傳遞函數(shù)矩陣的矩陣分式描述

傳遞函數(shù)矩陣的矩陣分式描述第一頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期五右MFD和左MFD對于p維輸入和q維輸出，描述系統(tǒng)輸入和輸出關系的傳遞函數(shù)矩陣G(s)為有理分式矩陣。則一定存在多項式矩陣N(s)和D(s),以及多項式矩陣NL(s)和DL(s),使成立：第二頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期五如何構(gòu)造右MFD和左MFD？第三頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期五第四頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期五

MFD的特性（1）MFD的實質(zhì)類同于單輸入單輸出線性定常系統(tǒng)的傳遞函數(shù)的分式表示，多輸入多輸出線性定常系統(tǒng)傳遞函數(shù)矩陣的MFD實質(zhì)上也是G(s)的分式化表示。稱D(s)和DL(s)為G(s)的分母矩陣，N(s)和NL(s)為G(s)的分子矩陣。右MFD和左MFD的分母矩陣和分子矩陣一般為不同。第五頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期五（2）MFD的次數(shù)對傳遞函數(shù)矩陣G(s)的一個右MFD規(guī)定對傳遞函數(shù)矩陣G(s)的一個左MFD規(guī)定（3）MFD的的不唯一對傳遞函數(shù)矩陣G(s)，其右MFD和左MFD不唯一，且不同的MFD可能具有不同的次數(shù)。只要能構(gòu)成就是MFD。第六頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期五（4）不同次數(shù)MFD的擴展構(gòu)造對的傳遞函數(shù)矩陣G(s)，為其中一個右MFD，而W(s)為任一非奇異矩陣，定義第七頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期五（5）同次數(shù)MFD的擴展構(gòu)造對的傳遞函數(shù)矩陣G(s)，其一個右MFD，而W(s)為任一單模矩陣，定義第八頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期五第九頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期五第十頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期五（6）最小階MFD對的傳遞函數(shù)矩陣G(s)，和為其一個右MFD和一左MFD，則有：MFD的不唯一，所以最小階MFD也不唯一；稱最小階MFD為不可簡約MFD第十一頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期五則為最小階當且僅當其為左不可簡約MFD，為最小階當且僅當其為右不可簡約MFD。第十二頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期五8.2矩陣分式描述的真性和嚴真性8.2.1真性和嚴真性對傳遞函數(shù)矩陣G(s)定義8.1[G(s)真性嚴真性]稱G(s)為嚴真，當且僅當對i=1,2,..q，j=1,2,..,p,G(s)元滿足degnij(s)<degdij(s)第十三頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期五稱G(s)為真，當且僅當對i=1,2,..q，j=1,2,..,p,至少存在一個G(s)元滿足定義8.2對傳遞函數(shù)矩陣G(s)，稱G(s)為真，當且僅當稱G(s)為嚴真，當且僅當?shù)谑捻?，共六十四頁，編輯?023年，星期五定義8.3稱MFD為真，當且僅當其導出的傳遞函數(shù)矩陣G(s)為真。稱MFD為嚴真，當且僅當其導出的傳遞函數(shù)矩陣G(s)為嚴真。和在傳遞函數(shù)是一樣，只有當MFD為真或嚴真時，他所表征的系統(tǒng)才是可實現(xiàn)的。8.2.2真性和嚴真性的判別準則第十五頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期五（1）分母矩陣為既約的情形結(jié)論8.10[列既約右MFD真性嚴真性判據(jù)]第十六頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期五注意：結(jié)論中D(s)為列既約是一個不可缺少的前題，否則結(jié)論只是必要條件，而非充分條件。第十七頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期五結(jié)論8.11[行既約左MFD真性嚴真性判據(jù)]第十八頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期五第十九頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期五（2）分母矩陣為非既約的情形結(jié)論8.12[非列既約右MFD真性嚴真性判據(jù)]第二十頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期五第二十一頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期五結(jié)論8.13[非行既約左MFD真性嚴真性判據(jù)]第二十二頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期五8.3從非真矩陣分式描述導出嚴真矩陣分式描述8.3.1存在性和唯一性結(jié)論8.14[右MFD除法定理]第二十三頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期五結(jié)論8.15[左MFD除法定理]第二十四頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期五（2）確定嚴真MFD的算法算法8.1[確定嚴真右MFD算法]給定非真右MFDStep1:計算給定的有理分式矩陣G(s).Step2:對G(s)中所有非真和真元有理分式，通過多項式除法得到第二十五頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期五非真左MFD確定其嚴真左MFD的算法，可基于上述來導出。第二十六頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期五第二十七頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期五第二十八頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期五（3）一類特殊情形的多項式矩陣除法問題考慮具有相同列數(shù)的矩陣(sI-A)和多項式矩陣N(s),A為常陣，(sI-A)為非奇異且列次數(shù)和行次數(shù)滿足表N(s)為矩陣系數(shù)多項式第二十九頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期五結(jié)論8.16[特殊情形右除法定理]對具有相同列數(shù)的矩陣（sI-A)和多項式矩陣N(s),唯一的存在常陣Nr(A)和多項式矩陣Qr(s),使成立：第三十頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期五

