演示文稿振動力學第五章

演示文稿振動力學第五章目前一頁\總數(shù)五十九頁\編于二點（優(yōu)選）振動力學第五章目前二頁\總數(shù)五十九頁\編于二點振動速度系統(tǒng)的動能將振動速度代入得動能的最大值發(fā)生在時刻，即目前三頁\總數(shù)五十九頁\編于二點若只考慮彎曲變形的影響，系統(tǒng)的應變能為將運動方程代入得當時，應變能最大，即使，即可得到瑞利商目前四頁\總數(shù)五十九頁\編于二點用外力做功的數(shù)值代替系統(tǒng)應變能的數(shù)值圖（b）系統(tǒng)上外力所做的總功為將運動方程代入上式得y(x,t)為靜荷載（自重、F等）引起的位移，如自重等目前五頁\總數(shù)五十九頁\編于二點

當時，應變能達到最大值，此時外力所作的功亦為最大值，

這時系統(tǒng)的動能除了分布質量m(x)的動能外，還應包括各集中質量的動能，即將振動速度代入得目前六頁\總數(shù)五十九頁\編于二點當時，動能達最大值由得到目前七頁\總數(shù)五十九頁\編于二點例：如圖（a）所示均質等截面簡支梁。單位梁長的質量為，其抗彎剛度EI為常數(shù)。若振型分別為圖（b）所示（為梁中點的最大撓度）和圖（c）所示梁在自重作用下的撓曲線。分別計算自振頻率，并將所得結果進行比較。目前八頁\總數(shù)五十九頁\編于二點解：（1）振型為從而得自振頻率精確解目前九頁\總數(shù)五十九頁\編于二點（2）取振型為梁在自重荷載上的撓曲線。圖（c）所示為勻布自重荷載作用下簡支梁的靜力撓曲線，即最大動能外力做功的最大值目前十頁\總數(shù)五十九頁\編于二點因為,可以解得此值與精確解相比較，偏大約2％目前十一頁\總數(shù)五十九頁\編于二點例：計算重力壩沿水流方向的自振頻率時，可以取沿壩軸線方向單位長度的壩體近似地簡化為圖（a）所示的變截面懸臂梁。試用瑞利法計算其自振頻率。目前十二頁\總數(shù)五十九頁\編于二點解：選變截面懸臂梁在其自重作用下所引起的撓曲線作為近似振型，如圖（b）所示，即從圖（b）可以看出其分布質量為最大動能和外力功的最大值為目前十三頁\總數(shù)五十九頁\編于二點根據(jù)得到目前十四頁\總數(shù)五十九頁\編于二點例：等截面懸臂梁端部有一集中質量用瑞利法估計基頻解：選擇等截面懸臂梁在均布載荷下的靜撓度曲線作為試函數(shù)：選擇端部集中質量作用下的靜撓度曲線作為試函數(shù)：因集中質量大于梁的分布質量，選用后一種試函數(shù)好目前十五頁\總數(shù)五十九頁\編于二點例.用能量法計算圖示體系的基頻.mmm321解:1.取自重引起的位移mgmgmg精確解:目前十六頁\總數(shù)五十九頁\編于二點2.取直線mmm321mgmgmg3.取常數(shù)精確解:目前十七頁\總數(shù)五十九頁\編于二點二，李茲能量法李茲給出了級數(shù)形式的近似振型將上式代入瑞利商的表達式得目前十八頁\總數(shù)五十九頁\編于二點引進下列記號為所以根據(jù)頻率為極值的條件目前十九頁\總數(shù)五十九頁\編于二點得到即簡化上式并將代入得或目前二十頁\總數(shù)五十九頁\編于二點

上式為n個齊次線性方程，為了使方程組有非零解，必須得到

上式展開后得到一個的n次方程，該方程有n個根。對于其中的每一個根都可求得一組常數(shù)，因此得到n個振型函數(shù)

