2019年《計算機數(shù)學(xué)基礎(chǔ)(2)》網(wǎng)上教學(xué)活動文本

《計算機數(shù)學(xué)基礎(chǔ)（2）》網(wǎng)上教學(xué)活動文本（2003.6.18）顧靜相：大家下午好，現(xiàn)在是這門課程的網(wǎng)上視頻活動答疑的時間，這次由馮泰老師和我一起回答問題及期末的重點問題進(jìn)行一下交流。歡迎大家踴躍參加此次活動，將平時學(xué)習(xí)中遇到的自己不能解決的問題提出來，我們會盡量解答。如果暫時不能解答的，請?zhí)峁┼]箱，我們會發(fā)mail過去。馮泰：歡迎大家參加課程討論。顧靜相：關(guān)于計算機數(shù)學(xué)基礎(chǔ)（2）－數(shù)值分析部分的考核：有兩部分組成：形成性考核和期末考試構(gòu)成。形成性考核由平時作業(yè)成績和上機實習(xí)兩個部分。平時作業(yè)成績分?jǐn)?shù)占15分，上機實習(xí)成績占5分。顧靜相：請馮老師說一下關(guān)于期末結(jié)業(yè)性考試的說明。馮泰：期末結(jié)業(yè)性考試實行全國統(tǒng)一考核，根據(jù)中央電大考試處編發(fā)的《計算機數(shù)學(xué)基礎(chǔ)（下）數(shù)值分析部分考試說明》，由中央電大統(tǒng)一命題，統(tǒng)一評分標(biāo)準(zhǔn)，統(tǒng)一考試時間。期末結(jié)業(yè)性考試的考試內(nèi)容和要求以中央電大考試處編發(fā)的《計算機數(shù)學(xué)基礎(chǔ)（下）數(shù)值分析部分考試說明》為準(zhǔn)，要求考核基本概念、基本原理和基本運算．命題覆蓋面可適當(dāng)寬些，但試題難度要適中，題量要適當(dāng)。顧靜相：請將試題類型及分值講一下？馮泰：題型及分值：單項選擇題5題，每題3分；填空題5題，每題3分；計算機4題，每題15分；證明題1題，每題10分。顧靜相：考試可以帶計算器嗎？馮泰：可以帶簡易計算器．二、各章基本問題與重點顧靜相：第九章數(shù)值分析中的誤差基本問題：會求絕對誤差，確定絕對誤差限，會求相對誤差和相對誤差限．會求近似值的有效數(shù)字，會判斷一個近似值有幾位有效數(shù)字．有效數(shù)字的位數(shù)與相對誤差（限）互求．能利用誤差傳播加，減，乘公式.計算絕對誤差限本章重點：有效數(shù)字與絕對（相對）誤差.此章涉及到只是小題。馮泰：第10章線性方程組的數(shù)值解法基本問題：用高斯順序消去法和列主元消去法解線性方程組。用雅可比迭代（簡單迭代）法和高斯一賽德爾迭代法結(jié)線性方程組。判斷線性方程組迭代解的收斂性，尤其是雅可比迭代解的收斂性。知道對稱矩陣、嚴(yán)格對角占優(yōu)矩陣、正定矩陣和矩陣的順序主子式，以及判斷迭代解收斂的幾個定理。本章重點：高斯順序消去法和列主元消去法，雅可比迭代法和高斯－賽德爾迭代法以及迭代解收斂的充分必要條件。顧靜相：如果考這一章就是四個方法，具體用到一個方法還不能確定。但這一類的方法，我們考試時一般都注意到它的步驟不會太多，所以題目不會太繁。馮泰：總體講，大家可以把網(wǎng)上的模擬題、過去考題看一下，他們還是有很高的參考價值的。顧靜相：第11章函數(shù)插值與最小二乘擬合基本問題：熟練掌握求拉格朗日插值多項式的方法，會寫插值基函數(shù)。知道過n+1個互異節(jié)點，所得插值多項式應(yīng)該是次數(shù)不超過n的多項式。了解均差概念和均差的前兩條性質(zhì)，掌握均差的計算。熟練掌握求牛頓插值多項式的方法。知道過n+1個互異節(jié)點，所做的插值多項式是惟一的。知道分段線性插值函數(shù)滿足的條件。會驗證一個函數(shù)S（%）是否三次樣條插值函數(shù)。掌握線性擬合和二次多項式擬合的方法，會熟練地求回歸直線方程。知道最小二乘法，掌握推導(dǎo)法方程組的方法。