華南農(nóng)業(yè)大學(xué)數(shù)學(xué)建模復(fù)習(xí)ppt

數(shù)學(xué)建模成績(jī)?cè)u(píng)定考試時(shí)間：5月25日（14周）星期五晚上7：30—9：30考試地點(diǎn)：4503考生需自備計(jì)算器（1）閉卷考試40%（2）個(gè)人小論文30%上交紙質(zhì)版，截止時(shí)間18周末2012年6月22日。（3）實(shí)驗(yàn)報(bào)告+考勤30%數(shù)學(xué)建模課程設(shè)計(jì)（1學(xué)分實(shí)踐課）成績(jī)?cè)u(píng)定題目：分組，經(jīng)過答辯的選題截止時(shí)間18周末2012年6月22日。上交紙質(zhì)版，統(tǒng)一上交學(xué)委，或交到院樓7樓本人郵箱截止時(shí)間2012年6月22日。上交紙質(zhì)版，第一章建立數(shù)學(xué)模型商人們?cè)鯓影踩^河問題(智力游戲)3名商人3名隨從隨從們密約,在河的任一岸,一旦隨從的人數(shù)比商人多,就殺人越貨.乘船渡河的方案由商人決定.商人們?cè)鯓硬拍馨踩^河?問題分析多步?jīng)Q策過程決策~每一步(此岸到彼岸或彼岸到此岸)船上的人員.要求~在安全的前提下(兩岸的隨從數(shù)不比商人多),經(jīng)有限步使全體人員過河.河小船(至多2人)模型構(gòu)成xk~第k次渡河前此岸的商人數(shù)yk~第k次渡河前此岸的隨從數(shù)xk,yk=0,1,2,3;

k=1,2,…sk=(xk,yk)~過程的狀態(tài)S={(x

,y)x=0,y=0,1,2,3;x=3,y=0,1,2,3;x=y=1,2}S~允許狀態(tài)集合uk~第k次渡船上的商人數(shù)vk~第k次渡船上的隨從數(shù)dk=(uk,vk)~過程的決策D~允許決策集合uk,vk=0,1,2;k=1,2,…sk+1=sk

dk+(-1)k~狀態(tài)轉(zhuǎn)移律D={(u

,v)u+v=1,2,u,v=0,1,2}狀態(tài)因決策而改變模型求解xy3322110窮舉法~編程上機(jī)圖解法狀態(tài)s=(x,y)~16個(gè)格點(diǎn)~10個(gè)點(diǎn)允許決策~移動(dòng)1或2格;k奇,左下移;k偶,右上移.s1sn+1d1,,d11給出安全渡河方案d1d11允許狀態(tài)S={(x

,y)x=0,y=0,1,2,3;x=3,y=0,1,2,3;x=y=1,2}求dkD(k=1,2,n),使skS,并按轉(zhuǎn)移律sk+1=sk+(-1)kdk

由s1=(3,3)到達(dá)sn+1=(0,0).模型構(gòu)成第二章初等模型2.6交通流與道路通行能力現(xiàn)代城市生活中交通擁堵是普遍存在的現(xiàn)象，在許多平面交叉路口，紅燈后面總是排著長長的汽車隊(duì)伍等待放行.背景和問題通過信號(hào)燈控制等管理手段提高道路通行能力，已經(jīng)成為城市交通工程面臨的重要課題之一.

介紹交通流的基本參數(shù)及它們之間的關(guān)系;

討論一般道路及信號(hào)燈控制的十字路口的通行能力.

交通流的基本參數(shù)及其特性流量q~某時(shí)刻單位時(shí)間內(nèi)通過道路某斷面的車輛數(shù)(輛/h)密度k~某時(shí)刻通過道路某斷面單位長度內(nèi)的車輛數(shù)(輛/km)

速度v~某時(shí)刻通過道路某斷面的車輛速度(km/h)

交通流~標(biāo)準(zhǔn)長度的小型汽車在單方向道路上行駛形成的車流，沒有外界因素如岔路、信號(hào)燈等的影響.借用物理學(xué)概念,將交通流看作一輛輛汽車組成的連續(xù)流體,用流量、速度、密度3個(gè)參數(shù)描述其基本特性.3個(gè)參數(shù)之間的基本關(guān)系交通流的基本參數(shù)及其特性速度v與密度k的關(guān)系

線性模型vf~暢行車速(k=0時(shí))kj~阻塞密度(v=0時(shí))適合車流密度適中的情況對(duì)數(shù)模型車流密度較大時(shí)適用指數(shù)模型車流密度較小時(shí)適用v1~k=kj/e時(shí)的車速(理論上),由觀測(cè)數(shù)據(jù)確定.

車流密度加大司機(jī)被迫減速交通流的基本參數(shù)及其特性速度v流量qvmvmkmkmqmqmvfvfkjkj000密度k流量qkm=kj/2~最大流量時(shí)的密度vm=vf/2~最大流量時(shí)的速度城市干道的通行能力道路通行能力~單位時(shí)間內(nèi)通過某斷面的最大車輛數(shù).交通流量遠(yuǎn)小于通行能力時(shí)，車速高，呈自由流狀態(tài)交通流量接近通行能力時(shí)，車速低，呈強(qiáng)制流狀態(tài)，出現(xiàn)交通擁堵.飽和度~流量與通行能力的比值,表示道路的負(fù)荷程度.城市干道的通行能力~在理想的道路和交通條件下，當(dāng)具有標(biāo)準(zhǔn)長度和技術(shù)指標(biāo)的車輛，以前后兩車最小車頭間隔連續(xù)行駛時(shí)，單位時(shí)間內(nèi)通過道路某斷面的最大車輛數(shù)N(輛/h).城市干道的通行能力v~車速

(km/h)，d~最小車頭間隔(m)

d主要由剎車距離決定，剎車距離與車速密切相關(guān).d1~剎車時(shí)司機(jī)在反應(yīng)時(shí)間t0

內(nèi)汽車行駛的距離.

d2~剎車時(shí)從制動(dòng)器起作用到汽車停止行駛的距離.c~與路面阻力、車重、濕度、坡度等有關(guān)的系數(shù).d3~兩車之間的安全距離，d4~車輛的標(biāo)準(zhǔn)長度.

