導(dǎo)數(shù)與積分的概念及運(yùn)算導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

第一部分高考專題講解專題一集合、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)第四講導(dǎo)數(shù)與積分的概念及運(yùn)算、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用導(dǎo)數(shù)已成為高考命題的一個(gè)重要載體．通過(guò)導(dǎo)數(shù)可以實(shí)現(xiàn)函數(shù)與不等式、方程、解析幾何等多個(gè)知識(shí)點(diǎn)的交匯，并且在求解導(dǎo)數(shù)應(yīng)用方面的試題中可以滲透各種重要的數(shù)學(xué)思想方法，如：數(shù)形結(jié)合、分類(lèi)討論、等價(jià)轉(zhuǎn)化等，因此導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用是高考的一個(gè)熱點(diǎn)．高考試題中對(duì)導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的考查，既有客觀題，也有主觀題，客觀題側(cè)重于對(duì)單調(diào)性和極值、最值的考查，主觀題則側(cè)重于導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，即導(dǎo)數(shù)與函數(shù)、不等式、方程、數(shù)列、解析幾何等的綜合，在利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)、方程、不等式等方面的綜合問(wèn)題時(shí)，要注意函數(shù)與方程、分類(lèi)討論、等價(jià)轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合等思想方法的運(yùn)用．1.可導(dǎo)函數(shù)中，x0為極值點(diǎn)，則f′(x0)＝0，但是f′(x0)＝0是x0為極值點(diǎn)的必要非充分條件．例如，y＝x3在x＝0處f′(0)＝0，但是f(x)在x＝0處無(wú)極值．2．求可導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的一般步驟：(1)確定定義域區(qū)間；(2)求f′(x)；(3)解不等式f′(x)>0，得函數(shù)的遞增區(qū)間；解不等式f′(x)<0，得函數(shù)的遞減區(qū)間．注意：當(dāng)一個(gè)函數(shù)的遞增或遞減區(qū)間有多個(gè)時(shí)，不能盲目地將它們?nèi)〔⒓?．求可導(dǎo)函數(shù)f(x)的極值的步驟：(1)求導(dǎo)數(shù)f′(x)；(2)求方程f′(x)＝0的根；(3)檢驗(yàn)f′(x)在方程f′(x)＝0的根的左右兩側(cè)的符號(hào)，如果在根的左側(cè)附近為正，右側(cè)附近為負(fù)，那么函數(shù)f(x)在這個(gè)根處取得極大值；如果在這個(gè)根的左側(cè)附近為負(fù)，右側(cè)附近為正，那么函數(shù)f(x)在這個(gè)根處取得極小值．4．注意極值與最值的區(qū)別與聯(lián)系：極值是在某一點(diǎn)附近函數(shù)值的比較，因此，同一函數(shù)在某一點(diǎn)的極大(小)值，可以比另一點(diǎn)的極小(大)值小(大)；而最大值、最小值是指閉區(qū)間[a，b]上所有函數(shù)值的比較，因而在一般情況下，兩者有區(qū)別的，極大(小)值不一定是最大(小)值，最大(小)值也不一定是極大(小)值．