分式方程的解法例題

一選擇1.下面是分式方程的是（）A.B.C.D.2.若得值為-1，則x等于()A.B.C.D.3.一列客車已晚點6分鐘，如果將速度每小時加快10千米，那么繼續(xù)行駛20千米便可正點運行，如果設(shè)客車原來行駛的速度是x千米/小時，可列出分式方程為（）A.B.C.D.4.分式方程的解為（）A.2B.1C.-1D.-25.若分式方程的解為2，則a的值為（）A.4B.1C.0D.26.分式方程的解是（）A.無解B.x=2C.x=-2D.x=2或x=-27.如果關(guān)于x的方程無解，則m等于（）A.3B.4C.-3D.58.解方程時，去分母得()A.（x-1）（x-3）+2=x+5B.1+2（x-3）=（x-5）(x-1)C.(x-1)(x-3)+2(x-3)=(x-5)(x-1)D.(x-3)+2(x-3)=x-5二、填空

9.已知關(guān)于的分式方程的根大于零，那么a的取值范圍是.=-2，那么k=.產(chǎn)生增根，那么m的值是.12.當(dāng)m=時，方程的解互為相反數(shù).10.關(guān)于的分式方程有增根11.若關(guān)于的方程的解與方程13.為改善生態(tài)環(huán)境，防止水土流失，某村擬定在荒坡地上種植960棵樹，由于青年團員的支援，每日比原計劃多種20課，結(jié)果提前4天完成任務(wù)，原計劃每天種植多少棵樹？設(shè)原計劃每天種植x棵樹，根據(jù)題意列方程為.14.如果，則A=；B=.三、解答題15.解分式方程16.已知關(guān)于的方程無解，求a的值？17.已知與的.解相同，求m的值？18.近年來，由于受國際石油市場的影響，汽油價格不斷上漲．下面是小明與爸爸的對話：小明：“爸爸，聽說今年5月份的汽油價格上漲了不少??！”爸爸：“是啊，今年5月份每升汽油的價格是去年5月份的倍，用元給汽車加的油量比去年少升.”小明：“今年5月份每升汽油的價格是多少呢？”聰明的你，根據(jù)上面的對話幫小明計算一下今年5月份每升汽油的價格？個工程隊的資料19.武漢一橋維修工程中，擬由甲、乙兩各工程隊共同完成某項目，從兩可以知道，若兩個工程隊合作24天恰好完成，若兩個工程隊合作18天后，甲工程隊再單獨做10天，也恰好完成，請問：⑴甲、乙兩工程隊完成此項目各需多少天？⑵又已知甲工程隊每天的施工費用是0.6萬元，乙工程隊每天的施工費用是0.35萬元，要使該項目總的施工費用不超過22萬元，則乙工程隊至少施工多少天？參考答案

一、選擇1.D2.C3.B4.A5.A6.B7.A8.C二、填空9.a<210.111.112.m=-313.14.3，2三、解答題15.⑴解：方程變形為兩邊同時乘以(x2-9)得,x-3+2x+6=12,x=3,經(jīng)檢驗x=3是原方程的增根，故原方程無解.⑵解：兩邊同時乘以（x2-4）得x(x+2)-(x+14)=2x(x-2)-(x2-4)；整理得，5x=18,,經(jīng)檢驗是原方程的解.（3）解：方程兩邊同時乘以想x(x2-1)得，5x-2=3x,x=1,經(jīng)檢驗x=1是原方程的增根,故原方程無解.（4）.解：兩邊同乘以（2x+3）（2x-3）得2x(2x+3)-(2x-3)=(2x-3)(2x+3)整理得4x=-12,x=-3，經(jīng)檢驗x=-3是原方程的根.16.解：因為原方程無解，所以最簡公分母x(x-2)=0,x=2或x=0；原方程去分母并整理得a(x-2)-4=0;將x=0代入得a(0-2)-4=0,a=-2;將x=2代入得a0-4=0,a無解，故綜上所述a=-2.17.解：，x=2,經(jīng)檢驗x=2是原方程的解，由題意可知兩個方程的解相同，所以把x=2代入第二個方程得，故m=10.18.解：設(shè)去年5月份汽油的價格為x元/升，則今年5月份的價格為1.6x元/升，依題意可列方程為，解得x=3，經(jīng)檢驗x=3是原方程的解也符合題意，所以1.6x=4.8，故今年5月份汽油的價格是4.8元/升.19.解：⑴設(shè)甲工程隊單獨完成該項目需要天，乙單獨完成該項目需要天，依題意可列方程組為解得，經(jīng)檢驗是原方程組的解，也符合題意.⑵設(shè)甲、乙兩工程隊分別施工a天、b天，由于總施工費用不超過22萬元，可得，解得，b取最小值為40.故⑴甲、乙兩工程隊單獨完成此項目分別需40天、60天.⑵乙工程度至少要施工40天.