求得的就是所研究的系統(tǒng)前n個自振頻率和振型函數(shù)的近似解。目前二十一頁\總數(shù)五十九頁\編于二點例：試用李茲法求圖所示重力壩的第一和第二階自振頻率。目前二十二頁\總數(shù)五十九頁\編于二點解：為了使級數(shù)各項都滿足位移邊界條件，近似振型函數(shù)選為假設經(jīng)一次近似計算只取第一項，即代入瑞利商的表達式得目前二十三頁\總數(shù)五十九頁\編于二點若取級數(shù)前兩項，即

將代入相關式子計算出，這時成為展開系數(shù)行列式，并令其等于零,得頻率方程：目前二十四頁\總數(shù)五十九頁\編于二點解得與精確解的相對誤差為0.6％，是較高一階頻率的近似值。目前二十五頁\總數(shù)五十九頁\編于二點例：圖所示等截面懸臂梁，用李茲法求自振頻率。目前二十六頁\總數(shù)五十九頁\編于二點解：選取兩個函數(shù)：

這兩個函數(shù)在梁的支承處滿足固定端邊界條件。于是，近似振型函數(shù)可取為求得如下目前二十七頁\總數(shù)五十九頁\編于二點目前二十八頁\總數(shù)五十九頁\編于二點于是，頻率方程為從上式可得到一個關于的方程，方程的根為目前二十九頁\總數(shù)五十九頁\編于二點這兩個頻率的精確值為比較得，第二階自振頻率精讀很差。為了改善得計算精讀，采用以下四個函數(shù)：目前三十頁\總數(shù)五十九頁\編于二點求得結構的前四階頻率為該結構第三階和第四階自振頻率的精確值為

比較得，的精讀最高，次之，的精讀最差。所以說，為了得到精讀較高的高階頻率，往往需要選取較多的函數(shù)。目前三十一頁\總數(shù)五十九頁\編于二點例：等截面簡支梁梁中部有一集中質量Ma，大小等于梁的質量采用里茲法，求：梁的模態(tài)函數(shù)近似解Ma選取無集中質量時的梁的模態(tài)函數(shù)作為里茲基函數(shù)：解：基函數(shù)滿足自然邊界條件（兩端撓度和彎矩為零）目前三十二頁\總數(shù)五十九頁\編于二點模態(tài)試函數(shù)：若對第三階固有頻率的精度要求不高，取n＝3代入里茲法方程，求得系數(shù)：目前三十三頁\總數(shù)五十九頁\編于二點模態(tài)試函數(shù)：梁的模態(tài)函數(shù)近似解：目前三十四頁\總數(shù)五十九頁\編于二點

第二節(jié)冪法計算自振頻率和振型一，最低階頻率和振型的計算上式兩邊左乘以

首先假定一個任意的規(guī)準化振型，例如令其中第一個自由度振幅值為1，即，亦即，假定規(guī)準化振型上標（0）表示假設的初始形狀，即零次迭代。目前三十五頁\總數(shù)五十九頁\編于二點

把這個假定的標準化振型代入等號左邊，經(jīng)過運算得，即將中第一個元素歸一化為1后，得式中

這就是頻率和振型的第一次近似值。再把代入，仿此繼續(xù)循環(huán)迭代計算，直到經(jīng)過連續(xù)迭代前后兩次的給出相同或近乎相同的數(shù)值為止，這樣得到的就是系統(tǒng)的最低自振頻率及相應的振型。目前三十六頁\總數(shù)五十九頁\編于二點如果假定的形狀是一個真實的振型，則因此，

那么，中任何一對對應元素的比值都能得到相同的頻率，則

一般來說，經(jīng)過一次迭代后的和假定的的形狀是不一樣的。對于上式中的每一次位移坐標會得到不同的值。目前三十七頁\總數(shù)五十九頁\編于二點在這種情況下，