但如果連續(xù)函數(shù)在區(qū)間(a，b)內(nèi)只有一個(gè)極值，那么極大值就是最大值，極小值就是最小值．5．用導(dǎo)數(shù)解決與恒成立有關(guān)的不等式問(wèn)題通常與函數(shù)的最值或極值有密切的聯(lián)系．我們可以通過(guò)求最值把不等式恒成立轉(zhuǎn)化為一個(gè)不等式進(jìn)行求解．6．復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)過(guò)程就是對(duì)復(fù)合函數(shù)由外層逐層向里求導(dǎo)．每次求導(dǎo)都針對(duì)著最外層，直到求到最里層為止．所謂最里層是指可以直接應(yīng)用基本公式進(jìn)行求導(dǎo)的那一層．[答案]C[答案]D[解析]從圖住象可喚知，f′(x)>榨0，g′(x)>懼0，因攻此函垮數(shù)y＝f(兵x)，y＝g(辣x)都是羞單調(diào)透遞增描函數(shù)虎．又因傷為y＝f′(x)是遞粘減的春，y＝g′(x)是遞腸增的鄰，故期根據(jù)卵導(dǎo)數(shù)而的幾括何意騰義可帆知，y＝f(池x)遞增旺得慢縣，y＝g(扮x)遞增犧得快小，由設(shè)此排秘除A和B.又f′(x0)＝g′(x0)，所吼以函暮數(shù)y＝f(憤x)，y＝g(午x)的圖蘇象在x0點(diǎn)處敗的切套線的沈斜率響相等陪，因濟(jì)此在x0處的恒切線攻應(yīng)該鴿是互缺相平膜行的更，由慶此可防知D選項(xiàng)佩正確籠．[答案]D[點(diǎn)評(píng)]一般窗地，航如果裳在區(qū)君間I上f′(x)>貧0，那墾么y＝f(x)在I上單鹿調(diào)遞逆增，剩如果彩在區(qū)鉗間I上f′(x)<升0，那脈么y＝f(x)在I上單紫調(diào)遞標(biāo)減．留因此醫(yī)在通布過(guò)導(dǎo)雙數(shù)研出究函勞數(shù)圖穿象之機(jī)間的龍關(guān)系革時(shí)，但對(duì)于連原函黎數(shù)，蠻我們閘應(yīng)關(guān)挺注它系在哪鼻個(gè)區(qū)他間上荷遞增匪，哪牢個(gè)區(qū)鳥(niǎo)間上貴遞減搞；而棄對(duì)于才導(dǎo)函鐘數(shù)，飯則應(yīng)徹考查蘭其在艘哪個(gè)界區(qū)間盆上大仇于0，哪賀個(gè)區(qū)辯間上壟小于0.[解](1)函數(shù)屆的定凍義域循是(0，＋∞)，又f′[解](1字)當(dāng)a＝－1時(shí)，f(x)＝x2·e－x，f′(x)＝－x·(x－2)堵·e－x.當(dāng)x在[－1,窯1]上變暫化時(shí)招，f′(x)，f(x)的變逼化情馳況如佛下表設(shè)：∴x∈[－1,充1]時(shí)，f(x)ma屠x＝f(－1)＝e，f(x)mi席n＝f(0伐)＝0.[點(diǎn)評(píng)]一般艇地，羊若已熄知不催等式植在區(qū)纏間I上恒抹成立療，求蜜不等斷式中智所含研參數(shù)住的取禽值范掃圍問(wèn)命題，劫都可名以借輛助導(dǎo)參數(shù)，吊根據(jù)擦不等論式恒甚成立艘問(wèn)題當(dāng)?shù)慕馔璺?如：宋分離熄參數(shù)熱求最診值、訴數(shù)形擔(dān)結(jié)合都等)進(jìn)行逢求解竊．首潮先進(jìn)貞行分詞離參泡數(shù)，般然后鳳利用秘導(dǎo)數(shù)插求出攝分離勉參數(shù)燙后不趕等式嶺一邊頌的函皆數(shù)(或代勞數(shù)式)的最泡大值(或最謹(jǐn)小值)，進(jìn)圓而得蹄到參揀數(shù)的攜取值悉范圍目，即盾當(dāng)a>f(x)恒成超立時(shí)譽(yù)，只薯需a>f(x)ma蓮x；叨當(dāng)a<f(x)恒成脹立時(shí)晃，只覺(jué)需a<f(x)mi礎(chǔ)n.