1、分式方程的概念：分母里含有未知數(shù)的方程叫做分式方程．說明：理解分式方程的定義，并不是看方程是否有分母，而是看分母中是否含有未知數(shù)．例：分式方程解題技巧-千千-宜昌家庭教育論壇都是分式方程．而關(guān)于x的方程分式方程解題技巧-千千-宜昌家庭教育論壇，分式方程解題技巧-千千-宜昌家庭教育論壇不是分式方程．2、解分式方程的基本思想我們已經(jīng)學(xué)過可化為一元一次方程的分式方程的解法，解可化為一元二次方程的分式方程的基本思想與前者相同，就是設(shè)法將分式方程“轉(zhuǎn)化”為整式方程，即分式方程解題技巧-千千-宜昌家庭教育論壇二、重難點知識歸納及講解1、解分式方程的方法(1)去分母法去分母法是解分式方程的一般方法．在方程兩邊同時乘以各分式的最簡公分母，約去分母，把分式方程化為整式方程．因此解分式方程必須驗根．為了檢驗方便，可把整式方程的根分別代入最簡公分母，如果使最簡公分母為0，則這個根叫分式方程的增根，必須舍去．如原分式方程的根．果使最簡公分母不為0，則這個根是注意：增根是所得整式方程的根，但不是原分式方程的根．去用分母法解分式方程的一般步驟：(Ⅰ)把原方程的分母找出最簡公分母；(Ⅱ)去分母，因式分解，把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程．(Ⅲ)解所得的(Ⅳ)驗根．(2)換元法整式方程．在解代數(shù)問題時，對于某些難度較大的問題，可通過添設(shè)輔助元素解決，輔助元素的添設(shè)是把原來的未知的未知量，從而把問題化繁為簡，化難為易，使未知量向已知量轉(zhuǎn)化，這種思維方法就是換元法．量替換成新

用換元法解分式方程的一般步驟：(Ⅰ)設(shè)輔助未知數(shù)，并用含輔助未知數(shù)的代數(shù)式表示原方程中的代數(shù)式．(Ⅱ)解關(guān)于輔助未知數(shù)的方程．(Ⅲ)把輔助未知數(shù)的值代入“設(shè)”中，求出原未知數(shù)的值．(Ⅳ)驗根并做答．說明：(1)換元法不是解分式方程的一般方法，它是解一些特殊的分式方程的特殊方法．它的基本思想是通過換元把原方程化簡，把解一個比較復(fù)雜的方程轉(zhuǎn)化為一個比較簡單的方程．(2)分式方程解法的選擇順序是先特殊后一般，即先考慮能否用換元法解，不能用換元法解的，再用去分母法．(3)無論用什么方法解分式方程，驗根都是必不可少的重要步驟．2、解分式方程產(chǎn)生增根的原因及驗根的方法在解分式方程時，我們在方程的兩邊同乘了含有未知數(shù)的代數(shù)式，從而把分式方程變換為整式方程．因此，原來分式方程中分母不為零的限制被無形地取消了，這樣就未使知數(shù)的取值范圍擴大了——就產(chǎn)生了增根的可能．所以解分式方程必須驗根．驗根的方法是：把整式方程的根代入最簡公分母，看結(jié)果是否為零(即是否符合“分母不為零”的限制)，如果分母不為零，則被驗的根就是分式方程的根；如果使分母為零，則這個根就是增根，必須舍去．3、列分式方程解應(yīng)用題的一般步驟(1)設(shè)未知數(shù)；(2)找出等量關(guān)系，列出分式方程；(3)解分式方程；(4)驗根作答(不但要檢驗是否為方程的增根，還要檢驗是否符合題意，即“雙重驗根”．)三、解題方法技巧點撥1、用去分母法解方程例1、解下列方程

