實際問題與一元二次方程的實際運用

教學(xué)目標：1、會列一元二次方程解應(yīng)用題;2、進一步掌握解應(yīng)用題的步驟和關(guān)鍵;3、通過一題多解使學(xué)生體會列方程的實質(zhì)，培養(yǎng)靈活處理問題的能力.重點：列方程解應(yīng)用題.難點：會用含未知數(shù)的代數(shù)式表示題目里的中 間量（簡稱關(guān)系式）；會根據(jù)所設(shè)的不 同意義的未知數(shù)，列出相應(yīng)的方程。一、復(fù)習(xí)列方程解應(yīng)用題的一般步驟？第一步：弄清題意和題目中的已知數(shù)、未知數(shù)，用字母表示題目中的一個未知數(shù)；第二步：找出能夠表示應(yīng)用題全部含義的相等關(guān)系；第三步：根據(jù)這些相等關(guān)系列出需要的代數(shù)式（簡稱關(guān)系式）從而列出方程；第四步：解這個方程，求出未知數(shù)的值；第五步：在檢查求得的答數(shù)是否符合應(yīng)用題的實際意義后，寫出答案（及單位名稱）。課前熱身1：二中小明學(xué)習(xí)非常認真，學(xué)習(xí)成績直線上升，第一次月考數(shù)學(xué)成績是a分，第二次月考增長了10%，第三次月考又增長了10%，問他第三次數(shù)學(xué)成績是多少？分析：第三次第二次第一次aaX10%a+aX10%=a（1+10%）X10%a(1+10%)+a(1+10%)X10%=a（1+10%）2a（1+10%）例1：平陽按“九五”國民經(jīng)濟發(fā)展規(guī)劃要求，2003年的社會總產(chǎn)值要比2001年增長21%，求平均每年增長的百分率．（提示：基數(shù)為2001年的社會總產(chǎn)值，可視為a）設(shè)每年增長率為x，2001年的總產(chǎn)值為a，則2001年a2002年a（1+x)2003年a(1+x)2增長21%aa+21%aa(1+x)2=a+21%a分析：a(1+x)2=1.21a(1+x)2=1.211+x=1.1x=0.1解:設(shè)每年增長率為x，2001年的總產(chǎn)值為a，則a(1+x)2=a+21%a答:平均每年增長的百分率為10%．練習(xí)1：某藥品經(jīng)兩次降價，零售價降為原來的一半.已知兩次降價的百分率一樣，求每次降價的百分率.（精確到0.1%）解：設(shè)原價為1個單位，每次降價的百分率為x.根據(jù)題意，得

解這個方程，得

答：每次降價的百分率為29.3%.練習(xí)2:某藥品兩次升價，零售價升為原來的1.2倍，已知兩次升價的百分率一樣，求每次升價的百分率（精確到0.1%）解，設(shè)原價為元，每次升價的百分率為，根據(jù)題意，得

解這個方程，得

由于升價的百分率不可能是負數(shù)，所以不合題意，舍去答：每次升價的百分率為9.5%.

練習(xí)4.市第四中學(xué)初三年級初一開學(xué)時就參加課程改革試驗，重視學(xué)生能力培養(yǎng).初一階段就有48人在市級以上各項活動中得獎，之后逐年增加，到三年級結(jié)束共有183人次在市級以上得獎.求這兩年中得獎人次的平均年增長率.一元二次方程及應(yīng)用題1、直角三角形問題：（勾股定理）2、體積不變性問題：3、數(shù)字問題：4、互贈禮物問題：5、增長率問題：典型練習(xí)題1、一個兩位數(shù)個位數(shù)字比十位數(shù)字大1，個位數(shù)字與十位數(shù)字對調(diào)后所得的兩位數(shù)比原數(shù)大9，求：這個兩位數(shù)2、一件商品原價200元經(jīng)過兩次降價后162元，求：平均降價的百分比3、某班同學(xué)在圣誕節(jié)期間互贈禮物182件，求：這個班級的人數(shù)4、某校進行乒乓球單循環(huán)比賽，共比賽55場，問：共有多少名同學(xué)參加5、一名同學(xué)進行登山訓(xùn)練，上山速度為2千米/小時，下山速度為6千米/小時，求：往返一次的平均速度實際問題與一元二次方程（二）面積問題有關(guān)面積問題：常見的圖形有下列幾種：例1、用22cm長的鐵絲，折成一個面積為30cm2的矩形。求這個矩形的長與寬.整理后，得x2-11x+30=0解這個方程，得x1=5,x2=6(與題設(shè)不符，舍去)答：這個矩形的長是6cm，寬是5cm。由x1=5得由x2=6，得解：設(shè)這個矩形的長為xcm，則寬為（cm）.根據(jù)題意，得例2、在寬為20米、長為32米的矩形地面上，修筑同樣寬的兩條互相垂直的道路，余下部分作為耕地，要使耕地面積為540米2，道路的寬應(yīng)為多少？32m20m則橫向的路面面積為

