電磁場與電磁波第三之

第5章恒定磁場分析

實驗表明，導(dǎo)體中有恒定電流通過時，在導(dǎo)體內(nèi)部和它周圍的媒質(zhì)中，不僅有恒定電場

，同時還有不隨時間變化的磁場，簡稱恒定磁場。

首先建立真空與磁介質(zhì)內(nèi)恒定磁場的基本方程；引入矢量位A;確立磁場的邊界條件；在特定條件下引入標量位。

最后討論自感和互感的計算、磁場能量和磁場力。

5.1恒定磁場分析的基本變量

5.2真空中磁場的基本方程

5.3矢量磁位

5.4磁偶極子的矢量位和標量位

5.5物質(zhì)的磁化現(xiàn)象磁化強度

5.6磁介質(zhì)中磁場的基本方程

5.7磁場的邊界條件

5.8標量磁位

5.9自電感互電感

5.10磁場能量

5.11磁場力5.1恒定磁場分析的基本變量

第2章中已由安培力定律引入了恒定電流元產(chǎn)生的磁感應(yīng)強度

任意電流閉合回路c產(chǎn)生的磁感應(yīng)強度

定義任意電流閉合回路c產(chǎn)生的磁場強度

關(guān)系式稱為真空的磁特性方程或本構(gòu)關(guān)系。

恒定磁場的源變量是電流密度矢量

將矢量恒等式5.2真空中磁場的基本方程一、磁場的散度設(shè)B是由直流回路c產(chǎn)生的磁感應(yīng)強度，S為一閉合曲面，則磁感應(yīng)強度B穿過S

的通量為BdSScRIdl因為得穿過任意閉合曲面的磁通量恒為零由得斯托克斯定理二、磁場的旋度經(jīng)分析計算該積分結(jié)果為安培環(huán)路定律的積分形式得安培環(huán)路定律的微分形式真空中磁場的基本方程設(shè)H是由直流回路c產(chǎn)生的磁場強度，為一閉合曲線,則磁場強度H沿的環(huán)流為（式中

是S

的周界）式中是回路

所包圍電流的代數(shù)和Rca例5.2.1半徑為a的無限長直導(dǎo)體通有電流I，計算導(dǎo)體內(nèi)外的基本場變量。（教材例5.2.1)解：很顯然，場變量與座標無關(guān)，磁感應(yīng)線是圓心在導(dǎo)線軸上的一簇同心圓。由基本方程而是回路c所包圍電流的代數(shù)和當故有得當?shù)胷回路所包圍的電流r回路所包圍的電流設(shè)電流均勻分布于導(dǎo)體橫截面代入矢量磁位5.3矢量磁位

為了簡化磁場的求解，通常采用間接方法。

由磁場的散度為零，引入矢量磁位。

利用磁場的旋度方程導(dǎo)出矢量磁位滿足的微分方程。由其單位為T·m（特·米）或Wb/m（韋/米）得即得矢量位的泊松方程規(guī)定其散度（庫侖規(guī)范）在直角坐標系中可分解為三個標量泊松方程其解于是，矢量位滿足的泊松方程的解為體電流、面電流、線電流產(chǎn)生的矢量位分別為例5.3.1求無限長直線電流的矢量位A

磁感應(yīng)強度B。（教材例5.3.1)解：首先計算一根長度為的長直線電流I產(chǎn)生的矢量位。由線電流的矢位計算公式積分可得當時若，則這時可在A

的表達式中附加一個常矢量則磁感應(yīng)強度B等于磁場強度H等于與例5.2.1直接積分所得的結(jié)果相同5.4磁偶極子的矢量位和標量位一面積為S,通以電流I的小圓電流環(huán)稱為磁偶極子，定義矢量為磁偶極子的磁偶極矩?？紤]得磁偶極子產(chǎn)生的磁感應(yīng)強度產(chǎn)生的合成矢位只有分量如圖建立坐標系，與x軸對稱的兩個電流元在考察點式中稱為磁偶極子的標量位磁場的另一基本變量5.5物質(zhì)的磁化現(xiàn)象磁化強度媒質(zhì)的磁化產(chǎn)生的物理現(xiàn)象和分析方法與靜電場媒質(zhì)的極化類同。

無外磁場作用時，媒質(zhì)對外不顯磁性，

用磁化強度M

表示磁化的程度，即式中：N為單位體積內(nèi)被磁化的分子數(shù)。A/m—分子電流，電流方向與方向成右手螺旋關(guān)系。

分子磁偶極矩

在外磁場作用下，磁偶極子發(fā)生旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)方向使磁偶極矩方向與外磁場方向一致，對外呈現(xiàn)磁性，稱為磁化現(xiàn)象。I

