高中數(shù)學(xué)2-⒊學(xué)案：第二章 概率 章末復(fù)習(xí)課 含答案

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)習(xí)目標(biāo)1.進(jìn)一步理解隨機變量及其概率分布的概念，了解概率分布對于刻畫隨機現(xiàn)象的重要性。2.理解超幾何分布及其導(dǎo)出過程，并能夠進(jìn)行簡單的應(yīng)用。3.了解條件概率和兩個事件相互獨立的概念,理解n次獨立重復(fù)試驗?zāi)Ｐ图岸椃植?，并能解決一些簡單的實際問題.4.理解取有限個值的離散型隨機變量的均值、方差的概念,能計算簡單的離散型隨機變量的均值、方差，并能解決一些簡單的實際問題．1．事件概率的求法(1）條件概率的求法①利用定義分別求出P(B）和P(AB)，解得P（A｜B）＝eq\f(PAB,PB）.②借助古典概型公式，先求事件B包含的基本事件數(shù)n，再在事件B發(fā)生的條件下求事件A包含的基本事件數(shù)m,得P（A|B）＝eq\f(m，n）。(2）相互獨立事件的概率若事件A,B相互獨立，則P（AB)＝P（A）P(B）．(3)n次獨立重復(fù)試驗在n次獨立重復(fù)試驗中，事件A發(fā)生k次的概率為Pn(k）＝Ceq\o\al(k,n）pkqn－k，k＝0,1，2，…，n,q＝1－p。2．隨機變量的分布列(1)求離散型隨機變量的概率分布的步驟①明確隨機變量X取哪些值；②計算隨機變量X取每一個值時的概率;③將結(jié)果用二維表格形式給出．計算概率時注意結(jié)合排列與組合知識．(2）兩種常見的分布列①超幾何分布若一個隨機變量X的分布列為P(X＝r)＝eq\f（C\o\al(r,M）C\o\al(n－r,N－M)，C\o\al(n，N）),其中r＝0,1,2,3，…，l，l＝min（n，M)，則稱X服從超幾何分布．②二項分布若隨機變量X的分布列為P（X＝k)＝Ceq\o\al（k，n）pkqn－k，其中0＜p＜1,p＋q＝1,k＝0，1，2,…，n，則稱X服從參數(shù)為n，p的二項分布，記作X~B（n，p)．3．離散型隨機變量的均值與方差(1)若離散型隨機變量X的概率分布如下表:Xx1x2…xnPp1p2…pn則E（X）＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn，令μ＝E(X），則V(X）＝(x1－μ）2p1＋（x2－μ）2p2＋…＋(xn－μ)2pn.(2）當(dāng)X～H(n,M，N）時，E（X)＝eq\f(nM，N)，V(X）＝eq\f(nMN－MN－n,N2N－1)。(3)當(dāng)X～B（n，p）時，E（X）＝np，V(X）＝np（1－p)．類型一條件概率的求法例1口袋中有2個白球和4個紅球，現(xiàn)從中隨機不放回地連續(xù)抽取兩次,每次抽取1個，則：(1）第一次取出的是紅球的概率是多少？（2)第一次和第二次都取出的是紅球的概率是多少？（3)在第一次取出紅球的條件下,第二次取出的是紅球的概率是多少？反思與感悟條件概率是學(xué)習(xí)相互獨立事件的前提和基礎(chǔ)，計算條件概率時，必須搞清要求的條件概率是在什么條件下發(fā)生的概率．一般地，計算條件概率常有兩種方法（1)P（B｜A)＝eq\f（PAB,PA）。（2)P（B｜A）＝eq\f(nAB，nA）。在古典概型下，n（AB)指事件A與事件B同時發(fā)生的基本事件個數(shù)；n（A）是指事件A發(fā)生的基本事件個數(shù)．跟蹤訓(xùn)練1擲兩顆均勻的骰子，已知第一顆骰子擲出6點，問“擲出點數(shù)之和大于或等于10”的概率．類型二互斥、對立、獨立事件的概率例2某企業(yè)有甲、乙兩個研發(fā)小組,他們研發(fā)新產(chǎn)品成功的概率分別為eq\f（2,3)和eq\f（3,5)。