第二章時域離散信號和系統(tǒng)的頻域

第二章時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析主講：溫川雪內(nèi)容提要：介紹序列的Fourier變換及其對稱性質(zhì)周期序列的傅立葉級數(shù)及傅立葉變換表達式時域離散信號的傅立葉變換與模擬信號傅立葉變換之間的關(guān)系序列的Z變換2.1、引言信號和系統(tǒng)的分析方法有兩種，即時域分析方法和頻域分析方法，本章學習序列的傅立葉變換，它和模擬域中的傅立葉變換是不一樣的。各種域和變換之間的關(guān)系2.1引言連續(xù)時間系統(tǒng)：拉普拉斯變換，傅里葉變換離散時間系統(tǒng)：Z變換，傅里葉變換2.2序列的Fourier變換的定義和性質(zhì)2.2.1.Fourier變換的定義FT(FourierTransform)存在FT的條件：序列絕對可和IFT(InverseFourierTransform)【例2.2.1】設x(n)=RN(n)，求x(n)的傅里葉變換。

解

（2.2.4）當N=4時，其幅度與相位隨頻率ω的變化曲線如圖2.2.1所示。圖2.2.1R4(n)的幅度與相位曲線習題練習(cont’)四、傅立葉變換的MATLAB實現(xiàn)2.2.2.序列Fourier變換的性質(zhì)R4的幅頻特性FT的時域、頻域卷積定理時域卷積定理頻域卷積定理FT的對碧稱性惱質(zhì)共軛遣對稱朋序列且：共軛貓反對螺稱序父列：實部閉是偶供函數(shù)添，虛飲部是己奇函對數(shù)實部蓋是奇企函數(shù)碎，虛橋部是攝偶函王數(shù)任意愁序列籌可表爆示成xe(n)和xo(n)之和:其中：頻域大上同呈樣，封任意噴序列努的Fo是ur控ie棗r變換核也可頂表示裕成共俊軛對刊稱分醬量和授共軛律反對杏稱分返量之辭和。其中：任意仆序列沒傅里夕葉變注換的串對稱與性質(zhì)序列Fo乓ur甲ie取r變換實數(shù)竄序列梳的Fo悶ur處ie車r變換醋滿足恰共軛肆對稱般性實部昏是ω的偶記函數(shù)虛部券是ω的奇沿函數(shù)9．已瀉知x(n)=anu(n),班0鼻<a<1，宜分別避求出奏其偶在函數(shù)xe(n)和奇捕函數(shù)xo(n)的傅駝里葉子變換恢。解：因為xe(n)的傅搬里葉臣變換慢對應X(ejω)的實驕部，xo(n)的傅啞里葉膊變換到對應X(ejω)的虛雹部乘次以j，陳因咬此實因像果序予列與本其偶墾函數(shù)he(n)和奇把函數(shù)ho(e)的關(guān)彈系【例2.鬼2.鐮3】x(n)=anu(n),四0網(wǎng)<a<1。求其蓄偶函啊數(shù)xe(n)和奇究函數(shù)xo(n)。解x(n)=xe(n)+xo(n)8．蛾設x(n)=R4(n)，尼試求x(n)的共騎軛對姐稱序耀列xe(n)和共安軛反恰對稱敬序列xo(n)，攻并分克別用現(xiàn)圖表蟲示。解：xe(n)和xo(n)的波險形如笑題8解圖菜所示貓。題8解圖習題1．馳設X(e字jω)和Y(e跳jω)分別伶是x(n)和y(n)的傅剛里葉酬變換廟，屠試求鼠下面聰序列乓的傅選里葉味變換件：(2犧)x*(n)(6陪)nx臉(n)因為對該墓式兩迫邊ω求導茅，豬得腔到2.取3周期眨序列焰的離辦散Fo缸ur詳ie黎r級數(shù)酒及Fo誰ur飾ie擦r變換濾表示限式1.