單位時(shí)間內(nèi)通過的最大車輛數(shù)N城市干道的通行能力v102030405060708090100N95812081233117310901006928858797742交通工程的專業(yè)教材:司機(jī)剎車的反應(yīng)時(shí)間t0=1s，系數(shù)c=0.01,安全距離d3=2m，小型車輛的標(biāo)準(zhǔn)長度d4=5m.

當(dāng)t0，c，d3，d4變大時(shí)最大通行能力Nm減小.

最大通行能力最大制動(dòng)力與車的質(zhì)量成正比，使汽車作勻減速運(yùn)動(dòng).常數(shù)制動(dòng)距離與車速的模型制動(dòng)距離：制動(dòng)器作用力、車重、車速、道路、氣候…設(shè)計(jì)制動(dòng)器的合理原則：剎車時(shí)使用最大制動(dòng)力F，F(xiàn)作的功等于汽車動(dòng)能的改變，且F與車的質(zhì)量m成正比.Fd2=mv2/2F

m模型假設(shè)信號(hào)燈控制的十字路口的通行能力西東南北相位A相位B相位C相位D信號(hào)燈控制采用4相位方案典型的十字路口東西方向有3條車道：左轉(zhuǎn)、直行、直右混行南北方向有2條車道：左轉(zhuǎn)、直右混行某一相位下每小時(shí)通過停止線的最大車輛數(shù)(單行道)S(輛/h)信號(hào)燈控制的十字路口的通行能力假設(shè)紅燈時(shí)車輛在停止線后排成一列等待，綠燈后第1輛車立即啟動(dòng)通過停止線，其余車輛按照固定時(shí)間間隔通過停止線.T(s)~信號(hào)燈周期，tg(s)~某相位的綠燈時(shí)間t0(s)~綠燈后第1輛車通過停止線的時(shí)間ts(s)~直行或右轉(zhuǎn)車輛通過停止線的時(shí)間φ~反映車輛通過路口不均勻性的折減系數(shù).信號(hào)燈控制的十字路口的通行能力t0=2.3s，ts=2.5s(小型車輛)~3.5s(大型車輛)，對(duì)直行或右轉(zhuǎn)φ=0.9(左轉(zhuǎn)更小)G=tg/T~綠燈時(shí)間與信號(hào)燈周期之比(綠信比)

Q=3600/ts~小時(shí)流量(按每ts(s)通過一輛車計(jì)算)每小時(shí)通過停止線的最大車輛數(shù)實(shí)地調(diào)查高峰時(shí)段4個(gè)相位通行的實(shí)際流量qA,qB,qC,qD

調(diào)整4個(gè)相位的綠信比,使GA:GB:GC:GDqA:qB:qC:qD

第三章簡(jiǎn)單的優(yōu)化模型3.2生豬的出售時(shí)機(jī)飼養(yǎng)場(chǎng)每天投入4元資金，用于飼料、人力、設(shè)備，估計(jì)可使80kg重的生豬體重增加2kg.問題市場(chǎng)價(jià)格目前為8元/kg，但是預(yù)測(cè)每天會(huì)降低0.1元，問生豬應(yīng)何時(shí)出售?如果估計(jì)和預(yù)測(cè)有誤差，對(duì)結(jié)果有何影響?分析投入資金使生豬體重隨時(shí)間增加，出售單價(jià)隨時(shí)間減少，故存在最佳出售時(shí)機(jī)，使利潤最大.求t使Q(t)最大10天后出售，可多得利潤20元.建模及求解生豬體重w=80+rt出售價(jià)格p=8-gt銷售收入R=pw資金投入C=4t利潤Q=R-C估計(jì)r=2，若當(dāng)前出售，利潤為80×8=640（元）t天出售=10Q(10)=660>640g=0.1=pw-4t敏感性分析研究r,g微小變化時(shí)對(duì)模型結(jié)果的影響.估計(jì)r=2，g=0.1設(shè)g=0.1不變t對(duì)r的（相對(duì)）敏感度生豬每天增加的體重r變大1%，出售時(shí)間推遲3%.rt敏感性分析估計(jì)r=2，g=0.1研究r,g微小變化時(shí)對(duì)模型結(jié)果的影響.設(shè)r=2不變t對(duì)g的（相對(duì)）敏感度生豬價(jià)格每天的降低g增加1%，出售時(shí)間提前3%.gt強(qiáng)健性分析保留生豬直到每天收入的增值等于每天的費(fèi)用時(shí)出售.由S(t,r)=3建議過一周后(t=7)重新估計(jì),再作計(jì)算.研究r,g不是常數(shù)時(shí)對(duì)模型結(jié)果的影響.w=80+rtw=w(t)p=8-gtp=p(t)若(10%),則（30%）每天收入的增值每天投入的資金利潤第四章數(shù)學(xué)規(guī)劃模型

