線性代數(shù)同濟大學(xué)第七演示文稿

線性代數(shù)同濟大學(xué)第七版演示文稿目前一頁\總數(shù)二百七十一頁\編于八點優(yōu)選線性代數(shù)同濟大學(xué)第七版ppt目前二頁\總數(shù)二百七十一頁\編于八點3課程簡介《線性代數(shù)》是理工類和經(jīng)管類高等院校學(xué)生必修的一門重要基礎(chǔ)理論課程，它的基本概念、理論和方法具有較強的邏輯性、抽象性和廣泛的實用性。通過該課程的學(xué)習(xí)，使學(xué)生掌握該課程的基本理論和基本方法，且對學(xué)生的邏輯推理能力、抽象思維能力的培養(yǎng)以及數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提高也具有重要的作用。這些理論、方法和能力為一些后續(xù)課程的學(xué)習(xí)及在各個學(xué)科領(lǐng)域中進(jìn)行理論研究和實踐工作提供了必要的保證，因此該課程歷來受到各高等院校的高度重視。

根據(jù)成人的特點，在總結(jié)多年成人教育經(jīng)驗的基礎(chǔ)下，對《線性代數(shù)》的教學(xué)內(nèi)容作了認(rèn)真精選，敘述間明扼要，由潛入深、通俗易懂，力求體現(xiàn)學(xué)科的系統(tǒng)性、科學(xué)性和實用性的要求。在本課程中主要講解行列式、矩陣和線性方程組這三個線性代數(shù)的基本內(nèi)容。目前三頁\總數(shù)二百七十一頁\編于八點4主要內(nèi)容第一章行列式第二章矩陣第三章線性方程組目前四頁\總數(shù)二百七十一頁\編于八點5第一章 行列式行列式是學(xué)習(xí)線性代數(shù)的重要基礎(chǔ)知識。初等數(shù)學(xué)中曾講解二階、三階行列式的計算，以及用這工具來解二元、三元線性方程組。式，為此首先引入行列式的概念。在本書研究多元線性方程組的解，以及研究矩陣性質(zhì)時也要用到行列目前五頁\總數(shù)二百七十一頁\編于八點6第一章 行列式 第一節(jié)行列式的概念 第二節(jié)行列式的性質(zhì) 第三節(jié)行列式按行（列）展開 第四節(jié)行列式的計算舉例 第五節(jié)克萊姆法則主要內(nèi)容目前六頁\總數(shù)二百七十一頁\編于八點7第一節(jié) 行列式的概念一、行列式的概念為了更好掌握行列式的定義，我們采用數(shù)學(xué)歸納法的方法講解行列【定義

1.1】

【例

1.1】

要指出在本課程中如遇絕對值我們將會作出特別的說明。

式的定義。一階行列式由一個數(shù)組成，記為

目前七頁\總數(shù)二百七十一頁\編于八點8第一節(jié) 行列式的概念表示，且規(guī)定：其中，元素稱為行列式的第行第列的元素；稱為元素的代數(shù)余子式；而是行列【定義

1.2】二階行列式是由個元素排成2行2列，用素的余子式。式中劃去第行和第列元素，后所剩下的元素組成的行列式，稱為元目前八頁\總數(shù)二百七十一頁\編于八點9第一節(jié) 行列式的概念

則二階行列式

顯然在定義中，，而；

這與中學(xué)里所學(xué)的對角交叉相乘之差所得結(jié)果一致。目前九頁\總數(shù)二百七十一頁\編于八點10第一節(jié) 行列式的概念

【例

1.2】求二階行列式的值。解或目前十頁\總數(shù)二百七十一頁\編于八點11第一節(jié) 行列式的概念

【定義1.3】三階行列式是由個元素排成的3行3列，用表示，且規(guī)定：其中：目前十一頁\總數(shù)二百七十一頁\編于八點12第一節(jié) 行列式的概念

稱為的余子式，它是在三階行列式中劃去所在的行及列后按原次序所成的二階行列式，稱為的代數(shù)余子式；為的代數(shù)

余子式。

一般地，就是三階行列式中劃去所在的第行和第列剩下的元素按原次序構(gòu)成的二階行列式，稱為元素的余子式。

稱為元素的代數(shù)余子式。

目前十二頁\總數(shù)二百七十一頁\編于八點13第一節(jié) 行列式的概念

【例

1.3】解由上面定義，因為計算三階行列式的值。所以目前十三頁\總數(shù)二百七十一頁\編于八點14第一節(jié) 行列式的概念

從上面三階行列式的定義可以看到：我們在計算三階行列式時，是用其第一行的元素乘它的代數(shù)余子式之和，而代數(shù)余子式又是由二階行列式構(gòu)成的。用這一思想，我們可以計算四階、五階等更高階的矩陣。下面給出行列式的一般定義?！径x

1.4】當(dāng)時，，假設(shè)已定義了階行列式，階行列式是由個元素排成行和列組成，記為：目前十四頁\總數(shù)二百七十一頁\編于八點15第一節(jié) 行列式的概念

且規(guī)定其值為：其中，表示元素的余子式，它是中劃去所在的第1行和第列后剩下的元素按原來的次序構(gòu)成的階行列式。稱為的代數(shù)余子式。目前十五頁\總數(shù)二百七十一頁\編于八點16第一節(jié) 行列式的概念

【例

1.4】解計算四階行列式

從以上定義及例子可以看到，階行列式由個元素構(gòu)成，每個行列式都表示一個數(shù)值，且它等于第一行的元素分別乘以它的代數(shù)余子代數(shù)余子式再求和。目前十六頁\總數(shù)二百七十一頁\編于八點17第一節(jié) 行列式的概念我們也可以給出每個元素的余子式和代數(shù)余子式的一般定義?！径x

1.5】對于階行列式，列元素后，按原次序排列構(gòu)成的階行列式。稱為元素的余子式，稱為元素的代數(shù)余子式。其中，是中劃去元素所在的行和目前十七頁\總數(shù)二百七十一頁\編于八點18第一節(jié) 行列式的概念

【例

1.5】解求行列式的元素和的代數(shù)余子式。所以因為的余子式的余子式的代數(shù)余子式的余子式目前十八頁\總數(shù)二百七十一頁\編于八點19第二節(jié) 行列式的性質(zhì)在上一節(jié)行列式定義中我們看到行列式的計算是由高階向低階逐階遞減過程，因此行列式的階數(shù)越高，計算越繁。下面的行列式性質(zhì)可以簡化行列式的計算。目前十九頁\總數(shù)二百七十一頁\編于八點20第二節(jié) 行列式的性質(zhì)

【定義1.6】交換行列式D的行與列所得的行列式，稱為D的轉(zhuǎn)置行列式，記為或。設(shè)則

【例1.6】若則目前二十頁\總數(shù)二百七十一頁\編于八點21第二節(jié) 行列式的性質(zhì)性質(zhì)1

轉(zhuǎn)置行列式的值等于原行列式的值，即。在例1.6中的二個行列式的值相等，即根據(jù)這一性質(zhì)，

階行列式的定義按第一行展開等于按第一列展開即：這一性質(zhì)也說明行列式的對于每行具有的性質(zhì)對每列也成立。目前二十一頁\總數(shù)二百七十一頁\編于八點22第二節(jié) 行列式的性質(zhì)性質(zhì)2