為了求出較好的頻率近似值，通常采用以質量作為加權系數(shù)的平均法，用左乘以

當真實振型或是自重作用下的撓曲線都不能很快給出時，習慣上總是把各質體的幅值假定為1，即取目前三十八頁\總數(shù)五十九頁\編于二點例：如圖所示三層剛架，試用冪法計算它的最低自振頻率和振型。目前三十九頁\總數(shù)五十九頁\編于二點解：該系統(tǒng)的勁度矩陣和質量矩陣分別為因此，這個結構的柔度矩陣是目前四十頁\總數(shù)五十九頁\編于二點由此得將假定的初始迭代振型代入上式等號左邊，得目前四十一頁\總數(shù)五十九頁\編于二點將代入，算得將代入，算得目前四十二頁\總數(shù)五十九頁\編于二點將代入，算得

因為前后兩次迭代的振型基本相同，迭代至此停止，求得的第一振型為，相應的自振頻率為精確解目前四十三頁\總數(shù)五十九頁\編于二點如果按照來求第一自振啤頻率，則

可見，第一次迭代求得的頻率精度較差。采用質量為權系數(shù)平均，只需迭代一次就能得到較好的頻率近似值目前四十四頁\總數(shù)五十九頁\編于二點

現(xiàn)在來證明上述迭代法求出頻率和振型就是系統(tǒng)的最低自振頻率和相應的振型。

當給出假定的振型后，逐次迭代可以作出如下的一系列向量目前四十五頁\總數(shù)五十九頁\編于二點對于開始所假定的振型可表示為將上式前乘以D,則目前四十六頁\總數(shù)五十九頁\編于二點

由于即，故當?shù)螖?shù)k充分大時，，只要時，則有

這就說明，在迭代k次后，向量與向量僅相差一常數(shù)倍數(shù)，或者說向量收斂于向量。由于每迭代一次都要歸一化一次，所提出的因子就是，所以迭代k次后，就收斂到系統(tǒng)的第一自振頻率和對應的振型。目前四十七頁\總數(shù)五十九頁\編于二點二，最高階頻率和振型的計算用左乘以

則基于上式的迭代計算結果將得到最高階的自振頻率和相應的振型。為了論證這一點，令按照前面同樣的論證方法可以得到迭代k次的向量為目前四十八頁\總數(shù)五十九頁\編于二點

因為，當k充分大時，，所以上面等式右端各項比最后一項要小得多，略去前面（n-1）項，于是得到

這就說明，迭代k次后就收斂到系統(tǒng)的最高一階振型。給出第n階自振頻率的近似值或目前四十九頁\總數(shù)五十九頁\編于二點例：圖所示三層剛架，試用冪法計算它的最高自振頻率和振型。目前五十頁\總數(shù)五十九頁\編于二點解：按，有

假定初始振型，并設，代入上式等號左邊，得到目前五十一頁\總數(shù)五十九頁\編于二點繼續(xù)迭代計算，得目前五十二頁\總數(shù)五十九頁\編于二點

前后兩次迭代振型已基本接近，迭代中止，得到第三階振型為與前面所得第三階振型一致，其相應的第三階自振頻率為目前五十三頁\總數(shù)五十九頁\編于二點三，高階頻率和振興的計算假設振型

逐階消頻法：當要求第r+1階振型時，可以在假設振型中清除掉所有前面r階振型分量，逐步收斂到第r+1階振型，從而求出所需若干階振型。在上式等號兩邊前乘以,并利用振型的正交性得目前五十四頁\總數(shù)五十九頁\編于二點從上式中解出

為了在假設的振型中清掉所有前面r階振型分量，可取初始迭代向量為

式中，為r階清型矩陣或淘汰矩陣；I為主對角元素為1的對角矩陣。目前五十五頁\總數(shù)五十九頁\編于二點

在實際迭代計算過程中，應該在每次迭代后都要重新清型。也就是說，只是在求系統(tǒng)的第一階振型時用矩陣D前乘，在以后各階振型的計算中，每次都要用清型后的矩陣來前乘。經(jīng)過清型后的各階矩陣稱為收縮矩陣，可表示為目前五十六頁\總數(shù)五十九頁\編于二點收縮矩陣還可以寫成遞推公式的形式對收縮矩陣作些說明。上式取r=1，則上式兩邊右乘以目前五十七頁\總數(shù)五十九頁\編于二點當k>1