《高等流體力學》習題集

《高等流體力學》復習題一、基本概念1．什么是理想流體？正壓流體，不可壓縮流體？[答]：教材P57當流體物質的粘度較小，同時其內部運動的相對速度也不大，所產生的粘性應力比起其它類型的力來說可以忽略不計時，可把流體近似地看為是無粘性的，這樣無粘性的流體稱為理想流體。內部任一點的壓力只是密度的函數的流體，稱為正壓流體。流體的體積或密度的相對變化量很小時，一般可以看成是不可壓縮的，這種流體就被稱為不可壓縮流體。2．什么是定常場；均勻場；并用數學形式表達。[答]：如果一個場不隨空間的變化而變化，即場中不顯含空間坐標變量r，則這個場就被稱為均勻場。其(r)表達式為：個場不隨時間的變化而變化，則這個場就被稱為定常場。其數學如果一(t)數學表達式為：3．理想流體運動時有無切應力？粘性流體靜止時有無切應力？靜止時無切應力是無否粘性？為什么？[答]：理想流體運動時無切應力。。但是，靜止時無切應力粘性流體靜止時無切應力，而有粘性。因為，粘性是流體的固有特性。4．流體有勢運動指的是什么？什么是速度勢函數？無旋運動與有勢運動有何關系？[答]：教材P119-123如果流體運動是無旋的，則稱此流體運動為有勢運動。對于無旋流動來說，其速度場V總可以由某個速度標量函數（場）(r,t)的速度梯度來表示，即V，則這個標量函數（場）(r,t)稱為速度場V的速度勢函數。無旋運動與有勢運動的關系：勢流運動與無旋運動是等價的，即有勢運動是無旋的，無旋運動的速度場等同于某個勢函數的梯度場。-1-5．什么是流函數？存在流函數的流體具有什么特性？（什么樣的流體具有流函數？）[答]：6．平面流動中用復變位勢描述的流體具有哪些條件（性質）？[答]：教材P126-127理想不可壓縮流體的平面無旋運動，可用復變位勢描述。7．什么是第一粘性系數和第二粘性系數？在什么條件下可以不考慮第二粘性系數？Stokes假設的基本事實依據是什么？[答]：教材P89第一粘性系數第二粘性系數μ’：反映了體變考慮第二粘性系數。μ：反映了剪切變形對應力張量的貢獻，因此稱為剪切變形粘性系數；形對應力張量的貢獻，因而稱為體變形粘性系數。對于不可壓縮流體，可不Stokes假設的基本事實依據：平均法向正應力就是壓力函數的負值，即體變形粘性系數20。3-2-8．從運動學觀點看流體與固體比較有什么不同？[答]：教材P551若物質分子的平均動能遠小于其結合能，即mv2E，這時物質分子間所形成的對偶結構十分2穩(wěn)定，分子間的運動被嚴格地限定在很小的范圍內，物質的分子只能在自己的平衡位置周圍振動。這時物質表現為固態(tài)。1若物質分子的平均動能與其結合能大致相等，即mv2E，其分子間的對偶結構不斷地遭到破壞，2又不斷地形成新的對偶結構。這時，物質分子間不能形成固定的穩(wěn)定對偶結構，而表現出沒有固定明確形狀的液態(tài)。1若物質分子的平均動能遠大于其結合能，即mv2E，物質幾乎不能形成任何對偶結構。這時，2物質表現為氣態(tài)。9．試述流體運動的Helmholts速度分解定律。[答]：教材P65可變形流體微團的速度分解：流體微團一點的速度可分解為平動速度分量與轉動運動分量和變形運動分量之和，這稱為流體微團的Helmholts速度分解定理VVrSr010．流體微團有哪些運動形式？它們的數學表達式是什么？[答]：VVrSr01）平動運動：VV01rotV2）轉動運動：r23）變形運動：Sr11．描述流體運動的基本方法有哪兩種？分別寫出其描述流體運動的速度、加速度的表達式。[答]：教材P58-60描述流體運動的基本方法：1）拉格朗日方法：對流體介質的每一質點進行跟蹤，著眼于流體介質中的每個質點，需要對流體介質中-3-的每個質點進行區(qū)別。各質點速度表達式：Vabct(,,,)r(a,b,c,t)t2r(a,b,c,t)?各質點加速度表達式：V(a,b,c,t)t22）歐拉方法：定點觀察描述流場的運動，著眼于空間的定點，而不是流體質點。