分派問題4.4接力隊(duì)選拔和選課策略若干項(xiàng)任務(wù)分給一些候選人來完成，每人的專長不同,完成每項(xiàng)任務(wù)取得的效益或需要的資源不同，如何分派任務(wù)使獲得的總效益最大，或付出的總資源最少?若干種策略供選擇，不同的策略得到的收益或付出的成本不同，各個(gè)策略之間有相互制約關(guān)系，如何在滿足一定條件下作出抉擇，使得收益最大或成本最小?討論:丁的蛙泳成績(jī)退步到1’15”2；戊的自由泳成績(jī)進(jìn)步到57”5,組成接力隊(duì)的方案是否應(yīng)該調(diào)整？如何選拔隊(duì)員組成4100米混合泳接力隊(duì)?例1混合泳接力隊(duì)的選拔

甲乙丙丁戊蝶泳1’06”857”21’18”1’10”1’07”4仰泳1’15”61’06”1’07”81’14”21’11”蛙泳1’27”1’06”41’24”61’09”61’23”8自由泳58”653”59”457”21’02”45名候選人的百米成績(jī)窮舉法：組成接力隊(duì)的方案共有5!=120種.目標(biāo)函數(shù)若選擇隊(duì)員i參加泳姿j的比賽，記xij=1,否則記xij=0

0-1規(guī)劃模型

cij(秒)~隊(duì)員i第j種泳姿的百米成績(jī)約束條件每人最多入選泳姿之一

ciji=1i=2i=3i=4i=5j=166.857.2787067.4j=275.66667.874.271j=38766.484.669.683.8j=458.65359.457.262.4每種泳姿有且只有1人混合泳接力隊(duì)的選拔指派(Assignment)問題：有若干項(xiàng)任務(wù),

每項(xiàng)任務(wù)必有且只能有一人承擔(dān)，每人只能承擔(dān)一項(xiàng)，不同人員承擔(dān)不同任務(wù)的效益(或成本)不同，怎樣分派各項(xiàng)任務(wù)使總效益最大(或總成本最小)?人員數(shù)量與任務(wù)數(shù)量相等人員數(shù)量大于任務(wù)數(shù)量(本例)人員數(shù)量小于任務(wù)數(shù)量

?建立0-1規(guī)劃模型是常用方法第五章微分方程模型背景年1625183019301960197419871999人口(億)5102030405060世界人口增長概況中國人口增長概況年19081933195319641982199019952000人口(億)3.04.76.07.210.311.312.013.0研究人口變化規(guī)律控制人口過快增長5.6人口預(yù)測(cè)和控制做出較準(zhǔn)確的預(yù)報(bào)建立人口數(shù)學(xué)模型指數(shù)增長模型——馬爾薩斯1798年提出常用的計(jì)算公式x(t)~時(shí)刻t的人口基本假設(shè)

:人口(相對(duì))增長率r是常數(shù)今年人口x0,年增長率rk年后人口隨著時(shí)間增加，人口按指數(shù)規(guī)律無限增長.與常用公式的一致rtextx0)(=?指數(shù)增長模型的應(yīng)用及局限性與19世紀(jì)以前歐洲一些地區(qū)人口統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)吻合.

適用于19世紀(jì)后遷往加拿大的歐洲移民后代.

可用于短期人口增長預(yù)測(cè).

不符合19世紀(jì)后多數(shù)地區(qū)人口增長規(guī)律.

不能預(yù)測(cè)較長期的人口增長過程.19世紀(jì)后人口數(shù)據(jù)人口增長率r不是常數(shù)(逐漸下降)阻滯增長模型——邏輯斯蒂(Logistic)模型人口增長到一定數(shù)量后，增長率下降的原因：資源、環(huán)境等因素對(duì)人口增長的阻滯作用,且阻滯作用隨人口數(shù)量增加而變大假設(shè)r~固有增長率(x很小時(shí))xm~人口容量（資源、環(huán)境能容納的最大數(shù)量）r是x的減函數(shù)dx/dtx0xmxm/2tx0x增加先快后慢xmx0xm/2阻滯增長模型(Logistic模型)指數(shù)增長模型Logistic模型的應(yīng)用經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域中的增長規(guī)律(耐用消費(fèi)品的售量).種群數(shù)量模型(魚塘中的魚群,森林中的樹木).S形曲線考慮年齡結(jié)構(gòu)和生育模式的人口模型年齡分布對(duì)于人口預(yù)測(cè)的重要性.

只考慮自然出生與死亡，不計(jì)遷移.人口發(fā)展方程F(r,t)~人口分布函數(shù)(年齡<r的人口)p(r,t)~人口密度函數(shù)N(t)~人口總數(shù)rm()~最高年齡人口發(fā)展方程一階偏微分方程人口發(fā)展方程0tr定解條件已知函數(shù)(人口調(diào)查)生育率(控制手段)生育率f(t)

的分解~總和生育率h~生育模式0人口控制系統(tǒng)~總和生育率——控制生育的多少~生育模式——控制生育的早晚和疏密

正反饋系統(tǒng)

滯后作用很大輸入輸入輸出反饋人口指數(shù)1）人口總數(shù)2）平均年齡3）平均壽命t時(shí)刻出生的人，死亡率按(r,t)計(jì)算的平均存活時(shí)間4）老齡化指數(shù)控制生育率控制N(t)不過大控制(t)不過高第六章代數(shù)方程與差分方程模型6.3原子彈爆炸的能量估計(jì)1945年7月16日美國科學(xué)家在新墨西哥州阿拉莫戈多沙漠試爆了全球第一顆原子彈,震驚世界!當(dāng)時(shí)資料是保密的,無法準(zhǔn)確估計(jì)爆炸的威力.英國物理學(xué)家泰勒研究了兩年后美國公開的錄像帶,利用數(shù)學(xué)模型估計(jì)這次爆炸釋放的能量為19.2千噸.后來公布爆炸實(shí)際釋放的能量21千噸t(ms)r(m)t(ms)r(m)t(ms)r(m)t(ms)r(m)t(ms)r(m)0.1011.10.8034.21.5044.43.5361.115.0106.50.2419.90.9436.31.6546.03.8062.925.0130.00.3825.41.0838.91.7946.94.0764.334.0145.00.5228.81.2241.01.9348.74.3465.653.0175.00.6631.91.3642.83.2659.04.6167.362.0185.0泰勒測(cè)量：時(shí)刻t

