考點10平面向量（核心考點講與練）-2023年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)核心考點講與練（新高考專用）原卷版

考點10平面向量（核心考點講與練）一、平面向量的概念及線性運算1.向量的有關(guān)概念名稱定義備注向量具有大小和方向的量；向量的大小叫做向量的長度(或模)如a，eq\o(AB,\s\up6(→))零向量長度等于零的向量；其方向不確定記作0單位向量給定一個非零向量a，與a同向且模為1的向量，叫做向量a的單位向量，可記作a0a0＝eq\f(a,|a|)共線(平行)向量如果向量的基線互相平行或重合，則稱這些向量共線或平行向量a與b平行記作a∥b相等向量同向且等長的有向線段表示同一向量，或相等的向量如eq\o(AB,\s\up6(→))＝a相反向量與向量a反向且等長的向量，叫做a的相反向量記作－a2.向量的線性運算向量運算定義法則(或幾何意義)運算律加法求兩個向量和的運算(1)交換律：a＋b＝b＋a.(2)結(jié)合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)減法減去一個向量相當(dāng)于加上這個向量的相反向量a－b＝a＋(－b)數(shù)乘求實數(shù)λ與向量a的積的運算(1)|λa|＝|λ||a|；(2)當(dāng)λ＞0時，λa的方向與a的方向相同；當(dāng)λ＜0時，λa的方向與a的方向相反；當(dāng)λ＝0時，λa＝0λ(μa)＝λμa；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb3.共線向量定理向量a(a≠0)與b共線的充要條件是存在唯一一個實數(shù)λ，使得b＝λa.二、向量的分解與向量的坐標(biāo)運算1.平面向量的基本定理如果e1和e2是一平面內(nèi)的兩個不平行的向量，那么該平面內(nèi)的任一向量a，存在唯一的一對實數(shù)a1，a2，使a＝a1e1＋a2e2.其中，不共線的向量e1，e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底，記為{e1，e2}.a1e1＋a2e2叫做向量a關(guān)于基底{e1，e2}的分解式.2.平面向量的正交分解把一個向量分解為兩個互相垂直的向量，叫做把向量正交分解.3.平面向量的坐標(biāo)運算(1)向量加法、減法、數(shù)乘運算及向量的模設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝eq\r(xeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,1)).(2)向量坐標(biāo)的求法①若向量的起點是坐標(biāo)原點，則終點坐標(biāo)即為向量的坐標(biāo).②設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則eq\o(AB,\s\up6(→))＝(x2－x1，y2－y1)，|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝eq\r(（x2－x1）2＋（y2－y1）2).4.平面向量共線的坐標(biāo)表示設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a∥b?x1y2－x2y1＝0.平面向量的數(shù)量積及其應(yīng)用1.兩個向量的夾角(1)定義：已知兩個非零向量a和b，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，則∠AOB稱作向量a和向量b的夾角，記作〈a，b〉.(2)范圍：向量夾角〈a，b〉的范圍是[0，π]，且〈a，b〉＝〈b，a〉.(3)向量垂直：如果〈a，b〉＝eq\f(π,2)，則a與b垂直，記作a⊥b.2.向量在軸上的正射影已知向量a和軸l(如圖)，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，過點O，A分別作軸l的垂線，垂足分別為O1，A1，則向量eq\o(O1A1,\s\up6(→))叫做向量a在軸l上的正射影(簡稱射影)，該射影在軸l上的坐標(biāo)，稱作a在軸l上的數(shù)量或在軸l的方向上的數(shù)量.eq\o(OA,\s\up6(→))＝a在軸l上正射影的坐標(biāo)記作al，向量a的方向與軸l的正向所成的角為θ，則由三角函數(shù)中的余弦定義有al＝|a|cos__θ.3.向量的數(shù)量積(1)平面向量的數(shù)量積的定義：|a||b|cos〈a，b〉叫做向量a和b的數(shù)量積(或內(nèi)積)，記作a·b，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉.(2)平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其坐標(biāo)表示設(shè)向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ為向量a，b的夾角.①數(shù)量積：a·b＝|a||b|cosθ＝x1x2＋y1y2.②模：|a|＝eq\r(a·a)＝eq\r(xeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,1)).③夾角：cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(x1x2＋y1y2,\r(xeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,1))·\r(xeq\o\al(2,2)＋yeq\o\al(2,2))).④兩非零向量a⊥b的充要條件：a·b＝0?x1x2＋y1y2＝0.⑤|a·b|≤|a||b|(當(dāng)且僅當(dāng)a∥b時等號成立)?|x1x2＋y1y2|≤eq\r(xeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,1))·eq\r(xeq\o\al(2,2)＋yeq\o\al(2,2)).4.