現(xiàn)安排甲組研發(fā)新產(chǎn)品A，乙組研發(fā)新產(chǎn)品B。設(shè)甲、乙兩組的研發(fā)相互獨立．（1)求至少有一種新產(chǎn)品研發(fā)成功的概率;(2）若新產(chǎn)品A研發(fā)成功，預(yù)計企業(yè)可獲利潤120萬元；若新產(chǎn)品B研發(fā)成功，預(yù)計企業(yè)可獲利潤100萬元．求該企業(yè)可獲利潤的概率分布和均值．反思與感悟在求解此類問題中，主要運用對立事件、獨立事件的概率公式(1)P(A)＝1－P（eq\x\to（A）)．（2）若事件A，B相互獨立,則P（AB）＝P(A）P（B）．(3）若事件A,B是互斥事件，則P（A＋B）＝P(A）＋P(B）．跟蹤訓(xùn)練2紅隊隊員甲，乙，丙與藍(lán)隊隊員A，B，C進(jìn)行圍棋比賽，甲對A、乙對B、丙對C各一盤．已知甲勝A，乙勝B,丙勝C的概率分別為0.6，0.5，0。5.假設(shè)各盤比賽結(jié)果相互獨立．(1）求紅隊至少兩名隊員獲勝的概率；（2)用ξ表示紅隊隊員獲勝的總盤數(shù),求P（ξ≤1）．類型三離散型隨機變量的概率分布、均值和方差例3一次同時投擲兩枚相同的正方體骰子(骰子質(zhì)地均勻，且各面分別刻有1,2，2,3,3,3六個數(shù)字)，(1）設(shè)隨機變量η表示一次擲得的點數(shù)和，求η的概率分布；（2)若連續(xù)投擲10次,設(shè)隨機變量ξ表示一次擲得的點數(shù)和大于5的次數(shù)，求E（ξ），V(ξ)．反思與感悟求離散型隨機變量的均值與方差的步驟跟蹤訓(xùn)練3甲、乙兩支排球隊進(jìn)行比賽,約定先勝3局者獲得比賽的勝利,比賽隨即結(jié)束,除第五局甲隊獲勝的概率是eq\f(1,2)外，其余每局比賽甲隊獲勝的概率都是eq\f(2，3），假設(shè)各局比賽結(jié)果相互獨立．（1)分別求甲隊以3∶0,3∶1,3∶2勝利的概率；（2）若比賽結(jié)果為3∶0或3∶1,則勝利方得3分,對方得0分；若比賽結(jié)果為3∶2，則勝利方得2分,對方得1分,求乙隊得分X的概率分布及均值．類型四概率的實際應(yīng)用例4某電視臺“挑戰(zhàn)主持人"節(jié)目的挑戰(zhàn)者闖第一關(guān)需要回答三個問題，其中前兩個問題回答正確各得10分，回答不正確得0分，第三個問題回答正確得20分，回答不正確得－10分．如果一個挑戰(zhàn)者回答前兩個問題正確的概率都是0。8,回答第三個問題正確的概率為0。6，且各題回答正確與否相互之間沒有影響．（1）求這位挑戰(zhàn)者回答這三個問題的總得分ξ的概率分布和均值；(2)求這位挑戰(zhàn)者總得分不為負(fù)分(即ξ≥0)的概率．反思與感悟解需要分類討論的問題的實質(zhì)是：整體問題轉(zhuǎn)化為部分問題來解決．轉(zhuǎn)化成部分問題后增加了題設(shè)條件，易于解題,這也是解決需要分類討論問題的總的指導(dǎo)思想．跟蹤訓(xùn)練4某地有A，B，C，D四人先后感染了甲型H1N1流感，其中只有A到過疫區(qū),B肯定是受A感染，對于C，因為難以斷定他是受A還是受B感染的,于是假定他受A和受B感染的概率都是eq\f(1，2）。同樣也假定D受A、B和C感染的概率都是eq\f（1,3）。在這種假定之下，B、C、D中直接受A感染的人數(shù)X就是一個隨機變量．寫出X的概率分布．1．拋擲一枚骰子,觀察出現(xiàn)的點數(shù)，若已知出現(xiàn)的點數(shù)不超過4，則出現(xiàn)的點數(shù)是奇數(shù)的概率為________．2．在5道題中有3道理科題和2道文科題．