交換行列式的任意兩行（列）元素，行列式的值變號。

【例1.7】交換以下行列式D的第一行和第三行，有素（仍為D），即得，移項得，于是。為零。特別地，當(dāng)行列式中有兩行（列）對應(yīng)元素都相同時，行列式的值·

·因假設(shè)D中的第行和第行對應(yīng)元素相同，交換第行和第行元目前二十二頁\總數(shù)二百七十一頁\編于八點23

【例1.8】

第二節(jié) 行列式的性質(zhì)以上性質(zhì)1和性質(zhì)2可以用數(shù)學(xué)歸納法證得，在這我們省略。行列式（因為第一行與第三行相同）目前二十三頁\總數(shù)二百七十一頁\編于八點24第二節(jié) 行列式的性質(zhì)性質(zhì)3

【例1.9】行列式符號的外面。這一性質(zhì)可以由行列式的定義和性質(zhì)2得到。這相當(dāng)于行列式中某一行（列）所有元素的公因子可以提到行列式行列式的某一行（列）中所有元素都乘以同一個數(shù)，行列式的值擴大倍。目前二十四頁\總數(shù)二百七十一頁\編于八點25第二節(jié) 行列式的性質(zhì)性質(zhì)4

行列式中兩行（列）對應(yīng)元素都成比例，行列式值為零。與第行相同，于是行列式的值為零。

設(shè)第行為第行的倍，由性質(zhì)3，將行提出公因子，即得第行性質(zhì)5

若行列式的某一行（列）的元素都是兩數(shù)之和，例如第列的元素都是兩數(shù)之和：目前二十五頁\總數(shù)二百七十一頁\編于八點26第二節(jié) 行列式的性質(zhì)利用這一性質(zhì)：則等于下列兩列行列式之和：目前二十六頁\總數(shù)二百七十一頁\編于八點27第二節(jié) 行列式的性質(zhì)性質(zhì)6

應(yīng)元素上去，行列式值不變。即把行列式某行（列）各元素的倍加到另一行（列）的對這一性質(zhì)由性質(zhì)3和性質(zhì)4直接得到。利用這些性質(zhì)可以簡化行列式的計算。另外我們用表示第行，表示第列。表示交換第行與第行，表示第行乘倍；表示把第行乘倍加到第行上去。目前二十七頁\總數(shù)二百七十一頁\編于八點28

【例1.10】

第二節(jié) 行列式的性質(zhì)解利用行列式性質(zhì)計算行列式下頁繼續(xù)……

目前二十八頁\總數(shù)二百七十一頁\編于八點29第二節(jié) 行列式的性質(zhì)然后按行列式定義，得：熟練以后，這幾步也可以合并為：（這里也可用）目前二十九頁\總數(shù)二百七十一頁\編于八點30第三節(jié) 行列式按行（列）展開根據(jù)行列式定義，行列式的值等于第一行或第一列的元素乘以它的代數(shù)余子式之和。在本節(jié)中我們將這一結(jié)果加以推廣。【定理1.1】若階行列式中除外，第行（或列）的其余元素都為零，那么可按第行（或列）展開為。證明

設(shè)第行除，其余元素都為零。目前三十頁\總數(shù)二百七十一頁\編于八點31第三節(jié) 行列式按行（列）展開現(xiàn)將第行和第行對換，再與第行對換，……經(jīng)過次對換，含的原第行就換到第一行，行列式的值應(yīng)乘，類似經(jīng)過次列對換，可將含的列變到第一列，即因為新行列式中劃去第1行劃去第1列所成的余子式就是中的（劃去原第行和原第列）。目前三十一頁\總數(shù)二百七十一頁\編于八點32第三節(jié) 行列式按行（列）展開

【定理1.2】（拉普拉斯展開）的各元素與其對應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和，即階行列式等于它的任意一行（列）

或目前三十二頁\總數(shù)二百七十一頁\編于八點33證明

n階行列式等于它的任意一行（列）第三節(jié) 行列式按行（列）展開目前三十三頁\總數(shù)二百七十一頁\編于八點34第三節(jié) 行列式按行（列）展開

【定理1.3】應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零，即行列式的任意一行（列）各元素與另一行（列）的對

或證明將的第行元素?fù)Q成所成的新行列式的第行與第行相同；于是新的行列式值為零，另一方面，新行列式可按第行展開，得：目前三十四頁\總數(shù)二百七十一頁\編于八點35第三節(jié) 行列式按行（列）展開綜合定理1.2和定理1.3，得：也就是行列式的任意一行（列）各元素與這一行（列）的對應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和等于行列式的值；行列式的任意一行（列）各元素與另一行（列）的對應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零。利用行列式性質(zhì)將某行（列）的元素盡可能化為零，然后展開，可簡化行列式的計算。或目前三十五頁\總數(shù)二百七十一頁\編于八點36第三節(jié) 行列式按行（列）展開

【例1.11】解1從第三列著手，再變出一個零元素。計算行列式首先尋找含零個數(shù)最多的行或列。本題第3列含兩個零，于是

（按第3列展開得）

（再按第3列展開得）下頁繼續(xù)……

目前三十六頁\總數(shù)二百七十一頁\編于八點37第三節(jié) 行列式按行（列）展開解2是用第4行減第1行也可同時出現(xiàn)3個零，然后按第4行展開，既得：本題也可以這樣解：第4行與第1行有三個對應(yīng)元素相同，于目前三十七頁\總數(shù)二百七十一頁\編于八點38第三節(jié) 行列式按行（列）展開

【例1.12】解的系數(shù)。行列式是關(guān)于的一次多項式，求一次項由于行列式中在其第二行，按第二行展開，可得：可以看到，一次項的系數(shù)就是的代數(shù)余子式目前三十八頁\總數(shù)二百七十一頁\編于八點39第三節(jié) 行列式按行（列）展開

