控制系統(tǒng)穩(wěn)定性和快速性演示文稿

控制系統(tǒng)穩(wěn)定性和快速性演示文稿目前一頁(yè)\總數(shù)三十二頁(yè)\編于點(diǎn)5.1穩(wěn)定性和快速性的基本概念

穩(wěn)定性指控制系統(tǒng)在外作用消失后自動(dòng)恢復(fù)原有平衡狀態(tài)或自動(dòng)地趨向于一個(gè)新的穩(wěn)定平衡狀態(tài)的能力。

如果系統(tǒng)不能恢復(fù)穩(wěn)定狀態(tài)，則認(rèn)為系統(tǒng)不穩(wěn)定。目前二頁(yè)\總數(shù)三十二頁(yè)\編于點(diǎn)單擺系統(tǒng)穩(wěn)定倒擺系統(tǒng)不穩(wěn)定目前三頁(yè)\總數(shù)三十二頁(yè)\編于點(diǎn)設(shè)線性控制系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程為特征方程式的根就是系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)。

目前四頁(yè)\總數(shù)三十二頁(yè)\編于點(diǎn)系統(tǒng)穩(wěn)定，則閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)全部分布在s平面的左半平面；系統(tǒng)不穩(wěn)定，至少有一個(gè)極點(diǎn)分布在s平面的右半平面；系統(tǒng)臨界穩(wěn)定，在s平面上的右半平面無(wú)極點(diǎn)，至少有一個(gè)極點(diǎn)在虛軸上。

目前五頁(yè)\總數(shù)三十二頁(yè)\編于點(diǎn)5.2Routh-Hurwitz判據(jù)一.系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件假設(shè)特征方程為根據(jù)代數(shù)理論中韋達(dá)定理所指出的方程根和系數(shù)的關(guān)系可知，為使系統(tǒng)特征方程的根都為負(fù)實(shí)部，其必要條件：特征方程的各項(xiàng)系數(shù)均為正。含義：1各項(xiàng)系數(shù)符號(hào)相同（即同號(hào)）2各項(xiàng)系數(shù)均不等于0（即不缺項(xiàng)）目前六頁(yè)\總數(shù)三十二頁(yè)\編于點(diǎn)二.控制系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件Routh陣列

目前七頁(yè)\總數(shù)三十二頁(yè)\編于點(diǎn)特征方程全部為負(fù)實(shí)部根的充分必要條件是Routh表中第一列各值為正，如Routh表第一列中出現(xiàn)小于零的數(shù)值，系統(tǒng)就不穩(wěn)定，且第一列各數(shù)符號(hào)的改變次數(shù)，代表特征方程式的正實(shí)部根的數(shù)目。目前八頁(yè)\總數(shù)三十二頁(yè)\編于點(diǎn)例5-1判別特征方程為

的某系統(tǒng)穩(wěn)定性。

解

利用Routh判據(jù)

符號(hào)改變兩次，則說明系統(tǒng)有兩個(gè)正實(shí)部的特征根，故系統(tǒng)不穩(wěn)定。目前九頁(yè)\總數(shù)三十二頁(yè)\編于點(diǎn)三.Routh判據(jù)的特殊情況Routh表中某行的第一個(gè)元素為零，而其余各元素均不為零或部分不為零。這時(shí)用一個(gè)很小的正數(shù)來(lái)代替零元素，Routh表繼續(xù)進(jìn)行。目前十頁(yè)\總數(shù)三十二頁(yè)\編于點(diǎn)2.如果Routh表中出現(xiàn)全零行，表明特征方程中存在一些絕對(duì)值相同但符號(hào)相異的特征根，這時(shí)，可用全零行上一行的系數(shù)構(gòu)造一個(gè)輔助方程，對(duì)輔助方程求導(dǎo)，用所得導(dǎo)數(shù)方程的系數(shù)代替全零行，便可按Routh穩(wěn)定判據(jù)的要求繼續(xù)運(yùn)算下去，直到得出全部Routh計(jì)算表。輔助方程的次數(shù)通常為偶數(shù)，它表明數(shù)值相同、符號(hào)相反的根數(shù)。所有這些數(shù)值相同、符號(hào)相反的根，都可以從輔助方程中求出。目前十一頁(yè)\總數(shù)三十二頁(yè)\編于點(diǎn)5.3Nyquist穩(wěn)定性判據(jù)若開環(huán)傳遞函數(shù)在s右半平面無(wú)極點(diǎn)時(shí)，當(dāng)從0變化時(shí)，如果Nyquist曲線不包圍臨界點(diǎn)(-1,j0)，則系統(tǒng)穩(wěn)定。如果Nyquist曲線包圍臨界點(diǎn)(-1,j0)，則系統(tǒng)不穩(wěn)定。如果系統(tǒng)的Nyquist曲線經(jīng)過(-1,j0)點(diǎn)，則系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。目前十二頁(yè)\總數(shù)三十二頁(yè)\編于點(diǎn)如果開環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定，有P個(gè)開環(huán)極點(diǎn)位于s右半平面，當(dāng)從0變化時(shí)，開環(huán)幅相曲線包圍(-1,j0)點(diǎn)的圈數(shù)為N(反時(shí)針方向?yàn)檎?，順時(shí)針方向?yàn)樨?fù))和開環(huán)傳遞函數(shù)在s右半平面上的極點(diǎn)個(gè)數(shù)P的關(guān)系為