周期津序列蜻的離席散Fo均ur琴ie壟r級數(shù)【例2.鋼3.設1】設x(n)=R4(n)，將x(n)以N=8為周口期進方行周億期延亮拓，彈周期打為8，求DF俘S［勾］。宇解：圖2.3.1例2.3.1圖4．設將x(n)以4為周錫期進佛行周脖期延雙拓，狡形親成周們期序謠列華，船畫出x(n)和杯的波預形，錘求饑出容的離幻玉散傅郊里葉傳級數(shù)和傅樓里葉瘦變換林。解：或者2.密3.喊2周期按序列欲的傅胖里葉作變換院表示絡式其中上式柳中的蔑表浴示單終位沖斧擊函倚數(shù)（捧連續(xù)介），爪而收表示姑單位信脈沖桂序列妹（離池散）【例2.赴3.源2】求例2.題3.兼1中周必期序統(tǒng)列的FT。解制將例2.身3.忙1中得火到的檢代護入（2.捉3.覺10）式價中，極得到鉤：其幅委頻特拼性如街圖2.覺3.使3所示辯。圖2.3.3例2.3.2圖【例2.盾3.輸3】令尿為累有理乓數(shù)，援求其FT。(2來.3飯.1份3)式表廊明，co揀sω0n的FT是在ω=±ω0處的扒單位她沖激茄函數(shù)逮，強輔度為π，且以2π為周提期進傅行延腐拓，粉如圖2.平3.任4所示石。圖2.3.4cosω0n的FT表2.3.2基本序列的傅里葉變換【例2.縣3.始3】令亞為畢有理活數(shù)，盒求其FT。解將鹿用坡歐拉惕公式炒展開應：其FT推導列如下基：co運sω0n的FT是在ω=±ω0處的棍單位哨沖激炸函數(shù)嘆，強和度為π，且以2π為周曬期進綠行延鋤拓，晨如圖倚所示凝。圖2.3.4cosω0n的FT2.叔4時域友離散外信號左的傅紛里葉召變換裂與模垂擬信休號傅暗里葉猶變換較之間附的關(guān)熔系模擬撲信號著的Fo帝ur預ie繪r變換序列德的Fo禍ur靜ie拜r變換肅和模顫擬信仍號的Fo法ur貨ie朽r關(guān)系時域灣離散擴信號按的頻慰譜也臟是模堂擬信熄號的涼頻譜其周期跳性延暴拓，篇周期狡為模擬閑頻率僚與數(shù)休字頻半率之博間的儀定標鈔關(guān)系2.加5序列桌的Z變換2.困2序列捧的Z變換X(缸z)一般句情況癥下為使有理細分式白：ZT的收壁斂域極：使X(肅z)收斂討的z值，途一般增為某獅個環(huán)寶域：Rx-<突r籃<Rx+；ZT的零慎點：使X(莖z)=佛0的z值，舉在Z平面線上用櫻“o”表示是；ZT的極唯點：使X(伸z)趨向斃無窮雞大的z值，利在Z平面許上用亮“x”表示檢。收斂統(tǒng)域總恥是用服極點嫂限定倒其邊拾界的ZT的RO奮C覽(R勒eg躬io蔽n捧of杜C果on簽ve妖rg蒙en垮ce址)Z平面史收斂缸域、氣零極街點表認示ZT與FT的關(guān)她系【例2.民5.態(tài)1】x(n)=u(n),求其Z變換妙。解X(z)存在團的條搬件是|z－1|<捧1，因于此收載斂域座為|z|>查1,因此X(z)表達奔式表相明，揀極點悄是z=1，單狗位圓什上的Z變換枯不存忙在，闖或者冬說收促斂域磚不包帽含單材位圓洪，因妥此其燙傅里火葉變希換不端存在2.插5.省2四種舊序列熄的Z變換左的收碗斂域1.有限妨長序歡列【例2.秤5.毅2】求x(n)=RN(n)的Z變換血及其絡收斂啞域。項解這是鬼一個貝因果范的有牛限長棵序列毒，因排此收探斂域型為0<霧|z|≤半∞。2,右邊敲序列Z變換【例2.漠5.曬3】求x(n)=anu(n)的Z變換吳及其機收斂彎域。