數(shù)學(xué)期望的計(jì)算方法及其應(yīng)用

數(shù)學(xué)期望的計(jì)算方法及其應(yīng)用PAGEPAGE22數(shù)學(xué)期望的計(jì)算方法及其應(yīng)用到學(xué)習(xí)該內(nèi)容的目的。關(guān)鍵詞：離散型隨機(jī)變量 連續(xù)型隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望 計(jì)算方法ABSTRACT ：第一節(jié)離散型隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望的計(jì)算方法及應(yīng)用定義：設(shè)離散型隨機(jī)變量Ｘ分布列為

[1]XXx1xPp…………x2n1pp2 nE(X)=E(X)=i1xp(x)ii注意：這里要求級(jí)數(shù)ni1

絕對(duì)收斂，若級(jí)數(shù)xp(x)i ini12

xp(xi

不收斂，則隨機(jī)變量Ｘ的數(shù)學(xué)期望不存在)1某推銷人與工廠約定，永川把一箱貨物按102516元。推銷人按他的經(jīng)驗(yàn)認(rèn)為，一箱貨物按期無損的的運(yùn)到目的地有60﹪把握，20﹪，10﹪，又有損的占10﹪。試問推銷人在用船運(yùn)送貨物時(shí)，每箱期望得到多少？解設(shè)Ｘ表示該推銷人用船運(yùn)送貨物時(shí)每箱可得錢數(shù)，則按題意，Ｘ的分布為X8X8510-6P0.60.20.10.110×0.6＋8×0.2＋5×0.1－6×0.1＝7.5E(X)公式法（分布，超幾何分布等典型分布的數(shù)學(xué)期望公式來求此隨機(jī)變量的期望。（1）

二點(diǎn)分布：

~1 0 X p 1p

EX p（2）

二項(xiàng)分布： ， ，則X~B(n,p) 0p1 E(X) np（3）

X~G(p)

,則有

E(X)1p（4） 泊松分布： ，有X~P() E(X)（5）

超幾何分布：

X~h(n,N,M

,有E(X)nM題中一次性隨機(jī)抽取3道題,按要求獨(dú)立完成題N題中一次性隨機(jī)抽取3道題,按要求獨(dú)立完成題已知6道備選題中參賽者甲有4題能正確完成,2已知6道備選題中參賽者甲有4題能正確完成,2例2例2一個(gè)實(shí)驗(yàn)競(jìng)賽考試方式為：參賽者從6道目.競(jìng)賽規(guī)定：至少正確完成其中2題者方可通過,目.競(jìng)賽規(guī)定：至少正確完成其中2題者方可通過,23甲、乙兩參賽者正確完成題數(shù)的數(shù)學(xué)期望.甲、乙兩參賽者正確完成題數(shù)的數(shù)學(xué)期望.解設(shè)參賽者甲正確完成的題數(shù)為,則X X服從超幾何分布,其中N6,M4,n解設(shè)參賽者甲正確完成的題數(shù)為,則X X服從超幾何分布,其中∴E∴E(X)nMN3 264設(shè)參賽者乙正確完成的題數(shù)為,則Y2 , 2性質(zhì)法

Y~) E(Y)np3 3 3利用數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)求期望，主要性質(zhì)有：E(c)c E(aX)aE(X) E(aXb)aE(X)b其中為隨機(jī)變量， 為常數(shù)。X a,b,c例3某工程隊(duì)完成某項(xiàng)工程的時(shí)間(單位：月)X是一個(gè)隨機(jī)變量，它的分布列為X10X10111213P0.40.30.20.1YX,元。試求工程隊(duì)的平均利潤。解（1）根據(jù)題意，我們可求平均月數(shù)為：EX100.4110.3120.2130.111月（2）由（1）知EX)11，則可得E(Y)E(50(13X))E(65050X)65050E(X)6505011100利用逐項(xiàng)微分法這種方法是對(duì)于概率分布中含有參數(shù)的隨機(jī)變量而言的，我們可以通過逐項(xiàng)求微分的方法求解出隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望，關(guān)鍵步驟是對(duì)分布列的性質(zhì)i1

p1兩邊關(guān)于參數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，從而解i出數(shù)學(xué)期望。例5 設(shè)隨機(jī)變量 ，求 。X~G(p) E(X)解因?yàn)閗

X~G(p)

P(Xk)p)k

其中0p1則k1

1（p)k（對(duì)（1 ）式兩邊關(guān)于

求導(dǎo)得k

1p

k

p(k1)(1p)

k20k

1pk1k1

kp1p)k2k1

p1pk201pk

p1pk

11

k

kp1pk

11

k

p1pk10根據(jù)數(shù)學(xué)期望的定義知：EXk1

kp1pk1 且知k

p)k11

1 EX1 0從而解得EX1p

p 1p 1P利用條件數(shù)學(xué)期望公式法條件分布的數(shù)學(xué)期望稱為條件數(shù)學(xué)期望，它,Y。在,Y為二維離EXYy xxYyi ii或Xx yyj j

