文科統(tǒng)計(jì)與概率1-回歸分析

??????；?nnn????????；?nnn??文科統(tǒng)計(jì)概率1-回歸分析一回分、函數(shù)關(guān)系函數(shù)關(guān)系是一種確定性的關(guān)系，如一次函數(shù)，二次函數(shù)2、相關(guān)關(guān)系變量間確實(shí)存在關(guān)系，但又不具備函數(shù)關(guān)系所要求的確定性，它們的關(guān)系帶有隨機(jī)性3、散點(diǎn)圖把兩個(gè)變量的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)分別作為橫、縱坐標(biāo)，在直角坐標(biāo)系中描點(diǎn)，這樣的圖叫做散點(diǎn)圖，通過(guò)散點(diǎn)圖可以初步判斷兩個(gè)變量之間是否具有相關(guān)關(guān)系。（）相散點(diǎn)中點(diǎn)布左角右角區(qū)（）負(fù)關(guān)散圖，分在上到右角區(qū)4、回歸直線：如果散點(diǎn)圖中點(diǎn)的分布從整體上看大致在一條直線附近，我們就稱這兩個(gè)變量之間具有線性相關(guān)關(guān)系，這條直線叫作回歸直線。5、求回歸直線方程的一般步驟作散點(diǎn)圖由樣本點(diǎn)是否呈條狀分布來(lái)判斷兩個(gè)量否具有線性相關(guān)關(guān)粗）或者計(jì)算相關(guān)系數(shù)r（|r越接近于，兩個(gè)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)，若存在線性相關(guān)關(guān)系→求歸系數(shù)→寫出回歸直線方程并利用回歸直線方程進(jìn)預(yù)測(cè)明、線性回歸方程：

x

其中，

n(x)iiix)2iix

yiiix22ii注：線回直經(jīng)定(,y)

，點(diǎn)(,)

稱樣點(diǎn)中。最小二乘法是使得樣本數(shù)據(jù)的點(diǎn)到回歸直線的距離的平方和最小的方法上式是

和

b

的值的最好估計(jì)

b是率估值若

每加個(gè)位

的就加

??

每加個(gè)位的就少、相關(guān)系數(shù)（判定兩個(gè)變量線性相關(guān)性

r

i

(x

i

)(y)i

(x)i

2

(yyi

2注：⑴r時(shí)變量xy正關(guān)；此時(shí)

ii相當(dāng)于回歸直線方程中的斜率為正r

<0時(shí)變量負(fù)相關(guān)；此

相當(dāng)于回歸直線方程中的斜率為負(fù)⑵①|(zhì)r越近于，個(gè)變量的線性相關(guān)性強(qiáng)；②|r接于時(shí)兩個(gè)變量之間幾乎不存在線性相關(guān)關(guān)系。通當(dāng)

|r

時(shí)，認(rèn)為兩個(gè)變量有很強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系。如果兩個(gè)變量不具有線性相關(guān)關(guān)系，即使求出回歸方程也毫無(wú)意義，用其進(jìn)行預(yù)測(cè)也是不可信的。8、回歸分析：對(duì)具有相關(guān)關(guān)系兩個(gè)變量進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析的一種常用方法。9、回歸方程擬合效果分析評(píng)價(jià)回歸效果的三個(gè)統(tǒng)計(jì)量：總偏差平方和（總的效應(yīng))；殘差平方和(隨誤差的效應(yīng)

回歸平方和（解釋變量的效應(yīng)（）算每組觀測(cè)數(shù)據(jù)殘差

i

yi

i

，列出樣本編號(hào)

i

與對(duì)應(yīng)殘差

i（）樣本編號(hào)為橫坐標(biāo)，殘差為縱坐標(biāo)，作出的圖形稱為殘差圖（）析殘差圖。殘差點(diǎn)比較均勻落在水平的帶狀區(qū)域中，說(shuō)明選用的模型比較合適，這樣的帶狀區(qū)域?qū)挾仍秸f(shuō)模擬合精度越高回歸方程的預(yù)報(bào)精度越高每個(gè)殘差的絕對(duì)值越小，帶狀區(qū)域?qū)挾仍秸?，擬合效果越好）（）根據(jù)殘差圖，查找異常樣本數(shù)據(jù)（）算殘差的平方和

