2021屆遼寧省撫順市六校協(xié)作體高三5月二模數(shù)學(xué)試題(解析版)

2021屆遼寧省撫順市六校協(xié)作體高三5月二模數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知，復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在（）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】A【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算和共軛復(fù)數(shù)的概念可得選項(xiàng).【詳解】，復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)是，在第一象限.故選：A.2．已知集合，集合，則（）A． B．C． D．【答案】C【分析】本題首先可通過求解得出，然后通過求解得出，最后通過并集的相關(guān)性質(zhì)即可得出結(jié)果.【詳解】，即，，，，，即，解得，，則，故選：C.3．若圓被直線截得的弦長(zhǎng)為6，則（）A．26 B．31 C．39 D．43【答案】C【分析】將圓化作標(biāo)準(zhǔn)形式，由圓心到弦的距離，求得半徑與弦長(zhǎng)及距離的關(guān)系，從而求得半徑，求得參數(shù)m.【詳解】將圓化為，所以圓心到直線的距離，該距離與弦長(zhǎng)的一半及半徑組成直角三角形，所以，解得

故選：C4．函數(shù)的圖象大致為（）A． B．C． D．【答案】B【分析】通過解析式判斷函數(shù)奇偶性，并當(dāng)時(shí)求導(dǎo)，取驗(yàn)證圖像的單調(diào)性及函數(shù)值是否符合計(jì)算結(jié)果，即可得到解析式對(duì)應(yīng)圖像.【詳解】為奇函數(shù)，排除A.排除當(dāng)時(shí)當(dāng)時(shí)函數(shù)存在單增區(qū)間，排除故選：.5．三星堆古遺址是迄今在西南地區(qū)發(fā)現(xiàn)的范圍最大，延續(xù)時(shí)間最長(zhǎng)，文化內(nèi)涵最豐富的古城?古國(guó)?古蜀文化遺址.三星堆遺址被稱為20世紀(jì)人類最偉大的考古發(fā)現(xiàn)之一，昭示了長(zhǎng)江流域與黃河流域一樣，同屬中華文明的母體，被譽(yù)為“長(zhǎng)江文明之源”，考古學(xué)家在測(cè)定遺址年代的過程中，利用“生物死亡后體內(nèi)的碳14含量按確定的比率衰減”這一規(guī)律，建立了樣本中碳14的含量，隨時(shí)間x(年)變化的數(shù)學(xué)模型：(表示碳14的初始量).2020年考古學(xué)家對(duì)三星堆古遺址某文物樣本進(jìn)行碳14年代學(xué)檢測(cè)，檢測(cè)出碳14的含量約為初始量的68%，據(jù)此推測(cè)三星堆古遺址存在的時(shí)期距今大約是（）(參考數(shù)據(jù)：)A．2796年 B．3152年 C．3952年 D．4480年【答案】B【分析】根據(jù)題意可得，結(jié)合指對(duì)運(yùn)算性質(zhì)，即可得到結(jié)果.【詳解】設(shè)三星堆古遺址存在的時(shí)期距今大約是年，則，即，所以，解得故選：B6．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，則（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)前項(xiàng)和的性質(zhì)，結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)、等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式進(jìn)行求解即可.【詳解】由，得，所以，則，所以．故選：D7．展開式中的系數(shù)為（）A． B．3 C． D．15【答案】D【分析】，展開式中存在x的項(xiàng)只存在于中，從而求得x的系數(shù).【詳解】，含x的項(xiàng)只存在于中，的系數(shù)為故選：D8．在三棱錐中，底面是面積為的正三角形，若三棱錐的每個(gè)頂點(diǎn)都在球的球面上，且點(diǎn)恰好在平面內(nèi)，則三棱錐體積的最大值為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】先求出三棱錐的外接球的半徑，分析得當(dāng)平面ABC時(shí)，三棱錐體積的最大，即得解.【詳解】由底面是面積為的正三角形，可知底面的邊長(zhǎng)為，因?yàn)槿忮F外接球的球心恰好在平面內(nèi)，因?yàn)槿切蜛BC的外接圓半徑為，所以球的半徑為2，所以當(dāng)平面ABC時(shí)，三棱錐體積的最大.所以三棱錐體積的最大值為故選：B【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求幾何體的外接球半徑，常用的方法有：（1）觀察法；（2）模型法；（3）解三角形法.要根據(jù)已知條件選擇合適的方法求解.二、多選題9．已知平面向量，且，則（）A． B． C． D．