速度表達式：VV(r,t)V(x,x,x,t)u(x,x,x,t)eu(x,x,x,t)eu(x,x,x,t)e312311231212323123VVutiuVV(tV)VuVxtjdV加速度表達式：dtVVrVitttrrjdv0v012．什么是隨體導數（加速度）、局部導數（加速度）及位變導數（加速度）？分別說明，dttvv0的物理意義？及[答]：教材P60隨體導數：流體質點在其運動過程中的加速度所對應的微商，叫做隨體導數；局部導數：流體位置不變時的加速度所對應的微商，叫做局部導數；位變導數：質點位移所造成的加速度所對應的微商，叫做位變導數。dv0物理意義：：隨體導數為0，流體質點在其運動過程中的加速度為0；dtv0：局部導數為0，流體位置不變時的加速度為0，流體是定常流動；tvv0：位變導數為0，流體質點位移所造成的加速度為0，流體速度分布均勻。13．什么是流體的速度梯度張量？試述其對稱和反對稱張量的物理意義。[答]：教材P65-67Vx對流體微團M，其中r處的速度為V，那么0r處的速度可以表示為VVx，或者j0ojuuuuix，即VVr(V)。這里，V為二階張量，是速度的j梯度，因此稱之ixxi0i0jj為速度梯度張量。-4-u速度梯度張量分解為對稱和反對稱部分：VjASxi反對稱張量的物理意義：反對稱張量表征了流體微團旋轉運動，所對應的矢量為流體微團的角速度矢量。2xy1vu)1wu()0(2xz01wv1vu323ijkk()0()01A2xy12yz10wuwv1()()02x2z2yzeee12rotV3z1x2ywxvxYXuywyOuzZvz反對稱部分對稱張量的物理意義：表示了流體單元微團在3,,3對稱張量表征了流體微團的變形運動。其中，對角線上的元素12111表示了流體3而三角元素,,個坐標軸上的體變形分量，單元微團在3個坐標平面上的角變形22212分量的一半。ux1vu2xy1vu1wu()11()2xy2xz222113vy1wv11A()()2yzw2123211wu1wv3()()2212xz2yzz2-5-uYXXvxyYvyuxwxwyOOuzvzZwZz反對稱部分14．流體應力張量的物理意義是什么？它有什么性質？[答]：教材P71流體應力張量的物理意義：,,{p}ppp的九個分量組成的一二階張量，即為面xyzij應力張量表示了坐標面的三個面力密度矢量力密度張量。應力張量的性質：應力張量是對稱張量，具有對稱性應力張量具有二階對稱張量的性質(1)應力張量的幾何表示為應力橢球面，即二次型r(Pr)px2py2pz22pxy2pyz2pzx1xxyyzzxyyzzx(2)應力張量有三個互相垂直的主軸方向，即是應力橢球的三個對稱的直徑的方向。在主軸坐標系下，應力張量具有標準形式：'0p110P0p'0220p'033(3)應力張量的三個不變量為：pIpp1112233Ippppppp2p2p22223333111122233112Ippppppppppp2pp2pp23112233122331132132223133121123-6-p15．某平面上的應力與應力張量有什么關系？p的物理含義是什么？mnnm[答]：教材P71p與應力張量P的關系：pnpnP，即：空間某點處任意平面上的應力等于這點處的應n應力nij力張量與該平面法向單位矢量的左向內積。pppp的物理意義：nmmnmnp(nP)mpmnpmnpmmpnnmniijjijijjjiin(mP)npnp對稱性，使得在以為法nmmmnnpm方向上應力張量的線的平面上的應力在mpn方向上的投影。m為法線的平面上的應力在的投影等于（=）在以16．流體微團上受力形式有哪兩種？它們各自用什么形式的物理量來表達？[答]：教材P68-71（1）質量力，物質體上也稱體力，這種力作用在物質中每個質點上，其大小與每個質點的質量成正比。作用于某質量力的合力將通過該物質體的質心。fF(r)fF(r)F(r)為質量力密度，與位置有關。，（2）面力，作用于流體微團表面S上的力。ppS，ppSppnpnPnij為面力分布密度，nnnS17．什么是廣義的牛頓流體和非牛頓流體？[答]：教材P86-87牛頓內摩擦定律：流體微團的運動變形的的大小與其上所受的應力存在線性關系。