解題能力的培養(yǎng)

解題能力的培養(yǎng)劉育新一、數(shù)學(xué)教師為什么要解題最后，只有具備一定的解題能力，才能贏得學(xué)生的尊敬與愛戴．首先，數(shù)學(xué)教師只有親身經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析和解決問題的過程，才能有效地引導(dǎo)、啟發(fā)、幫助，甚至鑒別學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動．其次，只有親身經(jīng)歷解決問題的過程，才能更好地了解學(xué)生在解決問題過程中遇到的困難和障礙.第三，只有具備一定的解題能力，才會有興趣并讀好數(shù)學(xué)專業(yè)書籍.二、數(shù)學(xué)教師應(yīng)解一些什么樣的題第四，數(shù)學(xué)教師應(yīng)欣賞并解答一定數(shù)量的歷史名題.首先，數(shù)學(xué)教師要有選擇地研究一些教材上的例題和習(xí)題，特別是教材中B、C組題、探究題、思考題等．

其次，數(shù)學(xué)教師應(yīng)及時關(guān)注并解答一些重大的考試的試題第三，數(shù)學(xué)教師應(yīng)解答一定數(shù)量的競賽試題．學(xué)生解題能力的培養(yǎng)

深入理解概念與命題。深入理解數(shù)學(xué)概念和命題，這是提高解題能力的基礎(chǔ)。所謂理解，就是人們認(rèn)識事物的聯(lián)系和關(guān)系，即進(jìn)而揭露其本質(zhì)和規(guī)律的一種思維活動。一、理解概念，有以下幾點要求：1、為什么要引入這個概念。例如講無理數(shù)時，可以從不能等于一個分?jǐn)?shù)，他不是循環(huán)小數(shù)，也不是有限小數(shù)，是無限不循環(huán)小數(shù)引入無理數(shù)的概念，并且可以從單位正方形對角線的長能用數(shù)軸上一點表示來說明引入無理數(shù)概念的合理性2、理解概念的內(nèi)涵。就是掌握概念的本質(zhì)特征。例如無理數(shù)的本質(zhì)特征是無限不循環(huán)小數(shù)，但由于往往難以判斷小數(shù)循不循環(huán)，因此，它的本質(zhì)特征常用“他不是一個分?jǐn)?shù)就不能等于兩個整數(shù)相除”來描述。

3、掌握概念的外延。就是這個概念包括那些對象。例如，是無理數(shù)，、也是無理數(shù)；π是無理數(shù)，sin100也是無理數(shù)0.1010010001………是無理數(shù)，0.110110011000……也是無理數(shù)。這樣可使學(xué)生對無理數(shù)有一個形象的了解。4、掌握概念的性質(zhì)。例如,可以把無理數(shù)與有理數(shù)加以比較，從而加深對無理數(shù)的理解。兩個有理數(shù)的和、差、積、商、乘方都是有理數(shù)，但兩個無理數(shù)的和、差、積、商、乘方就不一定是無理數(shù)；一個非零有理數(shù)與一個無理數(shù)的和、差、積、商一定是無理數(shù)；有理數(shù)的方根不一定是有理數(shù)，無理數(shù)的方根一定是無理數(shù)。理解定理、公式、法則，有以下幾點要求：1、掌握推導(dǎo)過程。了解定理、公式、法則的來源是理解它不可缺少的環(huán)節(jié)。2、掌握條件和結(jié)論，這是正確運(yùn)用它的必要條件。如一元二次方程求根公式必須符合下列條件：是一元二次方程；二次項系數(shù)不為零；判別式必須不小于零。結(jié)論中的兩個根都滿足方程，但應(yīng)理解為x=x1滿足方程或x=x2滿足方程，而不能把答案寫成；有兩個相等的實數(shù)根不能理解為一個實數(shù)根。3、掌握適用范圍。即在什么情況下才能使用，在什么情況下可以不用；在什么情況下不能使用。例如一元二次方程求根公式是通用的公式，但是在有的情況下用因式分解或用開平方法較簡單，在有的情況下可以不必化為一般形式。如（x-2）(x-1)+x=2,則(x-2)(x-1)+(x-2)=0,x(x-2)=0,即x1=0,x2=2.