【答案】AD【分析】由得，進(jìn)而得，所以.【詳解】由得，所以，則，從而.故選：.10．若關(guān)于的方程在區(qū)間上有且只有一個(gè)解，則的值可能為（）A． B． C．0 D．1【答案】AC【分析】整理?yè)Q元之后，原問題轉(zhuǎn)化為在區(qū)間上有且只有一個(gè)解，即的圖象和直線只有1個(gè)交點(diǎn).作出簡(jiǎn)圖，數(shù)形結(jié)合可得結(jié)果.【詳解】整理可得，令，因?yàn)椋瑒t.所以在區(qū)間上有且只有一個(gè)解，即的圖象和直線只有1個(gè)交點(diǎn).由圖可知，或，解得或.故選：AC.11．已知，且，則（）A． B．C． D．【答案】BCD【分析】根據(jù)特殊值法，可排除A；利用基本不等式，可判斷BC正確；由作差法，可判斷D正確.【詳解】對(duì)于A，令，則，故A不正確；對(duì)于B，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立；故B正確；對(duì)于C，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故C正確；對(duì)于D，由，所以，，則，故D正確.故選：BCD.【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)睛：利用基本不等式求最值時(shí)，要注意其必須滿足的三個(gè)條件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各項(xiàng)必須為正數(shù)；（2）“二定”就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項(xiàng)之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值，則必須把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值時(shí)，必須驗(yàn)證等號(hào)成立的條件，若不能取等號(hào)則這個(gè)定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯(cuò)誤的地方.12．設(shè)同時(shí)為橢圓與雙曲線的左右焦點(diǎn)，設(shè)橢圓與雙曲線在第一象限內(nèi)交于點(diǎn)，橢圓與雙曲線的離心率分別為為坐標(biāo)原點(diǎn)，若（）A．，則B．，則C．，則的取值范圍是D．，則的取值范圍是【答案】BD【分析】先設(shè)，焦距為，根據(jù)橢圓與雙曲線的定義，求出，；當(dāng)，得，進(jìn)而可判斷B正確，A錯(cuò)；當(dāng)時(shí)，得到，推出，利用換元法，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性，即可判斷D正確，C錯(cuò).【詳解】如圖，設(shè)，焦距為，由橢圓定義可得，由雙曲線定義可得，解得，，當(dāng)時(shí)，則，所以，即，由離心率的公式可得，故正確.當(dāng)時(shí)，可得，即，可得，由，可得，可得，即，則，可設(shè)，則，由在上單調(diào)遞增，可得，則，故正確.故選：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：求解本題的關(guān)鍵在于根據(jù)橢圓與雙曲線的定義，得到與，再由離心率的計(jì)算公式，結(jié)合題中條件，即可求解.三、填空題13．若，則___________.【答案】【分析】根據(jù)題中條件，由誘導(dǎo)公式以及二倍角公式，直接計(jì)算，即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，則.故答案為：.14．沙漏是一種古代的計(jì)時(shí)裝置，它由兩個(gè)形狀完全相同的容器和一個(gè)狹窄的連接管道組成，開始時(shí)細(xì)沙全部在上部容器中，細(xì)沙通過連接管道全部流到下部容器所需要的時(shí)間稱為該沙漏的一個(gè)沙時(shí)，如圖，某沙漏由上?下兩個(gè)圓錐組成，該圓錐的高為1，若上面的圓錐中裝有高度為的液體，且液體能流入下面的圓錐，則液體流下去后的液面高度為___________.【答案】【分析】根據(jù)圓錐的體積公式，由題中條件，先得到液體的體積與圓錐容積之比，再計(jì)算出空閑部分的體積與圓錐的體積之比，從而可確定結(jié)果.【詳解】由題意可得，，所以，又上下兩圓錐是對(duì)頂?shù)南嗤瑘A錐，所以液體流下去后的液面高度為.故答案為：.15．規(guī)定記號(hào)""表示一種運(yùn)算，即，若，函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，則___________.【答案】1【分析】根據(jù)新運(yùn)算的定義，得到函數(shù)解析式為，再根據(jù)函數(shù)圖象關(guān)于直線對(duì)稱，得到函數(shù)的四個(gè)零點(diǎn)兩兩對(duì)稱，列出方程求解，即可得出結(jié)果.