高中數(shù)學北師大版五學案：第一章 數(shù)列 §4　數(shù)列在日常經(jīng)濟生活中的應用 含答案

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精[學習目標]1.能夠建立等差數(shù)列模型解決生活中零存整取中的問題。2。在了解儲蓄及利息的計算方法的基礎上能夠建立等比數(shù)列模型解決儲蓄中的自動轉(zhuǎn)存、復利及分期付款問題．知識點一與日常經(jīng)濟生活有關的基本概念1．增長率＝eq\f（增長量，增長前的量)。2．優(yōu)惠率＝eq\f（購買商品獲得的優(yōu)惠額,商品標價）.3．存款利率＝eq\f（利息，存款額）.4．利息＝本金×存期×利率．知識點二常見的模型1．單利和復利用符號P代表本金,n代表存期，r代表利率，S代表本金與利息和(簡稱本利和）．若按單利計算，到期的本利和S＝P(1＋nr);若按復利計算，到期的本利和S＝P(1＋r)n.2．零存整取模型若每月存入金額為x元，月利率r保持不變，存期為n個月，規(guī)定每次存入的錢不計復利，則到期整取時所有本金為nx元，各月利息和為eq\f(nn＋1r，2)x元，全部取出的本利和為nx＋eq\f（nn＋1r,2)x元．3．定期自動轉(zhuǎn)存模型如果儲戶存入定期為1年的P元存款，定期利率為r,約定了到期定期存款自動轉(zhuǎn)存的儲蓄業(yè)務，則連存n年后，儲戶所得本利和為P（1＋r）n元．4．分期付款模型貸款a元，分m個月將款全部付清,月利率為r，各月所付款額到貸款全部付清時也會產(chǎn)生利息，同樣按月以復利計算,那么每月付款款額為eq\f(ar1＋rm,1＋rm－1）。題型一等差數(shù)列模型例1用分期付款的方式購買價格為1150元的冰箱，如果購買時先付150元，以后每月付50元，加入欠款的利息,若一個月后付第一個月的分期付款,月利率為1%，那么第10個月該付多少錢？購冰箱錢全部付清后，實際共付出款額多少元？解購買時付款150元,余款1000元分20次分期付款，每次付款數(shù)組成一個數(shù)列{an}．a(chǎn)1＝50＋（1150－150）×1%＝60(元），a2＝50＋(1150－150－50)×1％＝59。5（元），…，an＝50＋[1150－150－（n－1)×50］×1％＝60－eq\f(1,2)（n－1)(n＝1，2，…，20）．∴｛an}是一個等差數(shù)列，a1＝60，公差d＝－eq\f(1，2）.∴a10＝60－eq\f(1,2)×9＝55。5（元）．S20＝20×60＋eq\f(1，2）×20×19×（－eq\f（1，2)）＝1105(元)．因此，第10個月應付55。5元，全部付清后，實際付出1255元．反思與感悟(1）通過數(shù)學結(jié)果→檢驗→問題結(jié)果．體驗數(shù)學與日常生活及其他學科的聯(lián)系，感受數(shù)學的實用價值，增強應用意識，提高實踐能力,并學會通過查詢資料等手段獲取信息．(2）按單利分期付款的數(shù)學模型是等差數(shù)列,解決該類問題的關鍵是弄清楚：①規(guī)定多少時間內(nèi)付清全部款額；②在規(guī)定的時間內(nèi)分幾期付款，并且規(guī)定每期所付款額相同;③規(guī)定多長時間段結(jié)算一次利息,并且在規(guī)定時間段內(nèi)利息的計算公式．跟蹤訓練1教育儲蓄是一種零存整取的定期儲蓄．某同學依教育儲蓄的方式從2004年11月1日開始,每月按時存入250元，連續(xù)存6年，月利率為0.3%。求到期一次可支取本利和共多少元?解根據(jù)題意,到期一次可支取本利和為250×(72＋eq\f(72×73,2）×3%)＝19971（元)．答到期一次可支取本利和共為19971元．題型二等比數(shù)列模型例2銀行有另一種儲蓄業(yè)務為定期存款自動轉(zhuǎn)存．例如，儲戶某日存入一筆1年期定期存款，1年后，如果儲戶不取出本利和．則銀行自動辦理轉(zhuǎn)存業(yè)務,第2年的本金就是第1年的本利和．按照定期存款自動轉(zhuǎn)存的儲蓄業(yè)務(暫不考慮利息稅)，我們來討論以下問題：（1)如果儲戶存入定期為1年的P元存款，定期年利率為r，連存n年后，再取出本利和．試求出儲戶n年后所得本利和的公式;（2)如果存入1萬元定期存款，存期1年，年利率為2.79%，那么5年后共得本利和多少萬元（精確到0.001）?