事件A為“取到的2道題中至少有一道理科題”，事件B為“取到的2道題中一題為理科題，另一題為文科題”,則P(B|A)＝________.3．設(shè)隨機變量ξ的分布列為P(ξ＝k）＝Ceq\o\al(k，n）（eq\f（2，3）)k(eq\f(1,3))n－k，k＝0,1,2，…,n，且E（ξ)＝24，則V(ξ)的值為________．4．設(shè)X為隨機變量，X～B（n,eq\f(1,3)）,若X的方差為V（X）＝eq\f（4，3），則P(X＝2）＝________.5．盒子中有5個球，其中3個白球,2個黑球，從中任取兩個球,求取出白球的均值和方差．1．條件概率的兩個求解策略(1)定義法：計算P(A）,P（B），P（AB)，利用P(A｜B)＝eq\f（PAB,PB)eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(或PB|A＝\f（PAB，PA)））求解．(2）縮小樣本空間法：利用P(B|A)＝eq\f（nAB,nA)求解．其中(2）常用于古典概型的概率計算問題．2．求相互獨立事件同時發(fā)生的概率需注意的三個問題（1）“P(AB）＝P(A）P(B)"是判斷事件是否相互獨立的充要條件，也是解答相互獨立事件概率問題的唯一工具．(2）涉及“至多”“至少”“恰有”等字眼的概率問題,務(wù)必分清事件間的相互關(guān)系．(3）公式“P(A∪B)＝1－P(eq\x\to（A）eq\x\to(B））”常應(yīng)用于求相互獨立事件至少有一個發(fā)生的概率．3．求解實際問題的均值與方差的解題思路：先要將實際問題數(shù)學(xué)化,然后求出隨機變量的概率分布,同時要注意運用兩點分布、二項分布等特殊分布的均值、方差公式以及均值與方差的線性性質(zhì)．

答案精析題型探究例1解記事件A：第一次取出的球是紅球;事件B：第二次取出的球是紅球．（1）從口袋中隨機不放回地連續(xù)抽取兩次，每次抽取1個，所有基本事件共6×5個；第一次取出的球是紅球，第二次是其余5個球中的任一個，符合條件的事件有4×5個,所以P（A)＝eq\f（4×5，6×5)＝eq\f（2,3）.(2）從口袋中隨機不放回地連續(xù)抽取兩次,每次抽取1個，所有基本事件共6×5個；第一次和第二次都取出的球是紅球，相當(dāng)于取兩個球,都是紅球,符合條件的事件有4×3個，所以P（AB）＝eq\f(4×3,6×5）＝eq\f（2，5）。(3)利用條件概率的計算公式，可得P（B|A)＝eq\f(PAB,PA）＝eq\f（\f（2，5）,\f（2，3）)＝eq\f(3,5)。跟蹤訓(xùn)練1解設(shè)“擲出點數(shù)之和大于或等于10”為事件A,“第一顆骰子擲出6點”為事件B。方法一P（A|B）＝eq\f(PAB,PB）＝eq\f(\f(3，36),\f(6，36））＝eq\f（1，2）.方法二“第一顆骰子擲出6點”的情況有（6,1）,(6，2），（6，3），(6,4），（6,5)，(6，6）,共6種，∴n(B）＝6?！皵S出點數(shù)之和大于或等于10”且“第一顆骰子擲出6點"的情況有（6，4），（6，5），（6，6），共3種,即n（AB）＝3.∴P（A|B）＝eq\f(nAB,nB)＝eq\f（3,6)＝eq\f(1,2).例2解記E＝{甲組研發(fā)新產(chǎn)品成功},F＝{乙組研發(fā)新產(chǎn)品成功}．由題設(shè)知P（E）＝eq\f（2，3），P(eq\x\to(E））＝eq\f（1,3),P(F）＝eq\f（3，5)，P(eq\x\to(F））＝eq\f（2,5），且事件E與F,E與eq\x\to(F），eq\x\to（E）與F，eq\x\to(E）與eq\x\to（F)都相互獨立．