M=P－2N

M：閉環(huán)極點(diǎn)在s右半平面的個(gè)數(shù)如果M為零，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定，否則系統(tǒng)不穩(wěn)定。如果開環(huán)傳遞函數(shù)包含積分環(huán)節(jié)，假設(shè)為型，則繪制開環(huán)幅相曲線后，頻率再?gòu)拈_始，反時(shí)針補(bǔ)畫個(gè)半徑為無(wú)窮大的圓。目前十三頁(yè)\總數(shù)三十二頁(yè)\編于點(diǎn)例1一個(gè)單位反饋系統(tǒng)，開環(huán)傳遞函數(shù)為

試用Nyquist判據(jù)判定系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

解

系統(tǒng)的開環(huán)幅相曲線如圖所示。

從Nyquist曲線上看到，曲線順時(shí)針包圍(-1,j0)點(diǎn)一圈，

即N=-1，而開環(huán)傳遞函數(shù)在s右半平面的極點(diǎn)數(shù)P=0，因此閉環(huán)特征方程正實(shí)部根的個(gè)數(shù)故系統(tǒng)不穩(wěn)定。

目前十四頁(yè)\總數(shù)三十二頁(yè)\編于點(diǎn)5.4Bode圖上的穩(wěn)定性判據(jù)目前十五頁(yè)\總數(shù)三十二頁(yè)\編于點(diǎn)Bode圖上的穩(wěn)定性判據(jù)可定義為一個(gè)反饋控制系統(tǒng),其閉環(huán)特征方程正實(shí)部根的個(gè)數(shù)為Z，可以根據(jù)開環(huán)傳遞函數(shù)s右半平面極點(diǎn)的個(gè)數(shù)P和開環(huán)對(duì)數(shù)幅頻特性大于0dB的所有頻率范圍內(nèi)，對(duì)數(shù)相頻曲線與-π線的正負(fù)穿越之差N=N+-N-來(lái)確定,即

若Z=0，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定，則閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定Z為閉環(huán)特征方程正實(shí)部根的個(gè)數(shù)。目前十六頁(yè)\總數(shù)三十二頁(yè)\編于點(diǎn)例：如圖5-17所示的四種開環(huán)Bode曲線，試用Nyquist穩(wěn)定性判據(jù),判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。已知P=0，在L(ω)≥0的范圍內(nèi)，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。目前十七頁(yè)\總數(shù)三十二頁(yè)\編于點(diǎn)已知P=1，在L(ω)≥0時(shí)

相頻曲線有一次從負(fù)到正穿越-π線

閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。目前十八頁(yè)\總數(shù)三十二頁(yè)\編于點(diǎn)已知P=2,在L(ω)≥0的范圍內(nèi),閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定

目前十九頁(yè)\總數(shù)三十二頁(yè)\編于點(diǎn)5.7穩(wěn)定裕度根據(jù)穩(wěn)定性判據(jù)可以判別一個(gè)系統(tǒng)是否穩(wěn)定。但是要使一個(gè)實(shí)際控制系統(tǒng)能夠穩(wěn)定可靠的工作，剛好滿足穩(wěn)定性條件是不夠的，還必須留有余地。穩(wěn)定裕度可以定量地確定一個(gè)系統(tǒng)的穩(wěn)定程度。它包括相位裕度和幅值裕度。目前二十頁(yè)\總數(shù)三十二頁(yè)\編于點(diǎn)1.幅值裕度Kg定義為Nyquist曲線與負(fù)實(shí)軸(-π)交點(diǎn)處的頻率所對(duì)應(yīng)的幅值的倒數(shù)，即ω=ωg