【探究】(20竿11·山西棉太原禍模擬)煙囪勒向其憐周?chē)灥貐^(qū)第散落擋煙塵冒造成煩環(huán)境堆污染晶．如呼圖，辭已知A、B兩座囑煙囪凱相距20嗚k老m，其誘中B煙囪嬌噴出機(jī)的煙樓塵量菜是A煙囪教的8倍，鉛經(jīng)環(huán)怪境檢兇測(cè)表葉明：梢落在警地面隔某處菊的煙旨?jí)m濃儉度與轎該處雖到煙警囪距瓶離的巖平方講成反云比，蛋而與唉煙囪適噴出致的煙紙塵量娛成正哨比(比例宵系數(shù)箱為k)．若C是AB連線濕上的少點(diǎn)，帆設(shè)AC＝xkm，C點(diǎn)的榴煙塵由濃度植記為y.(1績(jī))寫(xiě)出y關(guān)于x的函石數(shù)表銹達(dá)式懶；(2罩)是否職存在郵這樣誰(shuí)的點(diǎn)C，使戰(zhàn)該點(diǎn)斤的煙雁塵濃期度最勢(shì)低？速若存須在，桶求出AC的距兩離；自若不世存在繭，說(shuō)食明理饒由．1.導(dǎo)數(shù)偵與函予數(shù)的臨單調(diào)身性的斜關(guān)系在某墻個(gè)區(qū)脖間(a，b)內(nèi)，你如果f′(x)>藥0，那衛(wèi)么函取數(shù)f(x)在這細(xì)個(gè)區(qū)脊間內(nèi)烤單調(diào)獻(xiàn)遞增備；如榴果f′(x)<很0，那爸么函寒?dāng)?shù)f(x)在這是個(gè)區(qū)炭間內(nèi)險(xiǎn)單調(diào)察遞減炎；如厲果f′(x)＝0，那夕么函該數(shù)f(x)在這醉個(gè)區(qū)亭間內(nèi)小是常亂數(shù)函獨(dú)數(shù)．2．求剛可導(dǎo)獵函數(shù)享的單科調(diào)區(qū)患間的誤一般算步驟晌：(1胡)確定野定義暖域區(qū)寧間；(2梨)求f′(x)；(3印)解不才等式f′(x)>熔0，得琴函數(shù)縱的遞腦增區(qū)貓間；慚解不沉等式f′(x)<推0，得眉函數(shù)甲的遞塌減區(qū)寄間．注意夜：當(dāng)膝一個(gè)牲函數(shù)閣的遞洋增或組遞減語(yǔ)區(qū)間羊有多頓個(gè)時(shí)綿，不艇能盲倚目將落它們緞取并床集．3．用笨導(dǎo)數(shù)系求函團(tuán)數(shù)極愚值的狹一般擊步驟皺：(1卸)求導(dǎo)旱數(shù)f′(x)；(2申)求方授程f′(x)＝0的根且；(3冬)檢驗(yàn)f′(x)在方訪程f′(x)＝0的根僅的左把右兩謎側(cè)的院符號(hào)英，如坡果在夏根的扛左側(cè)疾為正篩，右牽側(cè)為暫負(fù)，若那么堪函數(shù)f(x)在這精個(gè)根諷處取記得極尸大值碎；如物果在嗓根的攔左側(cè)鉛為負(fù)齡，右貍側(cè)為溝正，不那么使函數(shù)f(x)在這軍個(gè)根潮處取涌得極喪小值塞．4．閉誰(shuí)區(qū)間穴上函旨數(shù)的廁最值在閉波區(qū)間[a，b]上連而續(xù)的通單調(diào)始函數(shù)y＝f(x)，在[a，b]上必搬有最緞大值倚與最裝小值教．設(shè)臥函數(shù)y＝f(x)在[a，b]上連彎續(xù)，政在(a，b)內(nèi)可凱導(dǎo)，太先求克出f′(x)＝0的點(diǎn)勉，然綁后求婚出使f′(x)＝0的所犧有點(diǎn)室的函寧數(shù)值的，再帶與端絹點(diǎn)函該數(shù)值f(a)，f(b)比較揭，其伏中最隔大的角一個(gè)貫為最蛙大值拜，最帝小的轉(zhuǎn)一個(gè)哄為最紋小值耗．5．定展積分沒(méi)的計(jì)稈算一當(dāng)是根加據(jù)定峽積分