磁化體電流

由于磁偶極子的定向排列，媒質(zhì)內(nèi)部出現(xiàn)磁化體電流，媒質(zhì)表面出現(xiàn)磁化面電流。（為媒質(zhì)表面外法線方向）

磁化面電流

斯托克斯定理5.6磁介質(zhì)中磁場的基本方程引入磁化電流后，媒質(zhì)的磁化效應(yīng)由磁化電流表征，即空間的磁場由傳導(dǎo)電流和磁化電流產(chǎn)生。而磁化電流和傳導(dǎo)電流的實質(zhì)相同，則將得令（為磁介質(zhì)中的磁場強度矢量）于是磁介質(zhì)中的基本方程微分形式由實驗證明，除鐵磁性物質(zhì)外，M和H之間有一定的線性關(guān)系，即得（為磁介質(zhì)中的本構(gòu)關(guān)系）媒質(zhì)的磁導(dǎo)率（除鐵磁性物質(zhì)外）媒質(zhì)的相對磁導(dǎo)率磁化率式中均為傳導(dǎo)電流小圓柱側(cè)面積，h為無窮小量，該面積趨于零5.7磁場的邊界條件一、磁感應(yīng)強度B的邊界條件設(shè)兩種不同的磁介質(zhì)，其分界面的法線方向為n。在分界面上作一小圓柱形表面，兩底面分別位于介質(zhì)兩側(cè)，底面積為，h為無窮小量。nh將磁場基本方程用于所作的圓柱形表面。方程左邊磁感應(yīng)強度B

的邊界條件用矢量表示分界面上B的法向分量連續(xù)二、磁場強度H的邊界條件在分界面上作一小的矩形回路，其兩邊分居于分界面兩側(cè)，而高，取H

沿此回路的環(huán)積分為

設(shè)分界面上的自由電流面密度為

則回路所圍面積上通過的電流為（其中的方向為回路所圍面積的法線方向）

矢量可寫為

方程變?yōu)?/p>

因為回路是任意的，其所圍面的法向也是任意的，因而有磁場強度H的邊界條件：若分界面上沒有自由的表面電流另外，由

例5.7.1鐵質(zhì)的無限長圓管中通過電流I，管的內(nèi)外半徑分別為a和b。已知鐵的磁導(dǎo)率為，求管壁中和管內(nèi)外空氣中的B，并計算鐵中的M和等。（教材例5.7.1)解：如圖建立坐標系，設(shè)電流沿z方向，則場分布是軸對稱的，只有分量。利用槳基本獻方程尿的積飼分形疑式，顧有由（a)(b)(c)ⅠⅡⅢⅠⅡⅢ在Ⅱ區(qū)的峽管壁撈空間斜內(nèi)，墳磁化每強度杏為管壁寧內(nèi)的軟磁化世體電蓋流為在r=a和r=b處的鳳磁化泥面電磨流為在恒剪定磁壁場無拴電流統(tǒng)區(qū)域——標量磁位，單位：A（安培）。

標量磁位僅適合于無自由電流區(qū)域，且無物理意義。標量磁位的特點：5.蜂8標量執(zhí)磁位

標量磁位滿足的微分方程

標量磁位滿足的邊界條件5.甩9自電大感訊互鑼電感在線性介質(zhì)中，一個電流回路在空間任意一點產(chǎn)生的B與電流成正比，因而穿過任意回路的磁通也與電流成正比；若一回路由N匝導(dǎo)線繞成，則總磁通是各匝磁通之和，成為磁鏈，用表示。且可近似為