稱為交點(diǎn)頻率。Kg含義：如果系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)增益增大到原來(lái)的Kg倍，則系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。

目前二十一頁(yè)\總數(shù)三十二頁(yè)\編于點(diǎn)穩(wěn)定系統(tǒng)

目前二十二頁(yè)\總數(shù)三十二頁(yè)\編于點(diǎn)Kg相同但穩(wěn)定程度不同的兩條開環(huán)Nyquist曲線它們具有相同的幅值裕度，但系統(tǒng)I的穩(wěn)定性不如系統(tǒng)II的穩(wěn)定性。因此需要增加穩(wěn)定性的性能指標(biāo)，即相位裕度

目前二十三頁(yè)\總數(shù)三十二頁(yè)\編于點(diǎn)2.相位裕度定義為π加上Nyquist曲線上幅值為1這一點(diǎn)的相角，此時(shí)ω=ωc

稱為截止頻率。相位裕度的含義為：如果系統(tǒng)截止頻率ωc信號(hào)的相位遲后再增大度，則系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)，這個(gè)遲后角稱為相位裕度。

目前二十四頁(yè)\總數(shù)三十二頁(yè)\編于點(diǎn)由于故在Bode圖中，相角裕度表現(xiàn)為L(zhǎng)(ω)=0dB處的相角Φ(ωc)與-180度水平線之間的角度差。目前二十五頁(yè)\總數(shù)三十二頁(yè)\編于點(diǎn)不穩(wěn)定系統(tǒng)

目前二十六頁(yè)\總數(shù)三十二頁(yè)\編于點(diǎn)二階系統(tǒng)頻域與時(shí)域的關(guān)系二階系統(tǒng)開環(huán)頻域指標(biāo)與動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)的關(guān)系二階系統(tǒng)開環(huán)頻率特性為

開環(huán)幅頻特性：開環(huán)相頻特性：在ω=ωc

時(shí)，A(ωc)=1目前二十七頁(yè)\總數(shù)三十二頁(yè)\編于點(diǎn)解得二階系統(tǒng)的相位裕度為：

目前二十八頁(yè)\總數(shù)三十二頁(yè)\編于點(diǎn)γ與σ%都只是阻尼比ξ的函數(shù)。γ增加時(shí)σ%減小。相位裕度γ可反映時(shí)域中超調(diào)量σ%的大小，是頻域中的平穩(wěn)性指標(biāo)。通常為使二階系統(tǒng)在階躍函數(shù)作用下引起的過程不至于振蕩得太厲害，以及調(diào)節(jié)時(shí)間不致太長(zhǎng)1相位裕度γ與超調(diào)量σ%的關(guān)系目前二十九頁(yè)\總數(shù)三十二頁(yè)\編于點(diǎn)2γ、ωc

與ts關(guān)系二階系統(tǒng)調(diào)節(jié)時(shí)間若γ一定，ωc

與ts成反比。ωc

越大，ts越短。開環(huán)頻域指標(biāo)ωc

可反映系統(tǒng)響應(yīng)快速性，是頻域中的快速性指標(biāo)。目前三十頁(yè)\總數(shù)三十二頁(yè)\編于點(diǎn)二階系統(tǒng)閉環(huán)頻域指標(biāo)與動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)的關(guān)系圖示為1類系統(tǒng)所對(duì)應(yīng)的典型閉環(huán)幅頻特性。零頻幅值A(chǔ)(0)：指ω=0時(shí)的閉環(huán)幅頻特性值。2)諧振頻率指系統(tǒng)產(chǎn)生峰值時(shí)對(duì)應(yīng)的頻率。3)諧振峰值指在諧振頻率處對(duì)應(yīng)的幅值。4)頻寬指系統(tǒng)的頻率從0開始，對(duì)數(shù)幅頻特性下降-3dB(或幅值下降為)時(shí)所對(duì)應(yīng)的頻率范圍。

目前三十