，32m20mx米分析：此題的相等關(guān)系是矩形面積減去道路面積等于540米2。解法一、如圖，設(shè)道路的寬為x米，32x米2縱向的路面面積為

。20x米2注意：這兩個面積的重疊部分是x2米2所列的方程是不是？圖中的道路面積不是米2，而是從其中減去重疊部分，即應(yīng)是米2所以正確的方程是：化簡得，其中氏的x=槐50超出督了原干矩形魔的長鋸和寬裙，應(yīng)寸舍去.取x=魔2時，該道路膨總面于積為變：=100(米2)耕地面積==540（米2）答：派所求倡道路院的寬兄為2米。解法曲二：我們胖利用“圖而形經(jīng)壤過移倒動，然它的浸面積律大小病不會拘改變磁”的道導(dǎo)理，寄把縱更、橫檔兩條米路移果動一例下，齒使列屬方程錄容易瞧些（赤目的丈是求難出路坦面的舌寬，擱至于據(jù)實際佳施工悶，仍滲可按造原圖紐奉的位憐置修褲路）橫向核路面落為，32m20mxmxm如圖異，設(shè)朽路寬沾為x米，32詞x米2縱向圖路面走面積癢為。20豆x米2耕地鬧矩形益的長?。M愁向）誓為，耕地割矩形摘的寬賢（縱挨向）禾為。相等馬關(guān)系檔是：紙耕地問長×耕地庫寬=5哄40米2(2每0-津x)米（32者-x輛)米即化簡得：再往掘下的匆計算今、格睛式書伐寫與泰解法1相同沫。練習(xí)1：用窗一根先長22厘米垃的鐵腐絲，培能否祖折成籌一個鴿面積煩是30厘米碗的矩盤形？茅能否站折成澡一個繳面積復(fù)為32厘米速的矩襪形？歇說明儉理由骨。2：在餐一塊蒸長80米，川寬60米的肅運動懶場外保圍修躍筑了鐘一條雞寬度夫相等弊的跑送道，徐這條練跑道烏的面歸積是15歲00平方桂米，液求這補條跑湯道的豎寬度貧。3.如圖豆，在肝長為40米，擊寬為22米的府矩形漲地面撞上，學(xué)修筑綱兩條辱同樣伙寬的食互相逗垂直勻的道塞路，瞎余下吼的鋪樓上草卵坪，鴉要使唉草坪品的面抗積為76之0平方辭米，海道路鼓的寬腔應(yīng)為秩多少亦？40米22米4、如圈圖，仁在寬蠟為20鬧m，長為32樹m的矩御形耕壘地上劍，修都筑同寇樣寬再的三追條道迫路，將（兩憑條縱攔向，余一條戲橫向偶，橫被向與齒縱向濤相互斃垂直竟），敗把耕巾地分鎮(zhèn)成大年小相垂等的拌六塊留試驗剃地，巧要使宏試驗踐地面煌積為57灘0m2，問道蠢路的毯寬為咽多少縮慧？例3、求澇截去童的正律方形謀的邊勢長用一春塊長28飯cm、寬20和cm的長搶方形駛紙片弱，要糕在它草的四妨角截觸去四叔個相妹等的歌小正奧方形舒，折衰成一寇個無著蓋的躲長方拍體盒腐子，差使它垮的底桶面積嗚為18劣0c視m２，為夠了有追效地困利用粥材料辭，求遵截去速的小沈正方糾形的哭邊長探是多促少cm？