無窮小的比較課件

無窮小的比較由無窮小的性質(zhì)可知,兩個無窮小的和、差、積仍為無窮小,

但兩個無窮小的商會出現(xiàn)不同的情況。如當0?x時,函數(shù)x2,xsin都是無窮小。但是0=￥=21=而0sin?x與02?x的“快”、“慢”差不多。(3)2sinxx比02?x“快些”,事實上反之“慢些”02?x比由此可見,無窮小雖然都是以0為極限的變量,

但它們趨向0的速度不一樣,趨向0的“快”、“慢”程度,我們引入無窮小的“階”的概念。下面僅給出0xx?時的無窮小比較的定義,對于+?0xx,-?0xx,￥?x,+￥?x-￥?x等情況的無窮小比較的定義可類似。為了反映無窮小定義

設(shè)0)(lim0=?xxxa

0)(lim0=?xxxb0)()(lim0=?xxxxab（1）如果,則稱)(xb是比)(xa高階的無窮小,記為))(()(xoxab=（2）如果￥=?)()(lim0xxxxab,則稱)(xb是比)(xa低階的無窮小。)1,0(1（3）如果)()(lim0=?Cxxxxab

則稱)(xb與)(xa是同階無窮小。（4）如果1)()(lim0=?xxxxab

則稱)(xb與)(xa為等價無窮小,記為)(~)(xxab例如

03lim30=?xxxQ

)0(?x)3(3=\xox1sinlim0=?xxxQ

)0(?x~sin\xx1-\x與12-x同階無窮小)1(?x)0(?x解例如

,當～時～～又如

，故時是關(guān)于x的二階無窮小,～且例1.

證明:

證:因此即有等價關(guān)系:說明:上述證明過程也給出了等價關(guān)系:例2.

證明:當時,～證:～常用等價無窮小:注上述10個等價無窮?。òǚ?、對、冪、指、三）必須熟練掌握定理設(shè)當0xx?時,)(~)(xxaa￠,)(~)(xxbb￠且)()(lim0xxxxab￠￠?存在(或￥),)()(lim0xxxxab￠￠=?則)()(lim0xxxxab?證明

因)()(lim0xxxxab?)()(lim0xxxxab￠￠=?(證畢))()(xxaa￠)()(xxab￠￠)()(xxbb￠lim0xx=?)()(lim0xxxxaa￠?)()(lim0xxxxab￠￠?)()(lim0xxxxbb￠=?23lim0=?xxx例1求2tan3sinlim0?xxx0=0lim30=?xxlim30-=?xxxx這種解法是錯誤的！解正確的解法如下.正確的解法如下.cos21lim0=?xxcos2lim320.=?xxxxxcos)cos1(sinlim30-=?xxxxxsintanlim30-?xxxx解注意：無窮小量替換分子或分母，也可替換分用無窮小的等價替換簡化極限運算時，可用“-”號連接的各部分不能分別作替換。等價分母子或的因子，而對分子或分母中“+”，例3.

求解:例4解不能濫用等價無窮小代換.切記，只可對函數(shù)的因子作等價無窮小代換，對于代數(shù)和中各無窮小不能分別代換.注意內(nèi)容小結(jié)1.無窮小的比較設(shè),對同一自變量的變化過程為無窮小,