遵從或近似遵從牛頓內摩擦定律的一類流體稱為牛頓流體。不遵從牛頓內摩擦定律的流體稱為非牛頓流體。廣義牛頓內摩擦定律：偏應力張量的各分量與速度梯度張量的各分量間存在線性關系。遵從或近似遵從廣義牛頓內摩擦定律的一類流體稱為廣義牛頓流體。-7-18．試述廣義牛頓內摩擦定律的物理意義及相應的數學表達式？[答]：教材P87廣義牛頓內摩擦定律的物理意義：偏應力張量的各分量與速度梯度張量的各分量間存在線性關系。vl數學表達式：ccsca，其中，二階張量和市速度梯度張量的對稱和反對稱saijklxijijkllkijkllklklkk部分，而四階張量c稱為動力粘性系數張量。ijkl19．什么是層流運動、紊流（湍流）運動和臨界雷諾數？圓管中層流和紊流運動的速度分布規(guī)律是什么？[答]：層流流動是平穩(wěn)有規(guī)律的流動狀態(tài)，流體介質各部分之間分層流動，互不摻混，流體內部的微團具有連續(xù)而平滑的跡線，流場中各種有關物理量（參數）的變化較為緩慢，表現出明顯的連續(xù)性和平穩(wěn)性。湍流流動是極不規(guī)則的流動形態(tài)，流體介質各部分之間，各層之間有著劇烈的摻混，其流體內部微團的運動跡線很不規(guī)則，雜亂無章，表征流體運動狀態(tài)的各種物理量也表現出不同度程的躍變和隨機性。vdvdRe雷諾數：流體運動中，慣性力與粘性力的無量綱比值下臨界雷諾數：從湍流狀態(tài)到層流狀態(tài)的轉折點；上臨界雷諾數：從層流狀態(tài)到湍流狀態(tài)的轉折點。圓管中層流和紊流運動的速度分布規(guī)律：ppl(R2r2)（1）u層流：0定常流動的速度沿徑向的分布規(guī)律，由式（1）可以看出，4l流動截面上的速度分布是一拋物回轉面。u5.756lg(光滑圓管中的速度分布：UyU*)5.394湍流：*粗糙圓管中的速度分布與光滑圓管中的速度分布相同，只是改變方程的常數。20．流體的[答]：粘性時產生阻力的根本原因，依據阻力產生的不同機理，管路中的阻力通常分為：沿程阻力（即摩擦阻力）和局部阻力。阻力可分為哪幾種？管路中的阻力通常分為哪幾種？可分為：摩擦阻力和壓差阻力。-8-21．試說明粘性流體流動的三個基本性質。[答]：教材P170-174（1）粘性運動的有旋性粘性流體運動時，有旋是絕對的，粘性流體的無旋運動是不存在的。（2）運動過程中有能量的損耗性在粘性流動中永遠伴隨著機械能的損耗。這部分能量轉換成熱能形式傳遞給流體介質及相鄰的固壁，使其溫度升高而耗散。（3）粘性渦旋運動的擴散性在粘性流體中，渦旋強的地方要向渦旋弱的地方傳送渦量，直至渦量相等為止。22．使流體渦量產生變化的因素有哪些？其中哪些是流體運動的內在因素，哪些是外在因素？[答]：流體渦量產生變化的因素有：（1）質量力無勢；（2）流體不正壓；（3）粘性剪切應力；（4）流體微5）流體渦線微元的變形（渦線的拉伸1）質量力無勢；（2）流體不正壓；（4）流體微團的體積變化；（5）流體渦線微元的變形（渦線的拉伸團的體積變化；（、壓縮、扭曲）。其中，流體運動的外在因素為：（3）粘性剪切應力。內在因素為：（、壓縮、扭曲）。23．試說明層流邊界層和湍流邊界層的速度分布特征。[答]：層流邊界層：層流邊界層內的速度分布呈線性分布規(guī)律；湍流邊界層：分為層流底層和湍流核心區(qū)。層流底層內的速度分布呈線性分布，湍流核心區(qū)速度分布呈對數分布規(guī)律。24．試述雷諾應力uu的物理意義及其與分子粘性應力的異同。ij[答]：教材P230雷諾應力uu的物理意義：在湍流運動中，由脈動速度引起的應力，稱之為雷諾應力。與分子粘性應力的異同：相同：都是由于分子動量傳遞產生的應力，不同：（1）引起動量傳遞的原因不同（雷諾應力：分子脈動；分（2）分子粘性應力與粘性這一物質固有屬性有關，而雷諾應力取決于流體的流動有關，與所處位置和時均速度有關。ij雷諾應力都是剪切應力。子粘性應力：分子熱運動）；特性，與流場性質-9-25．試述平板湍流邊界層的結構及其速度分布特征。