【詳解】由題意可得：，，則函數(shù)有四個(gè)零點(diǎn)，從大到小依次是，，，，因?yàn)楹瘮?shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，所以與關(guān)于直線對(duì)稱，與關(guān)于直線對(duì)稱，所以，解得故答案為：1.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：求解本題的關(guān)鍵在于由函數(shù)新定義得到函數(shù)解析式，確定函數(shù)零點(diǎn)，再由對(duì)稱性，即可求解.16．三分損益法是古代中國(guó)發(fā)明制定音律時(shí)所用的生律法.三分損益包含“三分損一"“三分益一"兩層含義，三分損一是指將原有長(zhǎng)度作3等分而減去其1份，即原有長(zhǎng)度生得長(zhǎng)度；而三分益一則是指將原有長(zhǎng)度作3等分而增添其1份，即原有長(zhǎng)度生得長(zhǎng)度，兩種方法可以交替運(yùn)用?連續(xù)運(yùn)用，各音律就得以輾轉(zhuǎn)相生，假設(shè)能發(fā)出第一個(gè)基準(zhǔn)音的樂器的長(zhǎng)度為243，每次損益的概率為，則經(jīng)過5次三分損益得到的樂器的長(zhǎng)度為128的概率為___________.【答案】【分析】設(shè)5次三分損益中有次三分損一，解方程得的值，即得解.【詳解】設(shè)5次三分損益中有次三分損一，所以，解得故所求概率為.故答案為：【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求概率常用的方法有：先定性（古典概型的概率、幾何概型的概率、獨(dú)立事件的概率、互斥事件的概率、獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率、條件概率），后定量.四、解答題17．在①成等差數(shù)列；②；③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問題中.若問題中的三角形存在，求該三角形面積的值；若問題中的三角形不存在，說明理由.問題：是否存在，它的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且，，___________？注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.【答案】答案見解析【分析】先由題中條件，根據(jù)正弦定理以及余弦定理求出；若選①，根據(jù)正弦定理可得，再由余弦定理求出，即可得出三角形的面積；若選②，根據(jù)正弦定理，得到，可得三角形不存在；若選③，根據(jù)余弦定理，可得，得到為直角三角形，進(jìn)而可求出三角形的面積.【詳解】因?yàn)?，由正弦定理得，即，所以，又，所?選擇①因?yàn)槌傻炔顢?shù)列，所以，即，解得由，所以，故存在滿足題意的，.選擇②因?yàn)椋?，這與矛盾，所以不存在.選擇③因?yàn)?，所以，得，所以，此時(shí)存在.又，所以，所以，所以.18．在公比大于0的等比數(shù)列中，已知依次組成公差為4的等差數(shù)列（1）求的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和【答案】（1）；（2）.【分析】（1）設(shè)的公比為，根據(jù)題中條件，求出公比與首項(xiàng)，即可得出通項(xiàng)公式；（2）先由（1）得到，再由錯(cuò)位相減法，即可求出結(jié)果.【詳解】（1）設(shè)的公比為，因?yàn)槌傻炔顢?shù)列，所以，則，又，所以又因?yàn)椋?，所以；?）由題可知，則，①，②①②得.故【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：錯(cuò)位相減法求數(shù)列（其中為等差數(shù)列，為公比為的等比數(shù)列）的前項(xiàng)和的一般步驟：（1）先列出前項(xiàng)和；（2）在上式兩端同乘以等比數(shù)列的公比，得到，（3）兩式作差，根據(jù)等比數(shù)列的求和公式化簡(jiǎn)整理，即可得出結(jié)果.（作差時(shí)，要注意錯(cuò)位相減）19．如圖，在四棱錐中，，，，（1）證明：.（2）若平面平面，經(jīng)過、的平面將四棱錐分成左?右兩部分的體積之比為，求平面與平面所成銳二面角的余弦值.【答案】（1）證明見解析；（2）.【分析】（1）本題首先可取的中點(diǎn)，連接、，根據(jù)、以及即可得出四邊形是矩形，，然后根據(jù)得出，最后根據(jù)線面垂直的判定與性質(zhì)即可證得；（2）本題首先可根據(jù)題意得出平面即平面，然后作空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量以及平面的法向量，最后根據(jù)即可得出結(jié)果.【詳解】（1）如圖，取的中點(diǎn)，連接，，因?yàn)椋?，是的中點(diǎn)，，所以，，，四邊形是矩形，，因?yàn)?，所以是等邊三角形，，因?yàn)?，所以平面，因?yàn)槠矫?，所?（2）因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，所以平面，因?yàn)椋云矫婕雌矫?