解（1）記n年后得到的本利和為an，根據(jù)題意，第1年存入的本金P元，1年后到期利息為P·r，1年后本利和為a1＝P＋P·r＝P（1＋r)(元）；2年后到期利息為P(1＋r）r元,2年后本利和為a2＝P（1＋r）＋P（1＋r）r＝P(1＋r)2（元）；……各年的本利和是一個以a1＝P（1＋r）為首項，公比q＝1＋r的等比數(shù)列｛an｝，故n年后到期的本利和an＝a1qn－1＝P（1＋r)（1＋r）n－1＝P(1＋r）n（元）（復利公式）．（2)根據(jù)上式,5年后本利和為a5＝1×(1＋0。0279）5≈1.148（萬元)．答5年后得本利和約為1。148萬元．反思與感悟求解此類問題應先把實際問題轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列問題，在建立等比數(shù)列模型后，運算中往往要運用指數(shù)運算等，要注意運算的準確性,對于近似計算問題，答案要符合題設中實際問題的需要．跟蹤訓練2某人從2016年起,每年1月1日都到銀行存款a元(均為一年期），若年利率為p保持不變，且每年到期的存款連同利息都及時轉(zhuǎn)為新的一年期存款,此人到2026年1月1日不再存款，而將所有存款及利息全部取回,則他可取回的總錢數(shù)為多少？解從2016年年初到2017年年初有存款b1＝a（1＋p)元，設第n年年初本息有bn元，第n＋1年年初有bn＋1元，則有bn＋1＝（bn＋a)（1＋p）．將之變形為bn＋1＋eq\f(a1＋p,p）＝(1＋p）[bn＋eq\f(a1＋p,p）］，其中b1＋eq\f（a1＋p,p)＝eq\f（a1＋p2，p).∴｛bn＋eq\f(a1＋p,p)}是以eq\f（a1＋p2,p）為首項，(1＋p)為公比的等比數(shù)列，于是bn＝eq\f（a，p)［（1＋p）n＋1－（1＋p）]，即這個家庭到2026年年初本利可達eq\f（a,p）［（1＋p）11－(1＋p）］元．題型三等差、等比數(shù)列在經(jīng)濟生活中的綜合應用例3某國采用養(yǎng)老儲備金制度，公民在就業(yè)的第一年就交納養(yǎng)老儲備金，數(shù)目為a1，以后每年交納的數(shù)目均比上一年增加d(d〉0），因此，歷年所交納的儲備金數(shù)目a1，a2,…是一個公差為d的等差數(shù)列．與此同時,國家給予優(yōu)惠的計息政策，不僅采用固定利率，而且計算復利．這就是說，如果固定利率為r(r>0）,那么，在第n年末,第一年所交納的儲備金就變?yōu)閍1(1＋r）n－1,第二年所交納的儲備金就變?yōu)閍2（1＋r）n－2,…，以Tn表示到第n年末所累計的儲備金總額．(1）寫出Tn與Tn－1(n≥2)的遞推關系式;（2）求證:Tn＝An＋Bn，其中｛An｝是一個等比數(shù)列，｛Bn}是一個等差數(shù)列．解(1)依題設有Tn＝Tn－1（1＋r）＋an(n≥2）．(2）T1＝a1，對n≥2反復使用上述關系式,得Tn＝Tn－1(1＋r)＋an＝Tn－2(1＋r)2＋an－1（1＋r）＋an＝a1（1＋r)n－1＋a2（1＋r）n－2＋…＋an－1（1＋r）＋an。①在①式兩端同乘(1＋r），得（1＋r）Tn＝a1(1＋r)n＋a2(1＋r）n－1＋…＋an－1（1＋r)2＋an（1＋r）．②②－①,得rTn＝a1（1＋r)n＋d［（1＋r)n－1＋(1＋r)n－2＋…＋（1＋r)］－an＝eq\f(d,r）[（1＋r)n－1－r]＋a1（1＋r)n－an,又an＝a1＋（n－1)d，則Tn＝eq\f(a1r＋d,r2）(1＋r)n－eq\f（d，r)n－eq\f（a1r＋d,r2).如果記An＝eq\f（a1r＋d,r2)（1＋r)n，Bn＝－eq\f（a1r＋d，r2）－eq\f（d,r）n，則Tn＝An＋Bn，其中{An}是以eq\f(a1r＋d，r2）（1＋r)為首項，以1＋r（r〉0)為公比的等比數(shù)列，｛Bn｝是以－eq\f(a1r＋d，r2）－eq\f(d,r)為首項，－eq\f（d，r）為公差的等差數(shù)列．反思與感悟解答等差、等比數(shù)列綜合應用問題的關系是通過審題,將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)列模型，運用等差數(shù)列和等比數(shù)列的知識解決問題,因此在做題過程中必須明確建立的是等差數(shù)列模型還是等比數(shù)列模型，明確是求n，還是求an，或是求Sn.跟蹤訓練3據(jù)美國學者詹姆斯·馬丁的測算，在近十年，人類知識總量已達到每三年翻一番,2020年甚至會達到每73天翻一番的空前速度．因此，基礎教育的任務已不是教會一個人一切知識，而是讓一個人學會學習．