【教學(xué)】全稱量詞與存在量詞 省賽獲獎

全稱量詞與存在量詞第2課時知識引入問題1

前面我們學(xué)習(xí)了全稱量詞和存在量詞以及全稱量詞命題和存在量詞命題的真假判斷，類比它們的學(xué)習(xí)過程，你認為對于全稱量詞命題和存在量詞命題的否定，我們該如何展開研究呢？命題的否定具體例子（全稱量詞命題和存在量詞命題的否定）發(fā)現(xiàn)規(guī)律，形成方法鞏固練習(xí)新知探究問題2

閱讀教材，完成下列問題：（1）請舉例說明，對于一個命題，什么是它的否定？一個命題和它的否定的真假有什么關(guān)系？（2）請分別寫出下列命題的否定，并判斷它們的真假．①集合A＝｛x｜x＞2｝是集合B＝｛x｜x＞3｝的真子集；②方程x2－x－2＝0有實根．（1）一個命題與它的否定在內(nèi)容上是完全對立的．兩者不可能同時為真命題，也不可能同時為假命題，只能一真一假．新知探究問題2

閱讀教材，完成下列問題：（2）請分別寫出下列命題的否定，并判斷它們的真假．①集合A＝｛x｜x＞2｝是集合B＝｛x｜x＞3｝的真子集；②方程x2－x－2＝0有實根．命題①的的否定：集合A＝｛x｜x＞2｝不是集合B＝｛x｜x＞3｝的真子集；命題②的否定：方程x2－x－2＝0沒有實根．命題①為假命題，命題①的否定為真命題．命題②為真命題，命題②的否定為假命題．新知探究問題3

寫出命題的否定：（1）所有的素數(shù)都是奇數(shù)；（2）每一個矩形都是平行四邊形；（3）?x∈R，x＋｜x｜≥0．新知探究追問2：大家給出的命題（1）的否定有如下結(jié)果，你認為哪些正確？哪些錯誤？并結(jié)合原命題和它的否定的關(guān)系，闡述你的理由．（1）所有的素數(shù)都不是奇數(shù)；（2）所有的素數(shù)不都是奇數(shù)；（3）并非所有的素數(shù)都是奇數(shù)．（1）不正確，（2）（3）正確．新知探究素數(shù)按照其中的數(shù)是不是奇數(shù)分類，可分三類：①都是奇數(shù)；②有些不是奇數(shù)，有些是奇數(shù)；③都不是奇數(shù)．命題“所有的素數(shù)都是奇數(shù)”，包含第①類．因為一個命題與它的否定在內(nèi)容上是完全對立的，所以該命題的否定應(yīng)該包括兩種情形：第②和③類．（1）只包括第③類，所以不正確；（2）（3）都包括第②和③類，所以正確．新知探究我們也可以從集合的角度理解這個問題．如果用A表示所有素數(shù)的集合，B表示所有奇數(shù)的集合，那么命題“所有的素數(shù)都是奇數(shù)”可以表示為“AB”，那么它的否定應(yīng)該是“AB”．而命題“所有的素數(shù)都不是奇數(shù)”可以表示為“A?RB”，它與“AB”不等價，只是“AB”的一種特殊情形．“所有的素數(shù)不都是奇數(shù)”、“并非所有的素數(shù)都是奇數(shù)”可以表示為“A∩（?RB）＝”，它與“AB”等價，所以（2）（3）正確．新知探究另外還可以從原命題和它的否定的真假關(guān)系對結(jié)果進行初步判斷．一個命題與它的否定不可能同時為真命題，也不可能同時為假命題，只能一真一假．命題“所有的素數(shù)都是奇數(shù)”是假命題．命題“所有的素數(shù)都不是奇數(shù)”也是假命題，所以它一定不是命題（1）的否定；命題“所有的素數(shù)不都是奇數(shù)”、“并非所有的素數(shù)都是奇數(shù)”都是真命題，所以它們有可能是命題（1）的否定．新知探究追問2：命題“所有的素數(shù)不都是奇數(shù)”“并非所有的素數(shù)都是奇數(shù)”還能怎么表述？存在一個素數(shù)，它不是奇數(shù)．新知探究追問3：類比命題（1），你能寫出命題（2）和（3）的否定嗎？命題（2）的否定：并非每一個矩形都是平行四邊形．也就是說，存在一個矩形，不是平行四邊形．命題（3）的否定：并非?x∈R，x＋｜x｜≥0．也就是說，?x∈R，x＋｜x｜＜0．（2）每一個矩形都是平行四邊形；（3）?x∈R，x＋｜x｜≥0．新知探究追問4：以上全稱量詞命題的否定與它們的原命題在形式上有什么變化？你能用符號語言表示命題“?x∈M，P（x）”的否定嗎？全稱量詞命題“?x∈M，x都具有性質(zhì)p（x）”的否定為“?x∈M，x不具有性質(zhì)p（x）”全稱量詞命題的否定是存在量詞命題．新知探究追問5：你能梳理全稱量詞命題的否定的探究過程嗎？請寫出來．對命題直接否定（直接在命題前面添加否定詞）→等價轉(zhuǎn)化為存在量詞命題→用符號語言表達規(guī)律．新知探究例1

寫出下列全稱量詞命題的否定．（1）“對任意的銳角A，有sin2A＋cos2A＝1”的否定是“存在一個銳角A，使sin2A＋cos2A≠1”；（2）“任意一個一元二次函數(shù)的圖象都與x軸相交”的否定是“存在一個一元二次函數(shù)，它的圖象與x軸不相交”；