求截殊去的倉正方令形的貫邊長分析設(shè)截寫去的款正方盛形的膨邊長腐為xc貝m之后或，關(guān)端鍵在堅于列參出底唉面（與圖中宿陰影拉部分飄）長廳和寬環(huán)的代嶼數(shù)式爬．結(jié)錘合圖湖示和員原有敞長方爪形的邀長和盼寬，流不難倘得出負這一悔代數(shù)帝式．20-2x28-2x２８cm20cm求截焰去的凳正方時形邊華長解：辜設(shè)截疊去的占正方什形的哪邊長丟為xc系m，根田據(jù)題簽意，繭得(2鑒8-辰2x削)(煤20情-2甘x)尚=1勒80x2-2裁4x乘+9螺5=輛0解這慣個方源程，講得：x1=5發(fā),x2=1桑9經(jīng)檢而驗：x2＝19不合撈題意叔，舍絮去．所以伸截去牙的正栗方形宴邊長墊為５cm兔.例4:建造鋸一個吼池底處為正駁方形,深度迎為2.矛5m的長對方體批無蓋逃蓄水豪池,建造守池壁焦的單劣價是12付0元/m2,建造距池底券的單預(yù)價是24題0元/m2,總造爐價是86遇40元,求池訊底的雕邊長.分析:池底舞的造價+池壁殘的造價=總造箱價解:設(shè)池底斃的邊封長是xm.根據(jù)村題意勇得:解方程全得:∵池歉底的妹邊長堂不能或為負奇數(shù),∴取x=線4答:池底聾的邊精長是4m歌.練習(xí)蜓、建造已成一桂個長鏈方體廉形的淹水池拉，原陸計劃猜水池帶深3米，濤水池壯周圍恰為14量00米，弄經(jīng)過脹研討踩，修惡改原蹦方案狐，要偽把長遭與寬狡兩邊佩都增夜加原博方案寧中的盯寬的2倍，羊于是嶼新方裳案的籃水池陽容積銷為27帝0萬米3，求他原來牛方案侍的水仔池的鉤長與威寬各刊是多使少米猾？700--xx3700-x+2xx+2xx原方案新方案課堂乒練習(xí):列方粱程解屈下列橡應(yīng)用按題1、學(xué)犯生會仿準備清舉辦飄一次述攝影濤展覽已，在陡每張糞長和簡寬分削別為18厘米伐和12厘米剪的長捕方形簽相片親周圍熄鑲嵌宏上一尸圈等書寬的飽彩紙播。經(jīng)省試驗枯，彩寺紙面妄積為洞相片匹面積話的2/惱3時較剝美觀閥，求屈鑲上依彩紙講條的擺寬。軋（精揪確到0.綱1厘米巾）2、在飽寬20米，華長32米的畢矩形拒地面貝上修刻筑同錄樣寬籃的四攜條互縱相垂芹直的羞“井沉”字槐形道核路（記如圖頁），宗余下縫的部布分做聲綠地接，要掀使綠虛地面母積為44羨8平方美米之，路閱寬為蝦多少？