(

i

)i

，殘差平方和越小，擬合效果越好。i（）算相關(guān)指數(shù)

i

(i(i

)2iy)2

，指數(shù)越大，殘差平方和越小，擬合效果越好。i（其中

()i

稱為總偏差平方和，回歸平方=偏差平方和殘差方和）i10、線性回歸問(wèn)題非線性回歸問(wèn)題有時(shí)并不給出經(jīng)驗(yàn)公式，此時(shí)可畫出已知數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖以前學(xué)過(guò)的各種函（冪函數(shù)指數(shù)函對(duì)數(shù)函數(shù)等像比較選一種跟這散點(diǎn)圖擬合得最好的函數(shù)后采用適當(dāng)?shù)淖兞恐脫Q問(wèn)題轉(zhuǎn)化為線性回歸分析問(wèn)題，使之得到解決。11、種非線性回歸方程擬合效果的比較（中段涉）（）于給定的樣本點(diǎn)確個(gè)變量是解釋變量x,個(gè)是預(yù)報(bào)變量y,畫出散點(diǎn)圖后據(jù)已知的函數(shù)知識(shí)，分別建立兩個(gè)回歸方程。（）為線回方，通適的量置，化線回方非線性回歸問(wèn)題的處理方法：指函型①函y的圖像：

②處理法兩邊取對(duì)數(shù)得lnln(

)即lnbx令z把原始數(shù)（）轉(zhuǎn)化為（x,z根線性回歸模型的方法求出a對(duì)曲型ln①函ln圖像②處方法：設(shè)

，原方程可為bx

再根據(jù)線性回歸模型的方法求出a,b.二函

y型處理方法：設(shè)

，原方程可化為ybx

再根據(jù)線性回歸模型的方法求出,b（）一定規(guī)則估計(jì)回歸方程中的參數(shù)（如最小二乘求得線性回歸方程后可再轉(zhuǎn)化為原來(lái)的非線性回歸方程（）析擬合效果。分別計(jì)算殘差，列表比較，殘差的絕對(duì)值越小，擬效果iii越好。（）般情況下，比較兩個(gè)模型的殘差比較困難，原因是某些樣本點(diǎn)上一個(gè)模型的殘差的絕對(duì)值比另一個(gè)模型的小，而另一些樣本點(diǎn)的情況則相反。此時(shí)需計(jì)算殘差的平方和

(i

i

)

，殘差平方和越小，擬合效果越好。i（）可計(jì)算相關(guān)指數(shù)

i

()ii()i

，指數(shù)越大，殘差平方和越小，擬合效果越i好。（其中

(

i

)

稱為總偏差平方和，回歸平方=偏差平方和殘差方和）i

2222二、歷年高考試題匯編(2012年科新課標(biāo)卷3在一組樣數(shù)x?,x?1122n121不全相等）的散點(diǎn)圖中，若所有樣本點(diǎn)yi=1,2?在直線=x上則這組樣ii本數(shù)據(jù)的樣本相關(guān)系數(shù)為（）－

（）

1（）

（）(2009年文科新課標(biāo)卷3對(duì)變量

x,

x有觀測(cè)數(shù)（i，i

i

點(diǎn)；對(duì)變量斷

u,v

v有觀測(cè)數(shù)據(jù)（i，i，，?散圖由這兩個(gè)散點(diǎn)圖可以判A變量與正相關(guān)u與正關(guān)B．量與正關(guān)與v負(fù)關(guān)C．量與負(fù)關(guān)與v正關(guān)D變量與負(fù)關(guān)u與負(fù)關(guān)(2015年文科新課標(biāo)2卷)3根據(jù)下面給出的年我國(guó)二氧化碳年排放量（單位：萬(wàn)噸）柱形圖，以下結(jié)論中不正確的是A逐年比較年少二氧化硫排放量的效果最顯著B．年國(guó)治理二氧化硫排放顯現(xiàn)成效C．2006以來(lái)我國(guó)二氧化硫年排放量呈減少趨勢(shì)D．年以來(lái)我國(guó)二氧化硫年排放量與年份正相

nnnniii?nnnnniii?nn?(2015年課標(biāo)卷19.（小題滿分12分某司為確定下一年度投入某種產(chǎn)品的宣傳費(fèi)，需了解年宣傳費(fèi)x（單位：元）對(duì)年銷售量y（單位：t和年利潤(rùn)z（單位：千元）的影響，對(duì)近年的宣傳費(fèi)x和年銷售量（i=1,2，?數(shù)作了初步處理，得到下ii面的散點(diǎn)圖及一些統(tǒng)計(jì)量的值

