高中數學北師大版五學案：第二章 1．1　正弦定理（一）

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精1．1正弦定理（一）學習目標1。掌握正弦定理的內容及其證明方法。2。能運用正弦定理與三角形內角和定理解決簡單的解三角形問題．知識點一正弦定理的推導思考1如圖,在Rt△ABC中，eq\f(a,sinA)、eq\f（b,sinB)、eq\f（c，sinC)各自等于什么?思考2在一般的△ABC中，eq\f（a,sinA）＝eq\f(b,sinB）＝eq\f（c，sinC）還成立嗎?課本是如何說明的？梳理任意△ABC中，都有eq\f（a,sinA）＝eq\f（b,sinB)＝eq\f(c,sinC)，證明方法除課本提供的方法外，還可借助邊AB上的高CD＝bsinA＝asinB、三角形面積公式、外接圓來證明．知識點二正弦定理的呈現形式1。eq\f（a，sinA）＝________＝____________＝2R（其中R是____________);2．a＝eq\f（bsinA,sinB)＝eq\f(csinA，sinC）＝2RsinA;3．sinA＝eq\f（a，2R），sinB＝________,sinC＝________.知識點三解三角形一般地，把三角形的三個角A，B，C和它們的對邊a,b，c叫做三角形的元素．已知三角形的幾個元素求其他元素的過程叫作解三角形．類型一定理證明例1在鈍角△ABC中,證明正弦定理．反思與感悟（1）本例用正弦函數定義溝通邊與角內在聯系，充分挖掘這些聯系可以使你理解更深刻，記憶更牢固．(2)要證eq\f(a，sinA）＝eq\f(b，sinB)，只需證asinB＝bsinA，而asinB，bsinA都對應CD.初看是神來之筆，仔細體會還是有跡可循的，通過體會思維的軌跡,可以提高我們的分析解題能力．跟蹤訓練1如圖,銳角△ABC的外接圓O半徑為R，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c。求證：eq\f(a，sinA）＝2R。類型二用正弦定理解三角形例2在△ABC中，已知A＝32。0°，B＝81。8°，a＝42.9cm，解三角形．反思與感悟(1）正弦定理實際上是三個等式:eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB），eq\f(b，sinB)＝eq\f（c，sinC)，eq\f（a，sinA)＝eq\f(c，sinC),每個等式涉及四個元素，所以只要知道其中的三個就可以求另外一個．(2）具體地說，以下兩種情形適用正弦定理：①已知三角形的任意兩角與一邊；②已知三角形的任意兩邊與其中一邊的對角．跟蹤訓練2在△ABC中，已知a＝18,B＝60°,C＝75°,求b的值．類型三邊角互化命題角度1邊化角例3在任意△ABC中，求證:a（sinB－sinC）＋b(sinC－sinA）＋c（sinA－sinB)＝0.命題角度2角化邊例4在△ABC中，A＝eq\f（π,3),BC＝3,求△ABC周長的最大值．反思與感悟利用eq\f（a,sinA）＝eq\f（b,sinB)＝eq\f（c，sinC）＝2R或正弦定理的變形公式a＝ksinA，b＝ksinB，c＝ksinC(k〉0）能夠使三角形邊與角的關系相互轉化．跟蹤訓練3在△ABC中,角A、B、C的對邊分別是a、b、c，若A∶B∶C＝1∶2∶3,求a∶b∶c的值．1.在△ABC中,一定成立的等式是()A．asinA＝bsinB B．acosA＝bcosBC．asinB＝bsinA D．acosB＝bcosA2．在△ABC中,sinA＝sinC，則△ABC是（）A．直角三角形 B．等腰三角形C．銳角三角形 D．鈍角三角形3．在△ABC中，已知BC＝eq\r(5),sinC＝2sinA，則AB＝________.4．在△ABC中，a＝eq\r(3），b＝eq\r（2），B＝eq\f(π,4)，則A＝________。1.定理的表示形式:eq\f（a,sinA）＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c，sinC)＝2R，或a＝ksinA，b＝ksinB，c＝ksinC（k>0）．2.正弦定理的應用范圍:（1）已知兩角和任一邊，求其他兩邊和一角．（2)已知兩邊和其中一邊的對角，求另一邊和兩角．3.利用正弦定理可以實現三角形中邊角關系的相互轉化:一方面可以化邊為角，轉化為三角函數問題來解決；另一方面，也可以化角為邊,轉化為代數問題來解決．