本章重點：拉格朗日插值多項式及基函數(shù)的構(gòu)造方法，均差與牛頓插值多項式，最小二乘法和直線擬合。馮泰：第12章數(shù)值積分與微分基本問題：知道積分求積的含義，會判斷一個求積公式的代數(shù)精度。了解牛頓一科茨求積公式和科茨系數(shù)的性質(zhì)。熟練掌握梯形或復(fù)化梯形求積公式和拋物線或復(fù)化拋物線求積公式計算定積分。能推導(dǎo)牛頓－科茨求積公式（節(jié)點不超過4個）知道高斯型求積公式和高斯點的概念.會用高斯一勒讓德求積公式計算定積分（給出節(jié)點和系數(shù)）。推導(dǎo)兩個或三個節(jié)點的高斯－勒讓德求積公式。用兩點或三點求導(dǎo)公式計算導(dǎo)數(shù)。本章重點：復(fù)化梯形求積公式和拋物線求積公式，高斯－勒讓德求積公式。顧靜相：第13章方程求根基本問題：用二分法、簡單迭代法、牛頓切線法和弦截法求方程的根。記住二分法二分次數(shù)公式，給出誤差限會確定二分次數(shù)．掌握簡單迭代法的收斂條件。本章重點：四個求方程近似根的方法。馮泰：第14章常微分方程的數(shù)值解法基本問題：.用歐拉法，改進(jìn)的歐拉法（預(yù)報一校正公式或平均形式公式）、四階龍格一庫塔法求一階常微分方程初值問題.知道歐拉法、改進(jìn)歐拉法、龍格一庫塔法的局部截斷誤差..推導(dǎo)求一階常微分方程初值問題的梯形公式．本章重點：歐拉法和改進(jìn)歐拉法，四階龍格－庫塔法三、問題問：1：本學(xué)期計算題的考試范圍？2：本次考試題型是否不變？3：希望增加計算機數(shù)學(xué)基礎(chǔ)（1）的網(wǎng)上答疑時間。顧靜相：1）前面討論的范圍已講過，計算題和證明題出在第十、十一、十二、十三、十四每章有一題，或證明或計算題。2）考試題型幾年保持一樣，填空、選擇、計算、證明。3）我們回去商量一下，如果可以的話，我們可以申報，歡迎大家參加。請大家隨時注意網(wǎng)上的教學(xué)活動安排表。問：今年主要考哪幾章？馮泰：都考問：老師，本次考試哪幾章是重點?顧靜相：這六章都會考到，當(dāng)然第九章屬于出題范圍在選擇或填空方面。后面幾章每章都有一個大題。馮泰：如果硬要說重點的話，那么十一章、十二章學(xué)時多，占得題量也大一些。十章、十三章、十四章學(xué)時相對少，分?jǐn)?shù)要比前兩章少一些。第九章學(xué)時更少，分?jǐn)?shù)也相對更少。問：在使用四階龍格—庫塔法公式進(jìn)行計算時運算量太大，考試中會不會涉及到具體的計算問題？馮泰：會的，計算方法是要掌握的。但是因為選代法是經(jīng)過反復(fù)迭代，逐步精確的。但考試不會那樣，只要兩次或三次即可。四階龍格—庫塔法是求在每個點上的值，但我們會只求1個或2個的值，計算不會很復(fù)雜。這是14章的重要方法，現(xiàn)在這個方法在實用上也比較廣，它還是我們的重點之一。但是不是這次一定能考到，這很難說。如果要考的話，這個公式一定會給出，你只要掌握方法即可。問：今年的考題與去年相比是難還是易?馮泰：不好說，因為出題是以題庫形式出的?？傮w差不多，因為我們要求把握每一套的卷子的難易程度是差不多的。顧靜相：這位同學(xué)是否考慮到由于非典，學(xué)時受到影響，面授課減少，是否會簡單一些。但非常遺憾，考題是非典之前出的卷子，沒有考慮到這方面的原因。但有的電大考慮到非典的因素，將考試安排到了九月。所以你可以到本省的電大問一下，具體考試是在七月，還是九月。問：考試的重點在哪部分？會不會偏重于計算？馮泰：前面對這個問題都已強調(diào)過，計算題60分，證明題10分。選擇、填空題也有簡單的計算。