[答]：教材P241-242y0.01結構：沿壁面法向，在板面附近有層流子層流區(qū)，其速度呈線性分布（），而后為很小的過渡區(qū)，接著為湍流核心區(qū)。結構：層流子層流區(qū)過渡區(qū)湍流核心區(qū)；內層：粘性底層過渡區(qū)湍流核心區(qū)；外層：粘性頂層及邊界層其余部分。速度分布特征：yUu）：*，速度呈線性分布；yU0層流子層流區(qū)（8*xU*yU8過渡區(qū)：*30yUuyU)4.9，速度呈對數分布。5.6lg(*30湍流核心區(qū)（）：*xU*二、推導及證明1．根據質量守恒定律推導連續(xù)性方程。[證明]：教材P78-79S所圍成的體積中的物質在根據物理學中的質量守恒定律，由某封閉的物質面運動過程中不消滅也不創(chuàng)生，即使說，在運動過程中由物質面體介質的質量保持不變，是守恒的。S所圍成的體積中的流m，于是有限體積中的質量m為密度為，那么其質量就為在體元素中，若流體介質的m（1）物理含義：體積中的質量m在其運動過根據質量守恒定律的程中保持不變，這意味著，質量m的dmd()0dtdt隨體導數為零，即（2）dtdV知d(dt)(dV)由物質體元素的隨體導數表達式（3）dtd(V)0于是由式（2）有（3）dt-10-t[(V)]0即（4）uSdivuV）有n考慮到奧-高公式（SVvS0nnVS（5）ttS式（3）到式（5）都可稱之為積分形式的連續(xù)方程。由式（d3）和式（4）的被積函數為零可直接得到微分形式的連續(xù)方程：V0（6）dtt(V)0（7）2．根據動量定律推導出微分形式的[證明]：教材P80-81封閉曲面S所圍成的運動方程。體積中流體物質體的動量為體積分：V，d(V)，其變化率就是體積分的隨體導數：dtnPS，n而該物質體上所受外力為其上的質量力：F和面力：pSSSdVFpSFnPS，由動量定理得：dtnss因為ddd(V)(V)Vd(dVV)V(V)dtdtdtdtdtdVV(dV)dtdtV(dV)0，由連續(xù)性方程知，dtdVFpSFnPS，所以dtnssVtdVV(VV)vVS又dttns得到tVpSvVSFnnSs-11-由奧nPSP-高公式SFdVP所以，dtdV于是得到微分形式的動量方程FdtP3．根據能量守恒定律推導出微分形式的能量方程。[證明]：教材P83-854．試推導出運動方程的Bernoulli積分和lagrange積分。[證明]：教材P108-109-12-fcfc225．在不可壓縮流體中，若流線是和兩曲面的交線。試證明：11VFf,ffffF是和所決定的函數。1f，其中12122f,f,ff,f,f滿足：[證明]：設構成曲線坐標系，于是123123(f,f,f)0123(x,x,x)123f,f兩曲面的交線，那么速度場V的方向將同時垂直于的梯12fcfc由題設：流線是VF(f,f,f)(ff)V//ff于是速度場可以表示為：121122度方向。因此：12312F0即要證明F不顯含f3:fVFfffff[(,,)(3)]023121VF(f,f,f)(ff)F(f,f,f)(ff)1231212312(ff)f(f)f(f)0而122112VF(f,f,f)(ff)12312(ffFff)(ff)f(ff)0FFFf3ff12312312123fffxxx111(f,f,f)0123ffff(ff)又123(x,x,x)222312xxx123123fff333xxx123F0所以，f。此題得證。3VFf,fff也就是說F中不顯含f。于是，有：312126．證明不可壓縮理想流體作二維定常流動時，忽略質量力，其流函數和渦旋滿足,pv0，若為常數，則壓力方程為2常數。x,y2()VFPVV12[證明]：由：t2()VpV理想、定常、忽略質量力212-13-(V)V02p2兩邊取旋度[(V)V)]02p2(V)(V)V()(V)()V0不可壓(V)0蝸旋場無源V()0二維流動()V0(V)0V0uv0xyyxxy0(,)0(x,y)()V0V由：2p（1）2Ve(ueve)(ueve)(eye)xzxyyxyxVΩ為常數：()()ee()x由于，yxy(2)0V1），得：2p代入（V2得：pC兩端積分，2降p是流速、密度、粘性系數、管長、ul的函數，而且p與l成正比。