廚解在收巖斂域訴中必念須滿梢足|az－1|<鈔1，因駐此收戀斂域窩為|z|>軋|a|。3,左邊掀序列Z變換【例2.腔5.庫4】求x(n)=－anu(－n－1)的Z變換煩及其蠶收斂涌域。辱解這里x(n)是一里個左哨序列販，當n≥0時，x(n)=裳0，X(z)存在選要求|a－1|＜1，即收誰斂域仗為|z|＜|a|,因此4,雙邊找序列故雙牽邊序櫻列的身收斂懷域為覆左邊蕩序列勇的收始斂域蹦與右胳邊序稍列收晝斂域枕的公盤共區(qū)方域【例2.解5.掩5】x(n)=a|n|,a為實歷數(shù)，慶求x(n)的Z變換毒及其師收斂便域。材解第一歸部分茅收斂既域為|az|<姿1，得|z|<江|a|－1;第二派部分殃收斂蜘域為|az－1|<論1,得到|z|>希|a|。如果|a|<勺1,兩部才分的油公共旱收斂曠域為|a|<嶄|z|<攤|a|－1,其Z變換園如下戒式:如果|a|≥駝1，則無鉛公共焦收斂督域，朋因此X(z)不存樂在。強當0<a<1時，x(n)的波裹形及X(z)的收饑斂域陪如圖2.圣5.侮2所示家。圖2.5.2例2.5.5圖小結(jié)序列ZT為有灑理分也式的嬸收斂嫩域以射極點按為邊概界收斂英域內(nèi)街不能柳包括樂任何邁極點億，可蕩以包雅含零竄點相同設的零麥極點訴分別坑可能舅對應椒不同毅的收參斂域擴，即似：不虜同的彩序列芹可能雷有相萍同的ZT；收斂仆域匯搞總：烘右外輛、左美內(nèi)、重雙環(huán)撐；有很限長Z平面財。2.賺5.句3逆Z變換z反變倡換的跑求解凡方法帆：一、展圍線拴積分朗法（同留數(shù)免法）如果zk是單旬階極焰點，城則根倦據(jù)留到數(shù)定壺理有如果zk是N階極莫點，脂則根殊據(jù)留番數(shù)定毒理有留數(shù)幣輔助熔定理圍線c內(nèi)有K個極每點ZK，在c外有M個極點Zm【例2.齡5.索6】已知X(z)=凡(1－az－1)－1，|z|>a,求其壁逆Z變換x(n)。解先找修出F(z)的極省點。升顯然介，F(xiàn)(z)的極齒點與n的取朱值有握關(guān)。敘n≥0時，F(xiàn)(z)在c內(nèi)只丙有1個極休點：z1=a；n<0時，F(xiàn)(z)在c內(nèi)有2個極浴點：z1=a,z2=0（n階）汁；n≥0時，n<0時，z=0是n階極姿點，于不易腔求留箏數(shù)。豪采雙用留反數(shù)輔衛(wèi)助定辱理求廟解該例杯題中蜓圍線C外沒捏有極役點，括故n<0瞧,x(n)=拾0。滿足片分母衡比分顧子高達二階綁或以劑上∴x(n)=anu(n)景【例2.課5.炕7】已知,求其賢逆變傭換x(n)。解權(quán)該例掘題沒外有給嗎定收嚷斂域驕，為縣求出數(shù)唯一油的原伸序列x(n)，必須垂先確商定收洲斂域引。X(z)，有兩求個極歌點：z=a和z=a－1，這樣夸收斂蜜域有寫三種紫選法濤，它渣們是碼（1）|z|>瘋|a－1|，對應墾的x(n)是因擁果序羊列；究（2）|z|<足|a|，對應膀的x(n)是左濱序列輩；（3）|a|<指|z|<侮|a－1|，對應得的x(n)是雙潑邊序漲列。城|z|>窯|a－1||z|<障|a||a|<碰|z|<愈|a－1|（3）絲式收斂婚域為|a|<搬|z|<桌|a－1|:飲對應羅的x(n)是雙口邊序芹列。F(z)，按n≥0和n<0兩種價情況徹分別項求x(n)。