（1)記H＝{至少有一種新產(chǎn)品研發(fā)成功｝，則eq\x\to(H）＝eq\x\to（E）eq\x\to(F），于是P（eq\x\to(H)）＝P（eq\x\to（E))P（eq\x\to（F)）＝eq\f(1,3)×eq\f(2，5)＝eq\f(2,15）,故所求的概率為P(H）＝1－P（eq\x\to（H)）＝1－eq\f（2，15)＝eq\f（13，15）。(2)設(shè)企業(yè)可獲利潤為X萬元，則X的可能取值為0，100,120，220.因為P（X＝0)＝P（eq\x\to(E)eq\x\to（F））＝eq\f(1,3）×eq\f（2,5）＝eq\f（2，15），P(X＝100）＝P（eq\x\to(E)F)＝eq\f（1,3）×eq\f（3，5）＝eq\f（3，15）＝eq\f(1,5)，P（X＝120）＝P（Eeq\x\to(F))＝eq\f(2，3）×eq\f（2,5)＝eq\f（4，15）,P（X＝220)＝P(EF)＝eq\f（2,3）×eq\f（3，5)＝eq\f(6，15）＝eq\f(2,5）,故所求的概率分布如下表：X0100120220Peq\f（2,15）eq\f(1,5)eq\f（4,15)eq\f（2，5)E（X)＝0×eq\f（2,15)＋100×eq\f（1，5）＋120×eq\f(4，15）＋220×eq\f（2，5)＝140.跟蹤訓(xùn)練2解(1)設(shè)“甲勝A"為事件D，“乙勝B”為事件E，“丙勝C"為事件F,則eq\x\to（D)，eq\x\to(E)，eq\x\to（F）分別表示甲不勝A、乙不勝B、丙不勝C的事件．因為P(D)＝0。6，P(E）＝0.5，P(F）＝0.5.由對立事件的概率公式知，P(eq\x\to（D))＝0.4,P(eq\x\to(E））＝0。5，P（eq\x\to(F))＝0.5.紅隊至少兩人獲勝的事件有DEeq\x\to(F）,Deq\x\to(E）F,eq\x\to（D）EF，DEF.由于以上四個事件兩兩互斥且各盤比賽的結(jié)果相互獨立，因此紅隊至少兩人獲勝的概率為P＝P(DEeq\x\to(F))＋P(Deq\x\to（E）F）＋P(eq\x\to（D)EF）＋P(DEF)＝0.6×0.5×0.5＋0。6×0。5×0。5＋0。4×0.5×0.5＋0.6×0。5×0.5＝0.55.（2）由題意知，ξ的可能取值為0，1,2,3.P（ξ＝0）＝P（eq\x\to（D)eq\x\to（E）eq\x\to（F））＝0.4×0.5×0。5＝0.1，P(ξ＝1)＝P(eq\x\to(D)eq\x\to（E）F）＋P（eq\x\to(D）Eeq\x\to(F)）＋P（Deq\x\to(E)eq\x\to（F)）＝0。4×0.5×0.5＋0。4×0。5×0。5＋0。6×0。5×0。5＝0.35，所以P（ξ≤1)＝P（ξ＝0)＋P（ξ＝1)＝0.45.例3解(1）由已知，隨機變量η的取值為2，3，4，5，6.設(shè)擲一個正方體骰子所得點數(shù)為η0,P（η0＝1）＝eq\f（1,6）,P(η0＝2）＝eq\f(1,3)，P（η0＝3)＝eq\f(1,2)，所以P(η＝2)＝eq\f（1,6）×eq\f（1，6)＝eq\f（1，36）,P（η＝3）＝2×eq\f（1，6）×eq\f（1,3）＝eq\f(1,9），P（η＝4）＝2×eq\f（1,6）×eq\f(1，2)＋eq\f（1,3）×eq\f（1，3)＝eq\f(5，18），P（η＝5）＝2×eq\f(1，3)×eq\f(1，2)＝eq\f(1,3），P(η＝6）＝eq\f（1,2)×eq\f（1,2）＝eq\f（1,4)。故η的概率分布為η23456Peq\f(1,36)eq\f(1,9)eq\f（5，18）eq\f(1,3）eq\f（1,4）（2)由已知，滿足條件的一次投擲的點數(shù)和取值為6，設(shè)某次發(fā)生的概率為p,由(1）知，p＝eq\f（1，4)。