問：計算機數(shù)學(xué)基礎(chǔ)(2)在期末復(fù)習(xí)時應(yīng)注意哪些問題。顧靜相：剛才已將第九章至十四章每章要注意的基本問題分別提了2-6個，你可以到前面看一下。問：本次考試的重點在哪幾章？請問在計算機結(jié)果中可以用分?jǐn)?shù)表示嗎？顧靜相：應(yīng)該可以。問：第15章至第19章是不是不考？馮泰：第十五章至第十九章不考，它是選修部分，由各省市電大自行安排，如果要選是在下學(xué)期。問：弦截法求f(x)=0的近似根的迭代公式為？馮泰：公式書上有，大家可以看。說明一點：書上舉的例子，每解一部都判斷正負(fù)，都是取的一正一負(fù)，這樣取顯然收斂的速度非?？?。按照書上的公式，可以不判斷，就是按照公式可以求出。這種迭代法一般要求求兩三次或三四次即可。問：計算機數(shù)學(xué)基礎(chǔ)(2)應(yīng)該怎樣進(jìn)行期末復(fù)習(xí)馮泰：主要的公式回顧一下，計算題看思路。問：迭代法中那個是重點？馮泰：看是哪一章的迭代法，第十三章、第十章都有。我覺得第十章講了兩個，都是同樣的。第十三章講了簡單和快速迭代法，主要考簡單迭代法?？焖俚ɑ静豢肌ｎ欖o相：在實際問題中常有這樣的問題，要求精確到10的負(fù)多少次方，如10－4吧．應(yīng)計算到小數(shù)點后幾位才可以昵？馮泰：I%1—x2|<10-4=0.0001|%1—x2|<|%1—%*|+|%*—x2|<0,00005+0.00005<10-4=0.0001所以只要取小數(shù)點后四位．絕對誤差限是0.00005．顧靜相：高斯—勒讓德求積公式只限于討論在區(qū)間［—1，1］的積分嗎？馮泰：是的．高斯—勒讓德求積公式的求積節(jié)點和系數(shù)都是已給定的，所給都是在區(qū)間［—1，1］內(nèi)的，所以用這些節(jié)點和系數(shù)時，必須是考慮在［—1，1］上．但是高斯—勒讓德求積公式又可以求有限區(qū)間上的積分問題．必須將有限區(qū)間的積分變換為［—1,1］上.在教材上作了說明.對區(qū)間［4,b］,作變換/2%—b—at—— ,當(dāng)%=a時，t=—1,%=b時，t=1,于是b—ab 1 2%—b—ab—aJbf(%)d%—J1f(― )—;—dta 1—b—a2如用高斯—勒讓德求積公式計算積分J1v1J1v1+%d%—0—11\%+1此時的被積函數(shù)是f(%)―-V11+二；一2- 2顧靜相：這學(xué)期學(xué)習(xí)的內(nèi)容，公式都較長，是不是都必須記住昵？馮泰：有些可以不記，一旦要用，會在題目中給出：高斯－賽德爾迭代矩陣；科茨求積公式；三點求導(dǎo)公式；高斯求積公式；(二階、三階、四階)龍格－庫塔法公式；(6)科茨系數(shù)、高斯－勒讓德公式的系數(shù)和高斯點；(7)第10~14章中的誤差估計公式．顧靜相：在用四舍五入的方法取有效數(shù)字時，如取五位有效數(shù)字，是只看左起第6位四舍五入呢，還是也要看更后邊的數(shù)？求%*=9.12745…的四位有效數(shù).是得：x=9.127對還是得x=9.128對？馮泰：用四舍五入的方法求一個數(shù)的近似值，取到有效數(shù)字的那個位，只看下一位，是“4”以下，舍去，是“5”以上，入上1．與再下一位無關(guān)．本題得x=9.127正確.如果考慮再下一位，是“5”，“7”的下一位是4，進(jìn)成“5”，于是得到x，=9.128.這是錯誤的.我們來計算一下誤差．e=x—x*=9.127—9.12745…=—0.00045…只需取￡=0.0005,有|e^￡=0.0005=0.5X10-3=0.5X101-4,可見x=9.127有四位有效數(shù)字．再看xr=9.128,e'=x'—x*=9.128—9.12745…=0.00055…，需要取￡'=0.005,有|e'k￡'=0.005=0.5X10-2=0.5X101-3,可見x，=9.128只有三位有效數(shù)字．再重復(fù)一遍,用四舍五入的方法求一個數(shù)的近似值,取到有效數(shù)字的那個位,只看下一位,是“4”以下,舍去,是“5”以上,入上1．與再下一位無關(guān)．