n≥0時，辰有兩救個極跑點：z=a和z=a－1，c內(nèi)只少有1個極嘉點：z=a,x(n)=Re咱s［F(z),a］=ann<0時c內(nèi)極買點:z=a和z=0綁(n階)c外極計點：z=a－1x(n)=－Re擔s［F(z),a－1］=a－n柄最后膽將x(n)表示漲為即x(n)=a|n|2.部分順分式繞展開陽法適合皇于單秩階極跨點的戚序列【例2.魔5.存8】已知,求逆Z變換傷。解第一替部分仆極點榆是z=2，收皆斂域辟為|z|>登2。第尾二部豈分極滅點是z=-憐3，收顫斂域端應取|z|<坦3。查魔表2.窮5.葉1，得刃到：x(n)=慶2nu(n)+獄(－3)nu(－n－1)恨2<脊|z|<尸319．裳用部低分分賺式法粒求以福下X(z)的反態(tài)變換崇：(2大)解：(2岡)MA贏TL碧AB求部抬分分夕式展塵開式調(diào)用[r,舞p,句k]勿=re取si浴du裁ez春(b才,a)程序莖實例cl吩c;仆cl日ea診r;b=氏[0蘭5悠];a=謊[1到1克-乏6]判;[b,精a]草=eq省tf存le鄰ng究th社(b金,a);劉%標Ma異ke司l忌en除gt疲hs騎e灘qu早al思.[r,害p,悶k]繩=re具si政du世ez新(b賽,a);di遙sp凍('獻po稻le朵sar陵eat懶')候;d箏is飼p(誤p);zp醉la棕ne裳(b打,a)ep變25券8.既mzp王la聰ne函數(shù)長除鼠法求Z逆變扶換2.匹5.被4宅Z變換眉的性牧質(zhì)例題顯分析2.隙5.言5利用Z變換眠解差榮分方癢程1．餓求穩(wěn)掏態(tài)解2．淹求暫澆態(tài)解近設（2.5.33）對（2.丹5.布30）式汗進行纖單邊Z變換御，有例題備分析【例2.版5.網(wǎng)11】已知絡差分里方程y(n)=by(n-1仙)+x(n)，式中x(n)=anu(n),y(－1)襲=2文,求y(n)。解將已衡知差節(jié)分方兩程進鎖行Z變換認：式中于是

收斂域為|z|>max(|a|,|b|),因此式中第一項為零輸入解，第二項為零狀態(tài)解。2.牽6利用z變換鉆分析傭信號腦和系鉗統(tǒng)的肅頻域嬸特性傳輸莖函數(shù)貨與系霜統(tǒng)函熔數(shù)傳輸介函數(shù)廊表征吊系統(tǒng)弱的頻程率特倉性系統(tǒng)餃函數(shù)燥表征吊系統(tǒng)必的復緒頻域袍特性如果H(z)的收循斂域廈包含喊單位復圓|z|=倦1，2.節(jié)6.脹2用系裳統(tǒng)函稼數(shù)的蕩極點揚分布闊分析慢系統(tǒng)括的因打果性過和穩(wěn)莊定性MA從TL富AB函數(shù)判定乖系統(tǒng)厘是否獨穩(wěn)定fu愛nc尚ti政onst標ab殿(A)%s恢ta浩b:系統(tǒng)認穩(wěn)定戒性判瓦定函依數(shù)，A是H(稼z)的分宣母多鳳項式禍系數(shù)向死量di混sp(′系統(tǒng)揮極點問為：′)持P=ro隸ot撓s(氣A)面%求H(停z)的極芒點，電并顯筍示di累sp(′系統(tǒng)類極點異模的妨最大蓬值為勝：′)傻M=ma索x(皇ab割s(赤P))%求所聰有極嗚點模徐的最返大值槽，并樹顯示誓if侄M伶<1di取sp(′系統(tǒng)德穩(wěn)定′)勢,汁e黨ls蜻e,di形sp(′系統(tǒng)沈不穩(wěn)吵定′)版,好e豬nd如果H(民z)的分掠母多雀項式渣系數(shù)A=［2－2.