2021年1月高三上期末東城數(shù)學(xué)試題

東城區(qū)2020—2021學(xué)年度第一學(xué)期期末統(tǒng)一檢測高三數(shù)學(xué)2021.1本試卷共4頁，150分，考試時(shí)長120分鐘，考生務(wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效?？荚嚱Y(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。第一部分（選擇題共40分）一、單項(xiàng)選擇題:認(rèn)真審題，仔細(xì)想一想，然后選出唯一正確答案。共10小題，每小題4分，共40分。（1）已知集合，，則 （A）（B）（C） （D）（2）已知是公差為的等差數(shù)列，為其前項(xiàng)和．若，則QUOTE?? （A） （B） （C） （D）（3）下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)，又在區(qū)間上單調(diào)遞增的是（A） （B）（C） （D）（4）將正方體去掉一個(gè)四棱錐，得到的幾何體如圖所示，該幾何體的側(cè)（左）視圖為QUOTE?? （A）（B）（C）（D）（5）與圓相切于點(diǎn)的直線的斜率為QUOTE?? （A） （B） （C） （D）（6）函數(shù)的部分圖象如圖所示，則（A） （B） （C） （D）（7）設(shè)，是兩個(gè)不共線向量，則“與的夾角為銳角”是“”的QUOTE?? （A）充分而不必要條件（B）必要而不充分條件（C）充分必要條件（D）既不充分也不必要條件（8）十二生肖，又叫屬相，依次為鼠、牛、虎、兔、龍、蛇、馬、羊、猴、雞、狗、豬．現(xiàn)有十二生肖的吉祥物各一個(gè)，甲、乙、丙三名同學(xué)從中各選一個(gè)，甲沒有選擇馬，乙、丙二人恰有一人選擇羊，則不同的選法有（A）242種 （B）220種 （C）200種 （D）110種（9）已知拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，過焦點(diǎn)的直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，且，則點(diǎn)到軸的距離為（A）5 （B）4 （C）3 （D）2（10）某公園門票單價(jià)30元，相關(guān)優(yōu)惠政策如下：①10人（含）以上團(tuán)體購票9折優(yōu)惠；=2\*GB3②50人（含）以上團(tuán)體購票8折優(yōu)惠；=3\*GB3③100人（含）以上團(tuán)體購票7折優(yōu)惠；=4\*GB3④購票總額每滿500元減100元（單張票價(jià)不優(yōu)惠）．現(xiàn)購買47張門票，合理地設(shè)計(jì)購票方案，則門票費(fèi)用最少為QUOTE??（A）1090元 （B）1171元 （C）1200元 （D）1210元第二部分（非選擇題共110分）二、填空題共5小題，每小題5分，共25分。（11）復(fù)數(shù)_______．（12）函數(shù)的定義域是_______．（13）已知，，則_______，_______．（14）已知雙曲線，為等邊三角形.若點(diǎn)在軸上，點(diǎn)在雙曲線上，且雙曲線的實(shí)軸為的中位線，則雙曲線的離心率為_______．（15）已知函數(shù),，其中表示不超過的最大整數(shù).例如：,,.=1\*GB3①_______；=2\*GB3②若對任意都成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_______．三、解答題共6小題，共85分，解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程。（16）（本小題13分）如圖，在四棱錐中，平面，，底面是邊長為2的正方形，，分別為，的中點(diǎn).（Ⅰ）求證：平面平面；（Ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值.（17）（本小題13分）已知函數(shù)，，再從條件①、條件②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，求（Ⅰ）的最小正周期；（Ⅱ）在區(qū)間上的最大值．條件①：；條件②：.注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．（18）（本小題14分）為了解果園某種水果產(chǎn)量情況，隨機(jī)抽取100個(gè)水果測量質(zhì)量，樣本數(shù)據(jù)分組為[100，150)，[150，200)，[200，250)，[250，300)，[300，350)，[350，400](單位：克)，其頻率分布直方圖如圖所示：（Ⅰ）用分層抽樣的方法從樣本里質(zhì)量為[250，300)，[300，350)的水果中抽取6個(gè)，求質(zhì)量在[250，300)的水果數(shù)量；（Ⅱ）從（Ⅰ）中得到的6個(gè)水果中隨機(jī)抽取3個(gè)，記X為質(zhì)量在[300，350)的水果數(shù)量，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望；（III）果園現(xiàn)有該種水果約20000個(gè)，其等級(jí)規(guī)格及銷售價(jià)格如下表所示，質(zhì)量m(單位：克)m<200200≤m<300m≥300等級(jí)規(guī)格二等一等特等價(jià)格(元/個(gè))4710試估計(jì)果園該種水果的銷售收入.（19）（本小題15分）已知橢圓過點(diǎn)，且離心率為.（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）設(shè)直線與橢圓有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，且與軸交于點(diǎn)(,不重合)，軸，垂足為.