所對(duì)應(yīng)的“蘑菇云”的半徑r原子彈爆炸的能量估計(jì)爆炸產(chǎn)生的沖擊波以爆炸點(diǎn)為中心呈球面向四周傳播,爆炸的能量越大，在一定時(shí)刻沖擊波傳播得越遠(yuǎn).沖擊波由爆炸形成的“蘑菇云”反映出來.泰勒用量綱分析方法建立數(shù)學(xué)模型,輔以小型試驗(yàn),又利用測(cè)量數(shù)據(jù)對(duì)爆炸的能量進(jìn)行估計(jì).物理量的量綱長度l的量綱記L=[l]質(zhì)量m的量綱記M=[m]時(shí)間t的量綱記T=[t]動(dòng)力學(xué)中基本量綱

L,M,T速度v的量綱[v]=LT-1導(dǎo)出量綱加速度a的量綱[a]=LT-2力f的量綱[f]=LMT-2引力常數(shù)k的量綱[k]對(duì)無量綱量，[]=1(=L0M0T0)量綱齊次原則=[f][l]2[m]-2=L3M-1T-2在經(jīng)驗(yàn)和實(shí)驗(yàn)的基礎(chǔ)上利用物理定律的量綱齊次原則,確定各物理量之間的關(guān)系.量綱齊次原則等式兩端的量綱一致量綱分析~利用量綱齊次原則尋求物理量之間的關(guān)系.例：?jiǎn)螖[運(yùn)動(dòng)lmgm求擺動(dòng)周期t的表達(dá)式設(shè)物理量t,m,l,g之間有關(guān)系式1,2,3為待定系數(shù)，為無量綱量(1)的量綱表達(dá)式與對(duì)比對(duì)x,y,z的兩組量測(cè)值x1,y1,z1

和x2,y2,z2,

p1=f(x1,y1,z1),p2=f(x2,y2,z2)為什么假設(shè)這種形式?設(shè)p=f(x,y,z)x,y,z的量綱單位縮小a,b,c倍p=f(x,y,z)的形式為量綱齊次原則單擺運(yùn)動(dòng)單擺運(yùn)動(dòng)中t,m,l,g的一般表達(dá)式y(tǒng)1~y4為待定常數(shù),為無量綱量基本解設(shè)f(q1,q2,,qm)=0

ys

=(ys1,ys2,…,ysm)T,s=1,2,…,m-rF(

1,

2,…,

m-r)=0與

f(q1,q2,,qm)=0等價(jià),F未定.Pi定理(Buckingham)是與量綱單位無關(guān)的物理定律，X1,X2,Xn

是基本量綱,nm,q1,q2,qm

的量綱可表為量綱矩陣記作線性齊次方程組有m-r個(gè)基本解，記作為m-r個(gè)相互獨(dú)立的無量綱量,且則記爆炸能量為E，將“蘑菇云”近似看成一個(gè)球形.時(shí)刻t球的半徑為rt,E空氣密度ρ,大氣壓強(qiáng)P基本量綱：L,M,T

原子彈爆炸能量估計(jì)的量綱分析方法建模

r與哪些因素有關(guān)？

rt

E

ρ

P

LMT量綱矩陣

y=(1,-2/5,-1/5,1/5,0)

y=(0,6/5,-2/5,-3/5,1)T原子彈爆炸能量估計(jì)的量綱分析方法建模

有2個(gè)基本解兩個(gè)無量綱量原子彈爆炸能量估計(jì)的數(shù)值計(jì)算時(shí)間t非常短能量E非常大泰勒根據(jù)一些小型爆炸試驗(yàn)的數(shù)據(jù)建議用r,t

的實(shí)際數(shù)據(jù)做平均空氣密度=1.25(kg/m3)1千噸(TNT能量)=4.184*1012焦?fàn)?/p>

E=19.7957(千噸)E=8.2825×1013(焦耳)實(shí)際值21千噸泰勒的計(jì)算tr最小二乘法擬合r=atbE=8.0276×1013

(焦耳)即19.2千噸取y平均值得c=6.9038模型檢驗(yàn)b=0.4058~2/5量綱分析法的評(píng)注

物理量的選取

基本量綱的選取

基本解的構(gòu)造

結(jié)果的局限性(…)=0中包括哪些物理量是至關(guān)重要的.基本量綱個(gè)數(shù)n;選哪些基本量綱.有目的地構(gòu)造Ay=0的基本解.