已知2000年底，人類知識總量為a，假如從2000年底到2009年底是每三年翻一番,從2009年底到2019年底是每一年翻一番，2020年是每73天翻一番．試回答:(1)2009年底人類知識總量是多少？(2）2019年底人類知識總量是多少？(3)2020年按365天計算,2020年底人類知識總量是多少？解由于翻一番是在原來的基礎上乘以2，翻兩番是在原來的基礎上乘以22，…，翻n番是在原來的基礎上乘以2n。于是(1）從2000年底到2009年底是每三年翻一番,共翻三番,在a的基礎上,2009年底人類知識總量為23a＝8a。(2）從2009年底到2019年底是每一年翻一番,共翻十番,所以2019年底人類知識總量為8a×210＝8192a。(3）2020年是每73天翻一番,而2020年按365天計算,共翻五番，所以2020年底人類知識總量為8192a×25＝262144a.1．一群羊中,每只羊的重量數(shù)均為整千克數(shù)，其總重量為65千克,已知最輕的一只羊重7千克，除去一只10千克的羊外，其余各只羊的千克數(shù)恰構成一等差數(shù)列，則這群羊共有（)A．6只B．5只C．8只D．7只答案A解析依題意除去一只羊外,其余n－1只羊的重量從小到大依次排列構成等差數(shù)列．設a1＝7,d〉0，Sn－1＝65－10＝55，∴(n－1）a1＋eq\f(n－1n－2，2)d＝55，即7(n－1）＋eq\f（n－1n－2d，2）＝55，∴(n－1）［7＋eq\f（n－2d，2）］＝55?！?5＝11×5且（n－1)為正整數(shù)，[7＋eq\f(n－2d，2）］為正整數(shù)．∴eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(n－1＝5，，7＋\f(n－2,2)d＝11.））解得n＝6.2．通過測量知道，溫度每降低6℃，某電子元件的電子數(shù)目就減少一半．已知在零下34℃時，該電子元件的電子數(shù)目為3個，則在室溫27℃時，該元件的電子數(shù)目接近(）A．860個 B．1730個C．3072個 D．3900個答案C解析由題設知,該元件的電子數(shù)目變化為等比數(shù)列，且a1＝3，q＝2，由27－(－34）＝61,eq\f(61,6）＝10eq\f（1，6），可得a11＝3·210＝3072，故選C。3．一個卷筒紙，其內(nèi)圓直徑為4cm，外圓直徑為12cm，一共卷60層，若把各層都視為一個同心圓，π＝3。14，則這個卷筒紙的長度為(精確到個位）（）A．14mB．15mC．16mD．17m答案B解析紙的厚度相同,且各層同心圓直徑成等差數(shù)列，則l＝πd1＋πd2＋…＋πd60＝60π·eq\f（4＋12,2）＝480×3.14＝1507.2(cm)≈15m,故選B.4．某企業(yè)在2016年年初貸款M萬元,年利率為m，從該年年末開始，每年償還的金額都是a萬元，并恰好在10年間還清，則a的值等于()A.eq\f（M1＋m10,1＋m10－1) B。eq\f（Mm,1＋m10)C.eq\f（Mm1＋m10，1＋m10－1) D.eq\f(Mm1＋m10,1＋m10＋1）答案C解析由已知條件和分期付款公式可得，a［(1＋m)9＋（1＋m)8＋…＋（1＋m)＋1]＝M（1＋m)10，故a＝eq\f(Mm·1＋m10，1＋m10－1）.5．某房屋開發(fā)商出售一套50萬元的住宅，可以首付5萬元，以后每過一年付5萬元，9年后共10次付清，也可以一次付清（此后一年定期存款稅后利率設為2%，按復利計算）并優(yōu)惠x％，為鼓勵購房者一次付款，問優(yōu)惠率應不低于多少？(x取整數(shù)，計算過程中參考以下數(shù)據(jù)：1。029＝1.19，1.0210＝1.2,1。0211＝1。24）(）A．15％ B．16%C．17% D．18％答案B解析由題意，知50（1－x％）（1＋2%)9≤5(1.029＋1。028＋…＋1.02＋1)．整理，得1－x%≤eq\f（1。0210－1,10×1.029×0。02)＝eq\f（1，1。19）＝0。8403,∴x％≥15.97%，∴一次付款的優(yōu)惠率應不低于16％。數(shù)列應用問題的常見模型：（1）等差模型：一般地,如果增加（或減少）的量是一個固定的具體量時，該模型是等差模型，增加（或減少）的量就是公差，其一般形式是:an＋1－an＝d(常數(shù)）．例如：銀行儲蓄單利公式,利息按單利計算，本金為a元,每期利率為r,存期為x，則本利和y＝a(1＋xr)．（2)等比模型：一般地，如果增加(或減少)的量是一個固定百分數(shù)時，該模型是等比模型，增加（或減少)的百分數(shù)就是公比,其一般形式是：eq\