專題三-三垂直模型

三垂直模型一,三垂直與勾股定理模型分析:趙爽弦圖:設(shè)直角三角形的三邊中較短的直角邊為a,另一直角邊為b,斜邊為c∴四個(gè)直角三角形面積=2ab,中心正方形面積=(b-a)2=b2-2ab+a2∴大正方形面積=c2=a2+b2畢達(dá)哥拉斯內(nèi)弦圖大正方形的面積=(a+b)2大正方形的面積=四個(gè)直角三角形+中心正方形面積=2ab+c2根據(jù)等面積法得(a+b)2=2ab+c2∴c2=a2+b2,即c2=a2+b2總統(tǒng)證明勾股定理:將畢達(dá)哥拉斯的圖形平分即可得到總統(tǒng)證法規(guī)律總結(jié):弦圖能夠解析完全平方定理,如此勾股定理,完全平方和弦圖有機(jī)結(jié)合在一起,體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想.實(shí)例精煉:1．漢代數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一幅“弦圖”，后人稱其為“趙爽弦圖”．如圖是由弦圖變化得到的，它由八個(gè)全等的直角三角形拼接而成，記圖中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面積分別為S1、S2、S3．若S1＋S2＋S3＝10，則S2的值為()A． B． C．3 D．【答案】B2．如圖，“趙爽弦圖”由4個(gè)全等的直角三角形所圍成，在中，，，，若圖中大正方形的面積為42，小正方形的面積為5，求的值．【答案】3．（1）教材在探索平方差公式時(shí)利用了面積法，面積法可以幫助我們直觀地推導(dǎo)或驗(yàn)證公式，俗稱“無(wú)字證明”，例如，著名的趙爽弦圖（如圖①，其中四個(gè)直角三角形較大的直角邊長(zhǎng)都為a，較小的直角邊長(zhǎng)都為b，斜邊長(zhǎng)都為c），大正方形的面積可以表示為c2，也可以表示為4×ab＋(a－b)2，所以4×ab＋(a－b)2=c2，即a2＋b2=c2．由此推導(dǎo)出重要的勾股定理：如果直角三角形兩條直角邊長(zhǎng)為a，b，斜邊長(zhǎng)為c，則a2＋b2=c2．圖②為美國(guó)第二十任總統(tǒng)伽菲爾德的“總統(tǒng)證法”，請(qǐng)你利用圖②推導(dǎo)勾股定理．(2)試用勾股定理解決以下問(wèn)題：如果直角三角形ABC的兩直角邊長(zhǎng)為3和4，則斜邊上的高為．(3)試構(gòu)造一個(gè)圖形，使它的面積能夠解釋(a－2b)2=a2－4ab＋4b2，畫(huà)在上面的網(wǎng)格中，并標(biāo)出字母a，b所表示的線段．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）；（3）見(jiàn)解析4．（閱讀理解）勾股定理是幾何學(xué)中一顆光彩奪目的明珠．她反映了直角三角形的三邊關(guān)系即直角三角形兩直角邊（即“勾”，“股”）邊長(zhǎng)的平方和等于斜邊（即“弦”）邊長(zhǎng)的平方．也就是說(shuō)，設(shè)直角三角形兩直角邊為和，斜邊為，那么．迄今為止，全世界發(fā)現(xiàn)勾股定理的證明方法約有400種．如：美國(guó)第二十任總統(tǒng)伽菲爾德的“總統(tǒng)證法”（如圖1），利用三個(gè)直角三角形拼成一個(gè)直角梯形，于是直角梯形的面積可以表示為或者是，因此得到，運(yùn)用乘法公式展開(kāi)整理得到．（嘗試探究）（1）其實(shí)我國(guó)古人早就運(yùn)用各種方法證明勾股定理，如圖2用四個(gè)直角三角形拼成正方形，中間也是一個(gè)正方形，其中四個(gè)直角三角形直角邊分別為、，斜邊長(zhǎng)為，請(qǐng)你根據(jù)古人的拼圖完成證明．（2）如圖3是2002年在中國(guó)北京召開(kāi)的國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)會(huì)標(biāo)，利用此圖也能證明勾股定理，其中四個(gè)直角三角形直角邊分別為、，斜邊長(zhǎng)為，請(qǐng)你幫助完成．（實(shí)踐應(yīng)用）（3）已知、、為的三邊，試比較代數(shù)式與的大小關(guān)系．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析；（3）代數(shù)式與的大小關(guān)系是相等．5．我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽的《勾股圓方圖》，它是由四個(gè)全等的直角三角形與中間的小正方形拼制成一個(gè)大正方形（如下圖），設(shè)勾a=3，弦c=5，則小正方形ABCD的面積是_______【答案】1．6．把圖1中長(zhǎng)和寬分別為3和2的兩個(gè)全等矩形沿對(duì)角線分成四個(gè)全等的直角三角形，將這四個(gè)全等的直角三角形拼成圖2所示的正方形，則圖2中小正方形ABCD的面積為_(kāi)____．【答案】1．二,三垂直與全等和相似模型分析:規(guī)律總結(jié):由同角的余角相等得到∠1=∠C,∠2=∠A,結(jié)合邊長(zhǎng)信息即可證明全等.★補(bǔ)充:射影定理直角三角形射影定理：直角三角形中，斜邊上的高是兩直角邊在斜邊上射影的比例中項(xiàng).每一條直角邊是這條直角邊在斜邊上的射影和斜邊的比例中項(xiàng).公式:如圖，Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD是斜邊AC上的高，則有射影定理如下：（1）(BD)2=AD?DC，（2）(AB)2=AD?AC，（3）(BC)2=CD?CA.