8.4不可簡約矩陣分式描述不可簡約MFD實質(zhì)是傳遞函數(shù)矩陣的一類最簡結(jié)構(gòu)MFD，通常也稱為最小階MFD。定義8.4[不可簡約MFD]稱G(s)的一個右MFD為不可簡約或右不可簡約，當且僅當D(s)和N(s)為右互質(zhì)；稱G(s)的一個左MFD為不可簡約或左不可簡約，當且僅當DL(s)和NL(s)為左互質(zhì)。第三十一頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期五第三十二頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期五不可簡約MFD的基本特性（屬性）（1）不可簡約MFD的不唯一性結(jié)論8.18對傳遞函數(shù)矩陣G(s)其右不可簡約MFD和左不可簡約MFD均不唯一。（2）兩個不可簡約MFD間的關系結(jié)論8.19設為傳遞函數(shù)矩陣G(s)的任意兩個右不可簡約MFD，則必存在單模陣U(s)使成立：D1(s)=D2(s)U(s)N1(s)=N2(s)U(s)第三十三頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期五結(jié)論8.20設為傳遞函數(shù)矩陣G(s)的任意兩個左不可簡約MFD，則必存在單模陣V(s)使成立：DL1(s)=V(s)DL2(s)NL1(s)=V(s)NL2(s)(3)不可簡約MFD的廣義唯一性結(jié)論8.21傳遞函數(shù)矩陣G(s)的不可簡約MFD滿足廣義唯一性。即若定出一個不可簡約MFD，則所有不可簡約MFD可由單模變換定出。第三十四頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期五第三十五頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期五（4）不可簡約MFD和可簡約NFD間的關系結(jié)論8.23[右不可簡約MFD和有可簡約MFD關系]對傳遞函數(shù)矩陣G(s)的任一右不可簡約MFD，和任一有可簡約MFD，必存在非奇異多項式矩陣T(s)，使成立：證明（1）由右可簡約MFD找出一個右不可簡約MFD。第三十六頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期五第三十七頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期五第三十八頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期五（5）不可簡約MFD在史密斯形和不變多項式意義下的同一性結(jié)論8.25[右不可簡約MFD的同一性]對傳遞函數(shù)矩陣G(s)的所有右不可簡約MFD：必成立：1.Ni(s),i=1,2,…具有相同的史密斯形；2.Di(s),i=1,2,….具有相同不變多項式。第三十九頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期五（6）左不可簡約MFD和右不可簡約MFD間的關系結(jié)論8.27[左和右不可簡約MFD關系]對傳遞函數(shù)矩陣G(s)的任一左不可簡約MFD，和任一右不可簡約MFD，必成立：

degdetDL(s)=degdetD(s)第四十頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期五（7）不可簡約MFD的最小階結(jié)論8.28[不可簡約MFD最小階屬性]對傳遞函數(shù)矩陣G(s)的一個左MFD，和任一右MFD，定義其階次為nL=degdetDL(s),nr=degdetD(s)則為最小階當且僅當其為左不可簡約MFD，為最小階當且僅當其為右不可簡約MFD。第四十一頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期五第四十二頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期五第四十三頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期五第四十四頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期五8.5確定不可簡約矩陣分式描述的算法（1）基于最大公因子的算法結(jié)論8.29對傳遞函數(shù)矩陣G(s)，為任一右可簡約MFD，多項式矩陣R(s)為的一個最大右公因子且為非奇異，若取第四十五頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期五則必為G(s)的一個右不可簡約MFD。對偶地為任一左可簡約MFD，多項式矩陣RL(s)為的一個最大左公因子且為非奇異，若取則必為G(s)的一個左不可簡約MFD。

第四十六頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期五算法8.2[確定右不可簡約MFD算法]對于右可簡約MFD，確定一個右不可簡約Step1:計算的一個最大右公因子多項式矩陣R(s).Step2:計算R(s)的逆。Step3：Step4:組成即為一個右不可簡約MFD。第四十七頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期五第四十八頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期五第四十九頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期五（2）基于最大公因子構(gòu)造定理的算法結(jié)論8.30對傳遞函數(shù)矩陣G(s)，為任一右可簡約MFD，U(s)為單模陣，使成立：第五十頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期五第五十一頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期五第五十二頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期五第五十三頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期五（3）由右可簡約MFD確定左不可簡約MFD