【例1.13】計算行列式的值解

（按第4行展開得）（按第3列展開得）目前三十九頁\總數(shù)二百七十一頁\編于八點40第四節(jié) 行列式的計算舉例本節(jié)主要對有某些特殊的行列式的計算進(jìn)行介紹。我們把階行列式的從左上角到右下角含的連線稱為主對角線。目前四十頁\總數(shù)二百七十一頁\編于八點41第四節(jié) 行列式的計算舉例一、對角行列式其中，除主對角線上的元素外，其余省略的元素皆為零。顯然：即對角行列式的值等于主對角線上元素之積。對角行列式等于零的充要條件為對角線上至少有一個元素為零。目前四十一頁\總數(shù)二百七十一頁\編于八點42第四節(jié) 行列式的計算舉例【例1.14】計算行列式(沒寫出的元素皆為零)解經(jīng)過次列交換，可將最后一列換到第1列。目前四十二頁\總數(shù)二百七十一頁\編于八點43二、三角行列式上三角行列式第四節(jié) 行列式的計算舉例下三角行列式目前四十三頁\總數(shù)二百七十一頁\編于八點44很容易得出三角行列式的值仍等于主對角線元素的積。第四節(jié) 行列式的計算舉例如行列式就是一個上三角行列式，其值等于。目前四十四頁\總數(shù)二百七十一頁\編于八點45一般行列式計算都可采用化為上（下）三角行列式來計算。第四節(jié) 行列式的計算舉例【例1.15】計算行列式解因為每行各元素之和相等（為6），我們可以“統(tǒng)加”，即多次用的性質(zhì)。本例可采用第2列加到第1列，第3列加到第1列，第4列加到第1列，得目前四十五頁\總數(shù)二百七十一頁\編于八點46第四節(jié) 行列式的計算舉例【例1.16】解從第2列起，每列加到第1列上，得解階行列式（從第2行起每行減去第1行得）目前四十六頁\總數(shù)二百七十一頁\編于八點47第四節(jié) 行列式的計算舉例【例1.17】解從第2行起，每行減去第1行，得解階行列式方程于是：解得：目前四十七頁\總數(shù)二百七十一頁\編于八點48第四節(jié) 行列式的計算舉例【例1.18】解將各列加到第一列,得計算階行列式目前四十八頁\總數(shù)二百七十一頁\編于八點49第四節(jié) 行列式的計算舉例第1列提取公因子。從第2行起，每行減去第1行，得目前四十九頁\總數(shù)二百七十一頁\編于八點50三、按行或列展開解按第1列展開，得第四節(jié) 行列式的計算舉例有些行列式不易變成某行（列）只有一個非零元素，例如變成兩個非零元素，則行列式值等于這兩個元素與對應(yīng)代數(shù)余子式積的和?！纠?.19】計算階行列式目前五十頁\總數(shù)二百七十一頁\編于八點51四、采用遞推方式來解行列式解按最后一列展開，得第四節(jié) 行列式的計算舉例【例1.20】計算下列階行列式同樣推理可得:于是目前五十一頁\總數(shù)二百七十一頁\編于八點52第四節(jié) 行列式的計算舉例【例1.21】計算下列階行列式(沒寫出的元素皆為零)下頁繼續(xù)……

目前五十二頁\總數(shù)二百七十一頁\編于八點53第四節(jié) 行列式的計算舉例解按第1行展開，得兩個行列式分別再按最后一行展開，得同樣推理可得于是目前五十三頁\總數(shù)二百七十一頁\編于八點54第四節(jié) 行列式的計算舉例【例1.22】解從第一列提取公因子，然后把第1列加到第2列，得計算階行列式下頁繼續(xù)……

目前五十四頁\總數(shù)二百七十一頁\編于八點55第四節(jié) 行列式的計算舉例第二列提取公因子后，按第1行展開，得目前五十五頁\總數(shù)二百七十一頁\編于八點56五、范德蒙行列式第四節(jié) 行列式的計算舉例行列式稱為階的范德蒙行列式下面我們來計算此行列式的值目前五十六頁\總數(shù)二百七十一頁\編于八點57第四節(jié) 行列式的計算舉例解 此題自下而上，即從第行開始，后行減去前行的倍。即得分別按各列提取公因子，得：目前五十七頁\總數(shù)二百七十一頁\編于八點58同理可推得第四節(jié) 行列式的計算舉例其中，符號表示統(tǒng)乘，即各之間用乘號鏈接。可以看到：范德蒙行列式為零的充分必要條件為中至少有兩個相等。目前五十八頁\總數(shù)二百七十一頁\編于八點59【例1.23】第四節(jié) 行列式的計算舉例計算行列式解目前五十九頁\總數(shù)二百七十一頁\編于八點60第四節(jié) 行列式的計算舉例【例1.24】求證：證明 等式左邊各行分別乘：（提因子）（三次列對換）

目前六十頁\總數(shù)二百七十一頁\編于八點61綜合以上例題，行列式的計算可以按以下步驟來進(jìn)行：首先盡量尋找行與列的公因子,將其提到行列式外面.如果發(fā)現(xiàn)行列第四節(jié) 行列式的計算舉例然后利用性質(zhì)總能將行列式變換成上三角或者下三角行列式,再計或者利用性質(zhì)將行列式的某行(某列)變換成只有一個元素不為0,其式有兩行或者兩列成比例,則行列式的值為0。算其對角線上的乘積。其余元素均為0,然后再按那行(列)展開,降階成低階的行列式。目前六十一頁\總數(shù)二百七十一頁\編于八點62第五節(jié) 克萊姆法則一、用行列式表示二元及三元線性方程組的解二元線性方程組用二階行列式可表示為，

若，可用消元法解得目前六十二頁\總數(shù)二百七十一頁\編于八點63其中：為二元線性方程組中未知數(shù)的系數(shù)構(gòu)成第五節(jié) 克萊姆法則的行列式；為用常數(shù)項代替中的第一列；為用常數(shù)項代替中的第二列。目前六十三頁\總數(shù)二百七十一頁\編于八點64

【例1.4】解二元線性方程組第五節(jié) 克萊姆法則解可用二階行列式得目前六十四頁\總數(shù)二百七十一頁\編于八點65第五節(jié) 克萊姆法則對于三元線性方程組同樣可以由消元法得到;當(dāng)時，其中：目前六十五頁\總數(shù)二百七十一頁\編于八點66第五節(jié) 克萊姆法則用三階行列式表示以上的，可以得到：當(dāng)時，有其中：目前六十六頁\總數(shù)二百七十一頁\編于八點67

【例1.5】第五節(jié) 克萊姆法則解線性方程組解故目前六十七頁\總數(shù)二百七十一頁\編于八點68

【定理1.4】（克萊姆法則）第五節(jié) 克萊姆法則如果元并非齊次線性方程組（1）的系數(shù)行列式，則方程組有唯一解，且其中，是將中的第列用常數(shù)列替換而成的行列式。二、克萊姆法則以上用行列式解線性方程組可以推廣為n元線性方程組情形。目前六十八頁\總數(shù)二百七十一頁\編于八點69

【例1.25】第五節(jié) 克萊姆法則解

解線性方程組故目前六十九頁\總數(shù)二百七十一頁\編于八點70第五節(jié) 克萊姆法則線性方程組（1）中等式右端常數(shù)均為零時，稱為n元齊次線性方程組，也稱為n元非齊次線性方程組（1）導(dǎo)出組。即n元齊次線性方程組（2）

由克萊姆法則，若系數(shù)行列式，則n元齊次線性方程組（2）只有零解：要方程組有非零解（即至少有某個），必須有。關(guān)于解線性方程組的問題，我們在第三章還要祥細(xì)介紹。目前七十頁\總數(shù)二百七十一頁\編于八點71