，如圖，作空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，，，，，，，因?yàn)槠矫?，則即平面的一個(gè)法向量，設(shè)平面的法向量為，則，即，令，則，，，設(shè)平面與平面所成角為，則，故平面與平面所成銳二面角的余弦值為.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查線線垂直的證明以及二面角的余弦值的求法，可通過線面垂直的性質(zhì)得出線線垂直，可借助空間直角坐標(biāo)系求出二面角的余弦值，考查數(shù)形結(jié)合思想，考查推理能力，是難題.20．已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在拋物線上，.（1）求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.（2）已知直線交拋物線于點(diǎn)，且，證明：直線過定點(diǎn).【答案】（1）；（2）證明見解析.【分析】（1）由拋物線定義求得點(diǎn)P的坐標(biāo)，及參數(shù)p，從而寫出拋物線方程；

（2）設(shè)直線方程，與拋物線聯(lián)立，得到韋達(dá)定理，求得PA，PB的斜率，由PA⊥PB，得到斜率乘積為-1，代入韋達(dá)定理，得到直線方程中斜率與截距的關(guān)系，從而判斷是否過定點(diǎn).【詳解】（1）解：由拋物線的定義知，，故又在拋物線上，所以，則，解得故拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（2）證明設(shè)，直線的方程為，則因?yàn)?，所以，即，將直線的方程與拋物線方程聯(lián)立可得，，則，所以，直線的方程為，則直線過定點(diǎn)【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：兩直線垂直等價(jià)于斜率乘積為-1，利用直線方程與拋物線方程聯(lián)立求得韋達(dá)定理，代入可以求得直線中的參數(shù)關(guān)系.21．某企業(yè)有甲、乙兩條生產(chǎn)同種產(chǎn)品的生產(chǎn)線．據(jù)調(diào)查統(tǒng)計(jì)，100次生產(chǎn)該產(chǎn)品所用時(shí)間的頻數(shù)分布表如下：所用的時(shí)間（單位：天）10111213甲生產(chǎn)線的頻數(shù)10201010乙生產(chǎn)線的頻數(shù)520205假設(shè)訂單約定交貨時(shí)間為11天，訂單約定交貨時(shí)間為12天（將頻率視為概率，當(dāng)天完成即可交貨）（1）為盡最大可能在約定時(shí)間交貨，訂單和訂單應(yīng)如何選擇各自的生產(chǎn)線（訂單，互不影響）；（2）已知甲、乙生產(chǎn)線的生產(chǎn)成本分別為3萬(wàn)元、2萬(wàn)元，訂單，互不影響，若規(guī)定實(shí)際交貨時(shí)間每超過一天就要付5000元的違約金，現(xiàn)訂單，用（1）中所選的生產(chǎn)線生產(chǎn)產(chǎn)品，記訂單，的總成本為（萬(wàn)元），求隨機(jī)變量的期望值．【答案】（1）訂單選擇甲生產(chǎn)線，訂單選擇乙生產(chǎn)線；（2）5．35萬(wàn)元.【分析】（1）設(shè)分別表示訂單選擇甲?乙生產(chǎn)線在約定時(shí)間交貨；分別表示訂單選擇甲?乙生產(chǎn)線在約定時(shí)間交貨；根據(jù)題中條件，分別求出其對(duì)應(yīng)的概率，即可得出結(jié)果；（2）先記為甲生產(chǎn)線的生產(chǎn)成本的取值，為甲生產(chǎn)線的生產(chǎn)成本的取值，由題意，確定與的所有可能取值，根據(jù)（1）分別求出不同取值對(duì)應(yīng)的概率，再由離散型隨機(jī)變量的期望的概念，直接計(jì)算，即可得出結(jié)果.【詳解】解：（1）頻率分布表如下：所用的時(shí)間（單位：天）10111213甲生產(chǎn)線的頻率0.20.40.20.2乙生產(chǎn)線的頻率0.10.40.40.1設(shè)事件，分別表示訂單選擇甲．乙生產(chǎn)線在約定時(shí)間交貨；事件，分別表示訂單選擇甲、乙生產(chǎn)線在約定時(shí)間交貨．，，，，所以訂單選擇甲生產(chǎn)線，訂單選擇乙生產(chǎn)線．（2）設(shè)表示訂單實(shí)際交貨時(shí)間超過約定時(shí)間的天數(shù)，表示訂單實(shí)際交貨時(shí)間超過約定時(shí)間的天數(shù)，，的分布列分別如下：0120.60.20.2010.90.1設(shè)，則的分布列如下：01230.540.240.20.2，所以（萬(wàn)元），所以訂單，的總成本的期望值為5．35萬(wàn)元．22．已知函數(shù)（1）討論的單調(diào)性；（2）當(dāng)時(shí)，恒成立，求的取值范圍.【答案】（1）答案見解析；（2）.【分析】（1）求出導(dǎo)函數(shù)，因式分解，對(duì)參數(shù)分類討論，即可得到結(jié)果；（2）由縮