直角三角形射影定理的證明在△BAD與△BCD中，∵∠ABD+∠CBD=90°，且∠CBD+∠C=90°，∴∠ABD=∠C，又∵∠BDA=∠BDC=90°∴△BAD∽△CBD∴即BD2=AD?DC.其余同理可得可證有射影定理如下：AB2=AD?AC，BC2=CD?CA兩式相加得：AB2+BC2=（AD?AC）+（CD?AC）=（AD+CD)?AC=AC2.規(guī)律總結(jié):由三垂直得到射影定理,能夠得到邊長(zhǎng)平方與斜邊之間的關(guān)系,是解決邊長(zhǎng)數(shù)量關(guān)系的常用方法.實(shí)例精煉:1．如圖，由四個(gè)全等的直角三角形拼成的圖形，設(shè)，，則斜邊BD的長(zhǎng)是（）A． B． C． D．【答案】C2．已知Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，點(diǎn)E為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，連接AE，CE，CE⊥AE，過(guò)點(diǎn)B作BD⊥AE，交AE的延長(zhǎng)線于D．（1）如圖1，求證BD=AE；（2）如圖2，點(diǎn)H為BC中點(diǎn)，分別連接EH，DH，求∠EDH的度數(shù)；（3）如圖3，在（2）的條件下，點(diǎn)M為CH上的一點(diǎn)，連接EM，點(diǎn)F為EM的中點(diǎn)，連接FH，過(guò)點(diǎn)D作DG⊥FH，交FH的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，若GH：FH=6：5，△FHM的面積為30，∠EHB=∠BHG，求線段EH的長(zhǎng)．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）∠EDH＝45°；（3）EH＝10．3．在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直線MN經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．(1)當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖1的位置時(shí)，求證：△ADC≌△CEB；(2)當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時(shí)，試問(wèn)DE、AD、BE的等量關(guān)系?并說(shuō)明理由．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）DE=AD-BE，理由見(jiàn)解析4．在中，．(1)如圖①，以點(diǎn)為直角頂點(diǎn)，為腰在右側(cè)作等腰，過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．求證：．(2)如圖②，以為底邊在左側(cè)作等腰，連接，求的度數(shù)．(3)如圖③，中，,垂足為點(diǎn)，以為邊在左側(cè)作等邊,連接交于，,,求的長(zhǎng)．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）；（3）85．如圖1，在中，，，直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且于點(diǎn)，于點(diǎn)．易得（不需要證明）．（1）當(dāng)直線繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時(shí)，其余條件不變，你認(rèn)為上述結(jié)論是否成立？若成立，寫(xiě)出證明過(guò)程；若不成立，請(qǐng)寫(xiě)出此時(shí)之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；（2）當(dāng)直線繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到圖3的位置時(shí)，其余條件不變，請(qǐng)直接寫(xiě)出此時(shí)之間的數(shù)量關(guān)系（不需要證明）．【答案】(1)不成立，DE=AD-BE，理由見(jiàn)解析；(2)DE=BE-AD6．如圖，Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E點(diǎn)為射線CB上一動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)AE，作AF⊥AE且AF＝AE．（1）如圖1，過(guò)F點(diǎn)作FD⊥AC交AC于D點(diǎn)，求證：FD＝BC；（2）如圖2，連結(jié)BF交AC于G點(diǎn)，若AG＝3，CG＝1，求證：E點(diǎn)為BC中點(diǎn)；（3）當(dāng)E點(diǎn)在射線CB上，連結(jié)BF與直線AC交于G點(diǎn)，若BC＝4，BE＝3，則＝（直接寫(xiě)出結(jié)果）【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析；（3）或三,三垂直與直角坐標(biāo)系模型分析:規(guī)律總結(jié):在坐標(biāo)系中,一般利用點(diǎn)的坐標(biāo)的幾何含義作垂線,構(gòu)建三垂直模型進(jìn)行解題.具體考題中一般結(jié)合面積進(jìn)行展開(kāi),常見(jiàn)的有一次函數(shù)與反比例函數(shù)的面積,二次函數(shù)中面積得最值等.實(shí)例精煉:1．