(1)(黃岡市中考題)分式方程解題技巧-千千-宜昌家庭教育論壇；(2)(北京市海淀區(qū)中考題)分式方程解題技巧-千千-宜昌家庭教育論壇．分析：所考知識點是用去分母的方法解分式方程．兩個方程可用去分母方法來解．解答：(1)先找它們的最簡公分母，∵2－x=－(x－2)，(x2－4)=(x＋2)(x－2)，所以最簡公分母為(x＋2)(x－2)；原方程即為-分式方程解題技巧-千千-宜昌家庭教育論壇，兩邊同乘以(x＋2)(x－解這個方程，得x1=1，經(jīng)檢驗，把x=1代入(x＋2)(x－2)，約去分母整理得x2－3x＋2=0．x2=2．2)，它不等于0，所以x=1是原方程的根；把x=2代入(x＋2)(x－2)中，它等于0，所以x=2是增根．∴x=1是原方程的根．(2)原方程化為分式方程解題技巧-千千-宜昌家庭教育論壇，用3x(x－1)乘以方程的兩邊，去分母，得3(x＋1)－(x－1)=x(x＋5)，整理得x2＋3x－4=0，解得x1=－4，x2=1．檢驗：把x1=－4代入3x(x－把x=1代入3x(x－1)=0，所以x=1是原方程的增根．∴原方程的根是x=-4．1)≠0，所以x=－4是原方程的根；點撥：解題規(guī)律是通過去分母，把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程求解，由于在解分式方程時可能產(chǎn)生增根，所以必須要檢驗，對于增根要舍去．

2、用換元法解分式方程例2、解方程組分式方程解題技巧-千千-宜昌家庭教育論壇解答：設(shè)分式方程解題技巧-千千-宜昌家庭教育論壇分式方程解題技巧-千千-宜昌家庭教育論壇點評：注意觀察本題的特點，將分式方程解題技巧-千千-宜昌家庭教育論壇，再進行換元．例3、解下列分式方程(1)(四川省內(nèi)江市中考題)分式方程解題技巧-千千-宜昌家庭教育論壇．(2)(河南省中考題)分式方程解題技巧-千千-宜昌家庭教育論壇．分析：若用去分母的方法解分式方程，便得到一個四次方程，增加了解題的難度．仔細觀察這兩個分式方程的特點，可采用換元法較簡便．解答：(1)原方程可化為分式方程解題技巧-千千-宜昌家庭教育論壇，設(shè)分式方程解題技巧-千千-宜昌家庭教育論壇∴原方程可化為：分式方程解題技巧-千千-宜昌家庭教育論壇，∴y2－5y＋6=0，解得y1=2，y2=3．當(dāng)y1=2時，則分式方程解題技巧-千千-宜昌家庭教育論壇，解得x1=1，分式方程-宜昌家庭教育論壇；解題技巧-千千當(dāng)y2=3時，則分式方程解題技巧-千千-宜昌家庭教育論壇，解得分式方程解題技巧-千千-宜昌家庭教育論壇．經(jīng)檢驗，x1,x2,x3,x4都是原方程的根．

∴原方程的根為x1=1，分式方程解題技巧-千千-宜昌家庭教育論壇，分式方程解題技巧-千千-宜昌家庭教育論壇．(2)原方程可化為分式方程解題技巧-千千-宜昌家庭教育論壇設(shè)分式方程解題技巧-千千-宜昌家庭教育論壇，則原方程變形為y2－3y－4=0，解得y1=4，y2=－1．當(dāng)y=4時，即分式方程解題技巧-千千-宜昌家庭教育論壇，所以x2－4x＋1=0，解之得分式方程解題技巧-千千-宜昌家庭教育論壇；當(dāng)y=－1時，即分式方程解題技巧-千千-宜昌家庭教育論壇，去分母，整理得x2＋x＋1=0，此方程無實數(shù)根．經(jīng)檢驗，x1,x2都是原方程的根．∴原方程的根是分式方程解題技巧-千千-宜昌家庭教育論壇．點評：用換元法解分式方程應(yīng)結(jié)合方程本身的特征進行換元．注意觀察方程中的各代數(shù)式是否具有相同、成比例、互為倒數(shù)等特征，巧設(shè)未知數(shù)，如第(2)小題應(yīng)熟悉分式方程解題技巧-千千-宜昌家庭教育論壇這一代數(shù)變形．3、含字母系數(shù)的分式方程的解法例4、解關(guān)于x的方程分式方程解題技巧-千千-宜昌家庭教育論壇．分析：此方程是含字母系數(shù)的分式方程，其中x是未知數(shù)，a是字母系數(shù)，此方程不具備換元條件，所以選用去分母法，它的最簡公分母為2a(－x＋a)即2a(a－x)．解答：方程兩邊都乘以2a(a－x)，得2ax＋2(a＋x)(a－x)=5a(a－x)，整理，得2x2－7ax＋3a2=0，解得x1=3a，分式方程解題技巧-千千-宜昌家庭教育論壇．

