線段的垂直平分線

秉烈中學(xué)師課堂教學(xué)計理科教師用）授教：光智

科：數(shù)學(xué)

授主：

§1.3線段的垂直平分教分及理知識目標：①經(jīng)歷探索、猜測過程，能夠運用公理和所學(xué)過的定理證明線段垂直平分線的性質(zhì)定里和判定定理．②能夠利用尺規(guī)作已知線段的垂直平分線．③經(jīng)歷猜想、探索，能夠作出以a為，為高的等腰三角形能力目標：①經(jīng)歷探索、猜測、證明的過程，進一步發(fā)展學(xué)生的推理證明意識和能力．②體驗解決問題策略的多樣性，發(fā)展實踐能力和創(chuàng)新精神．③學(xué)會與人合作，并能與他人交流思維的過程和結(jié)果．情感與價值觀要求①能積極參與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動，對數(shù)學(xué)有好奇心和求知欲．②在數(shù)學(xué)活動中獲得成功的體驗，鍛煉克服困難的意志，建立自信心．預(yù)目：能夠證明與線段垂直平分線相關(guān)的結(jié)論．

②知底邊和底邊上的高，能用尺規(guī)作出等腰三角形．學(xué)活：生討論并動手自己操作。教活：引導(dǎo)操作教資及具運：直尺、規(guī)典習(xí)：已知直線l和l一點P，利用尺規(guī)作l的垂線，使它經(jīng)過點已知：直線l和l上一點P．求作：l

教流及書計第一環(huán)：創(chuàng)設(shè)情境引入新如圖AB示兩個倉庫，要AB一側(cè)的河岸邊建造一個碼頭，使它到兩個倉庫的距離相等，碼頭應(yīng)建在什么位置其中“到兩個倉庫的距離相”，要強調(diào)這幾個字在題中有很重要的作用．在七年級時研究過線段的性質(zhì)，線段是一個軸對稱圖形，其中線段的垂直平分線就是它的對稱軸們用折紙的方法據(jù)折疊過程中線段重合說明了線段垂直平分線的一個性質(zhì)：線段垂直平分線上的點到線段兩個端點的距離相等．所以在這個問題中，要求在A、B一側(cè)的河岸邊建造一個碼頭，使它到兩個倉庫的距離相等”利用此性質(zhì)就能完成．定理

線段垂直平分線上的點到線段兩個端點的距離相等．第二環(huán)：探究新知第一環(huán)節(jié)提出問題后，有學(xué)生提出了一個問題要證‘線段垂直平分線上的點到線段兩個端點的距離相等可線段垂直平分線上的點有無數(shù)多個，需一個一個依次證明嗎何況不可能呢已知：如圖，直線MN⊥AB，垂足且AC=BC，MN上的點．求證：．分析：要想證明PA=PB，可以考慮包含這兩條線段的兩個三形是否全等．證明：∵⊥，∴∠PCA=∠PCB=90°∵AC=BC，PC=PC,∴△△PCB(SAS)．；

C

MN

∴PA=PB(全等三角形的對應(yīng)邊相等．第三環(huán)：想一想你能寫出上面這個定理的逆命題嗎它是真命題嗎這個命題不是…那么…”的形式，要寫出它的逆命題，需分析原命題的條件和結(jié)論，將原命題寫成“如果……那么……”的形式，逆命題就容易寫出．鼓勵學(xué)生找出原命題的條件和結(jié)論。原命題的條件是“有一個點是線段垂直平分線上的點”論是這個點到線段兩個端

點的距離相等此時，逆命題就很容易寫出來如果有一個點到線段兩個端點的距離相等，那么這個點到線段兩個端點的距離相等寫出逆命題后時，就想到判斷它的真假．如果真，則需證明它；如果假，則需用反例說明．證法一：已知：線段AB，點是平面內(nèi)一點且PA=PB．求證：在AB垂直平分線上．證明：過點P作已知線段AB的垂線，PC=PC，∴Rt△≌eq\o\ac(△,Rt)PBC(HL定理)．∴AC=BC，即在AB垂直平分線上．證法二：取AB中點，過作直線．∵AP=BP，∴△△．∴∠PCA=∠PCB(全等三角形的對應(yīng)角相等)．又∵∠PCA+∠，∴∠PCA=∠∠，即⊥AB∴在AB垂直平分線上．證法三：過P點作∠APB的角平分線．∵AP=BP，∠1=∠2

PBP12CB△△∴AC=BC，∠PCA=∠PCB(全等三角形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊相等．又∵∠PCA+∠∴∠PCA=∠PCB=90°∴在線段AB垂直平分線上．證法四：過P作線段AB的垂直平分線PC．

P1∵AC=CB，∠PCA=∠PCB=90°，∴AB垂直平分線上．四種證法由學(xué)生表述后，有學(xué)生提問前三個同學(xué)的證明是正確的，而第四個同

22學(xué)的證明我有點弄不懂師生共析如圖(PD上D是垂足D不平分AB如圖(2)平分，但不垂直于AB．這說明一般情況下：過作AB的直平分線可能實現(xiàn)的，所以第四個同學(xué)的證法是錯誤的．從同學(xué)們的推理證明過程可知線段垂直平分線的性質(zhì)定理的逆命題是真命題，我們把它稱做線段垂直平分線的判定定理．我們曾用折紙的方法折出過線段的