如圖，在中，，，點(diǎn)、分別是軸和軸上的一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，求點(diǎn)的坐標(biāo).【答案】B（0，-3）．2．如圖所示，，，以為邊作正方形，求，的坐標(biāo).【答案】；3．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，等腰直角三角形ABC的頂點(diǎn)A在x軸上，AB＝AC，∠BAC＝90°，且A（2，0）、B（3，3），BC交y軸于M，（1）求點(diǎn)C的坐標(biāo)；（2）連接AM，求△AMB的面積；（3）在x軸上有一動(dòng)點(diǎn)P，當(dāng)PB+PM的值最小時(shí)，求此時(shí)P的坐標(biāo)．【答案】（1）C的坐標(biāo)是（﹣1，1）；（2）；（3）點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，0）．4．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線交軸正半軸于點(diǎn)（1，0）和點(diǎn)，交軸于點(diǎn)．（1）如圖1，直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)、點(diǎn)，求拋物線的解析式；（2）如圖2，點(diǎn)為該拋物線的頂點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸的平行線交拋物線于另一點(diǎn)，該拋物線對(duì)稱軸右側(cè)的拋物線上有一點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)的縱坐標(biāo)．（3）如圖3，在（1）（2）的結(jié)論下，拋物線對(duì)稱軸右側(cè)的拋物線上有一點(diǎn)，作軸于點(diǎn)，延長(zhǎng)交于，當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】（1）；（2）點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為2；（3）點(diǎn)的坐標(biāo)為（，11）．5．如圖，直線與軸、軸分別交于兩點(diǎn)，于點(diǎn)，點(diǎn)為直線上不與點(diǎn)重合的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).(1)求線段的長(zhǎng)；(2)當(dāng)?shù)拿娣e是6時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)在軸上是否存在點(diǎn)，使得以、、為頂點(diǎn)的三角形與全等，若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出所有符合條件的點(diǎn)的坐標(biāo)，否則，說(shuō)明理由.【答案】(1)；(2)(-4，6)；(3)(，)或(，)或(，)或(，)6．如圖,直線AB與坐標(biāo)軸分別交于點(diǎn)A、點(diǎn)B,且OA、OB的長(zhǎng)分別為方程x2－6x+8=0的兩個(gè)根（OA＜OB）,點(diǎn)C在y軸上,且OA︰AC=2︰5,直線CD垂直于直線AB于點(diǎn)P,交x軸于點(diǎn)D．（1）求出點(diǎn)A、點(diǎn)B的坐標(biāo).（2）請(qǐng)求出直線CD的解析式.（3）若點(diǎn)M為坐標(biāo)平面內(nèi)任意一點(diǎn),在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在這樣的點(diǎn)M,使以點(diǎn)B、P、D、M為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形?若存在,請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】（1）A(0,2)，B(－4,0);（2）直線CD的解析式:yCD=－2x+7;（3）存在，，，．7．（模型建立）（1）如圖1，等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，直線ED經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，過(guò)點(diǎn)A作AD⊥ED于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)B作BE⊥ED于點(diǎn)E，求證：△BEC≌△CDA；（模型應(yīng)用）（2）如圖2，已知直線l1：y＝x+3與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，將直線l1繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°至直線l2；求直線l2的函數(shù)表達(dá)式；（3）如圖3，平面直角坐標(biāo)系內(nèi)有一點(diǎn)B（3，﹣4），過(guò)點(diǎn)B作BA⊥x軸于點(diǎn)A、BC⊥y軸于點(diǎn)C，點(diǎn)P是線段AB上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)D是直線y＝﹣2x+1上的動(dòng)點(diǎn)且在第四象限內(nèi)．試探究△CPD能否成為等腰直角三角形？若能，求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）見(jiàn)詳解；（2）；（3）點(diǎn)D坐標(biāo)得（，）或（4，7）或（，）．