2023年高考數(shù)學試題分類(數(shù)列極限)

PAGEPAGE134.(廣東)的值為(A)A.–1B.0C.D.117.(廣東)(12分)成公比為2的等比數(shù)列(也成等比數(shù)列.求的值.14．〔遼寧〕=.8.〔天津〕數(shù)列，那么“對任意的，點都在直線上〞是“為等差數(shù)列〞的BA.必要而不充分條件 B.充分而不必要條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件21.〔天津〕〔本小題總分值12分〕定義在R上的函數(shù)和數(shù)列滿足以下條件：，，其中a為常數(shù)，k為非零常數(shù)?！?〕令，證明數(shù)列是等比數(shù)列；〔2〕求數(shù)列的通項公式；〔3〕當時，求。21.本小題主要考查函數(shù)、數(shù)列、等比數(shù)列和極限等概念，考查靈巧應用數(shù)學知識分析問題和解決問題的能力，總分值12分。〔1〕證明：由，可得。由數(shù)學歸納法可證。由題設條件，當時因此，數(shù)列是一個公比為k的等比數(shù)列?！?〕解：由〔1〕知，當時，當時，。而所以，當時。上式對也成立。所以，數(shù)列的通項公式為當時。上式對也成立，所以，數(shù)列的通項公式為，〔2〕解：當時(3)〔浙江〕等差數(shù)列的公差為2,假設成等比數(shù)列,那么=(A)–4(B)–6(C)–8(D)–10〔22〕〔浙江〕〔此題總分值14分〕如圖，ΔOBC的在個頂點坐標分別為〔0,0〕、〔1,0〕、〔0,2〕,設P為線段BC的中點,P為線段CO的中點,P3為線段OP1的中點,對于每一個正整數(shù)n,Pn+3為線段PnPn+1的中點,令Pn的坐標為(xn,yn),〔Ⅰ〕求及;〔Ⅱ〕證明(Ⅲ)假設記證明是等比數(shù)列.〔22〕〔總分值14分〕解：(Ⅰ)因為，所以，又由題意可知∴==∴為常數(shù)列?！?Ⅱ)將等式兩邊除以2，得又∵∴ 〔Ⅲ〕∵==又∵∴是公比為的等比數(shù)列。〔14〕〔北京〕定義“等和數(shù)列〞：在一個數(shù)列中，如果每一項與它的后一項的和都為同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列叫做等和數(shù)列，這個常數(shù)叫做該數(shù)列的公和。數(shù)列是等和數(shù)列，且，公和為5，那么的值為______________，這個數(shù)列的前n項和的計算公式為________________3當n為偶數(shù)時，；當n為奇數(shù)時，〔18〕〔北京〕〔本小題總分值14分〕函數(shù)是定義在［0，1］上的增函數(shù)，滿足且，在每個區(qū)間〔1，2……〕上，的圖象都是斜率為同一常數(shù)k的直線的一局部。〔I〕求及，的值，并歸納出的表達式〔II〕設直線，，x軸及的圖象圍成的矩形的面積為〔1，2……〕，記，求的表達式，并寫出其定義域和最小值〔18〕本小題主要考查函數(shù)、數(shù)列等根本知識，考查分析問題和解決問題的能力?？偡种?4分。解：〔I〕由，得由及，得同理，歸納得〔II〕當時所以是首項為，公比為的等比數(shù)列所以的定義域為1，當時取得最小值9．〔福建〕假設(1-2x)9展開式的第3項為288，那么的值是 〔〕 A．2 B．1 C． D．20．〔福建〕〔本小題總分值12分〕某企業(yè)2023年的純利潤為500萬元，因設備老化等原因，企業(yè)的生產(chǎn)能力將逐年下降.假設不能進行技術改造，預測從今年起每年比上一年純利潤減少20萬元，今年初該企業(yè)一次性投入資金600萬元進行技術改造，預測在未扣除技術改造資金的情況下，第n年〔今年為第一年〕的利潤為500(1+)萬元〔n為正整數(shù)〕.