因為隨機變量ξ～Beq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（10，\f(1，4）)），所以E（ξ)＝np＝10×eq\f（1，4）＝eq\f(5,2），V(ξ)＝np（1－p)＝10×eq\f（1,4）×eq\f(3,4）＝eq\f(15,8）。跟蹤訓(xùn)練3解（1）記“甲隊以3∶0勝利”為事件A1，“甲隊以3∶1勝利”為事件A2，“甲隊以3∶2勝利"為事件A3,由題意知各局比賽結(jié)果相互獨立，故P（A1)＝（eq\f（2,3）)3＝eq\f（8，27）,P（A2）＝Ceq\o\al（2，3)(eq\f（2,3））2（1－eq\f（2,3）)×eq\f(2，3)＝eq\f(8，27)，P(A3)＝Ceq\o\al(2,4）(eq\f（2,3））2(1－eq\f（2，3））2×eq\f(1,2）＝eq\f（4，27）.所以，甲隊以3∶0,3∶1，3∶2勝利的概率分別是eq\f(8,27）,eq\f(8，27)，eq\f（4,27).(2)設(shè)“乙隊以3∶2勝利”為事件A4,由題意知各局比賽結(jié)果相互獨立，所以P（A4）＝Ceq\o\al（2,4）（1－eq\f（2,3)）2(eq\f（2，3)）2×(1－eq\f（1，2））＝eq\f(4,27).由題意知,隨機變量X的所有可能取值為0,1，2，3，根據(jù)事件的互斥性，得P（X＝0）＝P(A1∪A2)＝P（A1）＋P(A2）＝eq\f（16，27），P（X＝1)＝P（A3）＝eq\f（4，27），P(X＝2）＝P（A4)＝eq\f(4,27)，P(X＝3）＝1－P(X＝0）－P（X＝1）－P（X＝2）＝eq\f（1，9）.故X的概率分布為X0123Peq\f（16，27）eq\f(4,27）eq\f(4,27）eq\f(1,9）所以E(X)＝0×eq\f（16,27）＋1×eq\f(4，27)＋2×eq\f（4，27）＋3×eq\f(1,9）＝eq\f（7，9)。例4解（1）三個問題均答錯，得0＋0＋(－10)＝－10(分）．三個問題均答對,得10＋10＋20＝40（分）．三個問題一對兩錯,包括兩種情況：①前兩個問題一對一錯，第三個問題錯，得10＋0＋(－10）＝0(分)；②前兩個問題錯，第三個問題對，得0＋0＋20＝20（分)．三個問題兩對一錯，也包括兩種情況：①前兩個問題對,第三個問題錯，得10＋10＋（－10)＝10(分);②第三個問題對，前兩個問題一對一錯,得20＋10＋0＝30（分)．故ξ的可能取值為－10,0,10,20，30，40。P（ξ＝－10)＝0。2×0。2×0.4＝0.016，P（ξ＝0）＝Ceq\o\al（1,2)×0.2×0.8×0。4＝0。128，P(ξ＝10)＝0.8×0.8×0。4＝0。256，P（ξ＝20）＝0。2×0.2×0.6＝0。024，P(ξ＝30）＝Ceq\o\al(1,2）×0.8×0。2×0。6＝0。192,P（ξ＝40）＝0.8×0。8×0。6＝0。384.所以ξ的概率分布為ξ－10010203040P0。0160.1280。2560.0240。1920.384所以E（ξ）＝－10×0。016＋0×0.128＋10×0.256＋20×0。024＋30×0。192＋40×0。384＝24.(2)這位挑戰(zhàn)者總得分不為負(fù)分的概率為P(ξ≥0）＝1－P（ξ<0)＝1－0。016＝0.984。跟蹤訓(xùn)練4解（1）A直接感染一個人有2種情況:分別是A－B－C－D和A－B－eq\b\lc\［\rc\(\a\vs4\al\co1(C，D)），概率是eq\f(1,2)×eq\f（1,3)＋eq\f（1，2