方法的普適性函數(shù)F和無量綱量未定.不需要特定的專業(yè)知識(shí).解：第七章穩(wěn)定性模型一階微分方程的平衡點(diǎn)及其穩(wěn)定性一階非線性（自治）方程F(x)=0的根x0~微分方程的平衡點(diǎn)設(shè)x(t)是方程的解，若從x0某鄰域的任一初值出發(fā)，都有稱x0是方程(1)的穩(wěn)定平衡點(diǎn)不求x(t),判斷x0穩(wěn)定性的方法——直接法(1)的近似線性方程線性常系數(shù)微分方程組的平衡點(diǎn)及其穩(wěn)定性平衡點(diǎn)P0(x0,y0)=(0,0)~代數(shù)方程的根若從P0某鄰域的任一初值出發(fā)，都有稱P0是微分方程的穩(wěn)定平衡點(diǎn)記系數(shù)矩陣特征方程特征根線性常系數(shù)微分方程組的平衡點(diǎn)及其穩(wěn)定性特征根平衡點(diǎn)P0(0,0)微分方程一般解形式平衡點(diǎn)P0(0,0)穩(wěn)定平衡點(diǎn)P0(0,0)不穩(wěn)定1,2為負(fù)數(shù)或有負(fù)實(shí)部p>0且q>0p<0或q<0(二階)非線性(自治)方程的平衡點(diǎn)及其穩(wěn)定性平衡點(diǎn)P0(x10,x20)~代數(shù)方程的根若從P0某鄰域的任一初值出發(fā)，都有稱P0是微分方程的穩(wěn)定平衡點(diǎn)判斷P0(x10,x20)穩(wěn)定性的方法——直接法(1)的近似線性方程平衡點(diǎn)P0穩(wěn)定(對(duì)2,1)p>0且q>0平衡點(diǎn)P0不穩(wěn)定(對(duì)2,1)p<0或q<0一階微分方程的平衡點(diǎn)及其穩(wěn)定性一階非線性自治(右端不含t)方程F(x)=0的根x0~微分方程的平衡點(diǎn)設(shè)x(t)是方程的解，若從x0某鄰域的任一初值出發(fā)，都有稱x0是方程(1)的穩(wěn)定平衡點(diǎn).不求x(t),判斷x0穩(wěn)定性的方法——直接法(1)的近似線性方程7.3種群的相互競(jìng)爭(zhēng)

一個(gè)自然環(huán)境中有兩個(gè)種群生存，它們之間的關(guān)系：相互競(jìng)爭(zhēng)；相互依存；弱肉強(qiáng)食.

當(dāng)兩個(gè)種群為爭(zhēng)奪同一食物來源和生存空間相互競(jìng)爭(zhēng)時(shí)，常見的結(jié)局是，競(jìng)爭(zhēng)力弱的滅絕，競(jìng)爭(zhēng)力強(qiáng)的達(dá)到環(huán)境容許的最大容量.

建立數(shù)學(xué)模型描述兩個(gè)種群相互競(jìng)爭(zhēng)的過程，分析產(chǎn)生這種結(jié)局的條件.經(jīng)過自然界的長期演變，今天看到的只是結(jié)局.模型假設(shè)

有甲乙兩個(gè)種群，它們獨(dú)自生存時(shí)數(shù)量變化均服從Logistic規(guī)律;

兩種群在一起生存時(shí)，乙對(duì)甲增長的阻滯作用與乙的數(shù)量成正比;甲對(duì)乙有同樣的作用.對(duì)于消耗甲的資源而言，乙(相對(duì)于N2)是甲(相對(duì)于N1)的1倍.對(duì)甲增長的阻滯作用，乙大于甲.乙的競(jìng)爭(zhēng)力強(qiáng)模型模型分析(平衡點(diǎn)及其穩(wěn)定性)二階非線性自治方程的平衡點(diǎn)及其穩(wěn)定性平衡點(diǎn)P0(x10,x20)~代數(shù)方程的根.若從P0某鄰域的任一初值出發(fā)，都有稱P0是微分方程的穩(wěn)定平衡點(diǎn).模型判斷P0(x10,x20)穩(wěn)定性的方法——直接法(1)的近似線性方程平衡點(diǎn)P0穩(wěn)定(對(duì)(2),(1))p>0且q>0平衡點(diǎn)P0不穩(wěn)定(對(duì)(2),(1))p<0或q<0僅當(dāng)1,2<1或1,2>1時(shí)，P3才有意義.模型平衡點(diǎn)穩(wěn)定性分析平衡點(diǎn)Pi穩(wěn)定條件：p>0且q>0種群競(jìng)爭(zhēng)模型的平衡點(diǎn)及穩(wěn)定性不穩(wěn)定平衡點(diǎn)2>1,1>1,P1,P2是一個(gè)種群存活而另一滅絕的平衡點(diǎn)P3是兩種群共存的平衡點(diǎn)1<1,2<1P1穩(wěn)定的條件1<1?1<12<1穩(wěn)定條件S1S2S3平衡點(diǎn)穩(wěn)定性的相軌線分析從任意點(diǎn)出發(fā)(t=0)的相軌線都趨向P1(N1,0)(t)P1(N1,0)是穩(wěn)定平衡點(diǎn)(1)2>1,

1<1tx1,x2tx1,x2tx1,x20=0=0P1P2有相軌線趨向P1有相軌線趨向P2P1穩(wěn)定的條件：直接法2>1P1局部穩(wěn)定0(3)1<1,2<10(2)1>1,2<10(4)1>1,2>1加上與(4)相區(qū)別的1<1

P2穩(wěn)定

P3穩(wěn)定P1全局穩(wěn)定P2局部穩(wěn)定結(jié)果解釋對(duì)于消耗甲的資源而言，乙(相對(duì)于N2)是甲(相對(duì)于N1)的1倍.對(duì)甲增長的阻滯作用，乙小于甲乙的競(jìng)爭(zhēng)力弱.