檢驗：由原方程可知－x＋a≠0，a≠0，否則原分式方程就沒有意義了．∵當(dāng)x=3a時，2a(a－x)=－4a2≠0，當(dāng)分式方程解題技巧-千千-宜昌家庭教育論壇時，2a(a－x)=a2≠0．∴原方程的根為x1=3a，分式方程解題技巧-千千-宜昌家庭教育論壇．點悟：解含有字母系數(shù)的分式方程的方法與解數(shù)字系數(shù)的分式方程的方法是相同的，但是要特別注意從題目的隱含條件中識別字母系數(shù)的取值范圍并根據(jù)具體情況進行討論．例5、解關(guān)于x的方程：分式方程解題技巧-千千-宜昌家庭教育論壇．分析：方程中只有x是未知數(shù)，而a、b都是表示已知數(shù)的字母，解方程時，可把它看作已知數(shù)對待，本題可選用換元法解，因為分式方程解題技巧-千千-宜昌家庭教育論壇互為倒數(shù)．解答：設(shè)分式方程解題技巧-千千-宜昌家庭教育論壇，則原方程轉(zhuǎn)化為分式方程解題技巧-千千-宜昌家庭教育論壇，去分母、整理，得y2－5y＋4=0．∴y1=1，y2=4．當(dāng)y1=1時，分式方程解題技巧-千千-宜昌家庭教育論壇，解得分式方程解題技巧-千千-宜昌家庭教育論壇．當(dāng)y2=4時，分式方程解題技巧-千千-宜昌家庭教育論壇，解得分式方程解題技巧-千千-宜昌家庭教育論壇．檢驗：把分式方程解題技巧-千千-宜昌家庭教育論壇代入最簡公分母(b＋x)(a－x)，分式方程解題技巧-千千-宜昌家庭教育論壇．∵a＋b≠0，∴(b－x)(a－x)≠0．把分式方程解題技巧-千千-宜昌家庭教育論壇代入最簡公分母(b＋x)(a－x)，分式方程解題技巧-千千-宜昌家庭教育論壇．∵a＋b≠0，∴(b＋x)(a－x)≠0．

∴原方程的根是分式方程解題技巧-千千-宜昌家庭教育論壇．點評：(1)不是任何一個方程都能用換元法解．能用換元法解的方程必須具有換元特點，即換元以后，原方程化為只含有輔助未知數(shù)的方程，這就是說，換元以后的方程中不能含有原來的未知數(shù)．(2)分式方程解法的選擇是先觀察方程是否具有換元的特點(一般情況下，方程中具有平方關(guān)系或倒數(shù)關(guān)系)，如有換元特點，選擇換元法解；如沒有換元特點，一般選去分母法解．(3)無論用什么方法解分式方程，都必須驗根．(4)解字母系數(shù)的分式方程和數(shù)字系數(shù)的分式方程方法相同．4、有關(guān)增根問題的解法例6、若分式方程分式方程解題技巧-千千-宜昌家庭教育論壇有增根x=2，求a的值．分析：將方程分式方程解題技巧-千千-宜昌家庭教育論壇的兩邊同乘以最簡公分母(x＋2)(x－2)，得a(x＋2)＋1＋2(x＋2)(x－2)=0，若分式方程有增根x=2，則x=2一定是整式方程a(x＋2)＋1＋2(x＋2)(x－2)=0的根，代入之即可求出a．解：原分式方程去分母，得a(x＋2)＋1＋2(x＋2)(x－2)=0．把x=2代入所得方程，得4a＋1＋0=0，分式方程解題技巧-千千-宜昌家庭教育論壇．∴分式方程解題技巧-千千-宜昌家庭教育論壇時，x=2是原分式方程的增根．點撥：分式方程的增根有兩個要點，第一它必須是由分式方程轉(zhuǎn)化成的整式方程的根；第二它能使原分式方程的最簡公分母等于0．正確理解增根的概念，對解決有關(guān)增根的問題非常重要．5、列分式方程解應(yīng)用題問題(1)工程問題例7、一個水池有甲乙兩個進水管，甲、乙兩水管同時開放，6小時將水池注滿；單獨開放甲水管，比單獨開放乙水管少用5小時就注滿水池，求單獨開放甲管和單獨開放乙管各需

