高中數(shù)學(xué)2-3學(xué)案：第一章 計數(shù)原理 1．5.2　二項式系數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用（一） 含答案

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精1.5。2二項式系數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用(一)學(xué)習(xí)目標(biāo)1。了解楊輝三角，會用楊輝三角求二項式乘方次數(shù)不大時的各項的二項式系數(shù).2。理解二項式系數(shù)的性質(zhì)并靈活運用．知識點二項式系數(shù)的性質(zhì)(a＋b）n的展開式的二項式系數(shù)，當(dāng)n取正整數(shù)時可以表示成如下形式:思考1從上面的表示形式可以直觀地看出什么規(guī)律？思考2計算每一行的系數(shù)和，你又能看出什么規(guī)律？思考3二項式系數(shù)的最大值有何規(guī)律？梳理(1)二項式系數(shù)表的特點①在同一行中，每行兩端都是________，與這兩個1等距離的項的系數(shù)________．②每行兩端都是1,而且除1以外的每一個數(shù)都等于它肩上兩個數(shù)的和．(2)二項式系數(shù)的性質(zhì)一般地，(a＋b)n展開式的二項式系數(shù)Ceq\o\al(0，n)，Ceq\o\al（1,n），…,Ceq\o\al(n，n)有如下性質(zhì)：①Ceq\o\al（m,n)＝________；②Ceq\o\al(m，n)＋Ceq\o\al（m－1，n)＝________;③當(dāng)r＜eq\f(n－1，2)時,Ceq\o\al(r，n)＜________；當(dāng)r＞eq\f(n－1，2）時，________＜Ceq\o\al（r,n）；④Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al（2,n）＋…＋Ceq\o\al(n,n)＝________。類型一與二項式系數(shù)表有關(guān)的問題例1如圖所示，在“楊輝三角”中，從1開始箭頭所指的數(shù)組成一個鋸齒形數(shù)列：1，2，3,3,6,4,10,5，…，記其前n項和為Sn，求S16的值．反思與感悟?qū)钶x三角形的規(guī)律注意觀察，找出規(guī)律并用數(shù)學(xué)式正確表達出來,對數(shù)學(xué)式進行運算，得出正確結(jié)論．跟蹤訓(xùn)練1請觀察下圖，并根據(jù)數(shù)表中前五行的數(shù)字所反映的規(guī)律,推算出第九行正中間的數(shù)應(yīng)是________．類型二求展開式的系數(shù)和例2設(shè)（2－eq\r（3）x)100＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a100x100,求下列各式的值．(1)a0；(2）a1＋a2＋a3＋a4＋…＋a100;(3)a1＋a3＋a5＋…＋a99；(4)（a0＋a2＋…＋a100）2－（a1＋a3＋…＋a99)2；（5)｜a0|＋|a1|＋…＋｜a100|.反思與感悟二項展開式中系數(shù)和的求法(1)對形如（ax＋b)n，(ax2＋bx＋c）m(a，b，c∈R,m,n∈N＊）的式子求其展開式的各項系數(shù)之和,常用賦值法，只需令x＝1即可；對(ax＋by)n(a,b∈R，n∈N＊）的式子求其展開式各項系數(shù)之和，只需令x＝y(tǒng)＝1即可．(2)一般地，若f（x）＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，則f(x)展開式中各項系數(shù)之和為f（1),奇數(shù)項系數(shù)之和為a0＋a2＋a4＋…＝eq\f（f1＋f－1,2),偶數(shù)項系數(shù)之和為a1＋a3＋a5＋…＝eq\f（f1－f－1,2）。