【例1.26】第五節(jié) 克萊姆法則解由于非齊次線性方程組有非零解，則其系數(shù)矩陣的行列式為零，即設(shè)線性方程組有非零解，求的值。目前七十一頁\總數(shù)二百七十一頁\編于八點72第二章 矩陣矩陣是應(yīng)用非常廣泛的數(shù)學(xué)工具，也是線性代數(shù)的主要研究對象之一。運用矩陣的運算法則，會用伴隨矩陣法求逆矩陣，熟練掌握矩陣的初等行變換，以及運用初等行變換法求逆矩陣。通過本章學(xué)習(xí)，要求掌握矩陣及其各種特殊類型矩陣的定義，熟練目前七十二頁\總數(shù)二百七十一頁\編于八點73 第三節(jié)逆矩陣第二章 矩陣第一節(jié)矩陣的概念 第二節(jié)矩陣的運算及其性質(zhì) 第四節(jié)分塊矩陣及其運算 第五節(jié)矩陣的初等變換 第六節(jié)初等方陣主要內(nèi)容目前七十三頁\總數(shù)二百七十一頁\編于八點74第一節(jié) 矩陣的概念一、矩陣的定義矩陣作為一種常用的數(shù)學(xué)工具，能夠簡潔地貯存信息，通過矩陣運【例

2.1】

算，可以方便地處理信息，下面通過實際例子引入矩陣的概念。某超市公司的第I、II兩部門都銷售甲、乙、丙三種小包裝食品，其某一天的銷售量（單位：包）可由下表表示：目前七十四頁\總數(shù)二百七十一頁\編于八點75第一節(jié) 矩陣的概念如果我們每一天都做這樣的統(tǒng)計，就沒必要像上表那樣繁瑣，只要把以上數(shù)字按一定的排列次序記成如下數(shù)表形式：目前七十五頁\總數(shù)二百七十一頁\編于八點76第一節(jié) 矩陣的概念簡潔地表示出來。無論是在數(shù)值求解還是理論推導(dǎo)方面，此數(shù)表足以清【例

2.2】

晰表示這一線性方程組。對于線性方程組我們可以用下面的數(shù)表目前七十六頁\總數(shù)二百七十一頁\編于八點77一般由大寫字母A,B,C表示矩陣。由上兩例可以看到，在我們生命活動中的許多方面，都可以用數(shù)表第一節(jié) 矩陣的概念1．矩陣定義來表達(dá)一些量以及量與量之間的關(guān)系。這類數(shù)表，我們統(tǒng)稱為矩陣。【定義

2.1】

由個數(shù)排成的行列的矩形數(shù)組（2.1）稱為一個m行n列矩陣，簡稱m×n的矩陣，稱為此矩陣的第行第列的元素。矩陣（2.1）也可簡化為：目前七十七頁\總數(shù)二百七十一頁\編于八點78即第一節(jié) 矩陣的概念【例

2.3】

是一個三行四列矩陣，位于矩陣第二行第三列位置的元素是9，而目前七十八頁\總數(shù)二百七十一頁\編于八點79第一節(jié) 矩陣的概念2．矩陣相等另外，行數(shù)或列數(shù)不同的矩陣也不是相等的。若都是矩陣，且對應(yīng)位置的元素分別相等，即，則稱矩陣A與B相等，記為：例如，當(dāng)且僅當(dāng)時，矩陣又如：目前七十九頁\總數(shù)二百七十一頁\編于八點80第一節(jié) 矩陣的概念

3．階方陣

當(dāng)矩陣的行數(shù)與列數(shù)相等，即時，矩陣稱為階矩陣或階方陣，如矩陣是一個二階方陣。

階方陣與階行列式是不能混淆的兩個概念，行列式的值是在一個階方陣中，從左上角到右下角的對角線連線，稱為主對角線。元素都在主對角線上，稱為主對角線元素。一個數(shù)，而矩陣僅是數(shù)表。目前八十頁\總數(shù)二百七十一頁\編于八點81第一節(jié) 矩陣的概念二、幾種特殊矩陣的介紹1.行矩陣和列矩陣

只有一行元素構(gòu)成的矩陣稱為行矩陣。只有一列元素構(gòu)成的矩陣稱為列矩陣。2.零矩陣

時，也記為，或。行列數(shù)不同的零矩陣是不相等的，如元素全為零的矩陣稱為零矩陣，記作。當(dāng)零矩陣的行列數(shù)是目前八十一頁\總數(shù)二百七十一頁\編于八點82第一節(jié) 矩陣的概念4．上（下）三角陣

如一個方陣的主對角線下（上）方的所有元素均為零，則稱該方陣為上（下）三角矩陣。如，是上三角陣。而是下三角陣。目前八十二頁\總數(shù)二百七十一頁\編于八點83第一節(jié) 矩陣的概念5．對角陣、單位矩陣如一個方陣除主對角線以外的元素均為零，則稱這個方陣為對角矩陣。即有時可簡單記為：記為或，在不致混淆時，也可簡記為或，如：特別地，主對角線元素全為1的階對角矩陣，稱為階單位矩陣，目前八十三頁\總數(shù)二百七十一頁\編于八點84第二節(jié) 矩陣的運算及其性質(zhì)一、矩陣的線性運算1．矩陣的加法【定義2.2】設(shè)和都是的矩陣則以A與B相對應(yīng)的元素之和為元素的矩陣目前八十四頁\總數(shù)二百七十一頁\編于八點85第二節(jié) 矩陣的運算及其性質(zhì)稱為矩陣與的和，記作A+B，或，用矩陣形式表示即為。目前八十五頁\總數(shù)二百七十一頁\編于八點86【例2.4】第二節(jié) 矩陣的運算及其性質(zhì)設(shè)即由，對應(yīng)元素之差構(gòu)成的矩陣。他們才能進(jìn)行相加和相減；否則，他們的加法和減法將是無意義的。類似于加法的定義，我們規(guī)定矩陣與的減法（即差）應(yīng)注意的是，只有當(dāng)兩個矩陣的行數(shù)對應(yīng)相同、列數(shù)對應(yīng)相同時，則目前八十六頁\總數(shù)二百七十一頁\編于八點87【定義2.3】第二節(jié) 矩陣的運算及其性質(zhì)數(shù)與矩陣的數(shù)乘記為，規(guī)定其為：且當(dāng)時：稱為矩陣的負(fù)矩陣，記為列式的聯(lián)系將在以后介紹。

數(shù)乘矩陣與數(shù)乘行列式有著本質(zhì)上的差異，而數(shù)乘方陣及與它的行即將矩陣中的每個元素擴大倍2．矩陣的數(shù)乘目前八十七頁\總數(shù)二百七十一頁\編于八點88【例2.5】第二節(jié) 矩陣的運算及其性質(zhì)則設(shè)目前八十八頁\總數(shù)二百七十一頁\編于八點89第二節(jié) 矩陣的運算及其性質(zhì)3．矩陣線性運算的性質(zhì)

我們不難證明矩陣的加法和數(shù)乘滿足以下運算規(guī)律（設(shè)都是矩陣，為實數(shù)）：(1)加法交換律(2)加法結(jié)合律(3)

(4)