答案精析問題導學知識點一思考1eq\f（a，sinA）＝eq\f(b,sinB）＝eq\f(c，sinC)＝c.思考2在一般的△ABC中，eq\f（a,sinA）＝eq\f（b，sinB）＝eq\f（c，sinC)仍然成立，課本采用向量來證明的．知識點二1。eq\f（b，sinB)eq\f(c,sinC）△ABC外接圓的半徑3.eq\f(b,2R)eq\f(c,2R)題型探究例1證明如圖，過C作CD⊥AB，垂足為D，D是BA延長線上一點,根據正弦函數的定義知：eq\f（CD，b)＝sin∠CAD＝sin（180°－A)＝sinA，eq\f(CD，a)＝sinB?！郈D＝bsinA＝asinB.∴eq\f(a，sinA)＝eq\f（b,sinB).同理，eq\f（b,sinB)＝eq\f(c，sinC）.故eq\f（a，sinA)＝eq\f(b，sinB)＝eq\f（c,sinC）.跟蹤訓練1證明連接BO并延長，交外接圓于點A′，連接A′C,則圓周角∠A′＝∠A.∵A′B為直徑，長度為2R,∴∠A′CB＝90°，∴sinA′＝eq\f(BC,A′B）＝eq\f（a，2R），∴sinA＝eq\f(a,2R），即eq\f(a,sinA）＝2R。例2解根據三角形內角和定理，C＝180°－(A＋B)＝180°－(32.0°＋81。8°)＝66.2°.根據正弦定理，b＝eq\f（asinB,sinA）＝eq\f(42.9sin81。8°，sin32。0°）≈80.1(cm)；根據正弦定理，c＝eq\f(asinC，sinA）＝eq\f（42。9sin66。2°,sin32.0°）≈74.1（cm)．跟蹤訓練2解根據三角形內角和定理，A＝180°－(B＋C)＝180°－（60°＋75°）＝45°.根據正弦定理，b＝eq\f（asinB,sinA)＝eq\f（18sin60°，sin45°)＝9eq\r（6)。例3證明由正弦定理，令a＝ksinA,b＝ksinB，c＝ksinC,k>0。代入得：左邊＝k(sinAsinB－sinAsinC＋sinBsinC－sinBsinA＋sinCsinA－sinCsinB)＝0＝右邊，所以等式成立．例4解設AB＝c，BC＝a，CA＝b。由正弦定理，得eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c，sinC)＝eq\f（3,sin\f（π，3)）＝2eq\r(3）。∴b＝2eq\r（3)sinB，c＝2eq\r（3）sinC，a＋b＋c＝3＋2eq\r（3)sinB＋2eq\r(3)sinC＝3＋2eq\r（3）sinB＋2eq\r(3)sineq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)－B)）＝3＋2eq\r(3)sinB＋2eq\r(3）·eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f（\r(3）,2）cosB＋\f(1，2)sinB））＝3＋3eq\r(3)sinB＋3cosB＝3＋6sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（B＋\f(π，6））)，∴當B＝eq\f(π，3）時，△ABC的周長有最大值9.跟蹤訓練3解∵A＋B＋C＝π，A∶B∶C＝1∶2∶3,∴A＝eq\f（π，6)，B＝eq\f（π，3)，C＝eq\f(π,2），∴sinA＝eq\f（1，2），sinB＝eq\f(\r(3),2)，sinC＝1。設eq\f(a，sinA)＝eq\f（b,sinB）＝eq\f（c,sinC）＝k（k〉0），則a＝ksinA＝eq\f(k,2)，b＝ksinB＝eq\f（\r(3)，2)k，c＝