跟蹤訓(xùn)練2在二項式（2x－3y）9的展開式中，求:（1）二項式系數(shù)之和；(2)各項系數(shù)之和；(3）所有奇數(shù)項系數(shù)之和．1．在(2x＋eq\f(1,x）)4的展開式中，各項的二項式系數(shù)的和為________．2．若(x＋3y)n的展開式中所有項的系數(shù)之和等于（7a＋b）10的展開式的二項式系數(shù)之和,則n的值為________．3．觀察圖中的數(shù)所成的規(guī)律，則a所表示的數(shù)是________．4．設(shè)(2x－3）4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，則a0＋a1＋a2＋a3的值為________．5．若x4(x＋3)8＝a0＋a1（x＋2）＋a2(x＋2）2＋…＋a12(x＋2)12，則log2（a1＋a3＋…＋a11）＝________.用賦值法求多項式系數(shù)和求展開式中的系數(shù)或展開式中的系數(shù)的和、差的關(guān)鍵是給字母賦值,賦值的選擇則需根據(jù)所求的展開式系數(shù)和特征來確定．

答案精析問題導(dǎo)學(xué)知識點思考1在同一行中，每行兩端都是1，與這兩個1等距離的項的系數(shù)相等；在相鄰的兩行中，除1以外的每一個數(shù)都等于它肩上兩個數(shù)的和．思考22,4，8,16，32，64，…，其系數(shù)和為2n.思考3當(dāng)n＝2,4，6時，中間一項最大，當(dāng)n＝3,5時中間兩項最大．梳理（1）①1相等（2)①Ceq\o\al（n－m，n)②Ceq\o\al(m，n＋1）③Ceq\o\al（r＋1,n）Ceq\o\al（r＋1，n)④2n題型探究例1解由題意及楊輝三角的特點可得S16＝（1＋2）＋(3＋3）＋(6＋4）＋(10＋5)＋…＋（36＋9)＝（Ceq\o\al（0,2)＋Ceq\o\al（1,2））＋（Ceq\o\al（2,3）＋Ceq\o\al(1，3）)＋（Ceq\o\al(2，4)＋Ceq\o\al(1，4))＋…＋（Ceq\o\al(2,9）＋Ceq\o\al(1，9））＝（Ceq\o\al(2，2)＋Ceq\o\al(2，3）＋Ceq\o\al（2，4）＋…＋Ceq\o\al(2，9))＋（2＋3＋…9)＝Ceq\o\al（3,10)＋eq\f(8×2＋9，2)＝164。跟蹤訓(xùn)練170例2解(1)令x＝0，則展開式為a0＝2100.（2)令x＝1，可得a0＋a1＋a2＋…＋a100＝（2－eq\r(3))100，①∴a1＋a2＋…＋a100＝（2－eq\r（3))100－2100.（3)令x＝－1,可得a0－a1＋a2－a3＋…＋a100＝(2＋eq\r（3))100。②與①聯(lián)立相減，得a1＋a3＋…＋a99＝eq\f（2－\r(3)100－2＋\r（3）100,2）.(4)原式＝［（a0＋a2＋…＋a100)＋（a1＋a3＋…＋a99）］·［(a0＋a2＋…＋a100）－（a1＋a3＋…＋a99）］＝（a0＋a1＋a2＋…＋a100)·(a0－a1＋a2－a3＋…＋a98－a99＋a100)＝［(2－eq\r（3）)(2＋eq\r(3))]100＝1100＝1.(5)∵Tr＋1＝（－1）rCeq\o\al（r，100）2100－r(eq\r（3))rxr，∴a2k－1〈0(k∈N＊)．∴|a0|＋|a1｜＋｜a2|＋…＋｜a100｜＝a0－a1＋a2－a3＋…＋a100＝(2＋eq\r(3))100。跟蹤訓(xùn)練2解設(shè)（2x－3y）9＝a0x9＋a1x8y＋a2x7y2＋…＋a9y9.（1）二項式系數(shù)之和為Ceq\o\al（0，9)＋Ceq\o\al(1，9)＋Ceq\o\al(2，9)＋…＋Ceq\o\al（9,9)＝29。(2)各項系數(shù)之和為a0＋a1＋a2＋…＋a9，令x＝1，y＝1，所以a0＋a1＋a2＋…＋a9＝（2－3）9＝－1.(3）令x＝1，y＝－1,可得a0－a1＋a2－…－a9＝59，又a0＋a1＋a2＋…＋a9＝－1，將兩式相加可得a0＋a2＋a4＋a6＋