〔Ⅰ〕設從今年起的前n年，假設該企業(yè)不進行技術改造的累計純利潤為An萬元，進行技術改造后的累計純利潤為Bn萬元〔須扣除技術改造資金〕，求An、Bn的表達式；〔Ⅱ〕依上述預測，從今年起該企業(yè)至少經(jīng)過多少年，進行技術改造后的累計純利潤超過不進行技術改造的累計純利潤？20.本小題主要考查建立函數(shù)關系式、數(shù)列求和、不等式的等根底知識，考查運用數(shù)學知識解決實際問題的能力.總分值12分.解：〔Ⅰ〕依題設，An=(500－20)+(500－40)+…+(500－20n)=490n－10n2；Bn=500[(1+)+(1+)+…+(1+)]－600=500n－－100.〔Ⅱ〕Bn－An=(500n－－100)－(490n－10n2)=10n2+10n－－100=10[n(n+1)－－10].因為函數(shù)y=x(x+1)－－10在〔0，+∞〕上為增函數(shù)，當1≤n≤3時，n(n+1)－－10≤12－－10<0；當n≥4時，n(n+1)－－10≥20－－10>0.∴僅當n≥4時，Bn>An.答：至少經(jīng)過4年，該企業(yè)進行技術改造后的累計純利潤超過不進行技術改造的累計純利潤.8．〔湖北〕數(shù)列{}的前n項和其中a、b是非零常數(shù)，那么存在數(shù)列{}、{}使得 〔C〕 A．為等差數(shù)列，{}為等比數(shù)列 B．和{}都為等差數(shù)列 C．為等差數(shù)列，{}都為等比數(shù)列 D．和{}都為等比數(shù)列22．〔湖北〕〔本小題總分值14分〕 〔I〕數(shù)列極限存在且大于零，求〔將A用a表示〕；〔II〕設〔III〕假設都成立，求a的取值范圍.22．本小題主要考查數(shù)列、數(shù)列極限的概念和數(shù)學歸納法，考查靈巧運用數(shù)學知識分析問題和解決問題的能力，總分值14分. 解：〔I〕由 〔II〕 〔III〕 〔i〕當n=1時結論成立〔已驗證〕. 〔ii〕假設當 故只須證明 即n=k+1時結論成立. 根據(jù)〔i〕和〔ii〕可知結論對一切正整數(shù)都成立. 故8．〔湖南〕數(shù)列 〔C〕 A． B． C． D．11．〔湖南〕農(nóng)民收入由工資性收入和其它收入兩局部構成。2023年某地區(qū)農(nóng)民人均收入為3150元(其中工資性收入為1800元，其它收入為1350元),預計該地區(qū)自2023年起的5年內，農(nóng)民的工資性收入將以每年6%的年增長率增長，其它收入每年增加160元。根據(jù)以上數(shù)據(jù)，2023年該地區(qū)農(nóng)民人均收入介于 〔C〕 A．4200元~4400元 B．4400元~4600元 C．4600元~4800元 D．4800元~5000元22．〔湖南〕〔本小題總分值14分〕如圖，直線相交于點P.直線l1與x軸交于點P1，過點P1作x軸的垂線交直線l2于點Q1，過點Q1作y軸的垂線交直線l1于點P2，過點P2作x軸的垂線交直線l2于點Q2，…，這樣一直作下去，可得到一系列點P1、Q1、P2、Q2，…，點Pn〔n=1，2，…〕的橫坐標構成數(shù)列〔Ⅰ〕證明；〔Ⅱ〕求數(shù)列的通項公式；〔Ⅲ〕比擬的大小.22．〔Ⅰ〕證明：設點Pn的坐標是，由條件得點Qn、Pn+1的坐標分別是：由Pn+1在直線l1上，得所以即〔Ⅱ〕解：由題設知又由〔Ⅰ〕知，所以數(shù)列是首項為公比為的等比數(shù)列.從而〔Ⅲ〕解：由得點P的坐標為〔1，1〕.所以〔i〕當時，>1+9=10.