P1穩(wěn)定的條件：1<1,2>12>1甲的競(jìng)爭(zhēng)力強(qiáng)甲達(dá)到最大容量，乙滅絕

P2穩(wěn)定的條件：1>1,2<1

P3穩(wěn)定的條件：1<1,2<1通常11/2，P3穩(wěn)定條件不滿足.7.4種群的相互依存種群甲可以獨(dú)自生存，種群乙不能獨(dú)自生存；甲乙一起生存時(shí)相互提供食物、促進(jìn)增長.自然界中處于同一環(huán)境中的兩個(gè)種群相互依存而共生.受粉的植物與授粉的昆蟲.以植物花粉為食物的昆蟲不能離開植物獨(dú)立生存，而昆蟲的授粉又可以提高植物的增長率.人類與人工飼養(yǎng)的牲畜.模型假設(shè)甲可以獨(dú)自生存，數(shù)量變化服從Logistic規(guī)律;

甲乙一起生存時(shí)乙為甲提供食物、促進(jìn)增長.乙不能獨(dú)自生存；甲乙一起生存時(shí)甲為乙提供食物、促進(jìn)增長；乙的增長又受到本身的阻滯作用(服從Logistic規(guī)律).模型乙為甲提供食物是甲消耗的1倍甲為乙提供食物是乙消耗的2倍種群依存模型的平衡點(diǎn)及穩(wěn)定性P2是甲乙相互依存而共生的平衡點(diǎn)不穩(wěn)定穩(wěn)定條件平衡點(diǎn)平衡點(diǎn)P2穩(wěn)定性的相軌線0

1<1,2>1,12<1

P2穩(wěn)定12<1~2>1前提下P2存在的必要條件.結(jié)果解釋2>1~甲必須為乙提供足夠的食物.1<1~為在2>1條件下12<1成立,1必須足夠小——限制乙向甲提供食物，防止甲過分增長.

P2穩(wěn)定(甲乙相互依存)條件：甲可以獨(dú)自生存乙不能獨(dú)立生存乙為甲提供食物是甲消耗的1倍.甲為乙提供食物是乙消耗的2倍.1<1,2>1,12<1甲乙兩種群的相互依存還有其它形式種群甲可以獨(dú)自生存，種群乙不能獨(dú)自生存；甲乙一起生存時(shí)相互提供食物、促進(jìn)增長.甲乙均可以獨(dú)自生存；甲乙一起生存時(shí)相互提供食物、促進(jìn)增長.甲乙均不能獨(dú)自生存；甲乙一起生存時(shí)相互提供食物、促進(jìn)增長.種群的相互依存7.5食餌-捕食者模型(種群的弱肉強(qiáng)食)

種群甲靠豐富的天然資源生存，種群乙靠捕食甲為生，形成食餌-捕食者系統(tǒng)，如食用魚和鯊魚，美洲兔和山貓，害蟲和益蟲.

模型的歷史背景——一次世界大戰(zhàn)期間地中海漁業(yè)的捕撈量下降(食用魚和鯊魚同時(shí)捕撈)，但是其中鯊魚的比例卻增加，為什么？食餌(甲)數(shù)量x(t),

捕食者(乙)數(shù)量y(t)甲獨(dú)立生存的增長率r乙使甲的增長率減小，減小量與y成正比乙獨(dú)立生存的死亡率d甲使乙的死亡率減小，減小量與x成正比方程(1),(2)無解析解食餌-捕食者模型(Volterra)a~捕食者掠取食餌能力b~食餌供養(yǎng)捕食者能力Volterra模型的平衡點(diǎn)及其穩(wěn)定性平衡點(diǎn)穩(wěn)定性分析P點(diǎn)穩(wěn)定性不能用近似線性方程分析p=0,q>0P:臨界狀態(tài)q<0P′不穩(wěn)定計(jì)算結(jié)果（數(shù)值，圖形）x(t),y(t)是周期函數(shù)，相圖(x,y)是封閉曲線觀察，猜測(cè)x(t),y(t)的周期約為9.6xmax65.5,xmin6,ymax20.5,ymin3.9用數(shù)值積分可算出x(t),y(t)一周期的平均值：x(t)的平均值約為25,y(t)的平均值約為10.食餌-捕食者模型(Volterra)消去dt用相軌線分析點(diǎn)穩(wěn)定性c由初始條件確定取指數(shù)x0fmf(x)x0g(y)gmy0y0在相平面上討論相軌線的圖形用相軌線分析點(diǎn)穩(wěn)定性相軌線時(shí)無相軌線以下設(shè)y2y1xQ3Q4qy1y2x1x2pyy0xx0P0x1x2Q1Q2Q1(x1,y0),Q2(x2,y0)Q3(x,y1),Q4(x,y2)相軌線退化為P點(diǎn)

存在x1<x0<x2,使f(x1)=f(x2)=p存在y1<y0<y2,使g(y1)=g(y2)=q相軌線是封閉曲線族xQ3Q4f(x)xx0fm0g(y)gmy0y0相軌線P~中心x是(x1,x2)內(nèi)任意點(diǎn)相軌線是封閉曲線x(t),y(t)是周期函數(shù)(周期記T)求x(t),y(t)在一周期的平均值軌線中心用相軌線分析點(diǎn)穩(wěn)定性?T2T3T4T1PT1

T2

T3

T4x(t)的“相位”領(lǐng)先y(t)模型解釋初值相軌線的方向模型解釋r~食餌增長率d~捕食者死亡率b~食餌供養(yǎng)捕食者能力捕食者數(shù)量食餌數(shù)量Pr/ad/ba~捕食者掠取食餌能力捕食者數(shù)量與r成正比,與a成反比食餌數(shù)量與d成正比,與b成反比模型解釋一次大戰(zhàn)期間地中海漁業(yè)的捕撈量下降，但是其中鯊魚的比例卻在增加，為什么？rr-e1,dd+e1捕撈戰(zhàn)時(shí)捕撈rr-e2,dd+e2,e2<e1???xy食餌(魚)減少，捕食者(鯊魚)增加自然環(huán)境還表明：對(duì)害蟲(食餌)—益蟲(捕食者)系統(tǒng)，使用滅兩種蟲的殺蟲劑,會(huì)使害蟲增加，益蟲減少.食餌-捕食者模型(Volterra)的缺點(diǎn)與改進(jìn)Volterra模型改寫多數(shù)食餌—捕食者系統(tǒng)觀察不到周期震蕩,而是趨向某個(gè)平衡狀態(tài),即存在穩(wěn)定平衡點(diǎn).加Logistic項(xiàng)有穩(wěn)定平衡點(diǎn)

相軌線是封閉曲線，結(jié)構(gòu)不穩(wěn)定——一旦離開某一條閉軌線，就進(jìn)入另一條閉軌線，不恢復(fù)原狀.