脂980.最172.愁34和18喝－1.夸51贈47］，董則調(diào)販用該秩函數(shù)遲輸出批如下:P=－0.捎90噴000.踢70鳥00捕+0世.6育00糕0i0.揮70傷00－0.赤60蟲00蘭i0.個99率00系統(tǒng)麗極點馬模的袖最大極值為艘：M=逆0.怖99練00各系統(tǒng)鑼穩(wěn)定悼。聯(lián)系箱課后32題【例2.案6.疑1】已知撓，分析襪其因露果性祥和穩(wěn)頓定性芒。解H(z)的極訴點為z=a,z=a－1。（1）挺收斂錦域為a－1<|z|≤宗∞:系統(tǒng)裝是因驗果系位統(tǒng)，,不穩(wěn)周定系娛統(tǒng)。轉(zhuǎn)單位釋脈沖藥響應h(n)=杯(an－a－n)u(n)這是釀一個豈因果電序列橫，但往不收蜘斂。盈（2）和收斂趁域為0≤湖|z|<a:系統(tǒng)姐是非解因果儉且不金穩(wěn)定盞系統(tǒng)絕。其宅單位百脈沖妄響應h(n)=朱(a－n－an)u(－n－1)濃,這是隱一個認非因練果且肚不收播斂的則序列旁。（3）看收斂贏域為a<|z|<a－1:對應走一個淋非因悅果系磁統(tǒng)的怕穩(wěn)定繭系統(tǒng)忘。其湖單位闖脈沖準響應h(n)=a|n|，這葉是一餡個收稍斂的卸雙邊撇序列兇，2.頃6.景3利用孩系統(tǒng)恩的零言極點腳分布支分析貨系統(tǒng)戰(zhàn)的頻稻率特趨性設系判統(tǒng)穩(wěn)棚定，違將z=孤ejω代入尺上式膜，得藏到傳屠輸函恭數(shù)率響仰應：頻響維的幾歇何表辜示(書中仙的錯飼誤圖大）系統(tǒng)芽的幅培頻響兩應取剃決于零矢孝量長石度之靠積除以找極矢含量長海度之宿積零點振位置廉影響奴凹谷跡點的乏位置藏與深覽度零點挺在單準位圓拴上，購谷點宣為零零點產(chǎn)趨向熟于單驅(qū)位圓冒，谷掏點趨勞向于聞零極點飼位置耽影響左凸峰茫的位秒置和喚深度極點洋趨向瞎于單疊位圓砍，峰葡值趨找向于索無窮極點墳在單吐位圓蔽上，濟系統(tǒng)做不穩(wěn)屢定原點機處的必零極余點不抗影響含系統(tǒng)早的幅咐頻響穗應。【例2.雀6.共3】設一調(diào)階系絮統(tǒng)的犁差分咽方程桿為y(n)=by(n－1)肢+x(n)船用幾批何法話分析托其幅炮度特告性。銜解犯由系折統(tǒng)差筋分方吹程得燭到系雖統(tǒng)函布數(shù)為式中揭，0<b<1。系統(tǒng)珠極點z=b，零點z=0。【例2.秒6.幣4】已知H(z)=朵1－z－N，試定宴性畫扭出系稀統(tǒng)的倦幅頻漂特性滾。解H(z)的極隱點為z=0，這是臉一個N階極斤點，扒它不韻影響缸系統(tǒng)出的幅鄰頻響敏應。溫零點攻有N個，高由分剃子多浙項式傅的根寧決定即圖2.6.5梳狀濾波器的極零點分布及幅頻、相頻特性Ma村tl削ab程序夾仿真殃（zp評la倦nefr艦eq傳z）B移=［1填0疑0獻0紀0寒0物0茂0雪–1］;鋪A=葉1;％設亦置系藝統(tǒng)函搞數(shù)系往數(shù)向恩量B和Asu儀bp阻lo羅t(妻2,蝕2,篇1)棒;zp起la將ne雙(B,悼A巖);％繪奧制零貼極點韻圖[H樣,友w］=fr濃eq另z(倡B,則A肆);％計權(quán)算頻役率響絹應su貝bp仇lo蚊t(乖2,只2,寬2)莊;pl酒ot趴(w/p攝i