Xxj例6 設(shè)二維離散隨機(jī)變量,Y的聯(lián)合分布列為YX0123000.010.010.0110.010.020.020.0320.030.040.050.043YX0123000.010.010.0110.010.020.020.0320.030.040.050.0430.050.050.050.0640.070.060.050.0650.090.080.060.05解要求EXY2，首先得求PXY2PX0Y2

0.01 10.010.030.050.050.050.06 25同理可得

PX1Y2325

2Y2525PX3Y25254Y2525

PX5Y2625EXY2

xPXx

Y20

325

35

4

556 78i ii0

25 25 25 25 25 25用同樣的方法，我們可得X02利用重期望公式法重期望是在條件期望的基礎(chǔ)之下產(chǎn)生的，Yyyy的不同取值，條件期望Y的取值也在變化，因此我們可以把Y看作一個(gè)隨機(jī)變量。重期望的公式是Y此公式的前提是EXY變量，則重期望公式可改寫成為 EX

EXYj

PYyj j例7 口袋中有編碼

的n

個(gè)球，從中任取11若取得i號(hào)球(i2)，則得i分，且將此球放回，重新摸球。如此下去，試求得到的平均總分?jǐn)?shù)。解記X為得到的總分?jǐn)?shù)，Y球的號(hào)碼，則12n1n又因?yàn)閅1，而當(dāng)i2時(shí)，Yii 以EXni1

EXYiPYi

12nn由此解得EX2第二節(jié) 連續(xù)型隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望的計(jì)算方法及應(yīng)用連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的定義和含義px代替分布列pxi

，用積分是代替和式，即得到連續(xù)場(chǎng)合下數(shù)學(xué)期望的定義。4定義法4設(shè)連續(xù)隨機(jī)變量X有密度函數(shù)pxxpxdx 有限（收斂，則稱 EXxpxdx 為X的數(shù)學(xué)期望。若xpxdx 無限（不收斂，則說X的數(shù)學(xué)期望不存在。例8 設(shè)隨機(jī)變量服從均勻分布，求它的數(shù)學(xué)X期望。解由于X~Ub，則它的密度函數(shù)為 1pxba0

axb其他則根據(jù)定義它的數(shù)學(xué)期望為EXxpxdxbx a

1badxab2

b2a21x2ba 2ab1x2ba 2a例9 密度函數(shù)為px 1

x的分布稱為柯西分布。

1x2其數(shù)學(xué)期望不存在，這是因?yàn)榉e分限。特殊積分法

1 dx 無x 1x2x連續(xù)型隨機(jī)變量 的數(shù)學(xué)期望為XEXX的數(shù)學(xué)期望時(shí)，常常會(huì)用到一些特殊的求積分的性質(zhì)和方0一換元積分等，都會(huì)給我們的計(jì)算帶來簡(jiǎn)便。例10 設(shè)隨機(jī)變量X~N,2，證明EX．證 在EX

z,dz

dx即dxdz可得EX

1 22

x222 dx2 1 2

z22dz 1

z

z2 22

2dz

e 2dz 由于上式右端第一個(gè)積分的被積函數(shù)為奇函數(shù)，22利用特征函數(shù)

，故得EX．特征函數(shù)的定義：設(shè)是一個(gè)隨機(jī)變量，稱X

,eitX

t

的特征函數(shù)，設(shè)連續(xù)隨機(jī)變量X有密度函數(shù)px，則X的特征函數(shù)為eitxt根據(jù)上式，我們可以求出隨機(jī)變量分布的特征函數(shù)，然后利用特征函數(shù)的性質(zhì)：E

Xk

k0求出數(shù)ik學(xué)期望，即EX0．i例11 設(shè)隨機(jī)變量X~N

,2

EX．解因?yàn)殡S機(jī)變量為

X~

,2

X

的特征函數(shù)

2t2expit 2

2texpi 2t

i2t2 2 則0i由特征函數(shù)的性質(zhì)得EXii i函數(shù)的性質(zhì)求出正態(tài)分布的特征函數(shù)。逐項(xiàng)微分法px中含有參數(shù)的連續(xù)型隨機(jī)變量分布，也是對(duì)pxdx1對(duì)參數(shù)求導(dǎo)數(shù)來解出數(shù)學(xué)期望。例12 設(shè)隨機(jī)變量服從指數(shù)分布即X~Exp，求EX解 因pxex，x0

X~Exp，則X 的密度函數(shù)x 0則由pxdx1，EXxpxdx 得 exdx1 EXexdx0對(duì)

exdx

兩邊關(guān)于參數(shù)

求導(dǎo)得0

0exxexdx0exdxxexdx00 01 e x0 EX 0從而解得EX1條件數(shù)學(xué)期望公式樣適用，其計(jì)算公式為EXYyxpxydx13設(shè)二維隨機(jī)變量,Y的聯(lián)合密度函數(shù)為px,yxy,0,