自然界存在的周期性平衡生態(tài)系統(tǒng)是結(jié)構(gòu)穩(wěn)定的，即偏離周期軌道后，內(nèi)部制約使系統(tǒng)恢復(fù)原狀.食餌-捕食者模型(Volterra)的缺點(diǎn)與改進(jìn)r1=1,N1=20,1=0.1,w=0.2,r2=0.5,2=0.18相軌線趨向極限環(huán)結(jié)構(gòu)穩(wěn)定兩種群模型的幾種形式相互競(jìng)爭(zhēng)相互依存弱肉強(qiáng)食解解第八章離散模型離散模型離散模型：代數(shù)方程與差分方程（第6章）、整數(shù)規(guī)劃（第4章）、圖論、對(duì)策論、網(wǎng)絡(luò)流、…

應(yīng)用較廣,是分析社會(huì)經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的有力工具.

只用到代數(shù)、集合及(少許)圖論的知識(shí).8.1層次分析模型背景

日常工作、生活中的決策問題.

涉及經(jīng)濟(jì)、社會(huì)等方面的因素.

作比較判斷時(shí)人的主觀選擇起相當(dāng)大的作用，各因素的重要性難以量化.

Saaty于20世紀(jì)70年代提出層次分析法

AHP(AnalyticHierarchyProcess)

AHP——一種定性與定量相結(jié)合的、系統(tǒng)化、層次化的分析方法目標(biāo)層O(選擇旅游地)P2黃山P1桂林P3北戴河準(zhǔn)則層方案層C3居住C1景色C2費(fèi)用C4飲食C5旅途一.層次分析法的基本步驟例.選擇旅游地如何在3個(gè)目的地中按照景色、費(fèi)用、居住條件等因素選擇.“選擇旅游地”思維過程的歸納

將決策問題分為3個(gè)層次：目標(biāo)層O，準(zhǔn)則層C，方案層P；每層有若干元素，

各層元素間的關(guān)系用相連的直線表示.

通過相互比較確定各準(zhǔn)則對(duì)目標(biāo)的權(quán)重，及各方案對(duì)每一準(zhǔn)則的權(quán)重.將上述兩組權(quán)重進(jìn)行綜合，確定各方案對(duì)目標(biāo)的權(quán)重.層次分析法將定性分析與定量分析結(jié)合起來完成以上步驟，給出決策問題的定量結(jié)果.層次分析法的基本步驟成對(duì)比較陣和權(quán)向量元素之間兩兩對(duì)比，對(duì)比采用相對(duì)尺度設(shè)要比較各準(zhǔn)則C1,C2,…,Cn對(duì)目標(biāo)O的重要性A~成對(duì)比較陣A是正互反陣要由A確定C1,…,Cn對(duì)O的權(quán)向量選擇旅游地成對(duì)比較的不一致情況一致比較允許不一致，但要確定不一致的允許范圍考察完全一致的情況成對(duì)比較陣和權(quán)向量不一致成對(duì)比較完全一致的情況滿足的正互反陣A稱一致陣，如

A的秩為1，A的唯一非零特征根為n

A的任一列向量是對(duì)應(yīng)于n的特征向量

A的歸一化特征向量可作為權(quán)向量一致陣性質(zhì)成對(duì)比較陣和權(quán)向量對(duì)于不一致(但在允許范圍內(nèi))的成對(duì)比較陣A,建議用對(duì)應(yīng)于最大特征根的特征向量作為權(quán)向量w，即wAwl=2468比較尺度aij

Saaty等人提出1~9尺度——aij

取值1,2,…9及其互反數(shù)1,1/2,,…,1/9尺度13579相同稍強(qiáng)強(qiáng)明顯強(qiáng)絕對(duì)強(qiáng)aij=1,1/2,,…,1/9的重要性與上面相反

心理學(xué)家認(rèn)為成對(duì)比較的因素不宜超過9個(gè).用1~3,1~5,…,1~17,…,1p~9p

(p=2,3,4,5),d+0.1~d+0.9(d=1,2,3,4)等27種比較尺度對(duì)若干實(shí)例構(gòu)造成對(duì)比較陣，算出權(quán)向量，與實(shí)際對(duì)比發(fā)現(xiàn)，1~9尺度較優(yōu).

便于定性到定量的轉(zhuǎn)化：成對(duì)比較陣和權(quán)向量一致性檢驗(yàn)對(duì)A確定不一致的允許范圍已知：n階一致陣的唯一非零特征根為n可證：n階正互反陣最大特征根

n,且

=n時(shí)為一致陣定義一致性指標(biāo):CI越大，不一致越嚴(yán)重RI000.580.901.121.241.321.411.451.491.51

n1234567891110為衡量CI的大小，引入隨機(jī)一致性指標(biāo)RI——隨機(jī)模擬得到aij,形成A，計(jì)算CI即得RI.定義一致性比率CR=CI/RI當(dāng)CR<0.1時(shí)通過一致性檢驗(yàn)Saaty的結(jié)果如下“選擇旅游地”中準(zhǔn)則層對(duì)目標(biāo)的權(quán)向量及一致性檢驗(yàn)準(zhǔn)則層對(duì)目標(biāo)的成對(duì)比較陣最大特征根=5.073權(quán)向量(特征向量)w=(0.263,0.475,0.055,0.090,0.110)T一致性指標(biāo)隨機(jī)一致性指標(biāo)RI=1.12(查表)一致性比率CR=0.018/1.12=0.016<0.1通過一致性檢驗(yàn)!組合權(quán)向量記第2層（準(zhǔn)則）對(duì)第1層（目標(biāo)）的權(quán)向量為同樣求第3層(方案)對(duì)第2層每一元素(準(zhǔn)則)的權(quán)向量方案層對(duì)C1(景色)的成對(duì)比較陣方案層對(duì)C2(費(fèi)用)的成對(duì)比較陣…Cn…Bn最大特征根1