(5)數(shù)乘分配律

(6)數(shù)乘交換律

目前八十九頁\總數(shù)二百七十一頁\編于八點90【例2.6】第二節(jié) 矩陣的運算及其性質(zhì)解設(shè)求目前九十頁\總數(shù)二百七十一頁\編于八點91第二節(jié) 矩陣的運算及其性質(zhì)二、矩陣乘法1．定義【定義2.4】設(shè)是一個行列矩陣，是一個行列的矩陣，即則由元素構(gòu)成的矩陣稱為矩陣與的乘積，記作。目前九十一頁\總數(shù)二百七十一頁\編于八點92第二節(jié) 矩陣的運算及其性質(zhì)定義顯示，一個矩陣與一個矩陣的乘積是一個矩陣，的第行列元素等于的第行元素與的第列元元素的對應(yīng)乘積之和。要使乘積有意義，當(dāng)且僅當(dāng)左矩陣（即乘積項中的第一個矩陣）的列數(shù)等于右矩陣（即乘積項中的第二個矩陣）的行數(shù)才成立。目前九十二頁\總數(shù)二百七十一頁\編于八點93【例2.7】第二節(jié) 矩陣的運算及其性質(zhì)設(shè)求矩陣乘積的矩陣。由定義：解因為是二行二列的矩陣，是二行三列的矩陣，由于左矩陣的列數(shù)等于右矩陣的列數(shù)，故有意義，且是一個二行三列（2×3）目前九十三頁\總數(shù)二百七十一頁\編于八點94【例2.8】第二節(jié) 矩陣的運算及其性質(zhì)是一階的矩陣。乘積【例2.9】目前九十四頁\總數(shù)二百七十一頁\編于八點952．線性方程組的矩陣形式

第二節(jié) 矩陣的運算及其性質(zhì)對于包含個方程個未知量的線性方程組其個方程左端的系數(shù)可以構(gòu)成矩陣，稱為方程組（2.2）（2.2）的系數(shù)矩陣，未知量可構(gòu)成列矩陣，其個方程右端的常數(shù)項可構(gòu)成列矩陣，即目前九十五頁\總數(shù)二百七十一頁\編于八點96第二節(jié) 矩陣的運算及其性質(zhì)由于于是，線性方程組（2.2）可以用矩陣形式表示為目前九十六頁\總數(shù)二百七十一頁\編于八點973．性質(zhì)（假設(shè)涉及的乘積形式都是有意義的）：第二節(jié) 矩陣的運算及其性質(zhì)(1)乘法的結(jié)合律(3)乘法的分配律(4)

（其中，為階單位矩陣，為階單位矩陣）(5)

(2)數(shù)乘的結(jié)合律 ,（其中為常數(shù)）目前九十七頁\總數(shù)二百七十一頁\編于八點984．注意：矩陣的乘法與數(shù)字之間的乘法有許多不同之處。第二節(jié) 矩陣的運算及其性質(zhì)

從例2.10中看到，在矩陣的乘積中，矩陣的位置不能隨意交換?！纠?.10】設(shè)矩陣求與。

解目前九十八頁\總數(shù)二百七十一頁\編于八點99第二節(jié) 矩陣的運算及其性質(zhì)關(guān)于矩陣的乘法，除了要求乘積有意義外，還要注意下列幾點：（1）矩陣的乘法不滿足交換律，即一般地：（2）兩個非零矩陣相乘，結(jié)果可能是零矩陣，如在例2.10中然而。因此，命題“若矩陣乘積，則或”不真。（3）矩陣乘法不滿足消去律，即由不斷推斷出，即使是在。如在例2.9中，我們求得了，但卻是沒有意義的；而例如2.10，顯然。（如果矩陣與滿足，則稱乘是可交換的。）從而，用一個矩陣去乘另一個矩陣，有左乘和右乘之說。時，這是因為僅由即由，不能得出或目前九十九頁\總數(shù)二百七十一頁\編于八點100第二節(jié) 矩陣的運算及其性質(zhì)三、方陣的冪1．定義【定義2.5】設(shè)是階方陣，是自然數(shù)，個連乘的積稱為方陣的次冪，記作。2．性質(zhì)根據(jù)矩陣乘法性質(zhì)，我們可以得到方陣的冪滿足一下規(guī)律：

（1）

（2）其中是自然數(shù)。但要注意的是，一般說來：（這可由矩陣乘法不滿足交換律直接推出。）目前一百頁\總數(shù)二百七十一頁\編于八點101【例2.11】第二節(jié) 矩陣的運算及其性質(zhì)設(shè)矩陣求：(1);(2);(3);(4)解或（1）

（2）

（3）

（4）

目前一百零一頁\總數(shù)二百七十一頁\編于八點102第二節(jié) 矩陣的運算及其性質(zhì)四、矩陣的轉(zhuǎn)置與對稱矩陣1．轉(zhuǎn)置矩陣

【定義2.6】把矩陣的行列元素對換，所得到的矩陣，稱為的轉(zhuǎn)置矩陣，記為或。如果設(shè)矩陣則【例2.12】設(shè)則目前一百零二頁\總數(shù)二百七十一頁\編于八點103第二節(jié) 矩陣的運算及其性質(zhì)(1)(2)(4)(3)（為常數(shù)）可以驗證，矩陣的轉(zhuǎn)置運算具有以下性質(zhì)（假定運算都是有意義的）：與轉(zhuǎn)置行列式不同，矩陣A與轉(zhuǎn)置矩陣不一定相等。目前一百零三頁\總數(shù)二百七十一頁\編于八點104【例2.13】第二節(jié) 矩陣的運算及其性質(zhì)解法1：所以設(shè)求先求出，再轉(zhuǎn)置。目前一百零四頁\總數(shù)二百七十一頁\編于八點105第二節(jié) 矩陣的運算及其性質(zhì)解法2：所以利用性質(zhì)(4):

，先分別求出與，再計算。

因為目前一百零五頁\總數(shù)二百七十一頁\編于八點1063.對稱矩陣第二節(jié) 矩陣的運算及其性質(zhì)都是對稱矩陣?！径x2.7】設(shè)是階方陣，并且滿足則稱為對稱矩陣。從以上定義，可以看到對稱矩陣一定是方陣，且即關(guān)于主對角線對稱元素都對應(yīng)相等，例如目前一百零六頁\總數(shù)二百七十一頁\編于八點107第二節(jié) 矩陣的運算及其性質(zhì)由以上定義我們不難證得以下結(jié)論：如果是同階對稱矩陣，是常數(shù)，則也都是對稱矩陣；但要注意的是，不一定是對稱陣。例如都是對稱矩陣，但不是對稱矩陣。目前一百零七頁\總數(shù)二百七十一頁\編于八點108第二節(jié) 矩陣的運算及其性質(zhì)五、方陣的行列式及伴隨矩陣1．方陣的行列式

