2022高考數(shù)學萃取精華試題（11）新人教A版

2022高考數(shù)學萃取精髓30套（11）江西五校聯(lián)考20．（本小題滿分12分）已知，函數(shù)f(x)alnx1，g(x)lnx1exx（其中為自然對數(shù)的底數(shù)）．x（1）判斷函數(shù)在區(qū)間上的單一性；（2）是否存在實數(shù)00,e，使曲線yg(x)在點處的切線與軸垂直若存在，求出的值；x若不存在，請說明原因．20（1）解：∵f(x)alnx1，∴fa1xa．x(x)xx2x2令f(x)0，得．①若，則f(x)0，fx在區(qū)間上單一遞增②若0ae，當x0,a時，f(x)0，函數(shù)fx在區(qū)間0,a上單一遞減，當xa,e時，f(x)0，函數(shù)fx在區(qū)間上單一遞增，③若，則（2）解：∵

f(x)0，函數(shù)fx在區(qū)間上單一遞減6分g(x)lnx1exx，x0,e，g(x)lnx1exlnx1ex1exlnx1ex11lnx1ex1xx由（1）可知，當時，f(x)11．lnxx此時在區(qū)間上的最小值為ln10，即1lnx10．x當x0曲線y而gx0故不存在x0

0,e，ex00，1lnx010，∴g(x0)1lnx01ex0110．x0x0g(x)在點xx處的切線與軸垂直等價于方程g(x)0有實數(shù)解．000，即方程g(x0)0無實數(shù)解．0,e，使曲線yg(x)在點xx0處的切線與軸垂直12分21．（本小題滿分12分）已知線段CD23，的中點為，動點知足ACAD2a（為正常數(shù)）．（1）成立適合的直角坐標系，求動點所在的曲線方程；（2）若，動點知足BCBD4，且OAOB，試求AOB面積的最大值和最小值．（1）以為圓心，所在直線為軸成立平面直角坐標系若ACAD2a23，即0a3，動點所在的曲線不存在；若ACAD2a23，即a3，動點所在的曲線方程為y0(3x3)；若ACAD2a23，即a3，動點所在的曲線方程為x2y21a2a234分2當時，其曲線方程為橢圓x2y214由條件知兩點均在橢圓x2y21上，且OAOB41設A(x1,y1)，B(x2,y2)，的斜率為(k0)，則的方程為ykx，的方程為yx解k方程組ykx得x24，24k2x222y12y1114k44k24k224同理可求得x2k2，y2k244AOB面積S11k2x11x=2(1(1k2)24)分21k224k2)(k28令1k2t(t1)則S24t2t292919t94t2t令g(t)9949(11)225(t1)所以4g(t)25，即4S1t2tt2445當時，可求得,故4S1，故的最小值為4，最大值為112分55（2）另解：令A(r1cos,r1sin),B(r2sin,r2cos)，則122222444r1cosr1sin1r1cos24sin213sin21,解得44222224r2sinr2cos1r2sin24cos213cos2所以r12r22416cos216642，而sin220,19sin29sin2因此S1r1r24,1，即最大值是1，最小值是425522．（本小題滿分12分）函數(shù)f(x)1x(0x1)的反函數(shù)為f1(x)，數(shù)列和知足：a11，an1f1(an)，函x2數(shù)yf1(x)的圖象在點n,f1(n)(nN)處的切線在軸上的截距為（1）求數(shù)列{}的通項公式；（2）若數(shù)列{bn}的項中僅b5最小,求的取值范圍；22anana5a5（3）令函數(shù)g(x)11x2,0x1:x110xn1且[f(x)f(x)]2數(shù)列知足,1xx3)2xn)22xn1g(xn)，其中n(xx)2(x2(xn121N證明:12x1x2x2x38xnxn122解:1令yx解得xy;由0x1,解得y0.1,x1yf1(x)x(x0).1x111.an1an{}21an411.ann12f1(x)x(x0),[f1(x)]'1,1x(1x)2yf1(x)(n,f1(n))yn(112(xn),n1n)n2bnn2)22bn.an(n1)(n4.(1n)2an224.525.5.(9,11).83g(x)[f1(x)f(x)]1x2[xx]1x2x,x(0,1).1x21x1x1x21x2xn1xnxn(1xn)12xn,0xn1,xn1xn.xn11xn1xnx21.102xn1xnxn(1xn)1xn111121xn214xn224222811xn(xn1xn)2xn1xn(xn1xn)(xn1xn)(112111xnxn1xnxn1xn)8()xn1xnxn1(x1x2)2(x2x3)2(xn1xn)2211111)11x1x2x2x3xnxn18[(x1)(x3()]x2x2xnxn121(11)21(21)128x1xn18xn11xn11,112,02112xnxn11(x1x2)2(x2x3)2(xn1xn)2211)21x1x2x2x3xnxn18(214xn18仙游一模2014設M是由知足下列條件的函數(shù)組成的會合：“①方程x0有實數(shù)根；②函數(shù)的導數(shù)f(x)知足0f(x)1”（1）判斷函數(shù)f(x)xsinx是否是會合M中的元素，并說明原因；24（2）會合M中的元素擁有下面的性質(zhì)：若的定義域為D，則關于隨意[m，n]D，都存在[m，n]，使得等式f()f()(n)(x0)成立”，nmmf試用這一性質(zhì)證明：方程f(x)x0只有一個實數(shù)根20解：（1）因為f(x)11cosx，24所以f(x)[1,3]知足條件0f(x)1,44又因為當時，f(0)0，所以方程f(x)x0有實數(shù)根0所以函數(shù)f(x)xsinx是會合M中的元素24（2）假定方程f(x)x0存在兩個實數(shù)根,(），則f()0,f()0，不妨設，根據(jù)題意存在數(shù)c(,),使得等式f()f()()f(c)成立因為f(),f(),且，所以f(c)1與已知0f(x)1矛盾，所以方程f(x)x0只有一個實數(shù)根21本小題共14分已知f(x)lnx，g(x)1x2mx7(m0)，直線與函數(shù)、的圖象都相切，且與22函數(shù)的圖象的切點的橫坐標為Ⅰ求直線的方程及的值；Ⅱ若h(x)f(x1)g(x)其中g(x)是的導函數(shù)，求函數(shù)的最大值；Ⅲ當0ba時，求證：f(ab)f(2a)ba2a21解：Ⅰf(x)1f(1)1∴直線的斜率為，且與函數(shù)的圖象的切點坐標為∴直，x線的方程為yx1又∵直線與函數(shù)yg(x)的圖象相切,yx1∴方程組y1x2mx7有一解由上述方程消去，并整理得22x22(m1)x90①2(m2490依題意，方程①有兩個相等的實數(shù)根，1)解之，得m4或m2m0m2Ⅱ由Ⅰ可知g(x)1x22x7，g(x)x2221xh(x)ln(x1)x2(x1)h(x)1x1x1∴當x(1,0)時，h(x)0，當x(0,)時，h(x)0∴當時，取最大值，其最大值為2Ⅲf(ab)f(2a)ln(ab)ln2alnabln(1ba)2a2a0ba，aba0，1ba022a由Ⅱ知當x(1,0)時，h(x)h(0)∴當x(1,0)時，ln(1x)x，ln(1ba)ba∴f(ab)f(2a)ba2a2a2a廣東二模19（本小題滿分14分）已知定點A（0,－1），點B在圓F:x2(y1)216上運動，為圓心線段AB的垂直平分線交BF于P．6（I）求動點P的軌跡的方程；若曲線Q:x22axy2a21被軌跡包圍著，求實數(shù)的最小值。4（II）已知M(2,0)、N(2,0)，動點在圓內(nèi)，且知足|MG||NG||OG|2，2求MGNG的取值范圍．

