線性代數(shù)行列式展開演示文稿

線性代數(shù)行列式展開演示文稿目前一頁\總數(shù)二十頁\編于八點(diǎn)5/25/20231第一章行列式（優(yōu)選）線性代數(shù)行列式展開目前二頁\總數(shù)二十頁\編于八點(diǎn)5/25/20232第一章行列式2.行列式按某行(列)展開定理

證明思路:先證特殊情形再證一般情形；一般情形的證明通過轉(zhuǎn)化為特殊情形完成.證①先證ai1Ai1+ai2Ai2+…+ainAina1jA1j+a2jA2j+…+anjAnj目前三頁\總數(shù)二十頁\編于八點(diǎn)5/25/20233第一章行列式②次證

i行逐一向下交換經(jīng)n－i次至末行j列逐一向右交換經(jīng)n－j次至末列D目前四頁\總數(shù)二十頁\編于八點(diǎn)5/25/20234第一章行列式＝(－1)i＋jaijMij＝aijAij＝(－1)i＋jaijMnn￠由①目前五頁\總數(shù)二十頁\編于八點(diǎn)5/25/20235第一章行列式③最后證畢＝ai1Ai1+ai2Ai2+…+ainAin由②6目前六頁\總數(shù)二十頁\編于八點(diǎn)典型例題:例1.計算解:法1(化上三角形法)計算方法——D－＝57化上(下)三角形法;降階法.?！目前七頁\總數(shù)二十頁\編于八點(diǎn)5/25/20237第一章行列式法2(降階法)D＝57=(-1)1+1=(-1)3+1目前八頁\總數(shù)二十頁\編于八點(diǎn)5/25/20238第一章行列式利用行列式按行(列)展開定理計算行列式時,一般利用有較多0的行(列)展開,對一般的數(shù)字行列式,可將某行(列)化到只剩一非零元時降階處理.例：=10=(-1)2+2=5×(-1)2+39目前九頁\總數(shù)二十頁\編于八點(diǎn)例2計算行列式首列元素全是1,第一行乘以(－1)加到下面各行只能使下面元素變?yōu)?,其它元素卻沒有規(guī)律[分析]利用相鄰兩行元素較接近的特點(diǎn):從首行起,每行加其下行的(－1)倍,按首列展開后再使用該手法目前十頁\總數(shù)二十頁\編于八點(diǎn)5/25/202310第一章行列式解：目前十一頁\總數(shù)二十頁\編于八點(diǎn)5/25/202311第一章行列式例3計算4階范德蒙(Vandermonde)行列式

[分析]相鄰兩行元素較接近!末行始,后一行加上其前行的(-x1)倍,a11下面元素都變?yōu)?,按首列展開=(－1)n+1xn-2目前十二頁\總數(shù)二十頁\編于八點(diǎn)5/25/202312第一章行列式按首列展開后提取各列公因子得3階范德蒙行列式。再從末行始,后一行加上其前行的(－x2)倍,…解：目前十三頁\總數(shù)二十頁\編于八點(diǎn)5/25/202313第一章行列式=(x2－x1)(x3－x1)(x4－x1)(x3－x2)(x4－x2)(x4－x3)14目前十四頁\總數(shù)二十頁\編于八點(diǎn)可以證明n階“范德蒙行列式”目前十五頁\總數(shù)二十頁\編于八點(diǎn)5/25/202315第一章行列式3.推論:行列式某一行(列)的各元素與另一行(列)的對應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零.即第s行理解：第s行＝0ai1As1+ai2As2+…+ainAsn=0(i≠s)a1jA1t+a2jA2t+…+anjAnt=0(j≠t)目前十六頁\總數(shù)二十頁\編于八點(diǎn)5/25/202316第一章行列式綜合定理及推論得“代數(shù)余子式的重要性質(zhì)”:例4設(shè)＝0，計算A41+A42+A43+A44[=a31A41+a32A42+a33A43+a34A44]目前十七頁\總數(shù)二十頁\編于八點(diǎn)5/25/202317第一章行列式[分析]注意到第二、四行元素的特點(diǎn),利用行列式按某行展開定理的推論,將A31+A32+A33與A34+A35分別看成整體，列方程組求解。

解:，求(1)A31+A32+A33(2)A34+A35例5設(shè)a21A31+a22A32+a23A33+a24A34+

a25A35＝0a41A31+a42A32+a43A33+a44A34+

a45A35＝02(A31+A32+A33)+(

A34+A35)

＝0(A31+A32+A33)+2(

A34+A35)

＝0A31+A32+A33=0A34+A35=0目前十八頁\總數(shù)二十頁\編于八點(diǎn)解:D=例6設(shè)，計算A41+A42+A43+A44a31A41+a32A42+a33A43+a34A44＝0a41A41+a42A42+a43A43+a44A44＝D(－1)＝6A41+A42+2A43+3

A44＝02A41+2A42+3A43+4

A44＝D兩式相減得A41+A42+A43+A44＝D＝(－6)目前十九頁\總數(shù)二十頁\編于八點(diǎn)二、行列式按某k行(列)展開(k=1的特例即是一)1.幾個概念

(1)k階子式：任選k行k列k階行列式，記M(aij是行列式的一階子式)(2)k階子式的余子式：劃去k階子式所在的k行k列

n－k階行列式，記M￠(3)k階子式的代數(shù)余子式:

2.行列式按某k行(列)展開定理(拉普拉斯定理)：

的所有k階子式(共個)與各自的代數(shù)余子式的乘積之和等于D