顧靜相：這學(xué)期有那些方面的證明題？馮泰：迭代法收斂性證明；多項式最高次冪系數(shù)的證明,構(gòu)造牛頓插值多項式的證明；直線擬合最小二乘法的法方程組的推導(dǎo)；求積公式代數(shù)精度的證明；推導(dǎo)證明牛頓—科茨求積公式(節(jié)點不超過4個)(或求科茨系數(shù)的證明)；高斯—勒讓德求積公式推導(dǎo)證明(節(jié)點不超過3個)；用二分法求方程根迭代次數(shù)或簡單迭代法收斂性的證明；改進(jìn)歐拉法的梯形公式的推導(dǎo)；馮泰：今年重點：1)牛頓插值多項式的證明：如錄課課中：10(x)牛頓插值多項式為7/、rx-x(x-x)(x-x) (x-x)(x-x)...(x-x)1(x)=1+ 0—+ 0 1+…+ 0 1 n-10x-x (x-x)(x-x) (x-x)(x-x)...(x-x)2)牛頓—科茨求積公式 n3)簡單迭代法的收斂問題：見教材115頁13章四13.2(B)類的第1題。4)梯形公式的推導(dǎo)。顧靜相：牛頓插值多項式與拉格朗日插值多項式有什么區(qū)別？馮泰：拉格朗日插值多項式是n+1個插值基函數(shù)lk(x)的線性組合.當(dāng)增加節(jié)點時，插值基函數(shù)要重新計算；牛頓插值多項式是通過均差構(gòu)造的．當(dāng)增加節(jié)點時，只需多計算最后一個均差值。過n+1個互異節(jié)點構(gòu)造的多項式是不超過n次的。這個多項式是惟一的。顧靜相：插值型求積公式與高斯型求積公式有何區(qū)別？馮泰：插值型求積公式是由函數(shù)插值得來的，有了公式后，估計其代數(shù)精度；而高斯型求積公式是根據(jù)代數(shù)精度去求得求積公式的精度和系數(shù)。顧靜相：函數(shù)插值與最小二乘法有什么不同？馮泰：都是求一個近似表達(dá)式，函數(shù)要求表達(dá)式通過這n+1個節(jié)點，最小二乘法不要求表達(dá)式必須通過這n+1個節(jié)點。馮泰：我認(rèn)為考試比上學(xué)期好對付一些，但是我也參加一些輔導(dǎo)課，一些同學(xué)平時對數(shù)字計法不太重視，到了考試的時候容易計算出錯。提醒大家到了考場一定要細(xì)心、細(xì)心、再細(xì)心。將數(shù)看準(zhǔn)，計算機按準(zhǔn)確。顧靜相：如果在中間計算機過程中間一個數(shù)字錯誤，將導(dǎo)致后面所有的計算的錯誤，所以大家在考試時不要慌。馮泰：一般考試的技巧：先做分值高的。然后回過頭來做分值低的和難的。我們考試的時候是按照章節(jié)排列的，不是按難易程度排列的?？傮w講，我們的計算量也不是非常大，所以大家一定要踏踏實實地做。顧靜相：高斯－賽德爾迭代法是雅可比迭代法改進(jìn)后的方法，那么高斯－賽德爾迭代法是不是一定比雅可比迭代法好昵？馮泰：在收斂情況下，前者速度快些．有雅可比收斂，高斯－賽德爾發(fā)散例子，如線性方程組x+2x-2x=1<x+x+x=12x+2x+x=11 23問：改進(jìn)歐拉法的兩種形式有何差別？解答：它們是一個公式，平均形式的公式便于計算機編制程序.預(yù)報值 yk]=y「hf(x『yj預(yù)報校正公式：｛4t〃 k+1 khkk —校正值y=y+[f(x,y)+f(x,y)]k+1 k2kk k+1k+1hy=y+-[f(x,y)+f(x,y+hf(x,y))](k=10,1，…,n-1)k+1 k2kk k+1k kk