【定義2.8】設(shè)階方陣由構(gòu)成的行列式稱為方陣A的行列式，記作。目前一百零八頁\總數(shù)二百七十一頁\編于八點109第二節(jié) 矩陣的運算及其性質(zhì)應(yīng)該指出，只有方陣才有行列式。且我們利用行列式的相應(yīng)性質(zhì)與例如，矩陣的行列式結(jié)論可以得出方陣的行列式應(yīng)滿足以下性質(zhì)：(1)(2)(3)（n為A的階數(shù)）目前一百零九頁\總數(shù)二百七十一頁\編于八點1102．方陣的伴隨矩陣第二節(jié) 矩陣的運算及其性質(zhì)【定義2.9】設(shè)是一個階方陣，由其行列式中元素的代數(shù)余子式所構(gòu)成的方陣稱為方陣的伴隨矩陣。目前一百一十頁\總數(shù)二百七十一頁\編于八點111【例2.14】第二節(jié) 矩陣的運算及其性質(zhì)解所以設(shè)矩陣求的伴隨矩陣。的代數(shù)余子式；的代數(shù)余子式的代數(shù)余子式；的代數(shù)余子式目前一百一十一頁\總數(shù)二百七十一頁\編于八點112第二節(jié) 矩陣的運算及其性質(zhì)同理一般地，由第一章第三節(jié)的定理1.2和定理1.3，可推得以下定理：容易驗證，在例2.14中：而【定理2.1】若為階方陣的伴隨矩陣，則從定理的結(jié)論中可以看到，方陣與其伴隨矩陣是滿足乘法交換律的。目前一百一十二頁\總數(shù)二百七十一頁\編于八點113在第二節(jié)中，我們介紹了矩陣的加法、減法和乘法。那么，是否矩第三節(jié) 逆矩陣陣也存在“除法”運算呢？我們首先來考察一下數(shù)的除法。設(shè)是兩個數(shù)，且，則，從而除法問題可轉(zhuǎn)化為求的倒數(shù)問題。當(dāng)然倒數(shù)應(yīng)該滿足：。另外，對于方陣，都有因此，從乘法的角度看，階單位陣在矩陣中的地位類似于數(shù)1的地位。目前一百一十三頁\總數(shù)二百七十一頁\編于八點114矩陣只限于方陣，下面我們給出逆矩陣的確切定義。第三節(jié) 逆矩陣要滿足：從上面的討論中，我們對矩陣的“除法”討論可轉(zhuǎn)化為求，當(dāng)然由矩陣的乘法規(guī)則，滿足上式的矩陣只有方陣，從而本節(jié)討論的目前一百一十四頁\總數(shù)二百七十一頁\編于八點115一、逆矩陣的定義第三節(jié) 逆矩陣【定義2.10】則稱方陣是可逆矩陣，稱是的逆矩陣，記作。設(shè)是階方陣，若存在階方陣，使得矩陣就是它自身。單位矩陣都是可逆的，且，因,即單位矩陣的逆階零矩陣是不可逆矩陣，因為對任一個階方陣，都有目前一百一十五頁\總數(shù)二百七十一頁\編于八點116二、逆矩陣的存在性第三節(jié) 逆矩陣【定理2.2】所以若方陣可逆，則。證明由定理2.10，對可逆陣，必存在，使得：即從而目前一百一十六頁\總數(shù)二百七十一頁\編于八點117【定理2.3】第三節(jié) 逆矩陣證明由定理2.1，，而因，所以若，則方陣可逆，且，其中是的伴隨矩陣。根據(jù)定義2.10，可逆，且的逆矩陣。有時我們將的方陣，稱為非奇異方陣，稱的方陣為奇異方陣。。定理2.2、定理2.3給出：方陣可逆的充分必要條件是的行列式目前一百一十七頁\總數(shù)二百七十一頁\編于八點118所以第三節(jié) 逆矩陣就舉例予以說明。又因為如果，試求矩陣的逆矩陣。定理2.3也確切給出了求可逆方陣的逆矩陣的一種方法。下面【例2.15】解因為，則是可逆的。目前一百一十八頁\總數(shù)二百七十一頁\編于八點119又因為代數(shù)余子式：【例2.16】第三節(jié) 逆矩陣解因為設(shè)問是否可逆？若可逆，試求出其逆矩陣所以是可逆的。于是有所以目前一百一十九頁\總數(shù)二百七十一頁\編于八點120又由例2.16求得：【例2.17】第三節(jié) 逆矩陣解所以因為，則存在。在式兩端同乘，得試解矩陣方程，其中目前一百二十頁\總數(shù)二百七十一頁\編于八點121【例2.18】第三節(jié) 逆矩陣解下頁繼續(xù)……

利用逆矩陣求下列方程組的解設(shè)所給方程組的系數(shù)矩陣為，未知量矩陣為，常數(shù)項矩陣為，即于是，線性方程組可以寫成矩陣方程：因為所以存在，在上式兩邊同乘，得：目前一百二十一頁\總數(shù)二百七十一頁\編于八點122又因為第三節(jié) 逆矩陣所以則即原方程組的解為：目前一百二十二頁\總數(shù)二百七十一頁\編于八點123與未知量個數(shù)相同，即系數(shù)矩陣是方陣，且該方陣是可逆時，才能用逆矩陣法去求線性方程組的解。計算逆矩陣相當(dāng)繁瑣，所以在以后的有關(guān)章節(jié)中，還將介紹其它求逆矩陣的方法。第三節(jié) 逆矩陣需要注意的是：另外，在計算過程中，我們看到當(dāng)矩陣的階數(shù)較高時，用此種方法因只有方陣才有逆矩陣，所以，只有當(dāng)一個線性方程組中方程個數(shù)目前一百二十三頁\總數(shù)二百七十一頁\編于八點124證明如果都是的逆矩陣，只要證與相等即可。1．若可逆，則的逆矩陣是唯一的。所以三、逆矩陣性質(zhì)：第三節(jié) 逆矩陣及則的逆矩陣是唯一的。由定義可得：目前一百二十四頁\總數(shù)二百七十一頁\編于八點125性質(zhì)2、性質(zhì)3、性質(zhì)4作為習(xí)題請同學(xué)們自己驗證。第三節(jié) 逆矩陣4．若可逆，則也可逆，且3．若可逆，為非零常數(shù)，則也可逆，且

2．若可逆，則也是可逆的，且。目前一百二十五頁\總數(shù)二百七十一頁\編于八點126第三節(jié) 逆矩陣因為以下就性質(zhì)（1）、（4）予以證明。所以可逆，且。證明只需證即可。

5．若為同階可逆方陣，則也可逆，且

6．目前一百二十六頁\總數(shù)二百七十一頁\編于八點127第四節(jié) 分塊矩陣及其運算一、分塊矩陣的定義若矩陣的階數(shù)比較高，在運算時，我們經(jīng)常進(jìn)行矩陣的分塊工若干塊小矩陣稱為矩陣的子塊，以子塊為元素的矩陣就稱為分塊矩陣。

