偏微分方程的數(shù)值離散方法

偏微分方程的數(shù)值離散方法1第一頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期五3.1有限差分法

3.1.1模型方程的差分逼近3.1.2差分格式的構(gòu)造3.1.3差分方程的修正方程3.1.4差分方法的理論基礎(chǔ)3.1.5守恒型差分格式3.1.6偏微分方程的全離散方法2第二頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期五3.1.1模型方程的差分逼近3第三頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期五3.1.2差分格式的構(gòu)造4第四頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期五3.1.3差分方程的修正方程差分方程所精確逼近的微分方程稱為修正方程

對于時間發(fā)展方程，利用展開的方程逐步消去帶時間的高階導(dǎo)數(shù)，只留空間導(dǎo)數(shù)。Warming-Hyett方法：差分方程(2)寫成算子的形式：5第五頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期五3.1.3差分方程的修正方程(續(xù))6第六頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期五3.1.3差分方程的修正方程(續(xù))7第七頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期五3.1.4差分方法的理論基礎(chǔ)相容性，穩(wěn)定性，收斂性等價性定理Fourier穩(wěn)定性分析8第八頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期五3.1.4差分方法的理論基礎(chǔ)（續(xù)）Fourier(VonNeumann)穩(wěn)定性分析9第九頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期五3.1.4差分方法的理論基礎(chǔ)（續(xù)）Fourier(VonNeumann)穩(wěn)定性分（續(xù)）稱為CFL條件(Courant,Friedrichs,Levy)10第十頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期五3.1.5守恒型差分格式流體力學(xué)方程組描述物理量的守恒性；守恒律組：定義11第十一頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期五3.1.5守恒型差分格式（續(xù)）守恒性質(zhì)：非守恒的差分格式一般沒有對應(yīng)于原始守恒律的“離散守恒律”。12第十二頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期五3.1.5守恒型差分格式（續(xù)）守恒型差分格式的Lax-Wendroff定理：如果守恒型差分格式是和守恒律相容的，且當時間和空間步長趨于零時，差分解一致有界，幾乎處處收斂于分片連續(xù)可微的函數(shù)，則這個收斂的函數(shù)就是守恒律的一個弱解。推論：守恒型差分各式的收斂解能自動滿足間斷關(guān)系。

用途:(加上熵條件）可以得到正確的激波，研究中大量使用例如：Lax-Friedrichs格式，Lax-Wendroff格式，MacCormack格式

13第十三頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期五3.1.6偏微分方程的全離散方法對差分格式的一般要求：有精度、格式穩(wěn)定、求解效率高特殊要求物理定律（守恒性）、物理特征（激波、湍流、旋渦、多介質(zhì)、化學(xué)反應(yīng)等）、有界性(正密度、正溫度、正湍動能、正組分濃度等)主要指非定常方程的時間離散

14第十四頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期五3.1.6偏微分方程的全離散方法(續(xù)）兩層格式Crank-Nicolson格式、P-C格式、Lax-Wendroff格式、MacCormack格式Runge-Kutta方法時空全守恒：如Godunov格式、central-upwind格式、CESE方法多層格式Leap-Frog格式、Adams-Bashforth格式、后三點隱格式15第十五頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期五3.1.6.1兩層格式Crank-Nicolson格式Predictor-Corrector格式Lax-Wendroff格式MacCormack格式Runge-Kutta方法16第十六頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期五3.1.6.1兩層格式(cont.）Lax-Wendroff格式一步LW格式17第十七頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期五3.1.6.1兩層格式(cont.）Lax-Wendroff格式兩步LW格式常系數(shù)Jacobian時與單步LW等價。但計算更簡單，不涉及矩陣相乘。18第十八頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期五3.1.6.1兩層格式(cont.）MacCormack格式(1969)兩步格式比LW更簡單，不需要計算函數(shù)在半點上的值。LW兩步格式和MC各式的缺點：定常解的誤差依賴于時間步長。19第十九頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期五MacCormack格式的構(gòu)造20第二十頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期五3.1.6.2三層格式Leap-Frog格式Adams-Bashforth格式21第二十一頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期五第二課后閱讀提示傅德薰《計算流體力學(xué)》，3.1–3.3水鴻壽《一維流體力學(xué)數(shù)值方法》3.1《ComputationalMethodsforFluidDynamics》,FerzigerandPeric,SpringerChap.622第二十二頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期五作業(yè)21.用Fourier法分析3.1.6.1節(jié)中Crank-Nicolson格式的穩(wěn)定性。2.分析前面3.1.6節(jié)中MacCormack格式是幾階精度。23第二十三頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期五3.2有限體積法出發(fā)方程為積分型守恒方程（直角坐標、柱坐標、球坐標）以控制體為離散量計算體積分和面積分需要適當?shù)牟逯倒胶头e分公式(quadratureformula)適用于任意形狀的網(wǎng)格，復(fù)雜幾何形狀缺點：難以構(gòu)造大于二階以上的格式24第二十四頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期五3.2.1定常守恒型方程和控制體25第二十五頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期五3.2.2面積分的逼近面積分用積分點的值表示(quadrature)積分點的值用CV的值表示(interpolation)對于Simpson公式,對積分點的插值需要四階精度26第二十六頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期五3.2.4體積分的逼近當被積函數(shù)為某種型函數(shù)時，可以得到精確的積分，逼近精度取決于型函數(shù)的精度。27第二十七頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期五3.2.4體積分的逼近四階精度：2D直角坐標網(wǎng)格最后一式可以四階精度逼近3D的面積分28第二十八頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期五3.2.5插值和微分積分點的函數(shù)值和其法向梯度1stUDS:取上風點的值29第二十九頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期五插值2ndorder:向積分點線性插值等價于中心差分(CDS)30第三十頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期五插值當積分點的函數(shù)是線性插值時Secondorder31第三十一頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期五插值QUICK(quadraticupwindinterpolationforconvectivekinematics)插值三階精度，但積分（差分）往往只有二階精度。32第三十二頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期五插值高精度：N階精度的quadrture需要N-1階多項式插值公式。界面上導(dǎo)數(shù)可以用插值公式的微分求出。33第三十三頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期五3.2.5有限體積法的邊界條件用邊界條件替代面積分入口：通常給定對流通量(mass,momentum,energy,etc.)壁面和對稱面：通量為零邊界上函數(shù)值給定：和內(nèi)部CV的值共同構(gòu)建邊界上的導(dǎo)數(shù)34第三十四頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期五FV例子35第三十五頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期五3.2.6守恒律的有限體積方法

Godunov格式36第三十六頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期五37第三十七頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期五3.2.6.1Godunov方法的思想38第三十八頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期五一階迎風格式(CIR格式)39第三十九頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期五用Godunov思想

說明CIR格式=Godunov格式40第四十頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期五41第四十一頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期五Riemann解圖示42第四十二頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期五43第四十三頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期五3.2.6.11DEuler方程組的Godunov格式Godunov格式是基于積分形式的方程組,間斷關(guān)系自動滿足，不需要另外考慮間斷線上的間斷關(guān)系44第四十四頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期五移動網(wǎng)格上的積分回路45第四十五頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期五移動網(wǎng)格上的Godunov格式46第四十六頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期五固定網(wǎng)格上的Godunov格式47第四十七頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期五Lagrange