微分方程基本概念

一、引言對(duì)自然界的深刻研究－－－－傅里葉微積分研究的對(duì)象是函數(shù)關(guān)系,但在實(shí)際問(wèn)題中,往往很難直接得到所研究的變量之間的函數(shù)關(guān)系,卻比較容易建立起這些變量與它們的導(dǎo)數(shù)或微分之間的聯(lián)系,從而得到一個(gè)方程,即微分方程.通過(guò)求解這種方程,同樣可以找到指定未知量之間的函數(shù)關(guān)系.因此,微分方程是數(shù)學(xué)聯(lián)系實(shí)際,并應(yīng)用于實(shí)際的重要途徑和橋梁,是各個(gè)學(xué)科關(guān)于未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分的是數(shù)學(xué)最富饒的源泉.一、引言下面的例子說(shuō)明，實(shí)際問(wèn)題中較容易建立起來(lái)的是各個(gè)學(xué)科進(jìn)行科學(xué)研究的強(qiáng)有力的工具.例：

已知曲線上點(diǎn)P(x,y)處的法線與x

軸交點(diǎn)為Q且線段PQ被y軸平分,求此曲線所滿足的方程。方程往往是它們的導(dǎo)數(shù)、自變量或函數(shù)之間關(guān)系的方程。求此曲線所滿足的方程.已知曲線上點(diǎn)P(x,y)處的法線與x軸交點(diǎn)為Q解:設(shè)所求的曲線為y(x),如圖所示,曲線上的

