。另一醉個(gè)常狗用的旺條件擋是：宅曲線替上均辭勻分昆布的腳四個(gè)熄點(diǎn)P(駁0)、P(尊1/還3)、P(傷2/段3)、P(純1)。這種番情況圓是我懼們要割介紹權(quán)的。下面雀我們?cè)茖?dǎo)醒出由水曲線不上均弊勻分奴布的震四個(gè)醒點(diǎn)P(嗎0)、P(廣1/緞3)、P(愁2/貝3)、P(接1)決定欄的曲勞線。三次He綱rm翅it爬e曲線由（9-搜10）知歇：P(呀0)蹈=a0P(崗1/源3)化=1撈/2拔7a3+1獲/9獄a2+1顆/3閉a1+a0P(姿2/觀3)蘇=8駁/2駱7a3+4箏/9居a2+1攪/3碰a1+a0P(綁1)壤=修a3+a2+a1+a0解得手：a3=伐-鞠9/文2P辯(0穗)+印27娃/2巾P(鴨1/偉3)浴-2根7/拜2P胃(2秒/3舊)+謠9/素2P稅(1急)a2=肯9P岔(0貌)-揭45途/2賞P(榆1/多3)貓+1慮8P匙(2壇/3德)-撞9/求2P良(1抓)a1=個(gè)-1簡1/鵲2P敞(0宮)+微9P么(1梳/3冒)-寺9/兼2P撐(2寒/3蜻)+奇P(描1)a0=示P(改0)（9-特11）三次He父rm般it指e曲線由(9旁-1躬0)替,(役9-纖11盛)可得抓：(9-12)由(9誘-1季2)可以廊計(jì)算歇出一犁系列睬的曲躬線上板的點(diǎn)齡，進(jìn)搭而畫港出曲苗線。He筆rm復(fù)it姿e曲線來的性虛質(zhì)He孫rm伙it紅e曲線渡的控狗制點(diǎn)淺直接州位于盆曲線幣之上障，這裕種控頓制點(diǎn)之稱為筆型值租點(diǎn)，戶對(duì)于濫確定但曲線畜的位野置十凳分有柿利。三次He躍rm扯it測e曲線叫的起去點(diǎn)和客終點(diǎn)排分別喇位于鹽第一潑和第飛四個(gè)瞎控制雁點(diǎn)上我。對(duì)于遠(yuǎn)一系冒列控抽制點(diǎn)震所形猶成的牛三次He凈rm陶it紀(jì)e曲線右，控抓制點(diǎn)確應(yīng)該此分成共每四當(dāng)個(gè)一兇組，怠每一冷組形碑成一怒段曲氣線。強(qiáng)為了泉使每帽個(gè)曲歐線段藏連接摔起來兆，相縫鄰兩染組的暫控制婦點(diǎn)應(yīng)卻有一級(jí)個(gè)控航制點(diǎn)辮是重虜復(fù)的玩，即龍前一頭組的知最后搞一個(gè)溜控制床點(diǎn)同扛時(shí)也隱是后底一組盡的第騙一個(gè)沿控制艦點(diǎn)。曲線梢段相桶接處銀可能所不光甚滑，養(yǎng)可以浩通過南調(diào)整怕控制豪點(diǎn)位乖置，桿使曲懇線段赤相接錄處光揭滑起疤來。曲面曲面壤和曲廣線一他樣，耐也是貨用參揀數(shù)的狼形式訂表示管。不叢同的蒜是，漏曲面野參數(shù)棍是二慌維的憲，用(u繪,v曠)表示曲面庫和曲繞線類溉似，仗是用橡分片魂表示肉的。喉整個(gè)灶曲面粒是由帥一系建列的苗分片防拼接要而成律的。P(u,v)Be善zi壯er曲面一個(gè)得三次Be禁zi肯er曲面警片的只控制裳點(diǎn)有4x胸4個(gè)一個(gè)孔三次Be恐zi端er曲面益片的襲代數(shù)俗形式慶是相應(yīng)攜的矩青陣形謀式是B樣條標(biāo)曲面一個(gè)嚼三次B樣條足曲面紗片的唉控制協(xié)點(diǎn)有4x鼓4個(gè)一個(gè)位三次B樣條互曲面按片的埋代數(shù)比形式挑是相應(yīng)喉的矩菊陣形雕式是He惱rm冷it接e曲面一個(gè)歸三次He非rm庸it噸e曲面鼓片的役控制鏟點(diǎn)有4x再4個(gè)一個(gè)陸三次He卷rm憑it貢e曲面賊片的陳代數(shù)跑形式綢是相應(yīng)副的矩母陣形篇式是曲面曲面P(吳u,禿v)上的瘡任意貍點(diǎn)可墓以通柔過給那定參球數(shù)u,塑v盡(0祝<=洪u,目v<輸=1默)、計(jì)算P(鉆u,椅v)來得城到。一個(gè)便曲面羽常用村幾條缺曲面犁上的混曲線宋來表櫻示。曲面P(減u,乏v)上的欠曲線搜可以五通過始固定u或v得到已