作，將大矩陣的運算化成小矩陣的運算。把用一些橫線和縱線分成目前一百二十七頁\總數(shù)二百七十一頁\編于八點128第四節(jié) 分塊矩陣及其運算若設(shè)則該分法的分塊矩陣可簡記為：例如：對于矩陣的一種分塊形式（I）：即是以子塊為元素的分塊矩陣。目前一百二十八頁\總數(shù)二百七十一頁\編于八點129第四節(jié) 分塊矩陣及其運算或形式（III）等，關(guān)鍵是根據(jù)構(gòu)成矩陣的元素特征以及相應(yīng)運算的實際需要來分塊，同一個矩陣的分塊形式可以有多種，例如，上述也可分成形式（II）：并能簡化運算。目前一百二十九頁\總數(shù)二百七十一頁\編于八點130第四節(jié) 分塊矩陣及其運算二、分塊矩陣的運算分塊矩陣的運算形式上與普通矩陣的運算類似，但其各種運算對分塊法有各自不同的限定。目前一百三十頁\總數(shù)二百七十一頁\編于八點1311.分塊陣的加減法相同，且分塊以后，對應(yīng)位置的子塊階數(shù)也分別相同，則與相加如果，都是階矩陣，并且分塊形式相同，即大矩陣的階數(shù)減就是將對應(yīng)的子塊相加減。設(shè)第四節(jié) 分塊矩陣及其運算則目前一百三十一頁\總數(shù)二百七十一頁\編于八點1322.分塊矩陣與數(shù)的乘法

第四節(jié) 分塊矩陣及其運算設(shè)為任意實數(shù)，為以上的分塊矩陣，則目前一百三十二頁\總數(shù)二百七十一頁\編于八點1333.分塊矩陣的乘法

第四節(jié) 分塊矩陣及其運算即乘積均有意義，設(shè)為矩陣，為矩陣，即乘法有意義，且分別分塊成其中，的列數(shù)分別等于的行數(shù)，

則其中，子塊目前一百三十三頁\總數(shù)二百七十一頁\編于八點134【例2.19】第四節(jié) 分塊矩陣及其運算則設(shè)求解將分成塊下頁繼續(xù)……

目前一百三十四頁\總數(shù)二百七十一頁\編于八點135其中第四節(jié) 分塊矩陣及其運算所以目前一百三十五頁\總數(shù)二百七十一頁\編于八點1364.分塊矩陣的轉(zhuǎn)置

設(shè)第四節(jié) 分塊矩陣及其運算則目前一百三十六頁\總數(shù)二百七十一頁\編于八點137第四節(jié) 分塊矩陣及其運算三、特殊的分塊矩陣1.分塊對角陣的定義其中都是方陣，稱為分塊對角陣或準(zhǔn)對角矩陣。形如的分塊矩陣，分塊對角陣是一個方陣，且的分塊矩陣中僅在主對角線上有非零子塊，這些子塊又都是方陣，而其余子塊都為零矩陣。目前一百三十七頁\總數(shù)二百七十一頁\編于八點1382.分塊對角陣的性質(zhì)

第四節(jié) 分塊矩陣及其運算則有設(shè)是同階方陣，且分塊方式相同，又都是分塊對角陣：（1）（2）目前一百三十八頁\總數(shù)二百七十一頁\編于八點139第四節(jié) 分塊矩陣及其運算即相同結(jié)構(gòu)的分塊對角陣的和、積仍是分塊對角矩陣。（4）可逆的充要條件為都可逆，且有（3）目前一百三十九頁\總數(shù)二百七十一頁\編于八點140【例2.20】第四節(jié) 分塊矩陣及其運算解下頁繼續(xù)……

因為，則都可逆，且將分成塊設(shè)求目前一百四十頁\總數(shù)二百七十一頁\編于八點141所以第四節(jié) 分塊矩陣及其運算目前一百四十一頁\總數(shù)二百七十一頁\編于八點142對于其它特殊的分塊矩陣，我們也可以相應(yīng)得到一些結(jié)論：如第四節(jié) 分塊矩陣及其運算目前一百四十二頁\總數(shù)二百七十一頁\編于八點143第五節(jié) 矩陣的初等變換一、矩陣的初等變換的定義【定義2.11】 下列三種變換稱為矩陣的初等行變換：（1）互換矩陣某兩行的對應(yīng)元素。以下用表示矩陣的第列，用表示其第行，如互換第與第行，則記為。

（2）以非零常數(shù)乘矩陣某一行元素。如第行的元素乘，記為

（3）把矩陣中某一行元素的倍加到另一行相應(yīng)元素上去。如把第行的倍加到第行上去，記為。將上列定義中的“行”、“

”分別以“列”、“

”代之，即為矩陣的初等列變換定義與記號。矩陣的初等行變換與初等列變換統(tǒng)稱為矩陣的初等變換。目前一百四十三頁\總數(shù)二百七十一頁\編于八點144第五節(jié) 矩陣的初等變換一般來說，一個矩陣經(jīng)過初等變換后，變成了另一個不同的矩陣。當(dāng)矩陣經(jīng)過初等變換變成矩陣時，記作。有時，為了便于檢驗運算過程，往往用記號注明所作的變換。例如，將矩陣的第一行與第三行作交換，有目前一百四十四頁\總數(shù)二百七十一頁\編于八點145第五節(jié) 矩陣的初等變換又如表示將三階單位矩陣的第1列元素的5倍加到第3列相應(yīng)元素上去。目前一百四十五頁\總數(shù)二百七十一頁\編于八點146第五節(jié) 矩陣的初等變換二、行階梯形矩陣的定義如果在一個矩陣中，任一行的第一個非零元素所在的列中，在該非零元素下方的元素皆為零，則稱此矩陣為行階梯形矩陣。行階梯形矩陣的特征為：元素全為零的行（如果存在的話）在矩陣的最下方，而各個非零行（即元素不全為零的行）中的第一個非零元素的列標(biāo)隨著行標(biāo)的遞增而嚴(yán)格增大。目前一百四十六頁\總數(shù)二百七十一頁\編于八點147例如，以下矩陣第五節(jié) 矩陣的初等變換都是行階梯形矩陣，輔助虛線形象地顯示了它們各自的階梯形狀。矩陣個非零元素的列標(biāo)相同。不是行階梯形矩陣，因為其第二、三行的第一又矩陣也不是行階梯形矩陣。目前一百四十七頁\總數(shù)二百七十一頁\編于八點148但是，這兩個矩陣通過初等行變換都可化為行階梯形矩陣，即第五節(jié) 矩陣的初等變換一般地我們有結(jié)論；任何一個非零矩陣都可經(jīng)過有限次的初等行變換化簡為行階梯形矩陣。目前一百四十八頁\總數(shù)二百七十一頁\編于八點149【例2.21】解第五節(jié) 矩陣的初等變換將矩陣化為行階梯形矩陣。目前一百四十九頁\總數(shù)二百七十一頁\編于八點150第五節(jié) 矩陣的初等變換三、矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形1．行最簡形矩陣：矩陣是行階梯形的，而且各個非零行的第1個元素都是1，又這個元素所在列的其他元素都是零?！纠?.22】分別將下列矩陣化為行最簡形矩陣解（1） （2） （3）（1）目前一百五十頁\總數(shù)二百七十一頁\編于八點151第五節(jié) 矩陣的初等變換（2）（3）目前一百五十一頁\總數(shù)二百七十一頁\編于八點152第五節(jié) 矩陣的初等變換2.矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形

