北師大版九年級數(shù)學(xué)上冊《矩形的性質(zhì)與判定》第2課時示范公開課教學(xué)設(shè)計(jì)

第一章特殊的平行四邊形2矩形的性質(zhì)與判定第2課時一、教學(xué)目標(biāo) 1.理解并掌握矩形的判定定理，并會用矩形的判定定理進(jìn)行證明和計(jì)算；2.經(jīng)歷矩形判定定理的探索過程，進(jìn)一步發(fā)展合情推理能力.3.能夠用綜合法證明矩形的判定定理，進(jìn)一步發(fā)展演繹推理能力.4.體會探索與證明過程中所蘊(yùn)含的抽象、推理等數(shù)學(xué)思想.二、教學(xué)重難點(diǎn)重點(diǎn)：理解并掌握矩形的判定定理，會用矩形的判定定理進(jìn)行證明和計(jì)算.難點(diǎn)：探究證明矩形的判定定理.三、教學(xué)用具電腦、多媒體、課件、教學(xué)用具等四、教學(xué)過程設(shè)計(jì)教學(xué)環(huán)節(jié)教師活動學(xué)生活動設(shè)計(jì)意圖環(huán)節(jié)一創(chuàng)設(shè)情境【復(fù)習(xí)回顧】教師活動：先提出問題讓學(xué)生觀察，然后再動畫演示.問題：觀察下列實(shí)物中的矩形，說一說什么是矩形？預(yù)設(shè)答案：有一個角是直角的平行四邊形叫做矩形.追問：矩形具有哪些性質(zhì)呢？預(yù)設(shè)答案：矩形的性質(zhì)：①對邊平行且相等；②四個角都是直角；③對角線互相平分且相等.觀察實(shí)物圖形，回顧矩形的概念回顧矩形的性質(zhì)通過對實(shí)物中的矩形的直觀觀察及動畫演示復(fù)習(xí)回顧矩形的概念和性質(zhì)，為本節(jié)課要學(xué)習(xí)的內(nèi)容作準(zhǔn)備.環(huán)節(jié)二探究新知【合作探究】教師活動：研究矩形的判定方法，先是從矩形的定義出發(fā)，接著從對角線的角度，最后從角的角度，從而得出判定矩形的三種方法.思考：矩形是特殊的平行四邊形，當(dāng)平行四邊形滿足什么條件時，會變成矩形嗎？預(yù)設(shè)答案：定義法判斷一個平行四邊形是矩形，可以認(rèn)為是矩形的判定方法一.【歸納】矩形的判定方法1：有一個角是直角的平行四邊形是矩形.幾何語言∵四邊形ABCD是平行四邊形，∠A=90°∴四邊形ABCD是矩形.【做一做】教師活動：播放視頻，演示變化過程，當(dāng)兩個對角線長度相等時，用量角器量下∠α，通過量一量及矩形的定義猜測出對角線相等的情況下的平行四邊形是矩形.如圖，是一個平行四邊形活動框架，拉動一對不相鄰的頂點(diǎn)時，平行四邊形的形狀會發(fā)生變化.觀看右邊動畫演示回答下列問題：(1)隨著∠α的變化兩條對角線的長度將發(fā)生怎樣的變化？(2)當(dāng)兩條對角線的長度相等時平行四邊形有什么特征？由此你能得到一個怎樣的猜想？預(yù)設(shè)答案：(1)隨著∠α的變化兩條對角線的長度一條變長，另一條變短.(2)當(dāng)兩條對角線長度相等時，平行四邊形內(nèi)的∠α是直角.得出猜想“對角線相等的平行四邊形是矩形.”追問：你能證明這個猜想嗎？教師可以考慮讓學(xué)生分組嘗試證明，并交流反饋.【證明】已知：四邊形ABCD是平行四邊形，對角線AC與BD相交于點(diǎn)O，AC=BD.求證：四邊形ABCD是矩形.證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形∴AB=DC，AB∥DC.又∵BC=CB，AC=DB，∴△ABC≌△DCB.∴∠ABC=∠DCB.∵AB∥DC，∴∠ABC+∠DCB=180°.∴∠ABC=∠DCB=90°.∴□ABCD是矩形（矩形的定義）.【歸納】矩形的判定定理2：對角線相等的平行四邊形是矩形.符號語言：∵在□ABCD中，AC=BD，∴□ABCD是矩形.【想一想】我們知道，矩形的四個角都是直角.反過來，一個四邊形至少有幾個角是直角時，這個四邊形就是矩形呢？動畫演示四邊形的內(nèi)角是直角的個數(shù)，學(xué)生觀察后得出猜想.預(yù)設(shè)答案：得出猜想“三個角是直角的四邊形是矩形.”追問：你能證明這個猜想嗎？教師可以考慮讓學(xué)生分組嘗試證明，并交流反饋.【證明】已知：如圖，在四邊形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90°.求證：四邊形ABCD是矩形.證明：∵∠A=∠B=∠C=90°，∴∠A+∠B=180°，∠B+∠C=180°.∴AD∥BC，AB∥CD.∴四邊形ABCD是平行四邊形.∴四邊形ABCD是矩形.【歸納】矩形的判定定理3：三個角是直角的四邊形是矩形.符號語言：∵在四邊形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90°，∴四邊形ABCD是矩形.想一想：現(xiàn)在你知道如何判定一個四邊形為矩形了嗎？預(yù)設(shè)答案：從平行四邊形的角度：有一個角是直角的平行四邊形是矩形；對角線相等的平行四邊形是矩形.從四邊形的角度：有三個角是直角的四邊形是矩形.