令Y=0,得

Q

點(diǎn)的橫坐標(biāo)即點(diǎn)P(x,y)處的法線方程為且線段PQ被y軸平分,一、引言系實(shí)際,并應(yīng)用于實(shí)際的重要途徑和橋梁,是各個(gè)學(xué)科進(jìn)行科學(xué)研究的強(qiáng)有力的工具.如果說(shuō)“數(shù)學(xué)是一門理性思維的科學(xué),是研究、了解和知曉現(xiàn)實(shí)世界的工具”,那么微分方程就是顯示數(shù)學(xué)的這種威力和價(jià)值的一種體現(xiàn).現(xiàn)實(shí)世界中的許多實(shí)際問(wèn)題都可以抽象為微分方程問(wèn)題.例如,物體的冷卻、琴弦的振動(dòng)、電磁波的傳播等,都可以歸結(jié)為微分方程問(wèn)題.這時(shí)微分方程也稱為所研究問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型.人口的增長(zhǎng)、一、引言都可以歸結(jié)為微分方程問(wèn)題.這時(shí)微分方程也稱為所研究問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型.一、引言微分方程是一門獨(dú)立的數(shù)學(xué)學(xué)科,有完整的理論體系.本章我們主要介紹微分方程的一些基本概念,種常用的微分方程的求解方法,線性微分方程解的理論.幾都可以歸結(jié)為微分方程問(wèn)題.這時(shí)微分方程也稱為所研究問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型.微分方程:凡含有未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分的方程，叫做微分方程.例實(shí)質(zhì):聯(lián)系自變量,未知函數(shù)以及未知函數(shù)的某些導(dǎo)數(shù)(或微分)之間的關(guān)系式.二、基本概念微分方程的階:微分方程中出現(xiàn)的未知函數(shù)的最高階導(dǎo)數(shù)的階數(shù).常微分方程,偏微分方程.一階微分方程高階微分方程微分方程的概念常微分方程的一般形式是:其中為自變量,是未知函數(shù),在方程中,必須出現(xiàn),而其余變量可以不出現(xiàn),微分方程中,其余變量都沒(méi)有出現(xiàn).能從方程中就得到微分方程例如在階如果解出最高階導(dǎo)數(shù),以后我們討論的微分方程主要是形如的微分方微分方程的概念以后我們討論的微分方程主要是形如的微分方微分方程的概念以后我們討論的微分方程主要是形如的微分方程,并且假設(shè)式右端的函數(shù)在所討論的范圍內(nèi)連續(xù).如果方程可表示為如下形式:其中和知函數(shù).不能表示成形如的方程,統(tǒng)稱為非線性微分方程.均為自變量的已則稱方程為階線性微分方程.n例1設(shè)一物體的溫度為溫度為的環(huán)境中冷卻.根據(jù)冷卻定律:溫度的變化率設(shè)物體的溫度與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系為則可建立起函數(shù)滿足的微分方程將其放置在空氣物體與物體和當(dāng)時(shí)空氣溫度之差成正比,其中為比例常數(shù).這就是物體冷卻的數(shù)根據(jù)題意,還需滿足條件學(xué)模型.例2設(shè)一質(zhì)量為的物體只受重力的作用始自由垂直降落.根據(jù)牛頓第二定律:等于物體的質(zhì)量與物體運(yùn)動(dòng)的加速度的乘積,即若取物體降落的鉛垂線為軸,由靜止開(kāi)物體所受的力朝下,物體下落的起點(diǎn)為原點(diǎn),間是則可建立起函數(shù)滿足的微分方程并設(shè)開(kāi)始下落的時(shí)的函數(shù)關(guān)系為物體下落的距離與時(shí)間其中為重力加速度常數(shù).這就是學(xué)模型.根據(jù)題意,自由落體運(yùn)動(dòng)的數(shù)還需滿足條件其正向例3試指出下列方程是什么方程,并指出微分方程的階數(shù).解(1)是一階線性微分方程,因方程中含有的和都是一次.(2)是一階非線性微分方程,因方程中含有的的平方項(xiàng).例3試指出下列方程是什么方程,并指出微分方程的階數(shù).解例3試指神出下遷列方譜程是望什么棍方程,并指飛出微絹分方程的階喘數(shù).解(3煉)是二徑階非遲線性握微分勝方程,因方程中含有的的三棕次方.(4勇)是二倉(cāng)階非柜線性欣微分冬方程,因方盤程中益含有峽非線排性函數(shù)和微分授方程衫的解:代入次微分腔方程表能使乘方程豬成為秩恒等納式的函遺數(shù).微分警方程踐的解視的分去類：(1捷)通解:微分裙方程館的解裝中含唇有任推意?？駭?shù),且任意常駛數(shù)的悲個(gè)數(shù)虜與微嗚分方梳程的披階數(shù)膊相同.滿足(2償)特解:確定爹了通瞎解中街任意昨常數(shù)匹以后仿的解.解的位圖像:微分?jǐn)D方程霧的積帳分曲系線.通解源的圖虎像:積分根曲線起族.微分船方程孟的解攏的圖哀形是蔽一條曲線,稱為欲微分最方程的積分思曲線.微分福方程陡解的封概念例如,在例1和例2中，蓬可以軌驗(yàn)證葛函數(shù)和都是破微分豎方程的解,其中為任意常數(shù);而函數(shù)和都是微分方程的解,其中為任意常數(shù).上述和分別玩為其微鋼分方謀程的濕特解,而和分別為其微分方程的通解.微分精方程諸解的局概念一般術(shù)地,微分翅方程臟的不奇含有差任意艇常數(shù)藥的解稱為惜微分方鄙程的特解.含有泰相互獨(dú)立風(fēng)的任責(zé)意?？?dāng)?shù),且任周意常數(shù)的刻個(gè)數(shù)與微辯分方壟程的世階數(shù)睡相等壇的解稱為吉微分放方程的通解(一般腰解).所謂序通解哥的意思滑是指:當(dāng)其匹中的宅任意常數(shù)誘取遍譽(yù)所有測(cè)實(shí)數(shù)私時(shí),就可以得到微分方程的所有解(至多如有個(gè)疲別例喝外).注:這里瘡所說(shuō)褲的相笛互獨(dú)竄立的涌任意默常數(shù),是指懲它們不能桶通過(guò)森合并而使催得通解攏中的騙任意啦常數(shù)喬的個(gè)續(xù)數(shù)減咬少.微分介方程芬解的關(guān)概念許多彎實(shí)際拘問(wèn)題都要頸求尋旦找滿巖足某慘些附加申條件濱的解,此時(shí),這類毒附加列條件就可以用來(lái)確定通解中的任意常數(shù),這類今附加律條件稱為初始座條件,也稱肅為定解擊條件.一般奧地,一階微分方程的初始條件為其中都是已知常數(shù).二階脫微分泉方程的初始條件為過(guò)定約點(diǎn)的爽積分漂曲線;一階:二階:過(guò)定冬點(diǎn)且愛(ài)在定想點(diǎn)的樸切線洲的斜包率為泉定值腹的積叢分曲鎖線.初值價(jià)問(wèn)題:求微記分方朝程滿凝足初澆始條未件的單特解靈的問(wèn)異題.帶有渴初始授條件優(yōu)的微央分方夏程稱為淹微分殊方程矛的初值問(wèn)題.微分乎方程治解的悠概念初值問(wèn)題的幾何意義是:求微誘分方敵程的通過(guò)點(diǎn)的那條積分曲線.二階千微分話方程撐的初值渡問(wèn)題,其幾誘何意綱義是:求微分方程的通過(guò)點(diǎn)且在慚該點(diǎn)處的切線斜率為的那條積分曲線.例4求曲線族滿足的微分方程,其中為任植意常滾數(shù).解求曲顏線族阿所滿綱足的成方程,就是肚求一偶微分中方程,所給蠢的曲擦線族正好捧是該桃微分械方程娃的積硬分曲少線族.此所弟求的籃微分馬方程漲的階紹數(shù)應(yīng)延與常數(shù)銀的個(gè)暖數(shù)相硬等.這里,法來(lái)得胡到所拐求的附微分堅(jiān)方程.已知抓曲線留族中鞭的任類意我們貸通過(guò)莫消去活任意布常數(shù)洗的方對(duì)求導(dǎo),得再?gòu)慕獬龃胩幧鲜絹?lái)得使因在等式兩端化簡(jiǎn)掏即得把到所灣求的批微分帖方程例5驗(yàn)證函數(shù)是方綱程的通解,滿足初始條件的特解.并求解要驗(yàn)增證一晌個(gè)函感數(shù)是國(guó)否是奮方程環(huán)的通屆解,函數(shù)有代入架方程,看是檢否恒夾等,獨(dú)立載的任械意常察數(shù)的個(gè)胃數(shù)是束否與槐方程咸的階測(cè)數(shù)相眼同.只要貞將再看包函數(shù)技式中董所含糞的將求一鋼階導(dǎo)躺數(shù),得把和代入方程左邊得例5驗(yàn)證函數(shù)是方鍋程的通解,滿足初始條件的特解.并求解把和代入方程左邊得例5驗(yàn)證函數(shù)是方關(guān)程的通解,滿足初始條件的特解.并求解把和代入方程左邊得因方耳程兩疤邊恒田等,且中含有一個(gè)任意常數(shù),故是題哨設(shè)方桿程的星通解.例5驗(yàn)證函數(shù)