平面向量數(shù)量積的運算律(1)a·b＝b·a(交換律).(2)λa·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(結(jié)合律).(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律).1.向量線性運算的三要素向量的線性運算滿足三角形法則和平行四邊形法則，向量加法的三角形法則要素是“首尾相接，指向終點”；向量減法的三角形法則要素是“起點重合，指向被減向量”；平行四邊形法則要素是“起點重合”.2.三個常用結(jié)論(1)O為△ABC的重心的充要條件是eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝0；(2)四邊形ABCD中，E為AD的中點，F(xiàn)為BC的中點，則eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→))＝2eq\o(EF,\s\up6(→))；(3)對于平面上的任一點O，eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))不共線，滿足eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))(x，y∈R)，則P，A，B共線?x＋y＝1.注意向量共線與三點共線的區(qū)別.3.平面向量基本定理實際上是向量的分解定理，并且是平面向量正交分解的理論依據(jù)，也是向量的坐標(biāo)表示的基礎(chǔ).4.平面向量一組基底是兩個不共線向量，平面向量基底可以有無窮多組.5.用平面向量基本定理可將平面中任一向量分解成形如a＝λ1e1＋λ2e2的形式.6.計算向量數(shù)量積的三種方法定義、坐標(biāo)運算、數(shù)量積的幾何意義，要靈活運用，與圖形有關(guān)的不要忽略數(shù)量積幾何意義的應(yīng)用.7.求向量模的常用方法利用公式|a|2＝a2，將模的運算轉(zhuǎn)化為向量的數(shù)量積的運算.8.利用向量垂直或平行的條件構(gòu)造方程或函數(shù)是求參數(shù)或最值問題常用的方法與技巧.平面向量的概念及線性運算及基本定理1.（2020安徽滁州市定遠縣育才學(xué)校月考）如圖，D、E、F分別是△ABC的邊AB、BC、CA的中點，則下列等式中錯誤的是（）A．＋＋＝0B．＋＋＝0C．＋＋＝D．＋＋＝2.（2020內(nèi)蒙古鄂爾多斯市第一中學(xué)）下列結(jié)論正確的是A．若向量，共線，則向量，的方向相同B．向量與向量是共線向量，則A，B，C，D四點在一條直線上C．中，D是BC中點，則D．若，則使3.（2020湖南省婁底市模擬）已知，，則（）A.2 B. C.4 D.平面向量的數(shù)量積及其應(yīng)用1.（2022河北省滄州市高三9月教學(xué)監(jiān)測）如圖，中，，，分別是的三等分點，若，則（）A. B.2 C.3 D.62.（2022湖北省黃石市高三9月調(diào)研）已知向量的夾角為，，，則（）A．B．21C．3D．93.（2022貴州省貴陽第一中學(xué)高三月考卷）已知向量，且，則（）A．B．C．2D．-24.（多選題）已知向量，，，則下列說法正確的是（）A．存在，使得B．存在，使得C．對于任意，，D．對于任意，，5.（2022北京八一學(xué)校高三上學(xué)期開學(xué)考試）設(shè)函數(shù)，其中向量，．（1）求函數(shù)的最小正周期與單調(diào)遞減區(qū)間；（2）在中，、、分別是角、、的對邊，已知，，的面積為，判斷的形狀，并說明理由．1.（2021年全國高考乙卷）已知向量，若，則_________．1.（2021年全國高考乙卷）已知向量，若，則__________．3.（2021年全國高考甲卷）若向量滿足，則_________.4.（2021年全國新高考Ⅰ卷）已知為坐標(biāo)原點，點，，，，則（）A. B.C. D.一、單選題1.（2022·全國·模擬預(yù)測）中國古塔多為六角形或八角形.已知某八角形塔的一個水平截面為正八邊形ABCDEFGH，如圖所示，若，則（）A. B. C. D.2.（2022·全國·模擬預(yù)測）已知拋物線，P為直線上一點，過P作拋物線的兩條切線，切點分別為A，B，則的最小值為（）A. B.-1 C. D.-23.（2022·山東濟寧·一模）等邊三角形ABC的外接圓的半徑為2，點P是該圓上的動點，則的最大值為（）A.4 B.7 C.8 D.114.（2022·遼寧大東·模擬預(yù)測）中，，D為AB的中點，，則（）A.0 B.2 C.-2 D.-45.（2022·山東臨沂·一模）設(shè)向量，，若，則（）A.－3 B.0 C.3 D.3或－36.（2022·全國·模擬預(yù)測）已知等邊△的邊長為，點，分別為，的中點，若，且，則（）A. B. C. D.7.（2022·廣東高州·二模）已知向量，，且，則m的值為（）A. B.2 C. D.48.（2022·浙江·模擬預(yù)測）《跳舞的線》是一款音樂類游戲，要求玩家用雙眼觀察障礙物與陷阱，用雙耳聆聽節(jié)奏，根據(jù)音樂引線條通過多重地形，最終抵達終點．玩家每點擊一次屏幕，線條將會旋轉(zhuǎn)，且為順時針、逆時針交替轉(zhuǎn)向．如圖是游戲中“沙漠”一關(guān)的截圖，線條從點前進到點有兩條路徑：①和②．假設(shè)轉(zhuǎn)彎不改變線條的速度，則兩條路徑所需時間一定相同，這一點可以由某定理保證．這個定理是（）A.平面向量基本定理 B.共線向量基本定理C.有一內(nèi)角為直角的平行四邊形是矩形 D.兩直線平行，同旁內(nèi)角互補二、多選題9.（2022·全國·模擬預(yù)測）已知向量，，，，則下列說法正確的是（）A.若，則有最小值B.若，則有最小值C.若，則的值為D.若，則的值為110.（2022·全國·模擬預(yù)測）如圖，在等腰梯形ABCD中，，E是BC的中點，連接AE，BD相交于點F，連接CF，則下列說法正確的是（）A. B.C. D.11.（2022·廣東深圳·一模）四邊形ABCD為邊長為1的正方形，M為邊CD的中點，則（）A. B. C. D.12.（2022·廣東韶關(guān)·一模）已知向量，則下列說法正確的是（）A.