32203、小激明把段一張竄邊長章為10厘米磚的正牲方形晃硬紙砍板的稀四周繩各剪克去一輸個同科樣大宜小的姨正方逃形，參再折蒜合成策一個握無蓋登的長稻方體捆盒子位。如椅果要姥求長蛙方體絹的底娘面面省積為81平方謀厘米恐，那英么剪平去的糧正方哨形邊盛長為李多少?4、學(xué)校隆課外弦生物錦（小廉組的喚試驗澆園地今是一即塊長35米、隙寬20米的瓶矩形鳴，為事便于終管理窗，現(xiàn)鉤要在叉中間寸開辟慶一橫歷兩縱折三條釣等寬競的小昆路（廚如圖協(xié)），粱要使艇種植腳面積騙為60濕0平方性米，殲求小臘道的娛寬。難（精按確到0.銷1米）5、在長固方形唱鋼片演上沖旋去一廉個長育方形崇，制傷成一等個四鉤周寬世相等被的長衛(wèi)方形掉框。裹已知王長方胞形鋼催片的腐長為30黑cm，寬為20阻cm厲,要使?jié)q制成偶的長偶方形猾框的竟面積慨為40逐0c能m2，求這柔個長貨方形腦框的飽框邊底寬。XX30cm20cm解:設(shè)長判方形然框的叛邊寬雨為xc該m,依題駐意,得30×20婆–(辣30芒–2需x)付(2愚0–植2x船)=駝40執(zhí)0整理驅(qū)得x2–25沙+1乓00氧=0得x1=2阻0,燃x2=5當=2攏0時,2挖0-暑2x獎=復(fù)-2箭0(舍去);當x=慕5時,2漫0-頂2x貨=1茫0答:這個緒長方永形框吵的框蝕邊寬留為5c壞m列一窗元二諷次方奴程解時應(yīng)題6、放鉛醒筆的V形槽腸如圖漢，每面往上絹一層位可以瞞多放一骨支鉛雁筆．翼現(xiàn)有19梯0支鉛賓筆，謠則要往放幾栗層?解:要放x層,則每閉一層心放(1焰+x腔)支鉛筆.得x斃(1毫+x附)遷=1膀90尼×2X＋X－380＝0解得X1＝19，X2＝－20(不合題意)答:要放19層.2列一墻元二纖次方橋程解在應(yīng)題補充練習(xí)秋：（98年北擱京市借崇文江區(qū)中巷考題里）如球圖，腫有一芳面積是15最0平方羽米的鵲長方慢形雞額場，鞠雞場顛的一榮邊靠江墻（墻吵長18米）紐奉，墻鹿對面任有一厚個2米寬依的門燦，另騾三邊（門集除外絨）用單竹籬咱笆圍殲成，捧籬笆腎總長33米．業(yè)求雞場的硬長和古寬各柴多少帆米？通過松這節(jié)擠課的冒學(xué)習(xí):我學(xué)亂會了……使我儉感觸便最深障的是……我發(fā)疾現(xiàn)生哀活中……我還地感到擠疑惑約的是……實際竊問題服與一氏元二明次方棟程（稠三）質(zhì)點墨運動膨問題有關(guān)扣“動點”的運爹動問慢題”1)關(guān)鍵——以靜新代動把動棕的點族進行垮轉(zhuǎn)換,變?yōu)橐u線段糖的長樓度,2)方法——時間族變路農(nóng)程求“動點拴的運賽動時之間”可以閣轉(zhuǎn)化歉為求“動點籌的運走動路啟程”，也烏是求逮線段及的長矩度;由此,學(xué)會醉把動放點的缺問題拒轉(zhuǎn)化肯為靜途點的肺問題,是解栽這類夢問題穴的關(guān)汁鍵.3）常找貍的數(shù)量據(jù)關(guān)系——面積氧，勾廊股定形理等想；例1在矩隸形AB腰CD中,A例B=糖6c河m,主BC巡壽=1料2c翅m,點P從點A開始弓以1c贏m/映s的速叉度沿AB邊向緊點B移動,點Q從點B開始配以2c搖m/某s的速聲度沿BC邊向片點C移動,如果P、Q分別游從A、B同時撇出發(fā)桌，幾存秒后⊿PB遣Q的面滅積等劣于8c猾m2？解：設(shè)x秒后⊿PBQ的面積等于8cm2根據(jù)題意，得整理，得解這個方程，得所以2秒或4秒后⊿PBQ的面積等于8cm2例2：等銀腰直奶角⊿AB東C中,A拾B=綠BC吵=8吼cm稈,動點P從A點出泥發(fā),沿AB向B移動,通過吹點P引平念行于BC痛,A長C的直品線與AC案,B泥C分別辜交于R、Q.當AP等于疊多少傾厘米亭時,平行裝四邊寫形PQ穿CR的面塵積等到于16趨cm2?例3：⊿AB協(xié)C中,A稱B=耕3,貝∠勾B醉AC展=4馳5°熱,C晃D⊥拘A連B,垂足蚊為D,沫CD腫=2浸,P是AB上的惡一動蛇點(不與A,喜B重合),且AP而=x旺,過點P作直嶄線l與AB垂直.i)設(shè)⊿AB翼C位于工直線l左側(cè)罪部分臨的面忌積為S,寫出S與x之間基的函買數(shù)關(guān)殺系式;ii孕)當x為何井值時,直線l平分⊿AB顯C的面射積?例4：客軟輪沿耕折線A-息B-反C從A出發(fā)兩經(jīng)B再到C勻速把航行,貨輪聞從AC的中狹點D出發(fā)換沿某廟一方伙向勻惱速直給線航王