而此時〔ii〕當時，<1+9=10.而此時15.〔江蘇〕設數(shù)列{an}的前n項和為Sn，Sn=(對于所有n≥1)，且a4=54，那么a1的數(shù)值是_______________________.220.〔江蘇〕設無窮等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn.(Ⅰ)假設首項EQ\F(3,2)，公差，求滿足的正整數(shù)k；(Ⅱ)求所有的無窮等差數(shù)列{an}，使得對于一切正整數(shù)k都有成立.20、解：〔1〕〔2〕或或4、〔上?！吃O等比數(shù)列{an}(n∈N)的公比q=－,且(a1+a3+a5+…+a2n-1)=,那么a1=.212、〔上?！臣僭O干個能唯一確定一個數(shù)列的量稱為該數(shù)列的“根本量〞.設{an}是公比為q的無窮等比數(shù)列,以下{an}的四組量中,一定能成為該數(shù)列“根本量〞的是第①、④組.(寫出所有符合要求的組號)①S1與S2;②a2與S3;③a1與an;④q與an.其中n為大于1的整數(shù),Sn為{an}的前n項和.22、〔上?！?此題總分值18分)第1小題總分值6分,第2小題總分值4分,第3小題總分值8分設P1(x1,y1),P1(x2,y2),…,Pn(xn,yn)(n≥3,n∈N)是二次曲線C上的點,且a1=2,a2=2,…,an=2構成了一個公差為d(d≠0)的等差數(shù)列,其中O是坐標原點.記Sn=a1+a2+…+an.假設C的方程為=1,n=3.點P1(3,0)及S3=255,求點P3的坐標；(只需寫出一個)(2)假設C的方程為(a>b>0).點P1(a,0),對于給定的自然數(shù)n,當公差d變化時,求Sn的最小值；.(3)請選定一條除橢圓外的二次曲線C及C上的一點P1,對于給定的自然數(shù)n,寫出符合條件的點P1,P2,…Pn存在的充要條件,并說明理由.22、【解】(1)a1=2=100,由S3=(a1+a3)=255,得a3=3=70.由,得∴點P3的坐標可以為(2,).(2)【解法一】原點O到二次曲線C:(a>b>0)上各點的最小距離為b,最大距離為a.∵a1=2=a2,∴d<0,且an=2=a2+(n－1)d≥b2,∴≤d<0.∵n≥3,>0∴Sn=na2+d在[,0)上遞增,故Sn的最小值為na2+·=.【解法二】對每個自然數(shù)k(2≤k≤n),由,解得y=∵0<y≤b2,得≤d<0∴≤d<0以下與解法一相同.(3)【解法一】假設雙曲線C:－=1,點P1(a,0),那么對于給定的n,點P1,P2,…Pn存在的充要條件是d>0.∵原點O到雙曲線C上各點的距離h∈[,+∞),且=a2,∴點P1,P2,…Pn存在當且僅當2>2,即d>0.【解法二】假設拋物線C:y2=2x,點P1(0,0),那么對于給定的n,點P1,P2,…Pn存在的充要條件是d>0.理由同上【解法三】假設圓C:(x－a)+y2=a2(a≠0),P1(0,0),那么對于給定的n,點P1,P2,…Pn存在的充要條件是0<d≤.∵原點O到圓C上各點的最小距離為0,最大距離為2,且=0,∴d>0且2=(n－1)d≤4a2.即0<d≤.9．〔重慶〕假設數(shù)列是等差數(shù)列，首項，那么使前n項和成立的最大自然數(shù)n是：〔B〕A4005B4006C4007D400815．〔重慶〕如圖P1是一塊半徑為1的半圓形紙板，在P1的左下端剪去一個半徑為的半圓后得到圖形P2，然后依次剪去一個更小半圓〔其直徑為前一個被剪掉半圓的半徑〕得圓形P3、P4、…..Pn…,記紙板Pn的面積為，那么P2P2P1P4P4P322．〔重慶〕〔本小題總分值14分〕