當磁熄場由矮自身扎回路竿的電繞流產(chǎn)凍生則無回路救磁鏈襪與電戴流之戲比稱為自感闖系數(shù)，簡拴稱自感，單穗位為H（亨）

第1回路電流產(chǎn)生的磁場與第二回路交鏈的磁鏈為，則比值稱為互感跳系數(shù)，簡紡稱互感，單碼位仍遣為H

同樣，第2回路電流產(chǎn)生的磁場與第一回路交鏈的磁鏈為，其比值同樣稱為互感系數(shù)自感賴與互扁感都俯僅取可決于慮回路畢的形測狀、描尺寸員、匝臘數(shù)和蓬介質(zhì)僑的磁究導(dǎo)率卡?；ケ谈羞€騎與兩裳個回鞠路的周相互商位置們有關(guān)獨。兩個料單匝機回路昆的互革感設(shè)回路1通過電流而所以同理由此可見諾伊曼公式單匝驗回路延的自六感對于單匝回路，可將電流看作集中于軸線回路上，而將計算磁通的回路取作導(dǎo)線邊緣的回路，應(yīng)用諾伊曼公式計算自感為與電流交鏈以上測計算梯的自作感只蔥考慮怎了導(dǎo)揮線外明部的洗磁通包，故脂稱為陽外自削感；溝在導(dǎo)張線內(nèi)豈部的抓磁力木線同歲樣套較鏈著銷電流單，其明磁鏈跑與電坦流比附值定峰義為訊內(nèi)自瓦感。假設(shè)單匝回路，其橫截面積導(dǎo)線絹內(nèi)的跟磁場穿過闖圖中貨面積查的磁押通為穿過嚷圖中律面積疼的磁召鏈為長度隆為l一段桂圓截姨面導(dǎo)淹線的溫內(nèi)自械感為總自感為

例5.9.1求雙線傳輸線單位長度的自感。導(dǎo)線半徑為a，導(dǎo)線間距離，如圖所示。（教材例5.9.1）解：由得二導(dǎo)線汽在x處產(chǎn)帆生的針磁場威分別片為總的浪磁感唇應(yīng)強狐度單位堆長度壞的外纖自感均為單位敵長度胖的內(nèi)兇自感私為穿過面積的磁通而回路j的磁畫鏈為5.奔10磁場總能量

電流將回路剝系統(tǒng)仁的能催量是艷建立樂電流秤過程詞中由甩電源豪供給挪的。

當電漢流從首零增菊加時蝦回路絲式感應(yīng)蔑電動國勢將卸阻止音電流荒的增博加，銳外加慶電壓謙須克腎服感奔應(yīng)電豬動勢引而剪作功學(xué)，使升回路兩能量成增加艙。

若所答有回窗路固候定，穴且忽們略焦貍耳損冠耗，擠則電歐源作先功將漿全部舅變?yōu)閹秒娏骰鸹芈窚缦到y(tǒng)言的磁秤場能臉量，呼這時護回路倒上的咸外加荷電壓敢和回陡路中物的感影應(yīng)電著動勢廁大小削相等袋方向少相反池?；芈穓中的吸感應(yīng)躬電動酒勢為外加侮電壓dt時間斜內(nèi)與繡回路j相連括的電租源所傳作的尸功若系殼統(tǒng)包括含N個回世路，渾增加泰的磁傷場能陷量為互感系數(shù)自感系數(shù)假設(shè)所有回路中的電流同時從零開始以百分比同比例增加，即則，于是充電炎過程頌完成唉后，辨系統(tǒng)瞧的總牢磁場早能量例單回路雙回路用場栽量表增示該婆磁場稻能量單位洪體積敲的磁棄場能禾量稱河為磁斗場能卻量密文度例5.用10罰.1求無弱限長晚同軸友線單閥位長轉(zhuǎn)度內(nèi)蠅的磁蹤蝶場能序量，始如圖迷所示或。(教材隸例5.遲10更.1危)解：在的區(qū)域在的區(qū)域在的區(qū)域由基本方程三個皺區(qū)域惜單位珍長度送內(nèi)的齊磁場末能量趴分別它為因為祥總磁碑場能盼量所以臘同軸臣線單湊位長奴度的栽電感殿為其中（內(nèi)自感）（主自感）（外套管壁內(nèi)的電感）5.你11磁場團力兩個聰載流益回路汪間的云磁力字可由多安培瞎力公街式計麻算。撿也可快與靜縫電力貴的計筒算類淚似，刺用磁映場能吧量的狠空間千變化趣率來穩(wěn)計算委磁場頃力。磁鏈熔不變

兩個回路的磁鏈不變，即

回路發(fā)生位移，兩回路中電流必定發(fā)生變化，才能維持兩回路的磁鏈不變

兩回扯路中富沒有腥感應(yīng)自電動產(chǎn)勢（牲因為語磁鏈意不變尼），纏故與賽回路愿相連嫁的電愧源不厚對回癥路輸揪入能基量。

回路位移時所須的機械功只有靠磁場能量減少來完成。電流忽不變

兩個回路電流不變，即

回路發(fā)生位移，兩回路中的磁鏈必定發(fā)生變化，才能維持兩回路電流不變。兩個回路的能量為

上式表明：在不變的情況下磁場能量的改變（即磁