【議一議】教師活動：課件出示檢查方法，引導(dǎo)學(xué)生思考回答.如果僅有一根較長的繩子，你有什么方法檢查你家(或教室)剛安裝的門框是不是矩形？預(yù)設(shè)答案:①先用繩子測量四邊形的兩對邊是否相等，相等則是平行四邊形.②再用繩子測量對角線是否相等，相等則是矩形.思考：說一說這樣檢查的理由？預(yù)設(shè)答案：對角線相等的平行四邊形是矩形.學(xué)生理解觀看視頻或有條件的同學(xué)動手操作說出猜想熟悉證明過程熟悉矩形的判定定理及其幾何語言觀察思考熟悉證明過程熟悉矩形的判定定理及其幾何語言自由說一說思考回答思考回答明確矩形的定義可以作為判定矩形的方法之一，并學(xué)會用幾何語言描述.觀看視頻，動態(tài)演示變化過程，讓學(xué)生直觀感知對角線的變化帶來平行四邊形的改變，體會對角線相等的平行四邊形是矩形，自然引出矩形的判定定理2.通過證明讓學(xué)生明確矩形的判定定理2，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力.通過歸納進(jìn)一步熟悉矩形的判定定理，培養(yǎng)歸納概括能力.鼓勵學(xué)生根據(jù)自己的實(shí)際情況，進(jìn)行實(shí)際操作與探究，引導(dǎo)學(xué)生探索出矩形的另一種判定方法.通過證明讓學(xué)生明確矩形的判定定理3，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力.通過歸納進(jìn)一步熟悉矩形的判定定理，培養(yǎng)歸納概括能力.通過歸納總結(jié)從圖形所屬的范圍考慮矩形的判定方法，培養(yǎng)歸納概括能力.鼓勵學(xué)生利用矩形的判定定理解決問題，讓學(xué)生體會數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系.環(huán)節(jié)三應(yīng)用新知【典型例題】教師提出問題，學(xué)生先獨(dú)立思考，解答.然后再小組交流探討，如遇到有困難的學(xué)生適當(dāng)點(diǎn)撥，最終教師展示答題過程.例2如圖，在￡ABCD中，對角線AC和BD相交于點(diǎn)O，△ABO是等邊三角形，AB=4.求￡ABCD的面積.分析：由平行四邊形的性質(zhì)可得，OA=OC，OB=OD.由△ABO是等邊三角形，得OA=OB=AB=4，從而有AC=BD=2OA=8，所以□ABCD是矩形.再由矩形的性質(zhì)得∠ABC=90°，從而由勾股定理求出BC的長，即可求出□ABCD的面積.解:∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OA=OC，OB=OD.又∵△ABO是等邊三角形，∴OA=OB=AB=4.∴OA=OB=OC=OD=4.∴AC=BD=2OA=2×4=8.∴￡ABCD是矩形（對角線相等的平行四邊形是矩形）.∴∠ABC=90°（矩形的四個角都是直角）.在Rt△ABC中，由勾股定理，得AB2+BC2=AC2，∴S￡ABCD=AB·BC=.明確例題的做法讓學(xué)生在探究過程中進(jìn)一步加深對矩形的判定定理的認(rèn)識和理解，培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識.環(huán)節(jié)四鞏固新知教師給出練習(xí)，隨時觀察學(xué)生完成情況并相應(yīng)指導(dǎo)，最后給出答案，根據(jù)學(xué)生完成情況適當(dāng)分析講解.1.已知：如圖，在￡ABCD中，M是AD邊的中點(diǎn)，且MB=MC.求證：四邊形ABCD是矩形.2.如圖，在△ABC中，AD為BC邊上的中線，延長AD至E，使DE=AD，連接BE，CE.(1)試判斷四邊形ABEC的形狀；(2)當(dāng)△ABC滿足什么條件時，四邊形ABEC是矩形？3.如圖，點(diǎn)B在MN上，過AB的中點(diǎn)O作MN的平行線，分別交∠ABM的平分線和∠ABN的平分線于點(diǎn)C，D.試判斷四邊形ACBD的形狀，并證明你的結(jié)論.答案：1.證明：在平行四邊形ABCD中，AB=CD，M是AD邊的中點(diǎn)，∴MA=MD，且MB=MC，即△ABM≌△DCM，∴∠A=∠D.又∵∠A+∠D=180°，∴∠A=∠D=90°.∴四邊形ABCD是矩形.2.解:(1)四邊形ABEC是平行四邊形．證明：∵AD為BC邊上的中線，∴BD=CD，∵AD=DE，∴四邊形ABEC的對角線互相平分，∴四邊形ABEC是平行四邊形.(2)當(dāng)△ABC滿足∠BAC＝90°時，四邊ABEC是矩形．理由如下：有一個角是角的平行四邊形是矩形.3.證明:∵CD∥MN，BC，BD分別為∠MBA，∠ABN的平分線，∴∠ABD＝∠DBN＝∠CDB，∠ABC＝∠CBM＝∠DCB，且∠CBD＝90°，∴OC＝OB＝OD＝OA．∵∠AOD＝∠COB，∴△AOD≌△COB，則∠DAO＝∠OBC，AD∥BC，AD＝BC，∴四邊形ACBD為平行四邊形．又∵AB＝CD，∴四邊形ACBD為矩形．自主完成練習(xí)，然后集體交流評價.通過課堂