求證：.（20）（本小題15分）已知函數(shù)．（I）若曲線在點(diǎn)處的切線平行于直線，求該切線方程（II）若，求證：當(dāng)時(shí)，；（III）若有且只有兩個(gè)零點(diǎn)，求的值．（21）（本小題15分）給定正整數(shù)，若數(shù)列滿足：；，，則稱數(shù)列具有性質(zhì).對于兩個(gè)數(shù)列，定義數(shù)列的項(xiàng)為：.（I）設(shè)數(shù)列具有性質(zhì)，數(shù)列的通項(xiàng)公式為，求數(shù)列的前四項(xiàng)和；（II）設(shè)數(shù)列具有性質(zhì)，數(shù)列滿足：且.若存在一組數(shù)列使得為常數(shù)列，求出所有可能的值；（III）設(shè)數(shù)列具有性質(zhì)，數(shù)列滿足：，且.若存在一組數(shù)列，使得為常數(shù)列，求的最小值.（只需寫出結(jié)論）東城區(qū)2020-2021學(xué)年度第一學(xué)期期末統(tǒng)一檢測高三數(shù)學(xué)參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn)2021.1一、選擇題（共10小題，每小題4分，共40分）（1）D（2）C（3）D（4）B（5）A（6）A（7）B（8）C（9）C（10）B二、填空題(共5小題，每小題5分，共25分)（11） （12）（13） （14）（15）三、解答題共6小題，共85分，解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程。（16）（共13分）解：（Ⅰ）因?yàn)槠矫?，所?因?yàn)榈酌媸钦叫危?因?yàn)椋云矫?又因?yàn)槠矫?，所以平面平?…………………..4分（Ⅱ）因?yàn)槠矫?，所以?因?yàn)榈酌媸钦叫危?如圖建立空間直角坐標(biāo)系.因?yàn)?，底面為邊長為2的正方形，所以，，，，，，.，，.設(shè)平面法向量，由可得令，則，所以.設(shè)直線與平面所成角為，則.所以直線與平面所成角的正弦值為.……..13分（17）（本小題13分）解：選擇條件①：（Ⅰ）．所以的最小正周期是．……………….……………….…7分（Ⅱ）因?yàn)椋?所以.所以.當(dāng)，即時(shí)，有最大值.…………13分選擇條件②：.（Ⅰ）．所以的最小正周期是．………………..……………….……………….…7分（Ⅱ）因?yàn)?，所?所以.當(dāng)，即時(shí)，有最大值.……………13分（18）（共14分）解：（Ⅰ）質(zhì)量在[250，300)，[300，350)的該種水果的頻率分別為0.00850=0.4，0.00450=0.2，其比為2：1.所以按分層抽樣從質(zhì)量在[250，300)，[300，350)的這種水果中隨機(jī)抽取6個(gè)，質(zhì)量在[250，300)的該種水果有4個(gè)..……...…………….4分（Ⅱ）由(I)可知，6個(gè)水果中有2個(gè)的質(zhì)量在[300，350).所以X的所有可能取值為0，1，2.，，.所以X的分布列為X012P故X的數(shù)學(xué)期望E(X)=..…….…….10分（Ⅲ）由頻率分布直方圖可知，質(zhì)量在[100，150)，[150，200)，[200，250)，[250，300)，[300，350)，[350，400]的該種水果的頻率分別為0.1，0.1，0.15，0.4，0.2，0.05.所以估計(jì)20000個(gè)水果中，二等品有20000(0.1+0.1)=4000個(gè)；一等品有20000(0.15+0.4)=11000個(gè)；特等品有20000(0.2+0.05)=5000個(gè).果園該種水果的銷售收入為40004+110007+500010=143000(元)..…….……..…….……..…….14分（19）（共15分）解：（Ⅰ）依題意，得解得.所以橢圓的方程為.…….……..…………….4分（Ⅱ）由題設(shè)知直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為：.由消去，整理得.依題意，有，解得.設(shè)，則,.因?yàn)镋Tx軸，所以.所以.又因?yàn)?，所?…………..……...……….……….15分（20）（本小題15分）【解析】（I）因?yàn)?，所以，故所以，所以，所求切線方程為，即.………………………4分（II）當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增．所以，的極小值，故，.…….………13分（III）對于函數(shù)．（i）當(dāng)時(shí)，，沒有零點(diǎn)；（ii）當(dāng)時(shí)，．當(dāng)時(shí)，，所以在單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，；所以在單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，所以在單調(diào)遞增；所以是的極大值，是的極小值．因?yàn)椋栽谏嫌星抑挥幸粋€(gè)零點(diǎn).由于，若，即，在沒有零點(diǎn)；若，即，在只有一個(gè)零點(diǎn)；若，即，由于，所以在有一個(gè)零點(diǎn)，由（=2\*ROMANII）知，當(dāng)時(shí)，，所以．故在有一個(gè)零點(diǎn).因此時(shí)，在有兩個(gè)零點(diǎn)．綜上，當(dāng)有兩個(gè)零點(diǎn)時(shí)，．………..............………13分（21）（本小題15分）解：（I）數(shù)列的前四項(xiàng)和為的前四項(xiàng)和與的前四項(xiàng)和之和，為2+10=12...............……………………………4分（II）由題知，數(shù)列滿足：，所以