8．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線AB分別交x、y軸于點(diǎn)A、B，直線BC分別交x、y軸于點(diǎn)C、B，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，0），∠ABO=30，且AB⊥BC．（1）求直線BC和AB的解析式；（2）將點(diǎn)B沿某條直線折疊到點(diǎn)O，折痕分別交BC、BA于點(diǎn)E、D，在x軸上是否存在點(diǎn)F，使得點(diǎn)D、E、F為頂點(diǎn)的三角形是以DE為斜邊的直角三角形？若存在，請(qǐng)求出F點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；【答案】（1）y=；（2）（﹣2，0）或（0，0）9．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，l是經(jīng)過(guò)A（2，0），B（0，b）兩點(diǎn)的直線，且b0，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（2，0），當(dāng)點(diǎn)B移動(dòng)時(shí)，過(guò)點(diǎn)C作CD⊥l交于點(diǎn)D．（1）求點(diǎn)D，O之間的距離；（2）當(dāng)tan∠CDO=時(shí)，求直線l的解析式；（3）在（2）的條件下，直接寫(xiě)出△ACD與△AOB重疊部分的面積．【答案】（1）2；（2）；（3）四,三垂直與正方形模型分析:規(guī)律總結(jié):以正方形或直角梯形為背景的三垂直常常包含全等三角形，發(fā)現(xiàn)并證明其中的全等三角形往往是解題的關(guān)鍵突破口.實(shí)例精煉:1．如圖1，在正方形中，對(duì)角線相交于點(diǎn)，點(diǎn)為線段上一點(diǎn)，連接，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接交于點(diǎn).（1）若，求的面積；（2）如圖2，線段的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，求證：；（3）如圖3，點(diǎn)為射線上一點(diǎn)，線段的延長(zhǎng)線交直線于點(diǎn)，交直線于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作垂直直線于點(diǎn)，請(qǐng)直接寫(xiě)出線段的數(shù)量關(guān)系.【答案】（1）5；（2）見(jiàn)解析；（3）2．探究：如圖1和2,四邊形中,已知，，點(diǎn)，分別在、上，．（1）①如圖1,若、都是直角，把繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，使與重合，則能證得，請(qǐng)寫(xiě)出推理過(guò)程；②如圖2，若、都不是直角，則當(dāng)與滿足數(shù)量關(guān)系_______時(shí)，仍有;（2）拓展：如圖3,在中，,，點(diǎn)、均在邊上,且．若，求的長(zhǎng)．【答案】（1）①見(jiàn)解析；②，理由見(jiàn)解析；（2）3．（操作發(fā)現(xiàn)）如圖①，在正方形ABCD中，點(diǎn)N、M分別在邊BC、CD上，連結(jié)AM、AN、MN．∠MAN＝45°，將△AMD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，點(diǎn)D與點(diǎn)B重合，得到△ABE．易證：△ANM≌△ANE，從而得DM+BN＝MN．（實(shí)踐探究）（1）在圖①條件下，若CN＝3，CM＝4，則正方形ABCD的邊長(zhǎng)是．（2）如圖②，點(diǎn)M、N分別在邊CD、AB上，且BN＝DM．點(diǎn)E、F分別在BM、DN上，∠EAF＝45°，連接EF，猜想三條線段EF、BE、DF之間滿足的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．（拓展）（3）如圖③，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，點(diǎn)M、N分別在邊DC、BC上，連結(jié)AM，AN，已知∠MAN＝45°，BN＝1，求DM的長(zhǎng)．【答案】（1）6；（2），見(jiàn)解析；（3）24．如圖，正方形ABCD中，點(diǎn)E、F分別是BC、AB邊上的點(diǎn)，且AE⊥DF，垂足為點(diǎn)O，△AOD的面積為，則圖中陰影部分的面積為_(kāi)____．【答案】5．如圖所示，直線a經(jīng)過(guò)正方形ABCD的頂點(diǎn)A，分別過(guò)正方形的頂點(diǎn)B、D作BF⊥a于點(diǎn)F，DE⊥a于點(diǎn)E，若DE＝8，BF＝5，則EF的長(zhǎng)為_(kāi)_．【答案】136．如圖，正方形ABCD中，點(diǎn)E、F分別是邊BC、CD上的點(diǎn)，且BE＝CF．求證：（1）AE＝BF；（2）AE⊥BF．【答案】（1）詳見(jiàn)解析；（2）詳見(jiàn)解析六,三垂直與圓模型分析:規(guī)律總結(jié):之間所對(duì)的圓周角等于90°,這一隱藏條件長(zhǎng)再圓中與切線和直角三角形一起出現(xiàn),此時(shí)即可運(yùn)用三垂線模型證明相似,或者有攝影燈里得到邊長(zhǎng)之間的關(guān)系,若存在特殊的角度可以結(jié)合三角函數(shù)進(jìn)行求解.實(shí)例精煉:1.如圖，以的直角邊為直徑作