多少小時才能注滿水池？分析：由題意可知，這是注水問題，也屬于工程問題，此題可將總工程看作整體“1”，即注滿水池的總工作量為1，設(shè)單獨開放乙管注滿水池，需要x小時，則單獨開放甲管注滿水池需要(x－5)小時，根據(jù)基本等量關(guān)系：分式方程解題技巧-千千-宜昌家庭教育論壇可知，乙管和甲管的工作效率分別為分式方程解題技巧-千千-宜昌家庭教育論壇，又根據(jù)題中的相等關(guān)系：甲、乙同時開放6小時，可列出方程分式方程解題技巧-千千-宜昌家庭教育論壇．解：設(shè)單獨開放乙管x小時注滿水池，則單獨開放甲管注滿水池需(x－5)小時，根據(jù)題意，得分式方程解題技巧-千千-宜昌家庭教育論壇，解得x1=15，x2=2．經(jīng)檢驗x1=15，x2=2都是所列方程的根，但x2=2不符合題意，舍去．∴x=15，x－5=10．答：單獨開放甲管需10小時注滿水池，單獨開放乙管需15小時注滿水池．點悟：列方程解應(yīng)用題的一般步驟都是“設(shè)”、“列”、“解”、“檢驗”、“答”，但如果所列的方程是分式方程，那么檢驗時必須進行“雙檢”，既要檢驗是否有增根，又要檢驗求得的解是否符合題意．(2)行程問題例8、甲、乙兩地間的路，有一部分是上坡路，其余是下坡路，郵遞員騎自行車從甲地到乙地需2小時40分，從乙地回到甲地少用20分鐘，已知他騎自行車走下坡路比走上坡路多走6千米，又甲、乙兩地之間路程為36千米，求他騎自行車上下坡的速度以及甲地到乙地、上下坡的長度．分析：本題是一般行程問題，其等量關(guān)系是：路程=速度×?xí)r間，關(guān)鍵應(yīng)注意，郵遞員從甲地到乙地是先上坡后下坡，而從乙地回到甲地也是先上后下，如圖所示.本題設(shè)兩個未知數(shù)比較方便．分式方程解題技巧-千千-宜昌家庭教育論壇解：

設(shè)上坡速度為x千米/時，則下坡速度為(x＋6)千米/時；又設(shè)甲地到乙地上坡為y千米，則下坡為(36－y)千米，依題意，得分式方程解題技巧-千千-宜昌家庭教育論壇①＋②得分式方程解題技巧-千千-宜昌家庭教育論壇，整理，得5x2－42x－6×36=0，∴(x－12)(5x＋18)=0，∴x1=12，分式方程解題技巧-千千-宜昌家庭教育論壇．不能為負值，∴x2不符合題意，舍去．∴只取x=12．-宜昌家庭教育論壇．∵速度把x=12代入①得分式方程解題技巧-千千∴y=2436-y=12答：（略）點評：在求解的過程中，發(fā)現(xiàn)分式方程解題技巧-千千-宜昌家庭教育論壇不符合題意，就及時將其舍去，省去了將分式方程解題技巧-千千-宜昌家庭教育論壇代入方程①求y的值的過程．例9、A、B兩地間的路程為15km，早晨6時整，甲從A地出發(fā)步行前往B地，20min后，乙從B地出發(fā)騎車前往A地，乙到達A地后停留40min．然后騎車按原路原速返回，結(jié)果甲、乙兩人同時到達B地，如果乙步行每小時多走10km，B地？騎車比甲問幾點鐘甲、乙兩人同時到達分析：本題可以從兩個角度考慮：(1)用時間做相等關(guān)系：甲步行15km所用的時間比乙騎車走30km所用的時間多(20min＋40min)=1h．(2)用速度做相等關(guān)系，乙的速度－甲解法一：設(shè)甲步行每小時走xkm，則乙由題意得分式方程解題技巧-千千-宜昌家庭教育論壇的速度=10km．騎車每小時走(x＋10)km．

整理得x2＋25x－150=0解得x1=5，x2=－30經(jīng)檢驗：x1=5，x2=－30都是原方程的根，但x=－30不符合題意，舍去．∴x=5．∴甲走15km用的時間為∵甲早6時出發(fā)，∴9時到B地．15÷5=3h．答：上午9時整，甲、乙兩人同時到達B地．解法二：設(shè)甲從A地到B地步行所用時間為xh，則乙往返B、A兩地騎車用的時間為(x－1)h．由題意得分式方程解題