0x,y1其他試在0yYpx121xydx12yy22yyYy

x,y

1xpy 1Y y

y12 20y時(shí)，EXYy1xpxydxy 1 11y2y1 y

xx2dx2 21 x2 x311 12

3yy2y 2 21 1 y2 y31 1623y2y 2 2y2y1 y2 3利用重期望公式在Y是一個(gè)連續(xù)隨機(jī)變量時(shí)，重期望公式Y(jié)可改寫成為EXY． Y例14 設(shè)電力公司每月可以供應(yīng)某工廠的電力X服從130單位104kW實(shí)際需要的電力Y服從1,20單位104kW上的均勻分30每 電可以創(chuàng)造 萬元的利潤，若工廠得不30104kW10解決，由其他途徑得到的電力每 獲利 萬10104kW元，失球該廠每個(gè)月的平均利潤。解從題意知，每月供應(yīng)電力X~U實(shí)際需要電力Y~UZ萬元，則按題意可得, 當(dāng)YXZ30

XX

當(dāng)YX在X

給定時(shí)，僅是Z

10x20時(shí)，的條件期望為ZEZXxx30ypydy2010y20xpydy10 Y x Yx30y1dy2010y20x1dy3 103 x21001202x22x20x2 25040xx2當(dāng)20x30

的條件期望為EZXx2030yp10 Y

ydy203010

dy4501101然后用X的分布對(duì)條件期望EZXx再作一次平均，即得EZEZXx20EZXxp10

xdx30EZXxp20

xdx1 20

1 3020 2010

5040xx700

dx

20

450dx25300

6 225433所以該廠每月的平均利潤為433萬元．第三節(jié) 隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望的計(jì)算技巧利用數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)，化整為零主要是利用數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)題簡(jiǎn)單化。

Eni1

Xnii1

EXi

來時(shí)問例15設(shè)一袋中裝有m只顏色各不相同的球，每nX在n次摸球中摸到球的不同顏色的數(shù)目，求EX解直接寫出X的分布列較為困難，其原因在于：若第i種顏色的球被取到過，則此種顏色的球又可被取到過一次、二次ni概率容易寫出為第i1

1n為此令

m1,第i種顏色的球在次摸球中至少被摸到一次；X i 0,i

in這些相當(dāng)于是計(jì)數(shù)器，分別記錄下第X i

種顏色的球是否被取到過，而

是取到過的不同顏色總X數(shù)，所以X

X ．由

01

1n可得,ii1

i mEX

PX

11

011

1ni i i

m所以 EX

m

1

1ni m例16 設(shè)X~Bn,p，求EX解由題意知，

PXk

Ckpkn

nk

, 0p1，方法一：根據(jù)數(shù)學(xué)期望的定義有EXnknk1

kCkpk1pnknkCkpk1pnknnpnk1

Ck1pk11pnkn1npn1p1pn1i0np方法二：令Xi

ik1表示貝努力試驗(yàn)中的出現(xiàn)的次數(shù)，則相互獨(dú)立而且同分布，均服從1 0 p 1-p EXi

p,而Xn Xii1EXn EXnpii1利用二重積分的極坐標(biāo)變換求解這種方法只是用于二維連續(xù)型隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望的求解。17設(shè)隨機(jī)變量X,Y相互獨(dú)立，且均服從N分布，求Z

的數(shù)學(xué)期望。X2YX2Y2Z

的密度函數(shù)為X2YX2Y2

1 x2y2e

, -x,y2可得E

X2Y2 x2x2y2

1e2

x2y22

dxdy,令xrcosyrsin,

則可得

1 r2

r2上式 re2rddr

re 2dr0 0 0re2 rre2

r20e2dr 0e2dr 22 22

02r22e2dr2 2巧用特殊求和公式例18 對(duì)一批產(chǎn)品進(jìn)行檢驗(yàn),如果檢查到第n件仍未發(fā)現(xiàn)不合格品就認(rèn)為這批產(chǎn)品合格,如尚未超過第n件時(shí)已檢查到不合格品即停止繼續(xù)檢查,且認(rèn)為這批產(chǎn)品為不合格.設(shè)產(chǎn)品數(shù)量很大,可以認(rèn)為每次檢查查到不合格品的概率都是,問平均每批要檢查多少件？p解設(shè)表示每批所需檢驗(yàn)的產(chǎn)品數(shù)，那的分X X布列是kqkp, k,n1 q1nqn1pqnqn1, n1

n1 EX

k

kqkpnqn1

p

k

qknqn1qqnp1

nqn1q

1nqn11q

qqnp

q2

nqn11qn 11pn p p注：這里主要用到的求和公式是nk1

qk

1 ．1q6ab；當(dāng)隨機(jī)變量服2x稱軸，故它的數(shù)學(xué)期望取值為．6例19若X 1,

X2,

正的獨(dú)立隨機(jī)變量，服