w

i

(x)i

2

w)2)(yiiii

i

y

i

()(ii

y)5636.81.6表中

1nwx，8i（I）根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，

y與x

，哪一個(gè)適宜作為年銷售量y關(guān)于年宣傳費(fèi)x的歸方程類型（給出判斷即可，不必說(shuō)明理由）；（II）據(jù)（I的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，建立關(guān)的歸方程；（III）已知這產(chǎn)品的年利潤(rùn)z與x，的系為

z0.2y

，根據(jù)（II）的結(jié)果回答下列問(wèn)題：（i）當(dāng)年宣傳費(fèi)x時(shí)，年銷售量及年利潤(rùn)的預(yù)報(bào)值時(shí)多少？（ii）當(dāng)年宣傳費(fèi)為何時(shí)，年利潤(rùn)的預(yù)報(bào)值最大？附：對(duì)于一組數(shù)據(jù)（u，v）（u，）?，v）其回歸直線2n

的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為

i

(i

)(v)i)2i

，

i

三、模擬演練下兩個(gè)變量具有相關(guān)關(guān)系的是（）正方體的體積與邊長(zhǎng)B.人的身高與視力C.人的身高與體重D.速直線運(yùn)動(dòng)中的位移與時(shí)間在兩個(gè)變量的散點(diǎn)圖時(shí)，下面哪個(gè)敘述是正確的（）預(yù)報(bào)變量在x軸，解釋變量在軸解釋變量x軸，預(yù)報(bào)變量在軸上C.可選擇兩個(gè)變中任意一個(gè)變量在軸上可擇兩個(gè)變量任意一個(gè)變量在y軸回直線bx必（）(0,0)

(

C.)

(xy兩變量與的歸模型中分別選擇了4個(gè)同模型它們相關(guān)指數(shù)中擬合效果最好的模型是（）

如下其模型1的相關(guān)指數(shù)R

為模型的相關(guān)指數(shù)為C.模的相關(guān)指數(shù)R為模相關(guān)指數(shù)R

為0.25在歸分析中，殘差圖中縱坐標(biāo)為（）殘差樣編號(hào)xD.e通e,e,,e來(lái)判斷模型擬合的效果判斷原始數(shù)據(jù)中是否存在可疑數(shù)據(jù)這種分工稱為（）回分析獨(dú)立性檢驗(yàn)分析C.殘差分析散圖分析兩變量與的歸模型中，求得回歸方程為y

，當(dāng)解釋變量時(shí)（）.預(yù)報(bào)變量

預(yù)變量y大C.預(yù)變量小于e在歸分析中，求得相關(guān)指數(shù)

預(yù)變量ye0.89，（.

左右解釋變量對(duì)總效應(yīng)的貢獻(xiàn)是1%B.

解釋變量對(duì)總效應(yīng)的貢獻(xiàn)是89%C.隨誤差的貢獻(xiàn)9%、r越接近于1兩個(gè)變量的線性相關(guān)關(guān)系

隨機(jī)誤差的貢獻(xiàn)是10已知回歸直線方程y0.81,x25時(shí)y的計(jì)值為、越近回的效果.

12在研究身高與體重的關(guān)系時(shí)，求得相關(guān)指數(shù)

，可以敘述為“身高解釋了69%的體重變化，而隨機(jī)誤差貢獻(xiàn)了剩余”以身高對(duì)體重的效應(yīng)比隨機(jī)誤差的.

??、廣文科卷）下表提供了某廠節(jié)能降耗技術(shù)改造后生產(chǎn)甲產(chǎn)品過(guò)程中記錄的產(chǎn)量x()與相應(yīng)的生產(chǎn)能耗(噸標(biāo)準(zhǔn)煤)的幾組對(duì)照數(shù)據(jù)x

3

請(qǐng)根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出y

請(qǐng)畫出上表數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖；關(guān)于x的性回歸方程ybx

；已知該廠技改前100甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗噸標(biāo)準(zhǔn)煤．試根2)求出的線性回歸方程，預(yù)測(cè)生產(chǎn)1噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗比技前降低多少噸標(biāo)準(zhǔn)?(參考數(shù)值

2.566.5

)14假設(shè)關(guān)于某設(shè)備的使用年限x和所支出的維修費(fèi)用y（萬(wàn)元）有如下的計(jì)資料：使用年限維修費(fèi)用

2.2

3.8

5.5

6.5

7.0若由資料知y對(duì)x呈性相關(guān)關(guān)系，試求：（1線性回歸方程

x（2估計(jì)使用年限為10年，維修費(fèi)用是多少？

15關(guān)y有如下數(shù)據(jù)：24

6

8

30