,YBP519解析：（I）由題意得|PA||PB|，-2∴|PA||PF||PB||PF|r4|AF|2-4∴P點軌跡是以A、F為焦點的橢圓3分設橢圓方程為xy22yx211(ab0)，aa22b2則2a4,a2,a2b2c21,故b23，∴點的軌跡方程為y2x214分-1043

FA

X5-1222222ya1(xa)y11Ey2x21Y(3，0)，(3，0)43E31a31318IIG(x，y)|MG||NG||OG|2(x2)2y2(x2)2y2x2y2x2y22x2y2210MGNG(x2，y)(x2，y)x2y242(y21).F:x2(y1)216x2(y1)216(y1)2163y50y2251222（y21）48GAGB[2,48)1420（本小題滿分14分）a11Snan11{Snn2n}1222232n13(a11)(a21)(a21)(a31)(a31)(a41)(an1)(an11)20an1Sn10,anSn110─(an1an)(SnSn1)0(an1an)anan12(n2)0an2an12Sn10a11a2S110a2S11a1122an2n14Sn12n2n1512{Snn2n}S12,S224,S338,6(S1)(S35)2(S22)86648Snn2nSnn2nn1{n1}{Snn2n}9S12n2n15n12Snn2n(2n1)n2nn1(1)2n7{Snn2n}108{Snn2n}9(a2k1)(2k2k1)2(2k111)101)(a111)(2k12k1kk222232n(a11)(a21)(a21)(a31)(a31)(a41)(an1)(an11)2[(11)(11)(11)(11)]20121212212212212k112k12(12k1)21120k11112(1k1)12332211222232n1143(a11)(a21)(a21)(a31)(a31)(a41)(an1)(an1)121（本小題滿分14分）f(x)x22x2ln(1x)x[11,e1],mfxm22me2efxx2xa,211x0(1,)'x2x222xx22fx1x1f'x0f'x01x00,1,041,[11,0],0,e1f(x)minf(0)0ef(11)11fe1e23e2311,ee2e2x[11,e1],fxm