4、掌握變化和活用。這是在高層次上對定理、公式、法則的理解。如解方程98x2+35x-3=0時，可設(shè)y=7x，得2y2+5x-3=0,解出y1=1/2,y2=-3,分別除以7，得x1=1/14,x2=-3/7.類似這樣的問題不需要學(xué)生死記硬背，也不需要老師灌輸給學(xué)生，要讓學(xué)生自己去體會，取得經(jīng)驗。二、熟悉基本的解題方法一個習(xí)題不論解答多么復(fù)雜、多么困難，都是由一些基本的解題方法組成的，只有熟練地掌握基本解題方法，才有可能提高解題能力；只有打好基礎(chǔ)，才能得到提高，不能專解難題而忽略了對基本解題方法的教學(xué)。熟悉基本解題方法，大致經(jīng)歷套用、運(yùn)用、活用幾個階段，我們在教學(xué)上要自覺地、有意思地進(jìn)行訓(xùn)練1、套用就是模仿，模仿老師的講解，模仿例題，套用解題方法解題（如教材中的課堂練習(xí)、做一做），目的是在解題中理解、熟悉基本的解題方法。例如在講完一元二次方程根的判別式以后，隨即進(jìn)行一定數(shù)量的練習(xí)，使學(xué)生掌握利用一元二次方程根的判別式來判斷根的情況的方法。2、運(yùn)用就是可以用這些方法去解決一些問題（如教科書中的作業(yè)題），這些題比練習(xí)題要復(fù)雜，難度要大。如學(xué)生在掌握一元二次方程根的判別式方法以后，可以做一些利用判別式求變量的范圍，或已知方程的根的情況證明某個式子的習(xí)題；利用根的判別式分析二次函數(shù)值的符號等。3、活用就是靈活運(yùn)用這些方法，包括這些解題方法變化的形式；變換題中的已知條件，使之適合這些解題方法；發(fā)掘習(xí)題中的隱含田間，使之便于應(yīng)用這些解題方法等。例如遇到A2=BC,A2≥BC,A2≤BC就可以聯(lián)想到判別式；遇到有關(guān)等式，不等式的題目時，也可以采用判別式作為一種解題方法。三、精心選擇講解例題教師精心選擇、講解例題，是為解答數(shù)學(xué)習(xí)題起示范、啟發(fā)和引導(dǎo)作用，對于提高學(xué)生解答數(shù)學(xué)習(xí)題的能力起著不可替代的作用。選擇例題在精不在多，選擇的標(biāo)準(zhǔn)可以考慮以下幾點：1、典型性。有利于學(xué)生掌握有關(guān)數(shù)學(xué)知識和思想方法；是某一類型習(xí)題的代表，不是難題、偏題、怪題，用通法可解，不需要用特殊的解法；能總結(jié)規(guī)律性的東西，以利解決其他問題。2、探索性。有一定難度，對絕大多數(shù)學(xué)生來說又不是“深不可及”的，經(jīng)過努力是可以解決的，太難、太易都不利于學(xué)生解題能力的提高。3、多解性。最好是由多種不同的解法，以利學(xué)生發(fā)揮創(chuàng)造性。4、拓展性。由此可以引出新的問題和進(jìn)一步的思考。例如，可以適當(dāng)改變問題的條件或結(jié)論得出新的問題等。范例：如圖所示，證明等腰三角形ABC中底邊BC上任一點到兩腰AB、AC的距離PD、PE之和為定值。此題先讓學(xué)生思考，這個定值是什么？（如點P取在B或C的位置，得出這個定值是等腰三角形腰上的高）方法1：全等三角形法。如圖，作PG⊥BF于G，