上面我們介紹了一個階非零矩陣經(jīng)過初等行變換，可以化為行階梯形即行最簡形矩陣。事實上，對行最簡形矩陣（不妨設(shè)其恰有行非零行），還可以作初等列變換，使之進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為如下階最簡形式的矩陣：目前一百五十二頁\總數(shù)二百七十一頁\編于八點153我們將這類矩陣稱為矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形。第五節(jié) 矩陣的初等變換其標(biāo)準(zhǔn)形矩陣是唯一的。任何一個矩陣經(jīng)過有限次的初等變換都可以化為標(biāo)準(zhǔn)形矩陣，且目前一百五十三頁\總數(shù)二百七十一頁\編于八點154【例2.23】求例2.22中矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形。第五節(jié) 矩陣的初等變換解所以矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形為以上的（1）（2）即的行最簡形就是的標(biāo)準(zhǔn)形矩陣目前一百五十四頁\總數(shù)二百七十一頁\編于八點155第五節(jié) 矩陣的初等變換（3）即就是矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形矩陣。需要指出的是，將矩陣通過初等行變換化為行階梯形矩陣，以及通過初等變換化為其標(biāo)準(zhǔn)形矩陣，是一種極其重要的方法，它的實用性將在下節(jié)方陣求逆以及下一章解線性方程組、向量組的秩中得以體現(xiàn)。目前一百五十五頁\總數(shù)二百七十一頁\編于八點156【定義2.12】第五節(jié) 矩陣的初等變換四、矩陣的等價（3）傳遞性:如與等價，與等價，則與一定是等價的。（1）反身性:任何矩陣與自身等價；任何一個階矩陣都與其標(biāo)準(zhǔn)形矩陣等價。的初等變換得到，則稱矩陣與是等價的。設(shè)都是矩陣，如果矩陣可以由經(jīng)過有限次那么，從上面的討論中，我們實際上可以得到以下定理：【定理2.4】且由定義2.12，我們立即可以得出矩陣等價的以下三個性質(zhì)：（2）對稱性：如與等價，則與也是等價的。目前一百五十六頁\總數(shù)二百七十一頁\編于八點157第六節(jié) 初等方陣一、初等矩陣的定義【定義2.13】由于初等變換有三種，而每種初等變換都有一個與其相應(yīng)的初等方等方陣。陣，從而以下三類矩陣揭示了初等方陣的所有形式。由單位矩陣經(jīng)過一次初等變換得到的方陣，稱為初

目前一百五十七頁\總數(shù)二百七十一頁\編于八點158到的都是初等矩陣，我們記為，即

（1）互換單位矩陣的第行與第行（或第列與第列），得第六節(jié) 初等方陣目前一百五十八頁\總數(shù)二百七十一頁\編于八點159【例2.24】第六節(jié) 初等方陣是一個由交換第1行與第3行得到的初等方陣。目前一百五十九頁\總數(shù)二百七十一頁\編于八點160第六節(jié) 初等方陣等方陣，記為，即（2）用非零常數(shù)乘單位矩陣的第行（或列），得到的都是初【例2.25】是一個由交換第1行與第3行得到的初等方陣。目前一百六十頁\總數(shù)二百七十一頁\編于八點161第六節(jié) 初等方陣【例2.26】是將的第1行的7倍加到第3行上去得到的一個初等方陣。列上去）得到的是初等方陣，記為，即（3）把的第行的倍加到第行上去（或把第列的倍加到第目前一百六十一頁\總數(shù)二百七十一頁\編于八點1621.初等方陣的轉(zhuǎn)置矩陣仍是初等方陣；第六節(jié) 初等方陣二、初等方陣的性質(zhì)因為三類初等方陣的行列式：2.初等方陣是可逆的；所以初等方陣是可逆的。3.初等方陣的逆矩陣仍是初等方陣。事實上，這三類初等方陣的逆矩陣分別是：目前一百六十二頁\總數(shù)二百七十一頁\編于八點163【例2.27】第六節(jié) 初等方陣(3)(2)(1)目前一百六十三頁\總數(shù)二百七十一頁\編于八點1641.定理第六節(jié) 初等方陣三、用矩陣的初等行變換求逆矩陣方陣與初等變換之間的關(guān)系。因此給出下面的定理：為了導(dǎo)出用矩陣的初等行變換求逆矩陣的方法，我們必須討論初等【定理2.5】相當(dāng)于在的左邊乘上一個相應(yīng)的階初等方陣；對施行一次初等列設(shè)是一個的矩陣，則對施行一次初等行變換，就變換，就相當(dāng)于在的右邊乘上一個相應(yīng)的階初等方陣。此定理證明我們予以省略。目前一百六十四頁\總數(shù)二百七十一頁\編于八點165【例2.28】第六節(jié) 初等方陣設(shè)矩陣如果都是初等方陣，且滿足試求出。解同樣，由于右乘的第4列的-5倍加到第2列上去，所以是一個4陣，所以是一個3階初等方陣，且由于左乘，且是以數(shù)9乘矩陣的第1行，且是階矩階初等方陣目前一百六十五頁\總數(shù)二百七十一頁\編于八點166第六節(jié) 初等方陣推論1

此推論可由上節(jié)的矩陣等價定義2.12以及定理2.5直接推得。由推論1即初等方陣的可逆矩陣仍是初等方陣，可得：證明

推論2

如果則有如果矩陣與等價，則與也等價。兩個階矩陣與是等價的充分必要條件是存在有限個階初等方陣和階的初等方陣，使得即與也等價。目前一百六十六頁\總數(shù)二百七十一頁\編于八點167【定理2.7】第六節(jié) 初等方陣證明

必要性：充分性：推論1

推論2

兩個階矩陣與等價的充分必要條件是存在階可逆方陣可逆的充分必要條件是與單位矩陣等價。由初等方陣的逆矩陣也是初等方陣可得：等于有限個初等方陣的乘積?；蚴乖O(shè)矩陣與單位矩陣等價，即存在初等方陣設(shè)對于矩陣，存在個初等方陣，使由階方陣可逆的充分必要條件是它能表示成一些初等矩初等矩陣的乘積，即存在有限個初等方陣，使得的可逆性，立即可推得可逆；與階可逆方陣，使得。目前一百六十七頁\總數(shù)二百七十一頁\編于八點168第六節(jié) 初等方陣2．用矩陣的初等行變換求逆矩陣

類似地，若可逆，欲求矩陣方程的解，，可先對施行初等行變換，當(dāng)把子塊化為單位陣時，子塊就恰好化為構(gòu)造輔助的的（如果可逆）分塊矩陣：陣，由此得出一個用初等行變換求逆矩陣的方法，具體步驟如下：而（2.4）式說明，對單位矩陣施行同樣的初等行變換即得的逆矩（2.3）式說明：可逆方陣左乘一系列初等方陣等于單位陣，（2.3）（2.4）由定理2.7的結(jié)論：可得：的逆矩陣。構(gòu)造矩陣即為方程組的解。對施行初等行變換，當(dāng)化為單位陣時，的位置就是，目前一百六十八頁\總數(shù)二百七十一頁\編于八點169【例2.29】第六節(jié) 初等方陣構(gòu)造3行6列矩陣解所以設(shè)矩陣，求。目前一百六十九頁\總數(shù)二百七十一頁\編于八點1