2

…

n

權(quán)向量w1(3)w2(3)…

wn(3)第3層對(duì)第2層的計(jì)算結(jié)果k10.5950.2770.1293.0050.0030.00100.00503.0020.6820.2360.082230.1420.4290.42933.0090.1750.1930.633430.6680.1660.1665組合權(quán)向量RI=0.58(n=3),

CIk

均可通過一致性檢驗(yàn)w(2)

0.2630.4750.0550.0900.110方案P1對(duì)目標(biāo)的組合權(quán)重為0.5950.263+…=0.300方案層對(duì)目標(biāo)的組合權(quán)向量為(0.300,0.246,0.456)T組合權(quán)向量第1層O第2層C1,…,Cn第3層P1,…,Pm第2層對(duì)第1層的權(quán)向量第3層對(duì)第2層各元素的權(quán)向量構(gòu)造矩陣則第3層對(duì)第1層的組合權(quán)向量第s層對(duì)第1層的組合權(quán)向量其中W(p)是由第p層對(duì)第p-1層權(quán)向量組成的矩陣層次分析法的基本步驟1）建立層次分析結(jié)構(gòu)模型深入分析實(shí)際問題，將有關(guān)因素自上而下分層（目標(biāo)—準(zhǔn)則或指標(biāo)—方案或?qū)ο螅?，上層受下層影響，而層?nèi)各因素基本上相對(duì)獨(dú)立.2）構(gòu)造成對(duì)比較陣用成對(duì)比較法和1~9尺度，構(gòu)造各層對(duì)上一層每一因素的成對(duì)比較陣.3）計(jì)算權(quán)向量并作一致性檢驗(yàn)對(duì)每一成對(duì)比較陣計(jì)算最大特征根和特征向量，作一致性檢驗(yàn)，若通過，則特征向量為權(quán)向量.4）計(jì)算組合權(quán)向量（作組合一致性檢驗(yàn)*）組合權(quán)向量可作為決策的定量依據(jù).正互反陣最大特征根和特征向量的簡(jiǎn)化計(jì)算

精確計(jì)算復(fù)雜且不必要.

簡(jiǎn)化計(jì)算的思路——一致陣的任一列向量都是特征向量，一致性尚好的正互反陣的列向量都應(yīng)近似特征向量，可取其某種意義下的平均.和法——取列向量的算術(shù)平均列向量歸一化算術(shù)平均精確結(jié)果:w=(0.588,0.322,0.090)T,=3.010第十一章博弈模型11.5效益的合理分配例甲乙丙三人合作經(jīng)商，若甲乙合作獲利7元，甲丙合作獲利5元，乙丙合作獲利4元，三人合作獲利11元.又知每人單干獲利1元.問三人合作時(shí)如何分配獲利？記甲乙丙三人分配為解不唯一(5，3，3)(4，4，3)(5，4，2)……(1)

Shapley合作對(duì)策[I,v]~n人合作對(duì)策，v~特征函數(shù)~n人從v(I)得到的分配，滿足v(s)~子集s的獲利公理化方法s~子集s中的元素?cái)?shù)目，Si~包含i的所有子集~由s決定的“貢獻(xiàn)”的權(quán)重Shapley值~i對(duì)合作s的“貢獻(xiàn)”Shapley合作對(duì)策三人(I={1,2,3})經(jīng)商中甲的分配x1的計(jì)算1/31/61/61/311213I17511011416471/312/37/3x1=13/3類似可得x2=23/6,x3=17/61223合作對(duì)策的應(yīng)用污水處理費(fèi)用的合理分擔(dān)20km38km河流三城鎮(zhèn)地理位置示意圖123污水處理，排入河流.三城鎮(zhèn)可單獨(dú)建處理廠，或聯(lián)合建廠(用管道將污水由上游城鎮(zhèn)送往下游城鎮(zhèn)).Q1=5Q3=5Q2=3Q~污水量，L~管道長度建廠費(fèi)用P1=73Q0.712管道費(fèi)用P2=0.66Q0.51L污水處理的5種方案1）單獨(dú)建廠總投資2）1,2合作3）2,3合作4）1,3合作總投資總投資合作不會(huì)實(shí)現(xiàn)5）三城合作總投資D5最小,應(yīng)聯(lián)合建廠建廠費(fèi)：d1=73(5+3+5)0.712=45312管道費(fèi)：d2=0.6650.5120=3023管道費(fèi)：d3=0.66(5+3)0.5138=73D5城3建議：d1按5:3:5分擔(dān),d2,d3由城1,2擔(dān)負(fù)城2建議：d3由城1,2按5:3分擔(dān),d2由城1擔(dān)負(fù)城1計(jì)算：城3分擔(dān)d15/13=174<C(3),

城2分擔(dān)d13/13+d33/8

=132<C(2),城1分擔(dān)d15/13+d35/8+d2

=250>C(1)不同意!D5如何分擔(dān)？特征函數(shù)v(s)~聯(lián)合(集s)建廠比單獨(dú)建廠節(jié)約的投資~三城從節(jié)約投資v(I)中得到的分配Shapley合作對(duì)策計(jì)算城1從節(jié)約投資中得到的分配x111213I0400640002504003912