證明⊿BGP≌⊿PDB。方法2：三角形面積法。如圖連AP，把⊿ABC分成兩個三角形⊿ABP和⊿ACP，然后利用面積證明。平行線法。如圖，過B作直線BG//AC，

作PG⊥BG于G。

在學(xué)生解答的基礎(chǔ)上，教師進(jìn)行講評。第一種解法應(yīng)補(bǔ)充等腰直角三角形的情況，以保證論證的嚴(yán)密性。第二種解法具有一定的普遍性，即利用面積解題。第三種解法比較簡單，突出了問題的實質(zhì)：兩平行線間的距離相等，可以進(jìn)一步拓展。課余鹽可以旗讓學(xué)兄生討模論：（1）⊿AB腔C是正犁三角貸形時踏，結(jié)擊論又號會怎漸樣？（2）點P在⊿AB糕C底邊BC的延弱長線蹄上時計，結(jié)萄論又橋如何畜？如果悄過C作CH構(gòu)//副AB交BC延長夫線于H，則射得一第菱形AB灶HC，同具樣，P到BH、HC的距溪離PG、PM之和畫也使交兩平棵行線寬間的童距離匪，也戒是定蓬值，豬這樣播我們指就可天以得惡到：菱形柴對角拳線上拔一點表到四館邊距記離之垂和為男定值梅。通過潑每一筆步的威研究蠟，我要們發(fā)刃現(xiàn)，初既然現(xiàn)是兩雄平行宇線間盡的距扛離，夕那么客這一叼點就竄不一綁定在順對角右線上定，這警樣又獅得到林：菱形帥內(nèi)的煤任一撥點到股四邊政的距勇離之捏和為碌定值缺。四、榴切實斬加強(qiáng)坦思維厘能力播的訓(xùn)仍練數(shù)學(xué)果教學(xué)罰中，籍開發(fā)再思維暫能力刻是培咳養(yǎng)能蓋力的捕核心寸，必慚須得擴(kuò)到加效強(qiáng)。報“問費(fèi)題解因決”它的核疤心也蛛是很河一般即的思籮想方啟法或矛思維善模式輝，總丹之要高讓學(xué)余生學(xué)續(xù)會“歡數(shù)學(xué)猶思維丹”。僵波利駐亞也非認(rèn)為宅：“剝一個既教師結(jié)，他嗓若要弟采用棟同樣漿的方膊法去阿教他抱所有浴的學(xué)猛生--禿--牲--未來窄用數(shù)階學(xué)和刷不用多數(shù)學(xué)刪的人臂，那愁么，抄他在駁教解每題時當(dāng)應(yīng)當(dāng)械教三勉分之誤一的揭數(shù)學(xué)傾和三鄉(xiāng)豐分之紅二的刑常識固（即套止一第般性丑的思屢想方末法或冬思維株模式夸）”罩。盡賄管學(xué)扎生參麥加工胖作后瘡，對流大多膽數(shù)學(xué)敵生來術(shù)說，碧許多止數(shù)學(xué)獨知識艦用不餅上，飄但數(shù)窯學(xué)對森于人略們養(yǎng)您成良獸好的港思維郊習(xí)慣輝以及川理性穴思維憤和創(chuàng)唉造性些才能咐的發(fā)占展，掘具有搬特殊丈的意鉆義。下面筒分思料維方挨法和每思維拿品質(zhì)粘兩個卡方面柴講述秩加強(qiáng)子思維吐能力游的訓(xùn)派練。1、學(xué)乖會正烘確的洗思維婆方式數(shù)學(xué)縫思維朵方法曲是人幕們對窄數(shù)學(xué)潮對象仁內(nèi)在蒸聯(lián)系魯?shù)哪苷饎臃粗τ场Ｂ剬W(xué)會園正確漫的思恒維方旅法，鞠對于祥提高屢解題巨能力丟起著夜重要召作用蕩。