試用因次分析方法證明p7．進行圓管中流體摩擦試驗時，發(fā)現圓管中沿軸向的壓hl1管內徑d及管壁粗糙度ku2，dd2其中k,Re為無因次系數。u(k,Re)l1d假設存在關系p[證明]：由題意可（1）-14-相應各量的量綱（因次）為：p[M]M[]L[u]L[d][L][L][T]2T3式（1）對應量綱的協調條件為：M[][L]-1[T]-2[M][]1βL1α3βγT[]γ1于是，對于M量綱，有：22T量綱，有：1p131L量綱，有：l11將：12帶入（1）式，得：u2d2此題得證。和本構關系PpI2(S1VI)dV8．試從運動方程：FdtP3運動方程為：FdV1pV推導出：粘性不可壓縮流體的dtd如果體力有勢即FG則有：()VdtdV[證明]：（1）將本構關系帶入運動方程：dtFp2(S1VI)3考慮到不可壓縮流體V0Fp2SdV上式為：1dt1(jui)(1xxxxui)12(ju)1Vuuj22uS2xxxxx2ix2iiijiiijjiFpVdV1dt勢：GdV1pV（2）考慮到體力有dt(V)VVt()V(V)2dVVVVdtt-15-Vtp(V2G)VV2兩邊取旋度：(V)VtV(V)V()()V(V)(V)旋度無源：V()0，不可壓(V)0所以，(V)()V(V)t()V(V)由于V()ddttd所以，可得：()Vdt證畢。1p(V)(12V2)縮流體定常運動，若外力有勢，則有：229．證明對粘性不可壓sVp為渦量，為運動粘性系數，為流體速度，為壓力函數，為密度。其中s為沿流線的弧元素，()VFp(p)VV12[證明]：t2V(V)2p（1）2在(1)兩邊同以流線切線方向的單位向量e作左向內積：se[V(p)]()V()V2psV222Vs()V()VpsV2（2）2-16-(1)兩邊同求散度：[V(Vp)]022(V)2(V)02p2(V)V()2(V)02p22(V)2V()2p（3）2（3）—（2），得:1p(2v)(12v2)2st(,2)(x,y)4不可壓縮流體的二維運動，外力有勢時流函數滿足：10．證明：2xx(2)y(2)y(,2)(x,y)其中，[證明]：粘性不可壓縮流體渦旋運動方程：（見教材6.2-4式）()V二維運動dddtdtuvtxyyuv考慮流函數旋度計算式xvu2xyyxxyuvt2(2)(2)(2)txy兩邊取負號-17-t2Ψ(Ψ,2Ψ)(x,y)4Ψ三、計算題sin，v0，求流線族。cos1．在柱坐標系下，v，vr2r2rz[解]：柱坐標系下的流線方程為：drrddzvvvrzdrrd所以，cossinr2r2drcosdsindrdrdsinrrd即，cossin，因此，有：rsin即：所以，有：lnrlnsinCrsinr即，lnrlnsinClnCCsin1rCsin1所以，流線族為：zC22．在直角坐標系下，uxt，vyt，w0，求流線族和跡線族。[解]：直角坐標系下，流線為：dxdydzuvwdxdyxtyt所以，即，ln(xt)ln(yt)C亦即，ln(xt)ln(yt)Cln(xt)(yt)C(xt)(yt)C1-18-(xt)(yt)C所以，流線族為：1zC2dxdtuxtt1tt12z(t)C()xtCet1dyvyt所以，跡線族為：ytCe()求跡線族：dtdz30dta3sin，v0，試證明：a3vV，vVcosr31ra是流面。3．在球坐標系下，r2r3[解]：2vx2zwxy4．設有一定常流動為：uyzxy2z21上的合力。