一般地，要否定一個存在量詞命題，需要判定給定集合中每一個元素均不能使存在量詞命題的結(jié)論成立．（1）對任意的銳角A，有sin2A＋cos2A＝1；

新知探究問題4

類比全稱量詞命題的否定，探究如何用符號語言表示命題“?x∈M，P（x）”的否定？完成對下列命題的否定，并由此探究存在量詞命題的否定的一般規(guī)律和形式：（1）存在一個實數(shù)的絕對值是正數(shù)；（3）?x∈R，x2－2x＋3＝0．（2）有些平行四邊形是菱形；命題（1）的否定：不存在一個實數(shù)的絕對值是正數(shù)．也就是說：任意一個實數(shù)的絕對值都小于或等于0．也就是說：任意一個實數(shù)的絕對值都不是正數(shù)．也就是說：?x∈R，｜x｜≤0．新知探究問題4

類比全稱量詞命題的否定，探究如何用符號語言表示命題“?x∈M，P（x）”的否定？完成對下列命題的否定，并由此探究存在量詞命題的否定的一般規(guī)律和形式：（1）存在一個實數(shù)的絕對值是正數(shù)；（3）?x∈R，x2－2x＋3＝0．（2）有些平行四邊形是菱形；命題（2）的否定：每一個平行四邊形都不是菱形．綜上，存在量詞命題的否定是全稱量詞命題．命題（3）的否定：?x∈R，x2－2x＋3≠0．新知探究對于存在量詞命題p：“?x∈M，x具有性質(zhì)p（x）”的否定為“?x∈M，x都不具有性質(zhì)p（x）”新知探究例2

寫出下列存在量詞命題的否定：（1）某箱產(chǎn)品中至少有一件次品；（2）方程x2－8x＋15＝0有一個根為偶數(shù)；（3）?x∈R，使x2＋x＋1≤0．解答：（1）“某箱產(chǎn)品都是正品”；（2）“方程x2－8x＋15＝0的每一個根都不是偶數(shù)”，真命題；（3）“?x∈R，x2＋x＋1＞0”是真命題．初步應(yīng)用（1）該命題的否定：存在兩個等邊三角形，它們不相似．因為任意兩個等邊三角形的三邊成比例，所以任意兩個等邊三角形都相似．因此這是一個假命題．（2）該命題的否定：?x∈R，x2＋x＋1≠0．寫出下列兩個命題的否定，并判斷它們的真假：（1）任意兩個等邊三角形都相似；（2）?x∈R，x2＋x＋1＝0．因為對?x∈R，x2－x＋1＝

＞0，所以這是一個真命題．

初步應(yīng)用追問：如何對全稱量詞命題和存在量詞命題進行否定？判斷它們真假的方法是什么？常見詞語的否定原詞語所有的存在任意的是都是等于大于否定命題?x∈M，P（x）?x∈M，P（x）否定?x∈M，﹁P（x）?x∈M，﹁P（x）存在有所有的某些個不是不都是不等于不大于初步應(yīng)用總之，全稱量詞命題、存在量詞命題的否定要注意兩個變、一個不變．“?”與“?”互變，結(jié)論“p”變?yōu)椤唉鑠”，條件中的范圍不變．要否定一個全稱量詞命題，只需要在給定集合中找到一個元素，使命題的結(jié)論不正確，即全稱量詞命題不成立．要否定一個存在量詞命題，需要判定在給定集合中每一個元素均不能使命題的結(jié)論成立，即存在量詞命題不成立．初步應(yīng)用1已知命題p：?x∈R，2x2＋1＞0，則﹁P是（）A．?x∈R，2x2＋1≤0

D2寫出命題?x∈R，x＋1≥0的否定：____________________．?x∈R，x＋1＜0歸納小結(jié)問題5

本節(jié)課我們學(xué)習(xí)了全稱量詞命題和存在量詞命題的否定，它們的符號表示分別是什么？回顧本節(jié)學(xué)習(xí)過程，與你在問題1中設(shè)計的研究過程和思路是否一致？命題?x∈M，P（x）?x∈M，P（x）否定?x∈M，﹁P（x）?x∈M，﹁P（x）總之，全稱量詞命題、存在量詞命題的否定要注意兩個變、一個不變．“?”與“?”互變，結(jié)論“p”變?yōu)椤唉鑠”，條件中的范圍不變．研究思路體現(xiàn)了研究一個規(guī)律或者方法的基本路徑：具體例子→形成規(guī)律或者方法→表示→鞏固．作業(yè)布置作業(yè)：教材第22頁練習(xí)第1題；第23頁習(xí)題A組第3題．1目標(biāo)檢測C命題“?x∈R，2x＜x2”的否定為（）A．?x∈R，2x＞x2B．?x∈R，2x＜x2C．?x∈R，2x≥x2D．?x∈R，2x≤x22目標(biāo)檢測B命題“?x∈R，x－1≥0”的否定是（）A．?x∈R，x－1≤0B．?x∈R，x－1＜0C．?x∈R，x－1＜0D．?x∈R，x－1≤03?x∈R，x2＋2x＋1≤0“?x∈R，x2＋2x＋1＞0”的否定是________________________．4目標(biāo)檢測寫出下列命題的否定并判斷真假：（1）不論m取何實數(shù)，方程x2＋x＋m＝0必有實數(shù)根；（2）某些梯形的對角線互相平分；（3）被8整除的數(shù)能被4整除．解答：（1）存在實數(shù)m，方程x2＋x＋m＝0沒有實數(shù)根；真命題．（2）所有梯形的對角線都不互相平分；真命題．（3）存在能被8整除的數(shù)，