辭經(jīng)常姥用到攏的有派以下向幾種鄭：A、形必象思擁維。匆數(shù)學(xué)目中的刊形象蒼思維斑方法想就是限對數(shù)隸學(xué)形秋象（濁圖形灶、圖明表、猶數(shù)字僑、數(shù)繩學(xué)式凱）進(jìn)樓行加僵工，癢并形技成形勝象的辭方式祖和程蓮序。來幾何粗變換磁、圖鄉(xiāng)豐解法帝、列授表法湊等等喜都包券含有機(jī)形象第思維潤的方少法。B、直覺符思維進(jìn)。直執(zhí)覺思落維是企人們翁對外巴界新孟事物捷一種池迅速調(diào)的識反別，停敏銳贈而深赤入的炒洞察匯，直帖接的煤本質(zhì)駕理解飼和綜口合的的整體蹦判斷辱。直歌覺思濤維在構(gòu)解答簡數(shù)學(xué)闖習(xí)題耳中是淋一種登有效耕的思水維方俊法，政它可辯以幫趨助學(xué)沫生迅自速而麻直接徹地找蘇到解拔題方公法。孫當(dāng)然梁，直壯覺思孕維不省一定煩得出岔正確足的結(jié)鳥論，棗但仍貢不失濁為一蒸種有度效的牢思維雜方法助，直怠覺思挺維正傍確與咽否往掠往與顯學(xué)生握的數(shù)居學(xué)基杯礎(chǔ)、踩理解康問題械的能機(jī)力、欺解題辦經(jīng)驗縮慧密切享相關(guān)肌，皆趴大數(shù)扭學(xué)系襯題中洗的猜?lián)u想、促聯(lián)想惕、類扭比、懲合情劈燕推理恭都包厚含有虹直覺李思維愿的方莊法。C、辯證私思維映。辯室證思修維就義是用肢事物膀是相憐互聯(lián)監(jiān)系、衛(wèi)運(yùn)動?xùn)|、變忽化、禮發(fā)展湊的觀振點分設(shè)析解壤決問行題。奏它也揮是解際答數(shù)暮學(xué)題玻的基袖本思倚維方雖法，藏解答加數(shù)學(xué)擁習(xí)題乳中的譽(yù)特殊塑與一橫般、劇正面今與反熱面、專局部扯與整闖體、竊聯(lián)想臨與類鄰比等齒無不擔(dān)包含崖有辯通證思意維的姥方法樓。坦例如津：若饞方程-2霉-a印=0有解美，求a的取偶值范沫圍。減此迫題不激是一榨元二兩次方快程，雷不能械用判乘別式到求解挑。如屠果解肅出x，再字討論a的取莫值范泰圍將除比較墨麻煩端，我錢們可核以先漸解出a，再湯討論a的取謊值范搏圍。D、邏輯防思維絨。數(shù)稱學(xué)中捉的邏耗輯思耀維方原法，禿是對肉數(shù)學(xué)冷概念離、判亞斷和隆推理也進(jìn)行歸加工粒改造割，以維形成鑼新的汽概念喊、判陳斷和膝推理刮方法播。它悅是數(shù)騰學(xué)中坑最重朋要、螺最基君本的樓方法舟。從潤形式聚邏輯議的觀霉點看竭，他抹應(yīng)符裝合矛干盾律戲、排永中律龍和充識分理隊由律睡。解渴答數(shù)適學(xué)習(xí)核題中俱的分濁析與內(nèi)綜合橫、歸汽納與李演繹許、比襪較與截分類懇等都欺包含馳邏輯妥思維摸的方學(xué)法。2、養(yǎng)凈成良州好的愿思維屠品質(zhì)提高袋解答逼數(shù)學(xué)品習(xí)題籃能力賀，除趕了學(xué)果