變形速度張量，應力張量，偏應力張量以及作用在球面2求：速度梯度張量，（設流體介質的動力粘性系數為，壓力函數為p）uvwuxxvwx011Vxjyyy101u[解]：速度梯度張量220iuvwzzz-19-2p3應力張量Ppp2(s13s)2p3ijkkijijijij3p3030232(s13s)2偏應力張量kkijijij330ux1uv2yx1vu1wu)3)((012xy2xz23vy1wvS()()10變形速度張量2yzw20331uw1vw()()222zx2zyz球面上的合力zFePsrφSesincosesinsinecoserxyzir2p3Pp2p3θxijo33pyFps2psiniijiijS00sin2(-psincos2sinsin3cos)0(2sincos-psinsin3cos)(3sincos3sinsinpcos)exy0sin2e00sin2ez00Fesin2(-psincos2sinsin3cos)0(2sincos-psinsin3cos)(3sincos3sinsinpcos)x0sin2ey00sin2ez00-20-Fe2sine3cospcos2sine3cos2sinx0y0z0000(3e3epe)2cossin0xyy05．如圖，水平放置的兩塊平行無窮平板間有厚度為a、b，Ya粘性系數分別為、的不相混的b不可壓縮流體作平行aa于平板的定常的層流運動。試求：速度沿厚度方向的分布b層流體在界面上的切應力（設沿流動方向上的OX以及兩babdp0）。壓力梯度為常數，即dx[解]：定常、層流、水平流動控制方程：uxx0ux0ux0xx1pvu1px0uuxxxxduyAd2ux2xdydy2a層流動uy2AyB1a1a2b層流動uby2AyB22b邊界條件：uuu0y0babA01yabB1uAyb0ayb02duduBba2dydybayb0yb0-21-Wzmlnz的基本流動；16．試分析復位勢z(z1)(z1)mlnmln(z1)mln(z1)mlnz1zz12Wzmlnzmln[解]：zz當m為正實數時，復位勢描述的流動由兩個強度均為m，位置分別在（-1，0）和（1，0）的點源及一個強度為m，位置在（0，0）的點匯組成。7．已知流體通過漏斗時旋轉的速度分布可用柱坐標表示為：（a為漏斗半徑）121a2當0ra:v0vrv0rz當ra:v0rvv0z2rrotV求：渦量，說明在什么區(qū)域是有旋的，什么區(qū)域是無旋的？（是常數）ereerotV1rzrrzvrvvrz[解]：計算渦量柱坐標reeez1rer(0ra)r2rrzereez001rz2rrzuruuereezrz1r0(ra)a2rrz002-22-8．帶有自由面的粘性不可壓縮流體在傾斜平板上由于重力的作用而發(fā)生運動。設：平板無限，與水平面的傾角為α，流體的h深度為h，作定常直線運動。求：速度分布、流量、平均流速、最大流速及作用在平板上的摩擦力。[解]：不可壓縮，定常xux0sing2uxy2uxgsinvuxuxx2usingy2AyBy0u0xB0xA2Usingh2yhuUx2husingUy(yh)y2hx9．一無限平板的上半空間充滿粘性不可壓縮流體，平板初始由靜yO止開始于某時刻起沿自身平行方向作周期性的振動，若運動規(guī)xuucos(t)，運動中壓力不變。求：平板運動所引起律為0uucost流體的運動狀態(tài)。0uy0uxxyuuyyx1pxvuuxuxuu[解]：xtxxuyuuyvu1pyuyyytxxy不考慮質量力、壓力，并u=0yux0xcost0y0uuuvuv2uxyu0xxty2xx由邊界條件，速度分布具有：uueycos(ty)x0-23-utysin(ty)xue0uyxu()ey[cos(ty)sin(ty)]02uy2xu2ey[sin(ty)cos(ty)cos(ty)sin(ty)]022ueysin(ty)2u2eysin(ty)002uueycos(ty)22x0Γ10．不可壓縮流體在無界流場中有一對方向相反、強度相等為（0,h）V∞0,h0,h的線渦，分別置于（）和（）兩點。這時有無窮遠ΓOV速度為的均勻來流恰好使得這兩個渦線停滯不動。求其流Γ線方程。（0,-h）[解]：點渦(0,h)和(0,-h)相互感生的速度場使得相應點渦位Γ強度，置的速度為-V∞，確定再作疊加。線渦Γ(0,h)0h