乙=乙+hf(x，yk)平均形式：＜yc=yk+hf(xk+1,yp)1， 、八… 八yk+1=2(yp+yc)(k=0，1，-，n-1)yp正是預(yù)報值，將yp,y/代入到y(tǒng).k+1中，正是預(yù)報一校正公式的yk+1.問：將積分區(qū)間［。,b］二等分，試推導(dǎo)牛頓一科茨求積公式.a+b解答：等分求積［a,b］，分點為x0=a,x.=——,x2=b.0122過三個插值節(jié)點可以作二次插值多項式，有l(wèi)(x)_(x-x1)(x-x2)_(2x-a-b)(x-b)0 (x一x)(x一x) (b一a)2(x-x)(x-x) 4(x-a)(x-b)l(x)_ 0 2__ (x-x)(x-x) (b-a)2(x-x)(x-x) (2x-a-b)(x-a)(x)_ 0 1__ (x-x)(x-x) (b-a)22021于是有f(x)穴P2(x)_￡lk(x)f(xk)，有積分k_0Jbf(x)dx六JbP(x)dx=￡f(x)Jbl(x)dx2 kkk_0k_0 Jb(2x-(a+b))(x-b)dx(b-a)2aJbl(x)dx_

a01_ Jb(2x2-(a+3b)x+(a+b)b)dx(b-a)2a_b-a_6同理，得到TOC\o"1-5"\h\zJbl(x)dx_----Jb(x2-(a+b)x-ab)dx_(^―~a)a1 (b-a)2a 6Jbl(x)dx_ Jb(2x-(a+b))(x-a)dx_-~-a2 (b-a)2a 6Jbf(x)dx氏b-a[f(a)+4f(a+b)+f(b)]a6 2問：一個教材上的問題，第155頁，(B)的第1題：能用迭代法求方程近似根的是( ).sinx+cosx 6sinx+cosx(A)—— _x(0,1) (B) _x(0,1)464－4－2x=x(1,2)x_ex-2 (3,4)書上有答案(A)是對的.其他幾個選項為什么不對還不清楚.解答：如果f(x)=0在區(qū)間［a,b］有根，若f(x)=0可以表示成

%=9(x)當(dāng)?shù)瘮?shù)取%)在他,b］上滿足ld(x)|<r<1時，則構(gòu)造迭代格式xn=9(xn_1)，n=1,2，…由此得到的得到的得到數(shù)列｛xn｝收斂到f(x)=0的根x*.收斂的條件是19(x)|<r<1,而不是ld(x)l<1.sinx+cosx容易驗證滿足收斂的條件．在(人)中，9(x)= 4 ,容易驗證滿足收斂的條件．我們解釋一下(C)，那兩個也會明白.解方程4-2x—x=0.記fx)=4-2x—x，有f(1)=3f(2)=—2,故f(x)=0在［1,2］內(nèi)有根.若將方程改為x=9(x)=4-2x,有9'(x)=-2xln2,〔9'(1.5)|=2i.5ln2>1可見不能用x=9(x)=4-2x構(gòu)造迭代格式.但是,若將方程改為x=9(x)=log2(4-x),1 -1, ,1 1 ,有9，(x)= ? ,ld(x)l< = =r<1(1<x<2)ln24-x 2ln21.2可見用x=9(x)=log2(4-x)構(gòu)造迭代格式求解是可以得到解的.問：在錄像課上，可能是復(fù)習(xí)課，有一個證明題，將拉格朗日插值基函數(shù)10(x)展成牛頓插值多項式,能再講講嗎？解答：是不是這樣一個題目：設(shè)l設(shè)l(x)=(x-x1)(x-x2)"x「)0 (x-x)(x-x)...(x-x)基函數(shù),試證明是以節(jié)點x0,xI,??.,xn為插值點的拉格朗日插值x-x (x-x)(x-x) (x-x)(x-x)...(x-x)l(x)=1+ 0—+ 0 1+…+ 0 1 n-10x-x(x-x)(x-x) (x-x)(x-x)..x.(-x)01 0 10 2 010 2 0n證明方法1作10(x)的的牛頓插值多項式，首先求各階均差.易知,l(x)=1,l(x)=0,l(x),...l(x)=0l(x)l(x)—l(x)l(x,x)=-0_0 0_1-0 0 1 x—x01x0-x1l(x)—l(x)0k0k+1=0(k=1,2,n—1)xk—xk+1l0(l0(x0,x1,x2)10(Xk，xk+1,xk+2x0—x2 (x0—x1)(x0—x2)l(x,x)—l(x x))=k+^—0 k+1,k++2=0(k=1,2,...n—2)xk—xk+2三階均差：TOC\o"1-5"\h\zl(x