P垂直平分線．現(xiàn)在我們學(xué)習(xí)了線段垂直平分線的性質(zhì)定理和判定定理，能否用

A

A

B尺規(guī)作圖的方法作出已知線段的垂直平分線呢第四環(huán)：做一做活動內(nèi)：尺規(guī)作線段的垂直平分線．用尺規(guī)作線段的垂直平分線．要作出線段的垂直平分線，根據(jù)垂直平分線的判定定理，到線段兩個端點距離相等的點在這條線段的垂直平分線上，那么我們必須找到兩個到線段兩個端點距離相等的點，這樣才能確定已知線段的垂直平分線．已知：線段AB(如圖求作：線段AB垂直平分線．1作法：1．分別以點A和B為圓心，以大于AB的長為半徑作弧，兩弧相交于點C和D．2．作直線CD．直線就是線段AB垂直平分線．第五環(huán)：講述新課已知在△中ABBC的直平分線交于點連接，，．

DA求證：在AC垂直平分線上．證明：∵點P在線段AB的垂直平分線上，

B

∴PA=PB(線段垂直平分線上的點到線段兩個端點的距離相等)．同理．∴．∴點AC垂直平分線上(到線段兩個端點距離相等的點.在這條線段的垂直平分線上)．∴AB、BC、AC的垂直平分線相交于點進一步設(shè)問證明三角形三邊的垂直平分線交于一點，你還能得出什么結(jié)”（交點三角形三個頂點的距離相等定理

三角形三邊的垂直平分線相交于一點，并且這一點到三個頂點的距離相等練習(xí)1別作出直角三角形角三角形鈍角三角形三邊的垂直平分線明交點分；別在什么位置．2．已知：ABC，AB=AC，ADBC一上的中線，AB的垂直平分線交于求證：OA=OB=OC．

A解：1．如所示：

OBC可以發(fā)現(xiàn)，銳角三角形三邊的垂直平分線交點在三角形內(nèi)；直角三角形三邊的垂直平分線交點在斜邊上；鈍角三角形三邊的垂直平分線交點在三角形外．2．證明：，AD是的中線，∴AD垂直平分BC(等腰三角形底邊上的中線垂直于底邊)．又∵AB垂直平分線與交于點O，∴OB=OC=OA(三角形三條邊的垂直平分線交于一點，并且這一點到三個頂點的距離相等)．第六環(huán)：議一議活動內(nèi)：用尺規(guī)作圖作已知一條邊及這條邊上的高，求作出相關(guān)的三角形。(1)已知三角形的一條邊及這條邊上的高，你能作出三角形嗎如果能，能作幾?所作出的三角形都全等嗎已知等腰三角形的底邊，你能用尺規(guī)作出等腰三角形嗎如果能，能作幾個?所作出的三角形都全等嗎已知等腰三角形的底邊及底邊上的高，你能用尺規(guī)作出等腰三角形嗎能作幾個?由學(xué)生思考可得(1)知三角形的一條邊及這條邊上的高，能作出三角形，并且能作出無數(shù)多個，如下圖：已知：三角形的一條邊a和邊上的高求作：△ABC使，邊上的高為

111l1111l1

h

a

D

a

(D)

a

D

從上圖我們會發(fā)現(xiàn)先作已知線段然后再作邊上的高h但垂足不確定我們可將垂足取在線段上或其所在直線上的任意一點D，過此點作邊的垂線，最后以為端點在垂線上截取或AD)使AD=AD=h，連接AB，AC(或△A，AC)，所得△ABC(或△ABC)都滿足條件，所以這樣的三角形有無數(shù)多個．觀察還可以發(fā)現(xiàn)這些三角形不都全等．如果已知等腰三角形的底邊，用尺規(guī)作出等腰三角形，這樣的等腰三角形也有無數(shù)多個．根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)定理可知，線段垂直平分線上的點到線段兩個端點的距離相等，因為只要作已知等腰三角形底邊的垂直平分線，取它上面的任意一點，和底邊的兩個端點相連接，都可以得到一個等腰三角形．另外有學(xué)生補充底邊垂直平分線上的任意一點都滿足條件如底邊的中點在底邊上，不能構(gòu)成三角形，應(yīng)將這一點從底邊的垂直平分線上挖去（如果底邊和底邊上的高都一定，這樣的等腰三角形應(yīng)該只有兩個，并且它們是全等的，分別位于已知底邊的兩側(cè)．已知底邊及底邊上的高，求作等腰三角形．已知：線段、求作：△ABC使，高AD=h作法：1．作BC=a；2．作線段Bc的垂直平分線MN交BC于D；3．以D為圓心，長為半徑作弧交MN于A；4．連接AB、∴△ABC就是所求作的三角形如圖所示)．

MABDN

C

完成作圖后，可能有學(xué)生會后這樣的疑問足條件的△應(yīng)有兩個，為什么不作出另一個呢教師說明，作圖“位作圖”“活位作圖，前者則對所求作的圖形必須作在指定的位置，而后者則對所求作圖形的位置沒有硬性限制．如作已知線段的垂直平分線”屬定位作圖，而“以已知正方形的一邊為邊等邊三角形“已知兩邊及其夾角作三角形”都屬于活位作圖．對于